专项5第二十章函数压轴题型 期末复习专项 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦函数核心素养，以8大题型构建从变量关系到综合应用的完整逻辑链，典例覆盖生活与几何情境 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |变量间关系|5题|表格/实际情境分析|函数概念生成基础，建立变量依赖关系| |函数解析式|5题|几何/实际问题建模|从关系到数学表达，体现模型意识| |自变量与函数值|5题|数据读取与计算|函数基本运算，强化运算能力| |函数图象识别|5题|情境与图象匹配|数形结合起点，培养几何直观| |描点法画图象|5题|数据描点与作图|动手操作，深化图象认知| |图象获取信息|5题|复杂图象分析|图象应用进阶，发展数据意识| |动点问题图象|5题|几何动态与函数|综合压轴，提升推理能力| |三种表示方法|5题|表格/图象/解析式转换|系统整合函数表示，强化数学语言|

专项5 第二十章 函数压轴题型 目录 题型1 变量间关系的表示 1 题型2 函数解析式 3 题型3 求自变量的值或函数值 5 题型4 函数图象识别 7 题型5 用描点法画函数图象 10 题型6从函数的图象获取信息 12 题型7 动点问题的函数图象 15 题型8 函数的三种表示方法 17 题型1 变量间关系的表示 1．地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系： 岩层的深度 1 2 3 4 5 6 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 (1)上表反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______． (2)岩层的深度每增加，温度是怎样变化的？试写出岩层的温度与它的深度之间的关系式． (3)估计岩层深处的温度是多少？ 2．在某地，人们发现某种蟋蟀在一定温度下叫的次数与温度之间有如下的近似关系： 当地温度x（℃） 5 6 7 8 9 … 蟋蟀1min叫的次数y（次） 14 21 28 35 42 … 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是____________，因变量是___________； (2)当地的温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求此时当地的温度． 3．父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 4．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时40分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是________，机器人_______先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了_______，恢复运行后，机器人乙的速度______机器人甲的速度（填“”“”或“”）； (4)出发________时，甲乙两个机器人相距． 5．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 并发现时间和交通量的变化规律符合如下特征：和． 如图，小毛希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 题型2 函数解析式 6．如图，梯形上底的长是，下底的长是，高是，面积是． (1)写出y与x之间的关系式． (2)用表格表示当x从4变到14时（每次增加1），y的相应值． (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由． (4)当时，y等于什么？此时y表示的是什么？ 7．如图，圆锥的底面半径是，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果圆锥的高为h（单位：），那么圆锥的体积V（单位：）如何表示？ (3)当圆锥的高由变化到时，它的体积是如何变化的？ 8．综合与实践． 【主题】探究游泳池换水过程中的数学问题． 【实践背景】某游泳池在一次换水前存水立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时立方米的速度将水放出，当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少． 【数据记录】该游泳池的存水量变化情况如下表： 放水时间（小时） 存水量（立方米） 【问题解决】 (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)根据上表反映的规律写出与之间的关系式为 （不要求写出的取值范围）； (3)放水小时后，该游泳池内还有存水吗？放水小时呢？ 9．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度（千米） 气温 根据表格，回答以下问题： (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是_______； (2)写出海拔高度千米以内，气温与海拔高度的关系式：_______； (3)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为时，求气温是多少？ 10．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→D→C→B→A的方向向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒（）． (1)点Q在上时，用含x的代数式表示的长； (2)当时，直接写出x的值； (3)若的面积为S，求S与x的函数关系式（）； (4)在整个运动过程中，当时，直接写出x的值． 题型3 求自变量的值或函数值 11．下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据： 海拔/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)在海拔的地方空气含氧量是多少？在海拔的地方空气含氧量是多少？ (3)你估计在海拔的地方空气含氧量是多少？ 12．阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数最小值为 ，已知，则函数的最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 13．某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动．他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小．此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 (1)观察表中的数据，你发现了什么？ (2)如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7，那么你估计这副老花镜的度数是多少？ 14．如图是我国某个湖泊最深处的某一截面图，一支潜水队测出了该湖泊水面下任一点A的压强p（单位：）与其距离水面的深度h（单位：m）的几组数据，整理得出下表： 距离水面的深度 10 15 20 25 30 水面下任一点A的压强 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)请根据已知数据求该湖泊水面的大气压强为多少？ (3)请求出处的压强值． 15．吉林市松江桥安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．设有根立柱，护栏总长度为米． (1)根据如图，将表格补充完整． 立柱根数（根） 1 2 3 4 5 …… 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 …… (2)在这个变化过程中，变量为___________，常量为___________； (3)写出与之间的关系式，并化简； (4)求护栏总长度为61米时立柱的根数． 题型4 函数图象识别 16．如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 17．如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 18．在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 19．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 20．A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 题型5 用描点法画函数图象 21．通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： … 0 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 1 … (1)当_________时，． (2)根据表中数值描点，并画出函数图像． (3)观察画出的图像可知，函数值随的增大而_________． 22．某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究： 速度（） 最大高度（）    (1)根据函数的定义，设_______为，_____为，是的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．结合画出的图象，速度过快或过慢，无人机的最大飞行高度都会_______（填“增高”或“降低”）． 23．根据学习函数的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务． (1)列表如下：直接写出________； x … 0 1 2 3 … y … 0 1 2 1 m … (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中给出的各对数值所对应的点，并画出该函数的图象；    (3)结合函数图象，当时，x的取值范围是________． 24．已知函数． (1)自变量x的取值范围是______； (2)下表中m＝______； x … 0 0.5 1.5 2 3 5 … y … 1 2 4 8 8 m 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象能得到什么信息？ 25．已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图所示，若，请回答下列问题： (1)图中_________，_________，_________． (2)求图中，的值； (3)当点在线段上运动时与的关系式为__________．当点在线段上运动时与的关系式为__________． 题型6从函数的图象获取信息 26．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)甲距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系用图象______表示；（填“a”或“b”） (2)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______； (3)求甲、乙的速度． 27．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．张强家、文具店、体育场依次在一条直线上．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题： (1)体育场离文具店的距离为________千米；张强从家去体育场用了_________分钟； (2)求张强在文具店停留的时间； (3)求张强从家跑步去体育场的平均速度是每分钟多少米？ 28．问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． (1)在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． (2)在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3) 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 29．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题． (1)①由图2，当时，_______；摩天轮转一圈需要______； ②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是_________（填“增大”或“减小”）； (2)求出摩天轮的半径为_______； 30．如图，在矩形中，，，点是 边上一动点，连接，过点作的垂线与， 分别相交于点，．设 ，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为． 小明根据学习函数的经验对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了，与的几组对应值： ①确定表格中的值为____________（结果精确到）； ②在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象； (2)结合函数图象，回答下列问题： ①当点与点 ，不重合，且时，____________（结果精确到）． ②当时，线段长的取值范围是____________（结果精确到）． 题型7 动点问题的函数图象 31．如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．设点运动的时间为秒，与矩形重叠部分的图形面积为． (1)当点与点重合时，________． (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 32．如图，在正方形中，为的中点．以为原点，、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是4．点从点出发，沿向点运动，同时点从点出发．沿向点运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，、两点同时停止运动，设点运动的时间为秒．的面积为． (1)求关于的函数关系式，以及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出一条函数的性质； (3)已知的图象如图所示，请直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 33．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 34．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 35．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； (3)当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 题型8 函数的三种表示方法 36．为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 37．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 38．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 39．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … (1)______； (2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______； (3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 40．综合与探究 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽，再次注入……．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（t/s） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 水位高度（h/cm） 0 3 6 3 0 … 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并根据水位和时间的关系在上图中描出反映水位高度随时间的变化而变化的部分大致图象； (2)结合表格或图象，当______时，杯中水位第一次最高，是______； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______；当时，水位高度是______； (4)请你探究写出第二次水位最高时t的值为______；请你简要描述水位高度随时间的变化情况； (5)开始注水时，小明有事离开，那么他五分钟后回来观察水位应该是______．他接着观察到水位是上升还是下降？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项5 第二十章 函数压轴题型 目录 题型1 变量间关系的表示 1 题型2 函数解析式 6 题型3 求自变量的值或函数值 12 题型4 函数图象识别 19 题型5 用描点法画函数图象 24 题型6从函数的图象获取信息 30 题型7 动点问题的函数图象 36 题型8 函数的三种表示方法 48 题型1 变量间关系的表示 1．地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系： 岩层的深度 1 2 3 4 5 6 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 (1)上表反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______． (2)岩层的深度每增加，温度是怎样变化的？试写出岩层的温度与它的深度之间的关系式． (3)估计岩层深处的温度是多少？ 【答案】(1)岩层的深度，岩层的温度 (2)每增加，上升， (3) 【分析】（1）根据自变量与因变量的定义判断两个变量的属性； （2）通过观察表格数据得到温度随深度的变化规律，推导得到温度与深度的关系式； （3）代入深度计算对应温度即可． 【详解】（1）解：表格反映了岩层深度和岩层温度的变化关系，深度主动变化，温度随深度变化，因此自变量是岩层的深度，因变量是岩层的温度； （2）解：计算相邻深度的温度差：，，，可知岩层的深度每增加，温度上升， 已知时， 整理得， 因此温度与深度的关系式为； （3）解：当时，将代入得： 因此估计岩层深处的温度是． 2．在某地，人们发现某种蟋蟀在一定温度下叫的次数与温度之间有如下的近似关系： 当地温度x（℃） 5 6 7 8 9 … 蟋蟀1min叫的次数y（次） 14 21 28 35 42 … 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是____________，因变量是___________； (2)当地的温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求此时当地的温度． 【答案】(1)当地温度，蟋蟀叫的次数 (2)次 (3)此时当地的温度为 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，可得答案； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据因变量的值，可得相应的自变量的值． 【详解】（1）略 （2）由表格数据可知：当地温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加7次； （3）解：当这种蟋蟀叫的次数时，设此时当地的温度， 由题意得 解得， 答：当这种蟋蟀叫的次数时，此时当地的温度为． 3．父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 【答案】(1)， (2)父亲能在第一次到达400米终点前追上儿子，理由如下： 因为父亲与儿子的速度之比为 所以父亲的速度为，则儿子的速度为， 设经过分钟后，父亲追上儿子， 由题意可得：， 解得， 因为父亲第一次到达终点的时间是，． 所以能在第一次到达400米终点前追上儿子． 【分析】（1）设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，根据题意得到，，然后根据“儿子跑5步的时间父亲能跑6步”列式求解即可； （2）首先得到父亲的速度为，则儿子的速度为，设经过分钟后，父亲追上儿子，根据题意列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米， 因为儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等． 所以， 所以． 因为儿子跑5步的时间父亲能跑6步， 所以， 所以父亲与儿子的速度之比为； （2）略 4．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时40分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是________，机器人_______先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了_______，恢复运行后，机器人乙的速度______机器人甲的速度（填“”“”或“”）； (4)出发________时，甲乙两个机器人相距． 【答案】(1)800；甲 (2)100 (3)3； (4)1或或或 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）根据速度等于路程除以时间即可求解； （3）观察图象即可知乙机器人因发生故障停留的时间；恢复运行后，乙机器人跑完了余下的行程，可求得此时乙的速度并与甲的速度比较即可； （4）分四种情况考虑，利用一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由图象知，本次比赛全程是，机器人甲先到达终点； （2）解：由图象知，甲机器人跑完了全程， 故甲机器人的平均速度为； （3）解：观察图象知，乙机器人因故障在途中停留了； 恢复运行后乙机器人的平均速度为，而， 即恢复运行后，机器人乙的速度大于机器人甲的速度； （4）解：乙机器人发生故障前的平均速度为， 当时，， 解得； 当时，， 解得或； 当时，， 当时，， 解得； 综上，当出发或或或时，甲乙两个机器人相距． 5．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 并发现时间和交通量的变化规律符合如下特征：和． 如图，小毛希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．理由如下： ∵，， ∴． 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴在18时至20时，自西向东方向拥堵，需要将可变车道的方向设置为自西向东； 在8时到9时，自东向西方向拥堵，需要将可变车道的方向设置为自东向西． 【分析】先求出，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可解答． 【详解】略 题型2 函数解析式 6．如图，梯形上底的长是，下底的长是，高是，面积是． (1)写出y与x之间的关系式． (2)用表格表示当x从4变到14时（每次增加1），y的相应值． (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由． (4)当时，y等于什么？此时y表示的是什么？ 【答案】(1) (2) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 (3)解：当每增加1时，增加4；理由：设增加1后变为，对应的面积为， 则：，即，因此增加4； (4)，表示底为、高为的三角形的面积 【分析】（1）直接利用梯形面积公式求出y与x的函数关系式即可；    （2）利用（1）中关系式，进而列表求出即可；   （3）利用（1）关系式得出y与x的变化规律；    （4）将已知代入（1）中关系式，进而得出答案． 【详解】（1）解：，化简得：； （2）略 （3）略 （4）解：将代入，得， 此时上底长度为0，梯形变为底为、高为的三角形，表示这个三角形的面积． 7．如图，圆锥的底面半径是，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)如果圆锥的高为h（单位：），那么圆锥的体积V（单位：）如何表示？ (3)当圆锥的高由变化到时，它的体积是如何变化的？ 【答案】(1)自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积 (2) (3)圆锥的体积由逐渐增大到 【分析】（1）在变化过程中，主动变化的量是自变量，随着主动变量变化而变化的量是因变量； 这里圆锥的高主动变化，体积随高的变化而变化，因此： 自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积． （2）根据圆锥体积公式为求解即可． （3）算出当，时，的值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵底面半径， ∴ （3）解：由可知，系数，随 的增大而增大， 当时，； 当时，， 因此：圆锥的体积由逐渐增大到． 8．综合与实践． 【主题】探究游泳池换水过程中的数学问题． 【实践背景】某游泳池在一次换水前存水立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时立方米的速度将水放出，当放水时间增加时，游泳池的存水量也随之减少． 【数据记录】该游泳池的存水量变化情况如下表： 放水时间（小时） 存水量（立方米） 【问题解决】 (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)根据上表反映的规律写出与之间的关系式为 （不要求写出的取值范围）； (3)放水小时后，该游泳池内还有存水吗？放水小时呢？ 【答案】(1)放水时间 ；存水量 (2) (3)放水小时后，该游泳池内还有存水立方米；放水小时后该游泳池内没有存水 【分析】（1）根据题中表格信息即可完成； （2）根据表格可知排水孔以每小时 78 立方米的速度放水，根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式； （3）令和，分别计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量 （2）解：根据题意，换水前存水立方米，以每小时立方米的速度将水放出， 则与的函数关系式为． （3）解：当时，求得（立方米），因为， 所以放水小时后，该游泳池内还有存水立方米． 当时，求得（立方米）， 因为，所以放水小时后该游泳池内没有存水． 9．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系． 海拔高度（千米） 气温 根据表格，回答以下问题： (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是_______； (2)写出海拔高度千米以内，气温与海拔高度的关系式：_______； (3)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为时，求气温是多少？ 【答案】(1) 海拔高度，气温 (2) (3) 当气温为时，海拔高度是8千米；当海拔高度为时，气温是． 【分析】（1）根据题意可得海拔高度千米以内，气温随海拔的升高而降低，即可解答； （2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （3）把代入中，求出；根据海拔高度超过千米，气温几乎不变，求出时的值，进行解答即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是海拔高度，因变量是气温； （2）解：由题意得，海拔高度千米以内，h每增加1千米，气温就下降， 则气温t与海拔高度h的关系式：； （3）解：当时，即， 解得； 海拔高度超过千米，气温几乎不变， 当海拔高度为时，气温与海拔高度为时相同， 将代入，则， 答：当气温为时，海拔高度是8千米；当海拔高度为时，气温是． 10．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→D→C→B→A的方向向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒（）． (1)点Q在上时，用含x的代数式表示的长； (2)当时，直接写出x的值； (3)若的面积为S，求S与x的函数关系式（）； (4)在整个运动过程中，当时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2)秒或8秒 (3) (4)x的值为或 【分析】（1）根据题意直接写出即可； （2）分两种情况讨论，当点Q在上和点Q在上时，分别列式计算即可求解； （3）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可求解； （4）分两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点Q在上时，则； （2）解：当点Q在上时，则， ∴， 由题意得， 解得； 当点Q在上时，则， 由题意得， 解得； （3）解：当点Q在上即时，则， 由题意得； 当点Q在上即时，则， 由题意得； 当点Q在上即时，则， 由题意得； 综上，； （4）解：当点Q在上时，如图， 此时，则，， ∵，， 在中，由勾股定理得， 解得； 当点Q在上时，如图， 此时，则， ∵，，， 由勾股定理得， 解得； 综上，x的值为或． 题型3 求自变量的值或函数值 11．下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据： 海拔/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)在海拔的地方空气含氧量是多少？在海拔的地方空气含氧量是多少？ (3)你估计在海拔的地方空气含氧量是多少？ 【答案】(1) 反映了海拔和空气含氧量两个变量之间的关系，自变量是海拔，因变量是空气含氧量. (2) 海拔处空气含氧量为，海拔处空气含氧量为. (3) 估计海拔处空气含氧量约为，合理即可. 【分析】（1）根据自变量、因变量的定义即可求解； （2）直接读取表格数据回答； （3）根据相邻海拔的含氧量变化规律估算得到结果． 【详解】（1）解：由表格可知，存在两个变化的量：海拔和空气含氧量. 海拔主动发生变化，空气含氧量随海拔的变化而变化， 因此反映了海拔和空气含氧量两个变量之间的关系，自变量是海拔，因变量是空气含氧量； （2）解：读取表格对应数据可得， 在海拔的地方，空气含氧量是， 在海拔的地方，空气含氧量是 （3）解：读取表格可得，海拔处空气含氧量为，海拔处空气含氧量为， 是和的中间值， 取两者平均值估算，得， 因此估计海拔处的空气含氧量约为． 12．阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数最小值为 ，已知，则函数的最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)； (2)当取到最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）根据题意得出，仿照例题求得分母的最小值，进而求得函数的最大值； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为； ∵， ∴ ∴ 令， ∴ ∴当且仅当， ∵， ∴时，函数取到最小值，最小值为； （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时， 故． 13．某科技小组在老师的指导下积极开展科技实践活动．他们在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，再在镜片的后面放一个光屏正对着镜片；不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最小．此时他们测量了镜片与光斑之间的距离，得到如下数据： 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑之间的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 (1)观察表中的数据，你发现了什么？ (2)如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为0.7，那么你估计这副老花镜的度数是多少？ 【答案】(1) 解：∴随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑之间的距离逐渐减小， 二者之间的大致关系是：，即； ∴由表中的数据可得：老花镜的度数越大，镜片与光斑之间的距离越小，且，满足关系. (2)估计这副老花镜的度数约为143度 【分析】（1）观察表格数据，推导出镜片与光斑的距离逐渐减小，二者之间的大致关系是：，即可作答． （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，一副老花镜的镜片与光斑之间的距离为 ∴ ∴这副老花镜的度数大约143度左右． 14．如图是我国某个湖泊最深处的某一截面图，一支潜水队测出了该湖泊水面下任一点A的压强p（单位：）与其距离水面的深度h（单位：m）的几组数据，整理得出下表： 距离水面的深度 10 15 20 25 30 水面下任一点A的压强 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是 ，因变量是 ； (2)请根据已知数据求该湖泊水面的大气压强为多少？ (3)请求出处的压强值． 【答案】(1)距离水面的深度h，水面下任一点A的压强p (2)该湖泊水面的大气压强为 (3) 【分析】（1）结合自变量和因变量的定义进行分析，即可作答． （2）先结合表格数据分析得h每增加，压强增加，再根据当时，代入数值计算，即可作答． （3）由（2）得h每增加，压强增加，再根据当，代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，自变量是距离水面的深度h，因变量是水面下任一点A的压强p． （2）解：由表格可知，， 即h每增加，压强增加， ∴当时，， ∴该湖泊水面的大气压强为． （3）解：由（2）得h每增加，压强增加， ∴当时，， ∴处的压强值为． 15．吉林市松江桥安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．设有根立柱，护栏总长度为米． (1)根据如图，将表格补充完整． 立柱根数（根） 1 2 3 4 5 …… 护栏总长度（米） 0.2 3.4 9.8 …… (2)在这个变化过程中，变量为___________，常量为___________； (3)写出与之间的关系式，并化简； (4)求护栏总长度为61米时立柱的根数． 【答案】(1)，13 (2)立柱根数和护栏总长度；3和0.2 (3) (4)20 【分析】（1）根据图示列出式子求解即可． （2）根据变量、常量的定义即可求解； （3）有x个立柱，则有个立柱间距，据此即可列函数关系式； （4）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：立柱根数是3根时， ， 立柱根数是5根时， ， （2）解：在这个变化过程中，变量为：立柱根数和护栏总长度，常量为：3和0.2 （3）解：由题意得与之间的关系式为： ， 即． （4）当时， ， 解得． 答：护栏总长度为61米时立柱的根数为20． 题型4 函数图象识别 16．如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 【答案】(1)B； C (2)A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快 【分析】根据函数图象给出的信息解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，情境中小明中途有停留，且再出发时速度加快，故所对应的图象是B； 情境中小芳有返回家中停留后再出发，故所对应的图象是C； （2）解：A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快． 17．如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【答案】(1)温度和时间 (2)①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） (3)在时，均适合户外运动． 【分析】本题考查函数的定义与性质，从图象上获取信息，熟练掌握相关知识是关键． （1）观察坐标轴可得出结论； （2）结合函数图象进行判断即可； （3）观察时，对应的的值，结合函数的增减性确定时间范围． 【详解】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 18．在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】(1) (2) (3)乙车的速度应减小，减小的值为km/h 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 对于（1），根据图象可知A，B两地相距100km，乙车先出发行驶到两车相距70km时，用时0.5h，再根据路程，时间，速度的关系求出答案； 对于（2），先求出甲车的速度，再根据相遇后距离为30km，相当于甲，乙共同行驶了100km，即可求出行驶时间； 对于（3），先根据两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为1.75，求出乙车速度，再作差可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，故乙先到目的地， ． ∵相遇后距离为30km， ∴甲，乙共同行驶了100km， ∴甲行驶时间为：； （3）解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75， ∴此时乙车速度应为：100÷1.75＝（km/h）， （km/h）， ∴乙车的速度应减小，减小的值为km/h． 19．如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 【答案】(1)50 (2)1 (3)10，50 (4)0.5小时 【分析】本题主要考查了函数图象和一元一次方程， （1）观察图象可得结论； （2）观察图象可得结论； （3）根据路程除以时间可得答案； （4）设乙出发后经过t小时追上甲，再根据等量关系列出方程，求出解即可． 【详解】（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米． 故答案为：50； （2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发． 故答案为：1； （3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米， 所以段路程中的平均速度是（千米/小时）； 乙的平均速度是（千米/小时）． 故答案为：10，50； （4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得， ， 解得， ∴乙出发后经过0.5小时追上甲． 20．A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查函数函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图中信息可得两地距离，可算出甲距离快递站距离和速度，再利用速度和乘以时间等于路程和可求得； （2）利用路程差除以速度差可求出甲追上乙的时间，即乙行驶的时间，即可解答； （3）分类讨论，即未到快递站，出快递站，和甲追乙差３千米，三种情况，即可解答． 【详解】（1）解：由图中信息可得两地距离为千米； 甲的速度：千米/时， ， 故答案为：；； （2）解：（小时）， （千米）； （3）解：当未到快递站时，； 当出快递站，； 当甲追乙差３千米时，， 综上，的值为或或． 题型5 用描点法画函数图象 21．通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： … 0 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 1 … (1)当_________时，． (2)根据表中数值描点，并画出函数图像． (3)观察画出的图像可知，函数值随的增大而_________． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)减小 【分析】（1）观察列表即可得出答案； （2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可； （3）观察函数图像，即可得出结果． 【详解】（1）解：通过观察表格发现：当时，； （2）如下图： （3）观察图像可知，函数值随的增大而减小． 22．某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究： 速度（） 最大高度（）    (1)根据函数的定义，设_______为，_____为，是的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．结合画出的图象，速度过快或过慢，无人机的最大飞行高度都会_______（填“增高”或“降低”）． 【答案】(1)最大飞行高度，飞行速度 (2)；降低 【分析】（1）根据函数的定义，结合表格数据可得最大飞行高度是随飞行速度的变化而变化，即可求解； （2）先描点，再用平滑曲线连接，进而结合函数图象解答 【详解】（1）解：根据题意和函数的定义可得，最大飞行高度为，飞行速度为，是的函数； （2）解：由图象可知，速度过快或过慢，无人机的最大飞行高度都会降低． 23．根据学习函数的经验，数学社团对函数的图象进行了探究．下面是他们的探究过程，请完成相应的任务． (1)列表如下：直接写出________； x … 0 1 2 3 … y … 0 1 2 1 m … (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中给出的各对数值所对应的点，并画出该函数的图象；    (3)结合函数图象，当时，x的取值范围是________． 【答案】(1) (2)解：函数的图如图所示： (3) 【分析】（1）将代入解析式，即可求解； （2）根据描点法画出函数图象，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， （2）略 （3）解：根据函数图象，当时，x的取值范围是． 24．已知函数． (1)自变量x的取值范围是______； (2)下表中m＝______； x … 0 0.5 1.5 2 3 5 … y … 1 2 4 8 8 m 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，描出补全后的表格中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象能得到什么信息？ 【答案】(1) (2)4 (3)见解析 (4)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．（答案不唯一） 【分析】（1）由分母不为0即可求出； （2）观察图象找到对称轴，两点若关于对称轴对称则其纵坐标相同，求解即可； （3）根据数据描点连线即可画出函数图象； （4）根据图象的特点进行说明即可． 【详解】（1）∵， ∴； （2）观察图表可知，图象对称轴为， ∵ 和也关于对称， ∴此时的纵坐标相同， ∴4； （3）如图所示， （4）当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 25．已知动点以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，与运动时间的关系如图所示，若，请回答下列问题： (1)图中_________，_________，_________． (2)求图中，的值； (3)当点在线段上运动时与的关系式为__________．当点在线段上运动时与的关系式为__________． 【答案】(1)，， (2)， (3)； 【分析】（1）结合图象，根据时间和速度求出线段的长； （2）结合图形，可得为的面积，为点回到点的时间，计算即可； （3）根据点的位置分类讨论，分别用含的式子表示出点到的距离，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知从运动时间为， ， 同理， ； （2）解：，，，， ，， ，； （3）由图知，点在上运动时，， ，即； ∵由图知，点在上运动时，， ，即． 题型6从函数的图象获取信息 26．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)甲距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系用图象______表示；（填“a”或“b”） (2)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______； (3)求甲、乙的速度． 【答案】(1)b (2)甲出发的时间t（秒）；他们距起点的距离s（米） (3)甲的速度为6米/秒，乙的速度为米/秒 【分析】（1）根据当时，s的值进行判断即可； （2）根据自变量和因变量的定义判断即可； （3）根据“速度=路程÷时间”计算即可． 【详解】（1）解：∵甲出发时，乙已经距起点100米， ∴甲距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系用图象b表示． （2）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t（秒），因变量是他们距起点的距离s（米）。 （3）解：甲的速度为（米/秒）， 乙的速度为（米/秒）． 答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为米/秒． 27．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．张强家、文具店、体育场依次在一条直线上．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题： (1)体育场离文具店的距离为________千米；张强从家去体育场用了_________分钟； (2)求张强在文具店停留的时间； (3)求张强从家跑步去体育场的平均速度是每分钟多少米？ 【答案】(1)1；15 (2)20分钟 (3)每分钟米 【分析】（1）用体育场离家的距离减去文具店离家的距离即可得体育场离文具店的距离；由图可直接得出张强从家去体育场所用的时间； （2）结合图象，用离开文具店的时间减去到达文具店的时间即可得张强在文具店停留的时间； （3）将单位换成米，再根据速度路程时间，计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，体育场离文具店的距离为（千米）； 张强从家去体育场用了15分钟； （2）解：张强在文具店停留的时间为：（分钟）； （3）解：（米/分钟）, 答：张强从家跑步去体育场的平均速度是每分钟米． 28．问题：探究函数 的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究． (1)在函数 中，自变量 可以是任意实数，下表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 4 … … 0 1 2 3 4 2 1 0 … ①表格中a的值为_____； ②若为该函数图象上的点，则 _____． (2)在如图的平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3) 结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为_____． ②写出该函数的一条性质：_____． 【答案】(1)①3；② (2) (3)①4；②该函数图象关于 轴对称（答案不唯一） 【分析】（1）①代入x的值即可求出a；②把 代入求值，即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：①把 代入 ，得 . ②把 代入 ，得 ， 解得 或10， （2）解：略； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数 的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 29．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题． (1)①由图2，当时，_______；摩天轮转一圈需要______； ②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是_________（填“增大”或“减小”）； (2)求出摩天轮的半径为_______； 【答案】(1)①54，6；②减小 (2) 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）根据离地面最短距离与距地面最大距离即可求解． 【详解】（1）由图象得，①由图2，当时，；摩天轮转一圈需要； 故答案为：54，6； ②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是减小； 故答案为：减小； （2）由图可知，点离地面的高度的最大值为70，最小值为5 ∴半径为； 30．如图，在矩形中，，，点是 边上一动点，连接，过点作的垂线与， 分别相交于点，．设 ，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为． 小明根据学习函数的经验对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了，与的几组对应值： ①确定表格中的值为____________（结果精确到）； ②在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象； (2)结合函数图象，回答下列问题： ①当点与点 ，不重合，且时，____________（结果精确到）． ②当时，线段长的取值范围是____________（结果精确到）． 【答案】(1)①；② (2)①；②， 【分析】（1）①根据，即，进而证明，得出，即； ②根据描点连线的方法画函数图象； （2）①根据函数图象找到时，的值，即可求解； ②根据函数图象可得当时，，，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，即， ∵ ∴， ∴, ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即； ②略 （2）①根据函数图象可得：当时，；即时，； ②如图，当时，，； 即当时，线段长的取值范围：， 题型7 动点问题的函数图象 31．如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．设点运动的时间为秒，与矩形重叠部分的图形面积为． (1)当点与点重合时，________． (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2)． 【分析】（1）求得，据此计算即可求解； （2）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 点与点重合时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在上时，此时， ∴； 当点在上且点未到点时，此时， ∴； 当点在上且点超过点时，此时， ，设交于点， ； 综上，． 32．如图，在正方形中，为的中点．以为原点，、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是4．点从点出发，沿向点运动，同时点从点出发．沿向点运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，、两点同时停止运动，设点运动的时间为秒．的面积为． (1)求关于的函数关系式，以及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出一条函数的性质； (3)已知的图象如图所示，请直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)解：图象如下： 函数性质：当或时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小； (3)或． 【分析】（1）分两种情况：时，时，根据面积公式可求得y关于x的函数关系式,同时得到x的取值范围即可； （2）按照自变量的取值范围画出函数图象，再写出一条性质即可； （3）观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵E为的中点， ∴ 由题意得：， 分两种情况： ①时，如图， 由题意得：，， ∴， ； ②时，如图 由题意得：，， ∴，，， ， ∴ ， ∴S关于x的函数关系式为 ； （2）解：略； （3）解：观察图象得， 当时，的取值范围为或． 33．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象． (1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____； (2)求a，b的值； (3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围； (4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，28 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）根据平行线间距离处处相等，同底等高，可知P在上时，面积不变，由图3可得出动点Q到达点A所用时间； （2）由图2得出P到B所用时间，由图3得出点Q从点C到点A所用时间，根据时间、路程、速度之间关系即可求解； （3）根据题意得出两个动点到达各拐点所用时间，结合图2，图3即可求解； （4）分情况讨论：和两种情况． 【详解】（1）解：长方形中，，， ， 当动点P在线段上运动时，，保持不变； 由图3知，动点Q到达点A时，x的值为28； （2）解：由图2得，点P到达点B所用时间为：， ， 解得； 由图3得，点Q从点C到点A所用时间为： ， ， 解得； （3）解：由题意知，当时，点P到达点B，时，点P到达点C，时，点P到达点D， 当时，点Q到达点C，时，点Q到达点B，时，点Q到达点A， 结合图2，3，可得： 当时，，， 令，得：， 解得； 当时，，， 满足， 综上可得，x的取值范围为或； （4）解：设动点P，Q走过的路程为，， 当时， ，， ； 当时， ， ， 当时，， 解得（舍去）， 当时，， 解得， 综上可得，当或时，P、Q两个动点所走过的路程比为． 34．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据题意和函数图象解答即可求解； （）当时，利用三角形面积公式解答即可求解； （）分两种情况：①点在上；②点在上，利用三角形面积公式构建方程解答即可求解； （4）延长至，使，连接交于，连接，此时△APD的周长最小，证出是等腰直角三角形，得出，由得到，再根据三角形外角性质解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：当时，动点在线段上，如图所示： ∴， 即与之间的关系式为； （3）解：分两种情况： ①当点在上时，如图所示，则， 解得； ②当点在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得； 综上所述，当时，的值为或； （4）解：点使得的周长最小，理由如下： 延长至，使，连接交于，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，看懂函数图象是解题的关键． 35．如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； (3)当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 【答案】(1)，， (2)， (3)当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的 【分析】本题主要考查了动点及相关的函数图象分析，运用函数图象解决动点问题． （1）根据，结合图象，得出当时，，由图象可知，8秒时，点P在B处，结合a的值求得b值，最后根据c表示的是运动总时间，求出c值； （2）由点P在6秒后开始变速，变速后速度为每秒，可求得动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式；当点P运动到中点时，可知点P离开点A的路程为，将代入y与x的关系式，即可求得x的值； （3）先求出矩形的面积以及的面积，再按照点P不同的运动阶段分类讨论，求出符合条件的值，具体分为三个阶段进行讨论，分别是：点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动，其中：点P在上运动需要再分变速前和变速后两个阶段分别讨论． 【详解】（1）解：当P在边上时，由图得知：， 当时， ， ∴； 当，即动点P运动时间为6秒时，， ， ∴，； （2）解：由题意得：， P到达中点时，， 又∵， ∴， 即； （3）解：∵在矩形中，，， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴． ①P在段（）， 当时，P从A向B匀速运动，速度为1单位/秒， 此时， 若， 则，即，不符合题意，舍去； 当时，P的速度为2单位/秒， ， 若， 则，即，符合题意； ②P在段， 此时，不符合题意． ③P在CD段， 此时， 即， 若， 则，即，符合题意； 综上： 或． 当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的． 题型8 函数的三种表示方法 36．为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数的解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为； （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 37．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【详解】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 38．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 39．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中． 输入x … 0 1 … 输出y … m 1 7 … (1)______； (2)表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______； (3)当时，利用正确的数据求出函数的表达式． 【答案】(1) (2)1，2 (3) 【分析】（1）将代入对应函数关系式，求出对应y的值即可； （2）根据一次函数的特点，即当自变量均匀变化时，因变量也均匀变化判断即可； （3）利用待定系数法解答即可． 本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的特点及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为： （2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为 故答案为：1， （3）将，和，分别代入， 得， 解得， 当时，函数的表达为 40．综合与探究 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽，再次注入……．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（t/s） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 水位高度（h/cm） 0 3 6 3 0 … 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并根据水位和时间的关系在上图中描出反映水位高度随时间的变化而变化的部分大致图象； (2)结合表格或图象，当______时，杯中水位第一次最高，是______； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______；当时，水位高度是______； (4)请你探究写出第二次水位最高时t的值为______；请你简要描述水位高度随时间的变化情况； (5)开始注水时，小明有事离开，那么他五分钟后回来观察水位应该是______．他接着观察到水位是上升还是下降？ 【答案】(1)如表 时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 … 水位高度（h/cm） 3 6 3 0 … 如图 (2)4，6 (3)，3 (4)12，如：在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降 (5)6，下降 【分析】本题主要考查了坐标系中描点、函数的表示、函数图象、图象规律等知识点，观察表格并从中获取正确信息是解题的关键． （1）将表中数据完善后，描点连线即可解答； （2）由表格即可求解； （3）由表格即可求解； （4）观察表格和图象即可解答； （5）由，然后，可知此时水位在最高处，据此即可解答． 【详解】（1）解：完善数据后，在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点如下： 时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 … 水位高度（h/cm） 3 6 3 0 … 根据表格作图如下： （2）解：由表格可知： 当时，杯中水位最高，最高水位为． 故答案为：4，6； （3）解：由表格可知： 自动排水前，每经过1秒钟，水位上升，即杯中水位上升的速度为； 由函数图象可得：当时，开始注水，经过2分钟，即当时，水位高度是______ 故答案为：，3． （4）解：由函数图象可知：从开始注水，当时，水位最高，然后开始放水；当时，水位为0，然后开始注水；当时，第二次水位最高．则在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降． 故答案为：12，在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降． （5）解：， ， 所以此时水位在最高处，即，紧接着水位下降． 故答案为：6，下降． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $