第04讲 函数与一次函数（暑假复习培优讲义，6题型技巧5重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第04讲 函数与一次函数（暑假复习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 函数基础概念 2 知识点02 一次函数、正比例函数定义 2 知识点03 一次函数图象与性质（核心必考） 3 知识点04 直线位置关系与图形变换（培优专属） 3 知识点05 一次函数与方程、不等式 4 知识点06 坐标轴围成面积公式 5 剖题型·讲技巧 题型1 待定系数法求解析式 5 题型2 函数值大小比较 7 题型3 一次函数平移 8 题型4 函数不等式数形结合 9 题型5求图形面积 11 题型6含参直线恒过定点 13 释疑惑·重难拓展 题型1 含参一次函数分类讨论 14 题型2 一次函数几何综合压轴 14 题型3 分段函数实际应用（解答题必考） 15 题型4 动态动点问题 17 题型5 定值类压轴题型 19 知中考·真题探源 22 练好题·提分培优 24 课标要点 基础必备要求（全员过关，期中期末必考） 1.结合实际情境辨析变量、常量，理解函数概念，掌握解析式法、列表法、图象法三种函数表示方式； 2.精准区分正比例函数、一次函数定义，熟记解析式形式，熟练使用待定系数法求解函数解析式； 3.会绘制一次函数图象，依托系数符号，判断函数增减性、图象经过象限，掌握坐标轴交点求解方法； 4.依托数形结合思想，打通一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关联； 5.建立一次函数数学模型，解决行程、计费、利润、方案选择常规实际应用题。 培优拔高要求（中考高频压轴，九年级升学重点） 1.掌握一次函数平移、对称、平行、垂直变换规律，会对含参一次函数做分类讨论； 2.结合平面直角坐标系，攻克直线围成图形面积、线段最值、动点存在性几何综合题型； 3.读懂分段函数图象，构建分段函数模型，解决变速行程、阶梯收费类复杂应用题； 4.活用数形结合，攻克含参不等式解集、直线恒定点、线段定值、面积定值中考压轴考点。 知识点01 函数基础概念 1.变量与常量：变化的量为变量，固定不变的量为常量； 2.函数定义：在一个变化过程中，对于自变量每一个确定值，因变量有唯一确定值与之对应，则称是的函数； 3.自变量取值原则：分母不为0、偶次根式被开方数≥0、实际问题符合生活意义。 练习 1．（2026·云南昭通·模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 知识点02 一次函数、正比例函数定义 1.一次函数：形如（为常数，），自变量最高次数为1； 2.正比例函数：特殊的一次函数，形如（），满足，图象必过坐标原点； 判定易错三要素：①自变量次数必须为1；②一次项系数；③式子不含等次幂、分式、根式形式。 练习 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 一次函数图象与性质（核心必考） 图象：一条直线，作图方法：两点作图法（取坐标轴交点连线） 系数符号 函数增减性 随增大而增大 一、二、三象限 一、三象限 一、三、四象限 随增大而减小 一、二、四象限 二、四象限 二、三、四象限 核心交点公式： 与轴交点：，为纵截距； 与轴交点：，横坐标为对应方程解。 练习 3．（2026·陕西西安·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．它的图象与轴交于点 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 知识点04 直线位置关系与图形变换（培优专属） 1.设直线 平行： 相交：，交点坐标为方程组的解 垂直（中考拓展）：（坐标轴垂线除外） 2.平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 例：左移m个单位：；上移n个单位： 3.对称变换 关于x轴对称： 关于y轴对称： 关于原点对称： 练习 4．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数向左平移个单位再向上平移个单位后过原点，则为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 6．（2026·江苏南京·一模）将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 知识点05 一次函数与方程、不等式 1.方程的解 = 直线与x轴交点横坐标； 2.不等式解集 = 直线位于x轴上方部分对应x取值； 3.不等式解集 = 直线位于x轴下方部分对应x取值。 练习 7．（25-26八年级下·北京·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 知识点06 坐标轴围成面积公式 直线与坐标轴围成直角三角形面积： 练习 8．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型1 待定系数法求解析式 方法技巧 解题模板：设→代→解→写 1.设：普通一次函数设，过原点直接设正比例； 2.代：代入两组点坐标，构建二元一次方程组； 3.解：求解数值； 4.写：带回解析式，标注。 培优速算：两点斜率公式，快速求斜率 【典例1】（2026·浙江杭州·二模）已知是的一次函数，其图象经过点，． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，求的取值范围． 【变式1-1】（2026·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 【变式1-2】（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 【变式1-3】（2026·广西河池·二模）如图，直线：与轴相交于点，与轴相交于点．直线与轴相交于点，直线轴，交直线于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求直线的解析式． 题型2 函数值大小比较 方法技巧 ：x越大，y越大；：x越大，y越小； 解题捷径：无需代入计算，直接用增减性秒杀比较大小题型。 【典例2】（2026·陕西西安·三模）已知点和点在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·新疆喀什·二模）若点，在一次函数（n是常数）的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-2】（2026·甘肃定西·三模）已知点都在直线上，则________．（填“”“”或“”） 【变式2-3】（2026·浙江·模拟预测）已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，该函数图像经过点，请判断是否经过点． (2)若，，点，在该函数图像上，且，判断，的大小关系． 题型3 一次函数平移 方法技巧 核心禁忌：左右平移只改变自变量x，必须给x加括号；上下平移直接改变常数项。 【典例3】（2026·陕西宝鸡·二模）将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江苏无锡·二模）我们知道，函数的图象可以由函数的图象向下平移一个单位长度得到．函数的图象可以由函数的图象经过下列哪个平移得到（     ） A．向右平移一个单位长度 B．向左平移一个单位长度 C．向上平移一个单位长度 D．向下平移一个单位长度 【变式3-2】（2026·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，将直线：向左平移1个单位长度，得到直线：，则__________． 【变式3-3】（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2) 在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 题型4 函数不等式数形结合 方法技巧 1.求出两直线交点横坐标，划分取值区间； 2.看图定上下：直线位置越高，函数值越大； 3.分层写出对应x取值范围即可。 【典例4】（2026·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·广西崇左·二模）如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集为______． 【变式4-3】（2026·浙江金华·二模）如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求与的关系式． (2)当时，都有，求的取值范围． 题型5 求图形面积 方法技巧 1.基础图形：直接取横纵截距绝对值，套用面积公式； 2.参数反求面积：面积带绝对值，答案大概率双解； 3.不规则图形：固定割补法，拆分三角形、梯形求解。 【典例5】（2026·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与直线相交于点．    (1)求的面积； (2)点为轴上一点，求取最小值． 【变式5-1】（2026·河北石家庄·一模）如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． (1)求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； (2)求的面积． 【变式5-2】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【变式5-3】（2023·湖南长沙·一模）已知两直线与相交于点P，与y轴交于点A，与x轴交于点B（如图）．    (1)求P点坐标． (2)求两直线与坐标轴所围成的四边形的面积． 题型6 含参直线恒过定点 方法技巧 解题方法：分离参数法，整理解析式为参数×代数式+常数形式，令参数系数为0，直接解定点坐标。 示例：，定点 【典例6-1】（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，有直线，则该直线过定点（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）无论k为何值，直线必过定点_______． 【变式6-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【变式6-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为_____； （2）在点的移动过程中，的取值范围为_____． 题型1 含参一次函数分类讨论 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）函数是一次函数，则m的值为______． 3．（23-24八年级下·上海·期中）当______时，函数是一次函数． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 题型2 一次函数几何综合压轴 5．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． (1)求这个一次函数的解析式； (2)连接，直接写出的面积：________． (3)对于的所有的值，一次函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出m的取值范围． 6．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，已知直线与直线相交于点．直线与 轴交于． (1)分别求出直线的解析式； (2)当时，直接写出 的取值范围； (3)点 在 轴上，当时，求点 的坐标． 题型3 分段函数实际应用（解答题必考） 7．（2026·陕西西安·模拟预测）陕西作为中国北方的水果大省，凭借独特的地理环境和气候条件，水果产业规模与品质均居全国前列．李叔叔去某水果批发店购买标价为10元/千克的陕西苹果，该店销售这批苹果的优惠条件是：一次性购买8千克以内（含8千克），按标价销售；一次性购买8千克以上，8千克以内的部分，仍按标价销售，超过8千克的部分按标价的7折销售．设李叔叔购买该苹果x千克，购买苹果的总费用为y元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当李叔叔购买该苹果35千克时，购买苹果的总费用为多少元？ 8．（25-26八年级下·河南南阳·期末）已知A，B两地相距，甲由A地出发匀速骑自行车前往B地，其与B地之间的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：）之间的关系如图所示．乙由A地出发以的速度匀速驾车前往B地． (1)甲的速度为_________； (2)求乙与B地之间的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：）之间的函数关系式． 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在一条公路上依次有A，B，C三点，甲、乙两车同时从B地出发，甲车匀速驶向A地，乙车匀速驶向C地，到达C地后停留后，加速驶向A地，乙车比甲车早到达A地．甲、乙两车距B地的路程y（单位：）与所用时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，C两地相距______； (2)求图象中线段的函数解析式； (3)直接写出甲车出发后经过多长时间与乙车相距． 10．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求“全速模式”下乙的速度； (2)求图中m的值以及线段所在直线和线段所在直线的解析式； (3)两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？ 题型4 动态动点问题 11．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于D点，，． (1)求直线的解析式； (2)连接，点Q为直线上一动点，若有，求点Q的坐标； (3)点M为直线上一点，点N为y轴上一点，若M，N，C三点构成以为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标． 12．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 13．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 15．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5 定值类压轴题型 16．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为、点坐标为 (1)求直线的表达式； (2)如图1，若点为线段的中点，分别是线段上的动点，，连接，以为邻边作平行四边形．当其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，求点的坐标． (3)如图2，若点的坐标为，点的坐标为连接，连接交轴于点，过作，交y轴于点，试探究的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D，与直线交于点E， (1)若，点E的横坐标为4． ①求b的值和点D的坐标； ②已知P是坐标平面内一点，连接，，，所得的，的面积分别为，，设；如图2，若点P在直线上运动，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； (3) 如图3，若，将直线沿x轴向左平移2个单位后，与x轴，y轴分别交于A，B两点，O关于A的对称点为F；G为中点，P为直线上的一点，且，求P的横坐标（用含a的代数式表示）． 一、单选题 1．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 二、填空题 2．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 三、解答题 3．（2026·四川成都·中考真题）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 4．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 5．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． (1)分别求出A，两地各收到多少吨物资； (2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 6．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (1)在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； (2)在边上作一点Q，使和的面积相等． 一、单选题 1．（2026·上海静安·三模）将直线 的图像绕原点旋转一周，不会经过的点是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点B，P是x轴上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的正方形，按如图所示的规律摆放在函数的图象上，在函数的图象上，，点在轴上，点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“→”的方向运动，当点运动到2026秒时，点所在位置的坐标是__________． 4．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 三、解答题 5．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金700元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于6500元，并将全校450人载至目的地．该校有哪几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外．又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数图象．根据图象信息，求在乙行驶过程中 为何值时两车相距20千米． 6．（25-26八年级下·重庆万州·期中）直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求D点坐标； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标以及的面积； (2)若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 函数与一次函数（暑假复习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 函数基础概念 2 知识点02 一次函数、正比例函数定义 2 知识点03 一次函数图象与性质（核心必考） 3 知识点04 直线位置关系与图形变换（培优专属） 4 知识点05 一次函数与方程、不等式 6 知识点06 坐标轴围成面积公式 7 剖题型·讲技巧 题型1 待定系数法求解析式 8 题型2 函数值大小比较 12 题型3 一次函数平移 14 题型4 函数不等式数形结合 16 题型5求图形面积 18 题型6含参直线恒过定点 23 释疑惑·重难拓展 题型1 含参一次函数分类讨论 27 题型2 一次函数几何综合压轴 28 题型3 分段函数实际应用（解答题必考） 30 题型4 动态动点问题 35 题型5 定值类压轴题型 51 知中考·真题探源 58 练好题·提分培优 66 课标要点 基础必备要求（全员过关，期中期末必考） 1.结合实际情境辨析变量、常量，理解函数概念，掌握解析式法、列表法、图象法三种函数表示方式； 2.精准区分正比例函数、一次函数定义，熟记解析式形式，熟练使用待定系数法求解函数解析式； 3.会绘制一次函数图象，依托系数符号，判断函数增减性、图象经过象限，掌握坐标轴交点求解方法； 4.依托数形结合思想，打通一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关联； 5.建立一次函数数学模型，解决行程、计费、利润、方案选择常规实际应用题。 培优拔高要求（中考高频压轴，九年级升学重点） 1.掌握一次函数平移、对称、平行、垂直变换规律，会对含参一次函数做分类讨论； 2.结合平面直角坐标系，攻克直线围成图形面积、线段最值、动点存在性几何综合题型； 3.读懂分段函数图象，构建分段函数模型，解决变速行程、阶梯收费类复杂应用题； 4.活用数形结合，攻克含参不等式解集、直线恒定点、线段定值、面积定值中考压轴考点。 知识点01 函数基础概念 1.变量与常量：变化的量为变量，固定不变的量为常量； 2.函数定义：在一个变化过程中，对于自变量每一个确定值，因变量有唯一确定值与之对应，则称是的函数； 3.自变量取值原则：分母不为0、偶次根式被开方数≥0、实际问题符合生活意义。 练习 1．（2026·云南昭通·模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：自变量x应满足，解得， ∴自变量x的取值范围是． 知识点02 一次函数、正比例函数定义 1.一次函数：形如（为常数，），自变量最高次数为1； 2.正比例函数：特殊的一次函数，形如（），满足，图象必过坐标原点； 判定易错三要素：①自变量次数必须为1；②一次项系数；③式子不含等次幂、分式、根式形式。 练习 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 一次函数需满足， 对于A，若，则，不是一次函数，故A不符合题意； 对于B，若，则为二次函数，故B不符合题意； 对于C，，，，符合（、为常数，且）的形式，一定是一次函数，故C符合题意； 对于D，，为反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 知识点03 一次函数图象与性质（核心必考） 图象：一条直线，作图方法：两点作图法（取坐标轴交点连线） 系数符号 函数增减性 随增大而增大 一、二、三象限 一、三象限 一、三、四象限 随增大而减小 一、二、四象限 二、四象限 二、三、四象限 核心交点公式： 与轴交点：，为纵截距； 与轴交点：，横坐标为对应方程解。 练习 3．（2026·陕西西安·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．它的图象与轴交于点 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】D 【详解】解：A. ∵一次函数中，，∴随的增大而增大，故A错误； B.令，则，解得，∴它的图象与轴交于点，故B错误； C.当时，，即，故C错误； D．∵，，∴它的图象经过第一、二、三象限，故D正确．故选：D． 知识点04 直线位置关系与图形变换（培优专属） 1.设直线 平行： 相交：，交点坐标为方程组的解 垂直（中考拓展）：（坐标轴垂线除外） 2.平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 例：左移m个单位：；上移n个单位： 3.对称变换 关于x轴对称： 关于y轴对称： 关于原点对称： 练习 4．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数向左平移个单位再向上平移个单位后过原点，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数平移遵循“左加右减，上加下减”，原函数为，向左平移个单位，再向上平移个单位后，可得新解析式为，整理得， ∵平移后图象过原点，将代入解析式得：， ∴． 5．（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【详解】解：当时，则有，解得：，当时，则有， ∴直线与x轴、y轴的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点坐标分别为， ∵直线与直线关于直线对称， ∴把点代入得： ， 解得：． 6．（2026·江苏南京·一模）将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：画出函数的图象，如下所示： 当时，则有，解得：；当时，则有， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 过点O作于点C， ∴， 由将一次函数的图像绕原点旋转一周，可知：只要满足旋转后直线经过的点到原点的距离大于或等于即可； ∴A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 知识点05 一次函数与方程、不等式 1.方程的解 = 直线与x轴交点横坐标； 2.不等式解集 = 直线位于x轴上方部分对应x取值； 3.不等式解集 = 直线位于x轴下方部分对应x取值。 练习 7．（25-26八年级下·北京·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 知识点06 坐标轴围成面积公式 直线与坐标轴围成直角三角形面积： 练习 8．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 题型1 待定系数法求解析式 方法技巧 解题模板：设→代→解→写 1.设：普通一次函数设，过原点直接设正比例； 2.代：代入两组点坐标，构建二元一次方程组； 3.解：求解数值； 4.写：带回解析式，标注。 培优速算：两点斜率公式，快速求斜率 【典例1】（2026·浙江杭州·二模）已知是的一次函数，其图象经过点，． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵是的一次函数， ∴设该函数的表达式为， ∵其图象经过点，， ∴，解得， ∴这个函数的表达式为． （2）解：当时，， 当时，， ∵函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 【变式1-1】（2026·浙江台州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， 所以，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：点关于y轴的对称点坐标为， 设直线关于轴对称的直线解析式为， 把和代入上式得，解得：， ∴． 【变式1-2】（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴把，代入中，得： ， 解得：， ∴这个函数的解析式为； （2）由（1）得一次函数为， ∵当时，恒成立， 整理右边不等式，得， ∵的值随x的增大而增大， ∴当时，， 要使对所有成立， ∴， 整理左边不等式，得， ∵的值随x的增大而减小， ∴当时，， 要使对所有成立， ∴， 综上所述，． 【变式1-3】（2026·广西河池·二模）如图，直线：与轴相交于点，与轴相交于点．直线与轴相交于点，直线轴，交直线于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求直线的解析式． 【详解】（1）解：已知直线：与轴相交于点，与轴相交于点． 令，得， 故点的坐标为． 令，即，得， 故点的坐标为． （2）解：过点作轴于点， 轴且交直线于点， ， 四边形是矩形， 点的坐标为， 点的纵坐标为3， ， ， 在和中，有， ， ， 点，点， ，故点， 设直线的解析式为（），把点，点代入，得： ， 解得， 直线的解析式为． 题型2 函数值大小比较 方法技巧 ：x越大，y越大；：x越大，y越小； 解题捷径：无需代入计算，直接用增减性秒杀比较大小题型。 【典例2】（2026·陕西西安·三模）已知点和点在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入解析式得 ， 解得； ∵点在一次函数的图象上， ∴将代入解析式得， 解得， ∵， ∴． 【变式2-1】（2026·新疆喀什·二模）若点，在一次函数（n是常数）的图象上，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象从左到右呈下降趋势，即y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数（n是常数）的图象上，且， ∴． 【变式2-2】（2026·甘肃定西·三模）已知点都在直线上，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：对于直线，一次项系数，根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大， 已知两点横坐标分别为和， ， ． 【变式2-3】（2026·浙江·模拟预测）已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，该函数图像经过点，请判断是否经过点． (2)若，，点，在该函数图像上，且，判断，的大小关系． 【详解】（1）解：把，点代入， 得，解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， 所以该函数图像经过点； （2）∵当时，， 当时，， ∴该函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴． 题型3 一次函数平移 方法技巧 核心禁忌：左右平移只改变自变量x，必须给x加括号；上下平移直接改变常数项。 【典例3】（2026·陕西宝鸡·二模）将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数图象沿轴向右平移3个单位长度，符合“左加右减”的平移规律，原函数为， ∴平移后的函数解析式为， 化简得， 将代入解析式，得， ∴平移后的图象经过点． 【变式3-1】（2026·江苏无锡·二模）我们知道，函数的图象可以由函数的图象向下平移一个单位长度得到．函数的图象可以由函数的图象经过下列哪个平移得到（     ） A．向右平移一个单位长度 B．向左平移一个单位长度 C．向上平移一个单位长度 D．向下平移一个单位长度 【答案】B 【详解】解：函数平移后为 ，符合向左平移1个单位长度的结果． 【变式3-2】（2026·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，将直线：向左平移1个单位长度，得到直线：，则__________． 【答案】 【详解】解：将直线：向左平移个单位长度，得到直线的解析式为， 又：， ，解得． 【变式3-3】（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； （2）解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 题型4 函数不等式数形结合 方法技巧 1.求出两直线交点横坐标，划分取值区间； 2.看图定上下：直线位置越高，函数值越大； 3.分层写出对应x取值范围即可。 【典例4】（2026·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数 的图象， ∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数 的图象与轴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的下方， ∴关于的不等式的解集为． 【变式4-1】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图像可知，交点右侧，即时，直线在直线上方，符合不等式的条件，所以不等式的解集就是． 【变式4-2】（2026·广西崇左·二模）如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 【变式4-3】（2026·浙江金华·二模）如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求与的关系式． (2)当时，都有，求的取值范围． 【详解】（1）解：时，，， ，即； （2）解：，解得， 即一次函数与轴相交于， 结合图像的解为， ，解得， ，解得． 题型5 求图形面积 方法技巧 1.基础图形：直接取横纵截距绝对值，套用面积公式； 2.参数反求面积：面积带绝对值，答案大概率双解； 3.不规则图形：固定割补法，拆分三角形、梯形求解。 【典例5】（2026·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与直线相交于点．    (1)求的面积； (2)点为轴上一点，求取最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：联立方程组， 解得， ， 在函数中，当时，， ， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时的点就是取最小值时的位置，最小值为， ，， ， ， 取最小值为．    【变式5-1】（2026·河北石家庄·一模）如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． (1)求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； (2)求的面积． 【详解】(1)，点不在直线上，理由 设直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得 直线的表达式为， 当时，， 点不在直线上； （2）解：设与轴交于点，则点，点， ， 由题意得， 解得， 点， ． 【变式5-2】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的表达式为， 联立， 解得， ∴点， 对于直线， 令，则， ∴点 令，则， ∴点， ， 对于直线， 令，则， ∴点， ∴， ； （2）点在线段AB上，点，点，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴的值随t的增大而减小， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 【变式5-3】（2023·湖南长沙·一模）已知两直线与相交于点P，与y轴交于点A，与x轴交于点B（如图）．    (1)求P点坐标． (2)求两直线与坐标轴所围成的四边形的面积． 【详解】（1）点P为两直线交点， 联立得， 解得， ； （2）将代入得， ， 将代入得， ， 将代入得， ， ， ， ． 题型6 含参直线恒过定点 方法技巧 解题方法：分离参数法，整理解析式为参数×代数式+常数形式，令参数系数为0，直接解定点坐标。 示例：，定点 【典例6-1】（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，有直线，则该直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴直线必经过定点， ∴直线恒过一点，则该点的坐标是， 故选：A． 【典例6-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）无论k为何值，直线必过定点_______． 【答案】 【详解】解：直线， 当时，， ∴直线必过定点， 故答案为：． 【变式6-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线始终过定点， 当时，， 即直线始终过点， ∴， 将和代入直线中，有： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 故选：B． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，有两点、和一条直线， （1）直线恒过的定点坐标是___________； （2）若直线与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______________． 【答案】 ； 【详解】（1）解：对于直线，当时，无论取何值，， ∴直线恒过的定点坐标是； 故答案为：． （2）解：当直线经过点时，将，代入， 得，解得； 当直线经过点时，将，代入， 得，解得； ∵直线恒过定点， ∴结合线段的位置可知，当直线的系数满足时，直线与线段有且只有一个交点． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为_____； （2）在点的移动过程中，的取值范围为_____． 【答案】 或或 【详解】（1）解：将直线变形为， 当，即时，的取值不影响的值，此时， 定点． （2）直线与轴交于点， 令，解得， ， ①当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ②当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ③当直线与直线平行时，此时，与直线无交点， 故， 结合图形分析， 当时，与线段（及右侧延伸）相交； 当时，与线段（及左侧延伸）相交； 当时，与线段相交． 的取值范围为或或． 题型1 含参一次函数分类讨论 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即， ∴． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 3．（23-24八年级下·上海·期中）当______时，函数是一次函数． 【答案】 【详解】解：∵函数是一次函数 ∴且， 解方程，得或． 解不等式 ，得． 因此． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 题型2 一次函数几何综合压轴 5．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且与x轴交于点C． (1)求这个一次函数的解析式； (2)连接，直接写出的面积：________． (3)对于的所有的值，一次函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴这个一次函数的解析式为． （2）解：对于一次函数， 令，则，解得， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵对于的所有的值，一次函数的值与函数的值之和都大于0， ∴不等式的解集为 ∵由得， ∴且 ∴． 6．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，已知直线与直线相交于点．直线与 轴交于． (1)分别求出直线的解析式； (2)当时，直接写出 的取值范围； (3)点 在 轴上，当时，求点 的坐标． 【详解】（1）解：把点代入，得． 解得． 直线的解析式为． 把点代入，得 解得 直线的解析式为． （2）解：由图象意，得． （3）解：（3）设． ， ． 点， ． 或． 点 的坐标为或． 题型3 分段函数实际应用（解答题必考） 7．（2026·陕西西安·模拟预测）陕西作为中国北方的水果大省，凭借独特的地理环境和气候条件，水果产业规模与品质均居全国前列．李叔叔去某水果批发店购买标价为10元/千克的陕西苹果，该店销售这批苹果的优惠条件是：一次性购买8千克以内（含8千克），按标价销售；一次性购买8千克以上，8千克以内的部分，仍按标价销售，超过8千克的部分按标价的7折销售．设李叔叔购买该苹果x千克，购买苹果的总费用为y元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当李叔叔购买该苹果35千克时，购买苹果的总费用为多少元？ 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴y与x之间的函数表达式为． （2）解：当时，， 答：购买苹果的总费用为269元． 8．（25-26八年级下·河南南阳·期末）已知A，B两地相距，甲由A地出发匀速骑自行车前往B地，其与B地之间的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：）之间的关系如图所示．乙由A地出发以的速度匀速驾车前往B地． (1)甲的速度为_________； (2)求乙与B地之间的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：）之间的函数关系式． 【详解】（1）解：甲的速度为； （2）解：由题意知，乙的行驶时间为：， ， 当时，乙与B地的距离， 当时，设， 将，代入，得：， 解得， 当时， 综上可知，， 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在一条公路上依次有A，B，C三点，甲、乙两车同时从B地出发，甲车匀速驶向A地，乙车匀速驶向C地，到达C地后停留后，加速驶向A地，乙车比甲车早到达A地．甲、乙两车距B地的路程y（单位：）与所用时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，C两地相距______； (2)求图象中线段的函数解析式； (3)直接写出甲车出发后经过多长时间与乙车相距． 【详解】（1）解：由图象得，甲车行驶的时间为， 则甲车行驶的速度为， ∵乙车匀速驶向C地，到达C地后停留后，共用时， 如图，甲车的射线经过点， 此时甲车行驶了，即， ∴A，C两地相距； （2）解：乙车行驶的速度为， 乙车从C回到B地所用时间为， ∵， ∴点的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段的解析式为； （3）解：甲车速度，解析式为； 乙车分阶段：①：解析式为，由，解得（舍去负值）； ②：两车反向行驶，超过，此情况不存在； ③：， 由，解得或； ③：， 由，解得（舍去）或； 综上，甲车出发后经过或或或与乙车相距． 10．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求“全速模式”下乙的速度； (2)求图中m的值以及线段所在直线和线段所在直线的解析式； (3)两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？ 【详解】（1）解：∵“基础模式”下乙机器人运动1分钟的距离为20米， ∴“基础模式”下乙机器人的速度为20米/分钟， ∵“全速模式”下乙机器人的速度是“基础模式”下乙机器人的速度的3倍， ∴“全速模式”下乙的速度为（米/分钟）； （2）解：∵乙机器人5分钟运动的距离为（米）， ∴； 设线段所在直线的解析式为，将代入得，解得， ∴线段所在直线的解析式为； 由（1）知， ∴点， 设线段所在直线的解析式为，将点，点代入， 得， 解得， ∴线段所在直线的解析式为； （3）解：设线段所在直线的解析式为，将代入得， ∴线段所在直线的解析式为， 当时，由题意得，解得（舍）， 当时，由题意得，解得， 当时，由题意得， 解得或， 综上，两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米． 题型4 动态动点问题 11．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于D点，，． (1)求直线的解析式； (2)连接，点Q为直线上一动点，若有，求点Q的坐标； (3)点M为直线上一点，点N为y轴上一点，若M，N，C三点构成以为直角边的等腰直角三角形，求点M的坐标． 【详解】（1）解：对， 令，得， ； 令，得， ． ，在轴负半轴， 的横坐标为，即，． ，在轴正半轴， ． 设， 代入、： ， 解得． 的解析式为． （2）解：， ． ， 所以点D不可能在线段上， 设， 如图，当点Q在x轴下方， ， 解得， ， ． 如图，当点Q在x轴上方， ， 解得， ， ； 故点的坐标为或． （3）解：设，，；且以为直角边， 因此直角顶点要么为，要么为，分两类讨论： 情况1：直角顶点为，即且， 如图，过作轴于， ， ， ， 又， ， ，． ①在轴右侧（） ，， 代入得： ， 解得， ， ，符合条件． ②在轴左侧（）， ， ，，代入得： ， 解得， ， ， 此时，验证得是直角在的等腰直角三角形，符合条件． 情况2：直角顶点为，即且， 过作轴于，过作于， 同理可得， ，，， ， ①，，解得， ， ，验证符合条件． ②，，解得， ， ，验证符合条件． 综上，的所有坐标为 、、、． 12．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴交点：当，得，故， 当时，得，故， （2）解：∵，且， ∴，故， 设直线的解析式为：， ∴，解得， 直线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵P在线段上， ∴，解得：， 故点P坐标为． （3）解：如图，作，使，，，则，连接交轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：点坐标为， ∵过、的直线解析式为， ∴直线与轴点坐标为，即：坐标为， ∴， 在平面坐标系中取点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵过点过、的直线解析式为， ∴直线与轴交点坐标为，即：坐标为， 综上所述：点坐标为或． 13．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． （2）解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． （3）①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 14．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 15．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵x轴上点纵坐标为， ∴代入，得， 解得， 故； ∵y轴上点横坐标为， ∴代入得， ∴． 故． （2）解：过点O作，交于点H，作于点I，设（）， 则， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边与的边上的高相等， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或． 由（1）、（2）知，直线解析式为，，． 设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时， 向上平移，使点B落在y轴上的点，点D落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 向下平移，使点D落在y轴上的点，点B落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 当对角线时，取的中点P，过P作直线交y轴于点，交直线于点，使，连接， 则四边形是平行四边形， 由中点坐标公式得， 解得， ∴． 综上，存在满足条件的点，坐标为或． 题型5 定值类压轴题型 16．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为、点坐标为 (1)求直线的表达式； (2)如图1，若点为线段的中点，分别是线段上的动点，，连接，以为邻边作平行四边形．当其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，求点的坐标． (3)如图2，若点的坐标为，点的坐标为连接，连接交轴于点，过作，交y轴于点，试探究的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：∵点为线段的中点，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴的中点坐标为， ∵以为邻边作平行四边形， ∴的中点坐标也为， ∴点坐标为， ∵其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，分两种情况： ①当轴将平行四边形的面积分成的两部分时，如图：的面积与四边形的面积比为，即的面积为平行四边形的面积的， ∴的面积是的面积的， ∴，即点为的中点， ∵点在轴上，故点的横坐标为0， ∴，解得， ∴点坐标为，即； ②当轴将平行四边形的面积分成的两部分时，如图，则的中点在轴上， ∴，解得， ∴点坐标为，即； 综上：点坐标为或； （3）解：的面积是定值，为； 设直线的解析式为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴当时，， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴的面积，为定值. 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D，与直线交于点E， (1)若，点E的横坐标为4． ①求b的值和点D的坐标； ②已知P是坐标平面内一点，连接，，，所得的，的面积分别为，，设；如图2，若点P在直线上运动，且位于四边形内，则k是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由； (2)如图3，若，将直线沿x轴向左平移2个单位后，与x轴，y轴分别交于A，B两点，O关于A的对称点为F；G为中点，P为直线上的一点，且，求P的横坐标（用含a的代数式表示）． 【详解】（1）解：①根据题意，直线表达式为， 当时，， ∴， 代入到，得， 解得， ∴直线表达式为， 当时，， 解得， ∴点D的坐标为； ②如图2，过点作轴交直线于点，交直线于点， ∵点P在直线上运动， ∴设点P的坐标为， ∴，， ∴，， 由①得，，， ∴， 对于直线， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵将直线沿x轴向左平移2个单位， ∴平移后的直线为， 当时，；当时，，解得， ∴，， ∵O关于A的对称点为F， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴点的坐标为，即； ①当P在直线上方时，如图，作交于点，作轴于点，作于点， 则， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 联立， 则， 解得， ∴P的横坐标为； ②当P在直线下方时，如图，作交于点，作轴于点，作于点， 则， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， 同理可得直线的表达式为， 联立， 则， 解得， ∴P的横坐标为； 综上所述，P的横坐标为或． 一、单选题 1．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 【答案】A 【详解】解：由图象可知，当时，，，即， A正确； 当时，由图象可知， B错误； 当时，；当时，； ，， ， C、D错误． 二、填空题 2．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 【答案】 2 或 【详解】解：①∵ 设 ∴ 当在第一象限时， 即 ∴点在直线上， 同理当在第二象限时， ∴，即点在上， 当在第三象限时，，即点在上， 当在第四象限时，，即点在上， ∴所有N点与坐标轴的交点，，， ∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为； ②∵已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上， ∴点在为半径的弧上运动， ∵点Q满足，同①可得点组成的图形是对角线为，且平行于坐标轴的正方形， ∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为 设，A是直线（）上一点且位于第一象限， ∴， ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或 三、解答题 3．（2026·四川成都·中考真题）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 【详解】（1）解：设的函数表达式分别为，， 将点，代入可得，， 解得， 即的函数表达式为：， 将代入可得，，解得， 即的函数表达式为：； （2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，甲到达景点4， 乙走近路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，乙到达景点4， ∵， ∴乙能比甲先到达景点4． 4．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组： ， 解得：， 答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元． （2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个． ， 解得（为整数）． 设总费用为，则． 因，则随增大而增大，故当时，最小． （元） 此时内画瓶数量为，最少费用为元． 答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元． 5．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． (1)分别求出A，两地各收到多少吨物资； (2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【详解】（1）解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资． 由题意得： ，解得：． 答：A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． （2）解：设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨， 由题意得： ， ∴W随的增大而增大， 当，总费用最少，元． ，， 答：从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 6．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (1)在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； (2)在边上作一点Q，使和的面积相等． 【详解】（1）解：∵， ∴在直线上， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得； ∴直线的解析式为 当时， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ 设到的距离为，到的距离为 ∵和的面积相等 ∴ ∴ ∴在的角平分线上，作的角平分线交于点，即为所求． 一、单选题 1．（2026·上海静安·三模）将直线 的图像绕原点旋转一周，不会经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：令，则；令，则， ∴一次函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，如图： 过点O作于点C， ∵， ∴， ∴， ∴直线上所有点到原点的最短距离为， 将一次函数的图象绕原点旋转一周所得区域内个点到原点的距离大于等于， ∴； ； ； ； ∴不会经过的点是． 2．（25-26八年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点B，P是x轴上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，连接，． ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 点的坐标为． 联立 解得 ∴点的坐标为． 的周长为，为定值，， ， ∴当点在点处时，的周长最小． 设直线的解析式为． ∵点的坐标为，点的坐标为， 解得 ∴直线的解析式为． 令，即，解得， 点的坐标为． 综上所述，当的周长最小时，点的坐标为．故选A． 二、填空题 3．（2026·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的正方形，按如图所示的规律摆放在函数的图象上，在函数的图象上，，点在轴上，点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“→”的方向运动，当点运动到2026秒时，点所在位置的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：， 如图，连接，作轴交x轴于点B， 由题意可知，、是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵，轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即在一条直线上， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵， ∴， 即当点运动到2026秒时，点所在位置的坐标是． 4．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 【答案】或 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在点左侧时， ∵，， ∴， 过点作，交直线于点，过点作轴，过点作于，过点作于，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴； 当点在点的右侧时， 作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 三、解答题 5．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金700元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于6500元，并将全校450人载至目的地．该校有哪几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外．又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间 （小时）之间的函数图象．根据图象信息，求在乙行驶过程中 为何值时两车相距20千米． 【详解】（1）解：设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，根据题意得： ， 解得：， ∴每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人； （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，由题意得： ， 解得：， ∵a是正整数， ∴a可取5，6， ∴共有2种方案：方案一：A型客车5辆，B型客车5辆．方案二：A型客车6辆，B型客车4辆； 方案一的费用：（元）， 方案二的费用：（元）， ∵， ∴方案二租车最省钱； （3）解：设 ， 把代入得： ， 解得 ， ∴ ， 设 ， 把，代入得： ， 解得， ∴ ， ∵相距20千米， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴当或时，两车相距20千米． 6．（25-26八年级下·重庆万州·期中）直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求D点坐标； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，点得，， 解得， ∴直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； （2）解：如图， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，， ∴； 当点M在点E下方时，，此时点M位于y轴负半轴； ∴； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：如图，当点在y轴左边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 如图，当点在y轴右边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得，直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 综上所述，点G的坐标为或． 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标以及的面积； (2)若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点 当时，，当时， ∴，， ∴ ∴的面积为 （2）①过点作于点， ，， ．又， ， ，． 设，则点的坐标为， 点在直线上， ， ， 点的坐标为，点的坐标为． ②存在点的坐标为，或． 理由如下： 设点的坐标为． 分两种情况考虑，如图2所示： 当为边时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， 或， 或， 点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为． 综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $