第08讲 二次函数与一元二次方程（暑假预习培优讲义，5题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第08讲 二次函数与一元二次方程 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数与一元二次方程关系 2 知识点02 抛物线与 x 轴的交点 3 知识点03 一元二次方程的近似根 4 知识点04 二次函数与一元二次不等式的关系 4 剖题型·讲技巧 题型1 抛物线和x 轴的公共点坐标 5 题型2 抛物线和x 轴的公共点个数 6 题型3 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 8 题型4 二次函数与不等式 10 题型5 求一元二次方程根的近似值 12 释疑惑·重难拓展 题型1 二次函数的图象与字母系数之间的关系 14 题型2 求抛物线与x轴两交点距离（培优计算） 15 题型3 二次函数图象与图形的交点问题 17 知中考·真题探源 19 练好题·提分培优 22 课标要点 1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系：抛物线与x轴交点横坐标，就是方程的实数根，建立函数、方程、不等式三者转化关系。 2. 掌握判别式的几何意义，能通过判断抛物线与x轴交点个数，实现双向互推（由图像判根、由根的情况求参数）。 3. 会用图像夹值法求解一元二次方程近似实数根，体会数形结合核心数学思想。 4. 能借助抛物线图像，快速求解一元二次不等式、的解集。 5. 结合韦达定理（根与系数关系），求解抛物线两交点距离、参数取值范围、选择题多结论判断等培优题型。 6. 熟练解决抛物线与直线/线段交点、含参分类讨论、函数几何综合等中考压轴题型。 知识点01 二次函数与一元二次方程关系 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： (1) 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 函数与方程的根本关系 对于二次函数：令，即可转化为一元二次方程。 1. 方程的实数根 抛物线与x轴交点的横坐标； 2. 抛物线与x轴交点 一元二次方程的实数根； 3. 抛物线与y轴交点：令x=0，直接求得交点为。 判别式三重对应关系 判别式 一元二次方程根的情况 抛物线与x轴交点个数 两个不相等实数根 2个交点 两个相等实数根 1个交点（顶点落在x轴上，图像与x轴相切） 无实数根 无交点 练习 1．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 知识点02 抛物线与 x 轴的交点 (1) 已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题； (2) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解； (3) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解. 交点距离公式（培优必考） 若抛物线与x轴交于两点，则两交点之间的线段长度为： 推导原理：，结合韦达定理、化简可得，无需解方程即可快速求值。 练习 2．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 知识点03 一元二次方程的近似根 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 近似根求解（夹值法） 若自变量、对应的函数值异号，则m、n之间一定存在方程的一个实数根；不断缩小取值区间，即可得到一元二次方程的近似实数根。 练习 3．（25-26九年级下·全国·课堂例题）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 知识点04 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 图像法解一元二次不等式（数形核心） 1. ：取抛物线x轴上方图像对应的x取值范围； 2. ：取抛物线x轴下方图像对应的x取值范围； 核心口诀：开口向上，两边大中间小；开口向下，中间大两边小。 练习 4．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 题型1 抛物线和x 轴的公共点坐标 方法技巧 1. 求x轴交点：令，解对应一元二次方程，所得根即为交点横坐标； 2. 求y轴交点：令，直接计算得纵坐标，交点为； 3. 若，抛物线与x轴无交点，仅存在与y轴的交点。 【典例1-1】（2025九年级上·山东·专题练习）二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例1-2】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为______． 【变式1-1】（25-26九年级下·全国·课后作业）抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是___________ 【变式1-3】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是___________． 题型2 抛物线和x 轴的公共点个数 方法技巧 1. 已知解析式判交点：直接计算，对照判别式对应关系判断即可； 2. 已知交点个数求参数范围：2个交点；1个交点；无交点； 避坑要点：题干仅说“函数”时，需分类讨论；题干明确“二次函数”，必须保证二次项系数，极易遗漏。 【典例2-1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【典例2-2】（2024·广东湛江·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线 ． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与抛物线总有两个交点． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·单元复习）抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-2】（2026·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)过点作与轴平行的直线交抛物线于，两点（点在点的左边），且满足，求的值． (3)已知，，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围． 【变式2-3】（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（ ）经过点、两点，与轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出P点坐标：若不存在，说明理由； (3)将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，若平移后的抛物线与直线 相切（只有一个交点），求n的值． 题型3 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 【典例3】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 【变式3-1】（25-26九年级下·河南信阳·开学考试）如图，某城区公园有半径为的圆形水池（即），水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． (1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； (2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ (3)若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则此时水管的高度为多少？ 【变式3-2】（2025九年级下·甘肃·专题练习）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F），求k的取值范围． 【变式3-3】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图1所示某农场使用管道式喷灌机来灌溉叶菜类作物农田，喷灌机喷出抛物线形水流．图2是单股水流所在平面，垂直于管道的示意图．喷灌机的喷头离地面竖直高度为，以过喷头垂直于地面的直线为轴，交地面于点（坐标原点），过点垂直于管道的直线为轴，建立平面直角坐标系．其抛物线形水流的表达式为（单位：） (1)用配方法将该二次函数表达式化为的形式，求出水流的最大高度及最高点与喷头的水平距离； (2)请根据该抛物线与轴的交点坐标说明喷灌机的最大灌溉水平距离； (3)若管道距该农田远侧边为，叶菜类作物生长所需的最低灌溉高度为．判断此喷灌机喷出的水流能否使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，并说明理由． 题型4 二次函数与不等式 方法技巧 1. 定开口：根据的正负判断抛物线开口方向（向上，向下）； 2. 标零点：标出抛物线与x轴的两个交点横坐标； 3. 定区间：根据不等号方向，选取图像对应区间，写出不等式解集。 口诀速记：上大于0，下小于0；开口向上，外大内小；开口向下，内大外小。 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当且时，则 C．当时，则 D．当时，则 17．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 18．（24-25九年级下·全国·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 19．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 题型5 求一元二次方程根的近似值 方法技巧 1. 列表取值，找到两组自变量x，对应函数值一正一负，锁定根的区间； 2. 不断缩小区间范围，逼近函数零点； 3. 取最终区间中点，即为一元二次方程的近似实数根。 【典例5】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是______．（精确到） … … … … 【变式5-2】利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 题型1 二次函数的图象与字母系数之间的关系 方法技巧 1. 看开口方向，看y轴交点，遵循“左同右异”原则； 2. ，直接对应抛物线与x轴交点个数； 3. 特殊值代入：得；得；得； 4. 结合方程根的分布、不等式解集，综合判断结论对错。 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于，两点，，且抛物线对称轴为直线，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）已知抛物线（、、为常数，且）经过点，，其对称轴在轴左侧，下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①②③④．其中含所有正确结论的选项是（）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型2 求抛物线与x轴两交点距离（培优计算） 方法技巧 万能公式 解题技巧：无需逐一求解方程根，直接代入解析式中的值计算，一步得出线段长度，大幅简化计算、节省解题时间。 6．（25-26九年级下·全国·单元复习）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 8．已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是______．（请用含字母m的代数式表示） 9．（2025九年级·河北·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为 (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围． 10．（25-26九年级下·全国·单元复习）定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 题型3 二次函数图象与图形的交点问题 方法技巧 抛物线与直线交点问题（联立核心模型） 通用解题方法 联立二次函数与直线解析式，消去y，得到一元二次方程，利用判别式判断交点情况： 1. ：图像有2个交点；：图像相切，1个交点；：图像无交点； 2. 求具体交点坐标：求解联立后的一元二次方程，将根回代解析式，求出对应y值即可。 含参——抛物线与线段有交点（中考压轴难点） 双重判断解题技巧 1. 基础前提：联立解析式，保证，确认图像存在交点； 2. 范围限制：交点横坐标必须在线段对应的$x$取值区间内； 3. 分类讨论：重点分析端点相交、顶点在线段上、区间内相交三种核心情况，避免漏解。 11．（2026·广东潮州·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 12．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 13．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 14．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，作直线． (1)求点B和点C的坐标； (2)如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E．设点D的横坐标为m．请探究如下问题： ①当点E是线段的中点时，求线段的长； ②当四边形是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结交y轴于点P，若平分，求P点的坐标． 一、单选题 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 三、解答题 5．（2026·云南·中考真题）已知，．某二次函数表示的图象为抛物线，抛物线经过，两点．函数表示的图象为抛物线．轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上． (1)求抛物线与轴的公共点的坐标； (2)比较与的大小． 6．（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 7．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 一、单选题 1．（2026·甘肃酒泉·三模）观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（   ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 2．（25-26九年级下·全国·单元复习）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 5．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 三、解答题 7．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 8．（2026九年级下·山东聊城·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标． 9．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 10．（2026·广东·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程 （暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 二次函数与一元二次方程关系 2 知识点02 抛物线与 x 轴的交点 3 知识点03 一元二次方程的近似根 4 知识点04 二次函数与一元二次不等式的关系 5 剖题型·讲技巧 题型1 抛物线和x 轴的公共点坐标 6 题型2 抛物线和x 轴的公共点个数 11 题型3 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 16 题型4 二次函数与不等式 20 题型5 求一元二次方程根的近似值 24 释疑惑·重难拓展 题型1 二次函数的图象与字母系数之间的关系 28 题型2 求抛物线与x轴两交点距离（培优计算） 32 题型3 二次函数图象与图形的交点问题 39 知中考·真题探源 49 练好题·提分培优 58 课标要点 1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系：抛物线与x轴交点横坐标，就是方程的实数根，建立函数、方程、不等式三者转化关系。 2. 掌握判别式的几何意义，能通过判断抛物线与x轴交点个数，实现双向互推（由图像判根、由根的情况求参数）。 3. 会用图像夹值法求解一元二次方程近似实数根，体会数形结合核心数学思想。 4. 能借助抛物线图像，快速求解一元二次不等式、的解集。 5. 结合韦达定理（根与系数关系），求解抛物线两交点距离、参数取值范围、选择题多结论判断等培优题型。 6. 熟练解决抛物线与直线/线段交点、含参分类讨论、函数几何综合等中考压轴题型。 知识点01 二次函数与一元二次方程关系 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： (1) 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 函数与方程的根本关系 对于二次函数：令，即可转化为一元二次方程。 1. 方程的实数根 抛物线与x轴交点的横坐标； 2. 抛物线与x轴交点 一元二次方程的实数根； 3. 抛物线与y轴交点：令x=0，直接求得交点为。 判别式三重对应关系 判别式 一元二次方程根的情况 抛物线与x轴交点个数 两个不相等实数根 2个交点 两个相等实数根 1个交点（顶点落在x轴上，图像与x轴相切） 无实数根 无交点 练习 1．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 知识点02 抛物线与 x 轴的交点 (1) 已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题； (2) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解； (3) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解. 交点距离公式（培优必考） 若抛物线与x轴交于两点，则两交点之间的线段长度为： 推导原理：，结合韦达定理、化简可得，无需解方程即可快速求值。 练习 2．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 知识点03 一元二次方程的近似根 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 近似根求解（夹值法） 若自变量、对应的函数值异号，则m、n之间一定存在方程的一个实数根；不断缩小取值区间，即可得到一元二次方程的近似实数根。 练习 3．（25-26九年级下·全国·课堂例题）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 知识点04 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 图像法解一元二次不等式（数形核心） 1. ：取抛物线x轴上方图像对应的x取值范围； 2. ：取抛物线x轴下方图像对应的x取值范围； 核心口诀：开口向上，两边大中间小；开口向下，中间大两边小。 练习 4．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 题型1 抛物线和x 轴的公共点坐标 方法技巧 1. 求x轴交点：令，解对应一元二次方程，所得根即为交点横坐标； 2. 求y轴交点：令，直接计算得纵坐标，交点为； 3. 若，抛物线与x轴无交点，仅存在与y轴的交点。 【典例1-1】（2025九年级上·山东·专题练习）二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 【典例1-2】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：． 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：对称轴为直线， 当， 当，， 解得：， ∴， 在轴上取点，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线关于直线对称，且点是抛物线与轴交点， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值，即为， 此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线表达式为， 代入点，得， 解得：， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点E坐标为． 【变式1-1】（25-26九年级下·全国·课后作业）抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是___________ 【答案】 【详解】解：当时，，解得，， ∴ ∵将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，…， ∴，， … ∴，， 即，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为： 【变式1-3】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 题型2 抛物线和x 轴的公共点个数 方法技巧 1. 已知解析式判交点：直接计算，对照判别式对应关系判断即可； 2. 已知交点个数求参数范围：2个交点；1个交点；无交点； 避坑要点：题干仅说“函数”时，需分类讨论；题干明确“二次函数”，必须保证二次项系数，极易遗漏。 【典例2-1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∵， ∴方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线与坐标轴有1个交点， 故选：B． 【典例2-2】（2024·广东湛江·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线 ． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与抛物线总有两个交点． 【详解】（1）解： 抛物线的对称轴为直线 ． ，则， 抛物线的解析式为； （2）)证明：由， 得， 即， ，且． ． 直线与抛物线总有两个交点. 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·单元复习）抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 【变式2-2】（2026·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)过点作与轴平行的直线交抛物线于，两点（点在点的左边），且满足，求的值． (3)已知，，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入得： ，解得 因此，二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为直线， 设点的坐标为，当点在点的右侧时，如图，由， 则点的坐标为， 由对称性可得：，，代入二次函数求得， 当点在点的左侧时，如图，由，则点的坐标为， 由对称性可得：，，代入二次函数求得， 综上所述，的值为或； （3）解：把代入，得，解得或， 此时抛物线上纵坐标为2的两点间的距离为， ，， ， 线段与抛物线只有一个交点， 或， 解得或， 当线段与抛物线只有一个交点时，的取值范围为或． 【变式2-3】（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（ ）经过点、两点，与轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出P点坐标：若不存在，说明理由； (3)将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，若平移后的抛物线与直线 相切（只有一个交点），求n的值． 【详解】（1）解：∵抛物线（ ）经过点、两点， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线关于y轴对称， ∴． （2）解：存在，或； 理由：假设存在点，设其横坐标为t，连接，过P点作x轴于点D， ∵， ∴， ∴， 如图，当P点在x轴上方时， ∴， 代入中得， 解得或（与A点重合，舍去）， ∴， ∴． 如图，当P点在x轴下方时， ∴， 代入中得， 解得或（与A点重合，舍去）， ∴， ∴． （3）解：将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，平移后的抛物线解析式为， 令， ∴， ∵平移后的抛物线与直线 相切， ∴， ∴． 题型3 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 【典例3】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 【详解】（1）解： 配方得， 顶点 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； （2）当时，， 解得，（不符合题意，故舍去）， ，即， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m． 【变式3-1】（25-26九年级下·河南信阳·开学考试）如图，某城区公园有半径为的圆形水池（即），水池边安有排水槽，在正中心O处修喷水装置，喷出的水流呈抛物线状，当水管高度在处时，距离水平距离处喷出的水流达到最大高度为． (1)求抛物线解析式，并求水流落地点B到点O的距离（即线段的长）； (2)距离水平距离多远的E点处，放置高为的景观射灯使水流刚好到点F？ (3)若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则此时水管的高度为多少？ 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，即设抛物线的解析式为， ∵， ∴， 把代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 令，则， 解得（根据题意，负值舍去）， ∴点的坐标为， ∴水流落地点B到点O的距离为． （2）解：根据题意令，可得， 解得，（根据题意，负值舍去） ∴点的坐标为，即， ∴点E应该与的距离为． （3）解：根据题意，设新的抛物线解析式为， ∵水池半径为，O在正中心处， ∴中心点O与水池边的距离为， 则水流落地点的坐标为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∴，即水管的高度为． 【变式3-2】（2025九年级下·甘肃·专题练习）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F），求k的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，可得抛物线顶点坐标， ， 可设抛物线解析为：， ，解得：， 故抛物线解析式为：； （2）解：根据题意，抛物线解析式为：， 令,则， 解得：(舍去)， 运动员落水点与点的距离为米； （3）解：根据题意，抛物线解析式为：， 将点代入可得：,即， 若跳水运动员在区域内(含点入水， 当时，，即，解得：， 当时，，即，解得：， ． 【变式3-3】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图1所示某农场使用管道式喷灌机来灌溉叶菜类作物农田，喷灌机喷出抛物线形水流．图2是单股水流所在平面，垂直于管道的示意图．喷灌机的喷头离地面竖直高度为，以过喷头垂直于地面的直线为轴，交地面于点（坐标原点），过点垂直于管道的直线为轴，建立平面直角坐标系．其抛物线形水流的表达式为（单位：） (1)用配方法将该二次函数表达式化为的形式，求出水流的最大高度及最高点与喷头的水平距离； (2)请根据该抛物线与轴的交点坐标说明喷灌机的最大灌溉水平距离； (3)若管道距该农田远侧边为，叶菜类作物生长所需的最低灌溉高度为．判断此喷灌机喷出的水流能否使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，并说明理由． 【详解】（1）解：， 即， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流的最大高度为，最高点与喷头的水平距离为； （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴该抛物线与轴的交点坐标为， ∴该喷灌机的最大灌溉水平距离为； （3）解：喷灌机的水流能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度，理由如下： 当时，， ∴喷灌机的水流能使这块农田的所有叶菜类作物达到最低灌溉高度． 题型4 二次函数与不等式 方法技巧 1. 定开口：根据的正负判断抛物线开口方向（向上，向下）； 2. 标零点：标出抛物线与x轴的两个交点横坐标； 3. 定区间：根据不等号方向，选取图像对应区间，写出不等式解集。 口诀速记：上大于0，下小于0；开口向上，外大内小；开口向下，内大外小。 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当且时，则 C．当时，则 D．当时，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点）及函数值的变化规律．熟练掌握二次函数的开口方向与增减性是解题的关键． 由，得出，结合可判断A；由，得出，结合可判断B；根据二次函数的增减性可判断C和D． 【详解】对于选项A：当时，∵，∴，若，则．∵且，∴，解得或，故不一定成立，A错误． 对于选项B：当时，∵，∴，若，则．∵且，∴，解得，故B正确． 对于选项C：∵，∴抛物线开口向下，对称轴是直线，当时，两点在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴，故C错误． 对于选项D：当时，两点在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴，故D错误． 故选B． 17．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 18．（24-25九年级下·全国·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 19．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式，我们构造函数，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为和，结合图象易得不等式的解集为或，同时易知函数与x轴交点的横坐标和3为方程的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： (1)不等式的解集为 ； (2)对任意实数b，关于x的一元二次方程恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即，然后令，看成关于的二次函数，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：解不等式，我们构造函数， 作出它的图象如图1所示，可知它与x轴的两个交点分别为和， 结合图象可知不等式的解集为； （2）解：∵对于任意实数，关于的方程恒有两个不等的实数根， ∴方程恒有两个不等实数根对任意的恒成立． ∴对任意的实数恒成立． 令，则有，即． 令作出其函数图象如图2所示， 当时，实数的取值范围为． 题型5 求一元二次方程根的近似值 方法技巧 1. 列表取值，找到两组自变量x，对应函数值一正一负，锁定根的区间； 2. 不断缩小区间范围，逼近函数零点； 3. 取最终区间中点，即为一元二次方程的近似实数根。 【典例5】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 【变式5-1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）根据下表信息，估计一元二次方程（）的一个解是______．（精确到） … … … … 【答案】 【详解】解：由表格可知，， 由的图象与性质可知，， ∴精确到，的解为， 故答案为：． 【变式5-2】利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 【详解】（1）解：画出的图象如下： 由图象可知，两条图象的交点为和， ∴方程组的解为，； （2）解：画出图象如图： 由图可知，直线和抛物线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【详解】（1）解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； （2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型1 二次函数的图象与字母系数之间的关系 方法技巧 1. 看开口方向，看y轴交点，遵循“左同右异”原则； 2. ，直接对应抛物线与x轴交点个数； 3. 特殊值代入：得；得；得； 4. 结合方程根的分布、不等式解集，综合判断结论对错。 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于，两点，，且抛物线对称轴为直线，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 对称轴为直线， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 抛物线与轴交于、，且 ， ∴ 判别式，故选项 B 错误． 由根与系数关系，，故选项 D 错误． ∵， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴ 当 时，， ∴ ，，，则 ，故选项 A 错误． ∵ 对称轴 ，且 ， ∴ 当 时，，故选项 C 正确． 故选： C． 2．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）已知抛物线（、、为常数，且）经过点，，其对称轴在轴左侧，下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将点，代入，得， ， 解得，， ∵抛物线对称轴在轴左侧， ∴，即， 当时，，即，这与的前提矛盾； 当时，，即， ∴， ∴，即， 对于A， ∵，，， ∴，故A正确； 对于B， ∵， ∴，故B 正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ， ∵，， ∴，故D正确． 故选：C． 3．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 4．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①②③④．其中含所有正确结论的选项是（）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】由对称轴得，代入得，即． 结论①：，因抛物线开口向下，故，或者当时，观察二次函数图像位于轴上方，所以，故①正确； 结论②：抛物线与轴有两个交点，故，即成立，故②正确； 结论③：轴交点，即，解得，故③错误； 结论④：，，因，故，，且，即，故④正确． 综上，正确结论是①②④． 故选：B． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：∵函数图象开口向上，对称轴为，与轴的交点在正半轴上， ∴，，， ∴，，故①错误； ∴，故②正确； 由图象可知：函数图象与轴有两个交点，则，故③正确； 当时，由图象知， 根据函数的对称性可知，当和关于对称轴直线对称， ∴当时，，即，故④正确； 故选：D． 题型2 求抛物线与x轴两交点距离（培优计算） 方法技巧 万能公式 解题技巧：无需逐一求解方程根，直接代入解析式中的值计算，一步得出线段长度，大幅简化计算、节省解题时间。 6．（25-26九年级下·全国·单元复习）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 7．（25-26九年级下·全国·单元复习）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 8．已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是______．（请用含字母m的代数式表示） 【答案】 【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1， 所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C， 所以B，C两点关于对称轴对称， 因为点，且点B在点C的左侧， 所以， 故答案为： 9．（2025九年级·河北·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为 (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解得 该抛物线的解析式为； （2）解：由知，， 点C的坐标为， 当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称， 点， ，点C到PB的距离为1， ， 的面积为1； （3）解：过点B作轴交抛物线于点E，如图所示： 此时点E与点B关于对称轴直线对称，， ①当点P在点B和点C之间时，即时， ，， ， ， 解得不合题意； ②当点P在点C和点E之间时，即时， ，， 符合题意， ； ③当点P在点E下方时，即时，， ， ， ， 或， 解得或或， ， ； 综上所述，m的取值范围为或 10．（25-26九年级下·全国·单元复习）定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 【详解】（1）证明：联立， 消去y整理得，， 又，即， ，解得， 方程组只有一组解， 二次函数（且）与（且）只有一个交点， 互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． （2）解：依题意作图，如图1：过点A作轴于点D， 当时，，故； 当时，，故； 由（1）知二次函数与它的“交叉函数”的“交叉点”A的坐标为， ，，， 是以为底边的等腰直角三角形， ， 又， 点D为的中点， ，即，， 点D为的中点， ，， 联立，解得或， 这两个函数的解析式为和． （3）解：不妨设二次函数与x轴交于点M，N（点N在点M的右边）， 二次函数与x轴交于点P，Q（点Q在点P的右边）， 则关于x的方程有两根，， 由求根公式可得， ， 同理可求得， 由题知，， ， 两边平方整理得，， 又， ，，， 两函数图象的交点坐标为， 点P在之间，点N在之间，如图2所示， 由，可知点在抛物线的对称轴上，且， ，， ，是方程的两根，由根与系数的关系可知， ，， ， 整理得， 又， ， 由得， 两抛物线解析式为和， 易求得，，，， 当时，， 一次函数图象过点， 如图3，结合图象可知，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点， 则一次函数图象过点或一次函数图象与抛物线只有一个交点， 当一次函数图象过点时，， ． 当一次函数图象与抛物线只有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 整理得， ， 解得，． 综上可知，的值为或． 题型3 二次函数图象与图形的交点问题 方法技巧 抛物线与直线交点问题（联立核心模型） 通用解题方法 联立二次函数与直线解析式，消去y，得到一元二次方程，利用判别式判断交点情况： 1. ：图像有2个交点；：图像相切，1个交点；：图像无交点； 2. 求具体交点坐标：求解联立后的一元二次方程，将根回代解析式，求出对应y值即可。 含参——抛物线与线段有交点（中考压轴难点） 双重判断解题技巧 1. 基础前提：联立解析式，保证，确认图像存在交点； 2. 范围限制：交点横坐标必须在线段对应的$x$取值区间内； 3. 分类讨论：重点分析端点相交、顶点在线段上、区间内相交三种核心情况，避免漏解。 11．（2026·广东潮州·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【答案】 【详解】解：对于，当时，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 12．如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取得最大值时，求线段的长； (3)若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 13．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 【详解】（1）解：当时， 则， ∴， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知， 若， ∴， ∴点E在一三象限的角平分线上 ∴， ∴点E到x轴的距离等于点E到y轴的距离， 即直线在一次函数上， ∵是抛物线上一动点， ∴， 又∵在一次函数上， ∴， ∴ 解得：． （3）解：①过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵点和点到直线距离之和不超过， ∴， ∴，即， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴直线的一次系数为， 故设直线的解析为， 把代入， 则， ∴， ∴直线的解析为， 把代入，得， ∴点， 又∵点， ∴， 则，解得 或， ∵， ∴，或； ②根据题意可知四边形为矩形或者正方形， ∵，点，点， ∴，， 根据题意可知当时，四边形为正方形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 则，解得，或， ∵点在对称轴右侧的抛物线上， ∴， ∴； 设线段与直线交于点I，线段与直线交于点K，根据题意可知当时，四边形为矩形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 同理可得，点，点，点， ∵直线的解析式为， ∴点，点， 则，解得，或， ∵， ∴， 综上所述，当或时，四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半． 14．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，作直线． (1)求点B和点C的坐标； (2)如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E．设点D的横坐标为m．请探究如下问题： ①当点E是线段的中点时，求线段的长； ②当四边形是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结交y轴于点P，若平分，求P点的坐标． 【详解】（1）解：令，， 解得， 点B在点A的右侧， ， 当时， ； （2）解：①，， 设直线解析式为：， 将，代入，得； ， 解得， ， ， 由题意可设， 过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E， ， 点E是线段的中点， ， ， 将代入， ∴， 解得， ， ， ； ②根据平行四边形的性质，， 只需要， 由①知，， ，四边形是平行四边形， 解得； ③，， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， 根据角平分线定理，得到， 设，则， ， 解得， 一、单选题 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 二、填空题 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 三、解答题 5．（2026·云南·中考真题）已知，．某二次函数表示的图象为抛物线，抛物线经过，两点．函数表示的图象为抛物线．轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上． (1)求抛物线与轴的公共点的坐标； (2)比较与的大小． 【详解】（1）解：由题意，当时，解得， ∴抛物线与轴的公共点的坐标为，； （2）解：由（1）知：抛物线与轴的公共点的坐标为，； ∵抛物线经过，两点，轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上， ∴或， ①当时，整理得，解得， 将代入得： ∵， ∴，即. ② 当时，整理得， 解得， ∴，两边除以得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上：当时，；当时，. 6．（2026·福建·中考真题）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又， 垂直平分， ． 7．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（），记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R． ①若，矩形R的垂直高度，则矩形R的水平宽度p的取值范围是_______； ②若矩形R的水平宽度，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_______； ③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标． 【详解】（1）解：将点和分别代入，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴它的顶点坐标为； （2）①解：根据题意知点， 当时，， ∴， 当点N在点M上方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， ∴点N的纵坐标为2，即，此时，矩形宽度的最小值为； 当点N在点M下方的抛物线上时， ∵矩形R的垂直高度， ∴， 当时，，解得(舍去)或， ∴，此时，矩形宽度的最大值为． 综上，矩形R的水平宽度p的取值范围是 ； ②解：根据题意知，矩形R的垂直高度h取最小值时，点关于抛物线对称轴直线对称， ∵矩形R的水平宽度， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴矩形R的垂直高度h的取值范围是； ③解：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时，， ∴(舍去)； 第二种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第三种情况：当，即时，， ∴或(舍去)， 当时，， ∴； 第四种情况：当时，， ∴(舍去)； 综上，点M的坐标为或． 一、单选题 1．（2026·甘肃酒泉·三模）观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（   ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】C 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 2．（25-26九年级下·全国·单元复习）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据表格可得方程的一个解的范围在， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴方程正数解的分布范围是， 故选：B． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 二、填空题 5．（2026·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 三、解答题 7．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ， ∵点在直线上， 再将代入直线方程， ∴， 整理得； （2）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线解析式为， ∵是抛物线上的点， ∴， ∵是直线上的点， ∴， ∵， ∴， 整理得， 当时，，要使，则必须恒成立， 即， 分两种情况讨论： 当时：， ∴，不等式恒成立，满足条件， 当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小， 当时，最大， 即， 解得， ∴， 综上，的取值范围是且． 8．（2026九年级下·山东聊城·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当，则， ∴点， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴． 过点D作轴交直线于点E， ∴点， ∴， ∴； （3）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移a的单位长度，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后的关系式为， 当直线与抛物线有一个交点时，此时直线与抛物线的交点为点N，两平行线间得距离最大，即点N到直线的距离最大． 将两个关系式联立，得， 整理，得， ∴， 解得， 所以平移后的直线关系式为，则， 解得， ∴， ∴点． 9．（2026·江苏连云港·二模）已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：当时，则， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为； （2）解：若对于任意实数，总有， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数， 抛物线开口向上，与轴没有交点， ，且， ， 整理得， 解得， 实数的取值范围是； （3）解：函数的图象与轴交点为，且， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号， 时，， ，或， 解得． 10．（2026·广东·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)①证明：抛物线与轴恒有两个交点； ②求出抛物线与轴交点的坐标（用含的式子表示）； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点（，不重合）． ①若，，求的长； ②若当，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【详解】（1）①证明：∵令，则，即，，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线与轴恒有两个交点； ②由①得且， ∴， ∵， ∴解得：，， ∴抛物线与轴交点坐标为和 ； （2）①∵， ∴抛物线解析式为：，直线解析式为：， ∵， ∴， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴； ②∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴三点共线，即， ∴，， ∴， 分类讨论： （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （）当时， ∵， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴， （），即， ∵， ∴是关于的二次函数，即对称轴为直线， ∴当，的长随的增大而增大， ∴，解得， ∵， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∴，解得， ∴ ∴当，的长随的增大而增大，求的取值范围为或或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $