第03讲 四边形（暑假复习培优讲义，4题型技巧2重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第03讲四边形（暑假复习培优讲义) 析知识·讲要点 知识点01平行四边形核心考点（必考） ……………2 知识点02矩形、菱形重难点培优： … 5 知识点03正方形+五大几何培优模型（中考压轴） .8 剖题型讲技巧 题型1性质计算类题型（选择填空高频★★★★★） .14 题型2判定证明类题型（解答大题必考★★★★★） 21 题型3几何模型类培优题型（中考压轴★★★★） 26 题型4综合复合培优题型（中考倒数大题★★★★★） .42 释疑惑·重难拓展 题型1四边形折叠专题（填空必考） 61 题型2动点存在性问题（月考大题） 68 知中考·真题探源 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 74 练好题提分培优 90 1/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 课标要点 一、 基础必修课标（全员必掌握，中考必考） 1理解多边形、四边形相关概念，掌握多边形内角和、外角和公式，了解四边形不稳定性； 2理解平行四边形、矩形、菱形、正方形概念，厘清四类特殊四边形从属包含关系， 3探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理，规范几何证明书写； 4掌握直角三角形斜边中线性质，会利用四边形性质完成角度、边长、面积基础计算， 5.了解图形轴对称、旋转性质，能结合全等解决简单四边形几何问题。 二、培优拓展课标（九年级拔高、中考压轴要求） 1能综合运用四边形性质、全等、勾股定理解决折叠、动点、最值综合题型； 2.掌握正方形半角、共顶点旋转、斜边中线几何模型，具备模型迁移解题能力 3能完成四边形存在性问题论证，结合方程思想求解动态几何参数； 4.会用割补法、对角线公式求解不规则垂直四边形面积，优化解题方法： 5建立平面几何逻辑，规避几何证明跳步、判定逻辑错误，适配中考大题评分标准。 析知识·讲要点 知识点01平行四边形核心考点（必考） 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，符号记作：口ABCD 2.五大性质 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补； 对角线：对角线互相平分(OA=OC,OB=OD); 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点； 推论：过平行四边形对角线交点的任意直线，平分图形面积。 3.五大判定（大题优先选用） 2/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义法：两组对边分别平行； 两组对边分别相等； 一组对边平行且相等（考试最常用）； 两组对角分别相等； 对角线互相平分。 4.面积公式 S平行四边形=底×高 练习 1,(2026山西长治三模)如图，点P,Q分别是口ABCD的一组对边AB,CD上的点，点M，N分别 是另一组对边BC,AD上的点，且线段MN和PQ把口ABCD的面积四等分.若AB=6,BC=8, BP=3.5,则BM的长为 D 10 【答案】 【详解】解：，线段MN和PO把ABCD的面积四等分， ∴，线段线段MN和PQ均把口ABCD的面积二等分， 1 即Sw=)S, 2 如图，连接AC交MN于点O, D 设。ABCD的边BC上的商为么.则(N+BM)h=BCA, .AN+BM=BC=BM+MC, .AN=MC. 3/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC, ∠OAN=∠OCM,∠ANO=∠CMO △OAWN≌△OCM(ASA) .NO=MO,AO=CO 即O为AC,MN的中点， 同理可证，O为P吧，AC的中点， 即P2,AC,MN相交于点O, AB=6,BC=8,BP=3.5, .AP=AB-BP=6-3.5=2.5, 连接OB:则5=5- 4 S.OM=S.0r,S.PO8 =S.MOC 设O到BC的距离为k,则 S.B0M BM·k BM S.Moc 1 MC.k MC, S. 同理可得，SoBP, BM AP MC BP BM_2.5 8-BM3.5’ 4/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得BM= 2.(2026江苏无锡二模)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作 AFBC BE 交CE的延长线于点F,连接 (1)求证：△AEF≌aDEC: (2)判断四边形ADBF的形状，并证明你的结论. 【详解】(1)证明：：E是AD的中点， :AE DE. ..AF ll BC, ,∠AFE=∠DCE.∠EAF=∠EDC .△AEF≌△DEC(AAS) (2)四边形ADBF是平行四边形 证明：△AEF≌△DEC, .AF =CD 又：AD是△ABC的中线， ∴CD=BD ∴.AF=BD 又：AF II BC, .四边形ADBF是平行四边形. 知识点02矩形、菱形重难点培优 一、矩形（有一个角是直角的平行四边形） 1.专属性质（含平行四边形全部性质） 5/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.四个内角均为90 2.对角线相等且互相平分：AC=BD, 3.培优核心推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 Rt△ABC,斜边中点为O,则OB=OA=OC=AC 2 2.三大判定 1.平行四边形+一个直角→矩形， 2.平行四边形+对角线相等→矩形； 3.四边形有三个内角为直角→矩形。 3.面积：S=长×宽 二、菱形（有一组邻边相等的平行四边形） 1.专属性质（含平行四边形全部性质） 1.四条边长度全部相等 2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组内角； 3.对角线将菱形分割为4个全等的直角三角形。 2.三大判定 1.平行四边形+一组邻边相等→菱形， 2.平行四边形+对角线互相垂直→菱形： 3. 四边形四条边相等→菱形。 3.培优面积公式（必考) 形×对角线，×对角线2（对角线互相垂直四边形通 三、 矩形&菱形判定对比易错表 图形 对角线特征 扣分易错点 矩形 平分、相等 仅对角线相等，不是平行四边形，不能判定矩 形 6/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 菱形 平分、垂直 仅对角线垂直，不是平行四边形， 不能判定菱 形 练习 3.(2026广西南宁二模)如图，口ABCD的对角线AC⊥BC,E为CD的中点，连接AE,并延长AE, 交BC的延长线于点F,连接DF (1)求证：△ADE≌aFCE; (2)求证：四边形ACFD是矩形， 【详解】(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形， AD‖BF, .∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE, .E为CD的中点， :DE=CE, 在△ADE和△FCE中， ∠DAE=∠CFE ∠ADE=∠FCE DE=CE ∴.△ADE≌△FCE(AAS) (2)证明：由(1)得，AD=CF, 又：AD//CF, .四边形ACFD是平行四边形， ,AC⊥BC,点F在BC的延长线上， ∠ACF=90°， ∴.四边形ACFD是矩形. 7/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026云南昆明二模)如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,AB=CD,过点A作AE⊥BC,交CB 的延长线于点E,连接DB,BD平分∠ABC, (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)过点D作DF⊥AB于点F,延长DF交AE于点G.若AD=4,∠BAE=30°，求四边形AECD的面积. 【详解】(1)证明：AB‖CD,AB=CD, .四边形ABCD是平行四边形， :ADII BC, ∠ADB=∠DBC, :BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC ∠ADB=∠ABD, .AB=AD .四边形ABCD是菱形： (2)解：，四边形ABCD是菱形， .AB=BC=AD=4. AE⊥BC, ∠E=90°， 在RtAAEB中，∠BAE=30°， .BE-3AB-2.AE-AB-BE-23 .EC=BE+BC=2+4=6, ∴四边形4CD的面积S=4D+B0E=×4+6x25=105 8/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点03正方形+五大几何培优模型（中考压轴）】 一、正方形核心考点 1.性质：兼具矩形+菱形全部性质 四边相等、四角90°；对角线相等、垂直、平分，对角线平分45°内角；对角线分出4个全等等腰直角三角 形 2.三阶判定（大题规范书写，禁止跳步) 平行四边形+邻边相等+一个直角→正方形 矩形+一组邻边相等对角线垂直→正方形 菱形+一个直角/对角线相等→正方形 3.面积公式 S=a-AC~BD(a为边长) 二、五大必考培优模型（暑假拔高核心】 模型1：直角三角形斜边中线模型 条件：共斜边直角三角形|结论：斜边中点到三顶点距离相等|用途：倒角、求边长 模型2：正方形45°半角模型（中考高频压轴) 条件：正方形ABCD,∠EAF=45°，E、F在BC、CD边上 核心结论：①EF=BE+DF②△CEF周长=2倍正方形边长 辅助线：旋转全等，延长CB至G,使BG=DF,证△ABG三△ADF 模型3：正方形共顶点旋转模型 共顶点双正方形：对应三角形SAS全等，对应线段相等、夹角90°互相垂直 模型4：对角线垂直四边形面积模型 意对角线垂直四边形：Sdd,(菱形、正方形、筝形通 模型5：四边形将军饮马最值模型 9/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 菱形、正方形边上动点最值：利用对称找点，垂线段最短求值 练习 5.(25-26九年级上河南周口·阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AB上的一点，AE=1, ∠EDP=45° CP P为边BC上的一点，当 时，的长为（) B A.1.6 B.2 C.2.4 D.3 【答案】C 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， .AD=CD=BC=AB=4,∠DAE=∠DCP=∠B=∠ADC=90° ∴.如图，将△DCP绕点D顺时针旋转90°，得到△DAF,点F在直线AB上. F 0 由旋转的性质，得DF=DP,AF=CP,∠ADF=∠CDP :∠EDP=45°， ·.∠ADE+∠CDP=90°-∠EDP=45°=∠ADE+∠ADF=∠EDF 又ED=ED :△EDF≌AEDP(SAMS) .EP=EF=AE+AF=AE+CP=CP+1 BE=AB-AE=3,BP=BC-CP=4-CP. 10/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷在RtAEBP中， BE+BP=EP+(4-CP)=(CP+1) 解得CP=2.4 故选：C 6.(25-26九年级上辽宁铁岭阶段检测)如图，在正方形ABCD中，CD=6,点E、F分别为BC、AB 边上的动点，保持CE=AF不变，则AE+DF的最小值为一· D 【答案】 6v5 【详解】解：延长AB至点使AB=AB,连接AE,DE,则A4'=12, ,四边形ABCD是正方形， ·AD=CD,∠DAF=∠DCE,AB⊥BC, 又，AF=CE ,△DAF≌ADCE(SAS) .DF DE. ,AB=AB,AB⊥BC, 11/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.A与关于BC轴对称，BC所在的直线是线段AA的垂直平分线， .AE=A'E, AE+DF=4E+DE2AD=AD+A4=6+12=65 5 当1，E,D三点共线时，1E+DF有最小值，最小值为 7. (2026山西晋中二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点. (1)实践操作：利用尺规作CD⊥AB于点D;(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：若D是AO的中点，证明：AB=2AC, Fo 【详解】(1)解：如下图所示， 以点C为圆心画弧，交AB于点E、F, 分别以点E、F为圆心画弧，两弧交于点M, 连接CM交AB于点D,CD即为所求作： (2)证明：∠ACB=90°，O为AB的中点， :.AO=CO=BO=1AB 2 :D是AO的中点，CD⊥AB, ∴.点C在AO的垂直平分线上， ..AC=CO .AB=2AC 8.(25-26八年级下河南许昌·期中)如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段 AG为边作一个正方形AEFG,连接EB、GD,EB和GD相交于点H. 12/112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G (1)求证：EB=GD (2)若1B=4.AG=V2DG ,求的长 【详解】(1)证明：，四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， AG=AE,AB=AD,∠EAG=∠BAD=90°， .∠EAG+∠EAD=∠BAD+∠EAD, ·∠GAD=∠EAB. 在△GAD和△EAB中， AG=AE ∠GAD=∠EAB AD=AB △EAB≌△GAD(SAS) ∴.EB=GD (2)解：如图，连接BD交AC于点O, D G ,四边形ABCD是正方形， BC=AB,∠BAD=90, A0=CO-AC BO=DO-7BD:AC=BD:ACLBD 13/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=4, 、4C=VAB2+BC=45 40=D04C=2V2 :.0G=AG+A0=3V2, :DG=VD02+0c=22j+32=26】 9. (2026山西晋中·二模)下面是勤学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务， 关于“正交四边形”的研究报告研究对象：正交四边形 研究思路：类比特殊平行四边形的学习过程，按“定义一性质一判定”的路径，由一般到特殊展开研 究 概念理解：对角线互相垂直的凸四边形叫作正交四边形；有一条对角线平分另一条对角线的正交四边 形是筝形.例如，如图1，在凸四边形ABCD中，若AC⊥BD,则四边形ABCD为正交四边形；若 AC⊥BD,AO=CO,则四边形ABCD为筝形. B B A 问题解决：问 图1 图2 图3 题1：下列四边形中，是筝形的有▲： ①平行四边形②矩形③菱形④正方形 问题2：如图3，分别以△ABC的边AC和AB为边向外作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形ABE ,使得∠CAD=∠BAE=9O°，AC=AD,AB=AE,连接CE,BD交于点O.求证：四边形BCDE是 正交四边形 证明：：∠CAD=∠BAE=90°，，∠BAD=∠CAE. 又：AC=AD,AB=AE, 任务： 14/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)请写出问题1中“▲”处空缺的内容为 (2)请补全问题2的证明过程， 3在图3中，若BC=2.DC=3V ,BE=23,直接写出DE的长 【详解】(1)解：平行四边形和矩形的对角线不满足垂直的性质，故不符合题意： 菱形和正方形的对角线互相垂直且互相平分，故是筝形：故选③④ (2)证明：：∠CAD=∠BAE=90° ∴.∠BAD=∠CAE 又AC=AD,AB=AE, △1BD2&ACE(SMS) .∠1=∠2， ∠3=∠4， .180°-∠1-∠3=180°-∠2-∠4 ∴.∠COD=∠CAD=90° ∴.CE⊥BD ∴，四边形BCDE是正交四边形. 40 B 图3 (3)解：CE⊥BD :D0+C0=CD2=(32=18,B0+C0=BC=2=4,D0+0B=DE, B02+0E2=BE2=(23=12 :.DE2+BC2=D0+OE2+B02+CO2,CD2+BE2=D02+C02+B02+OE2 DE2+BC2 CD2+BE2 15/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE2+4=18+12, DE=26 (舍负)· 剖题型·讲技巧 题型1性质计算类题型（选择填空高频★★★★★） 【典例1-1】(2026河北沧州三模)生活中处处有数学的影子.珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成 如图2所示的图形，在矩形ABCD中，EFI‖GH,MN H,根据图中数据可得∠BFE的度数为(） G A E 130° H M B 1552 C I F 图1 图2 A.45° B.35 C.30° D.25° 【答案】D 【详解】解：如图， ∠MTH=130°， G A T E 1300 M P B 155 图2 .MIN H,EFGH, ∴四边形POHT是平行四边形， :.∠POH=∠PTH=130° ∴.∠FOI=∠P0H=130° 16/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BFE=∠BI0-∠FQI=155°-130°=25° 【典例1-2】(2026山东青岛二模)如图，口ABCD中，E,F分别是AD,AB边上的中点，连接EF, CE,CF.若aCEF是等腰直角三角形，∠CEF=90°，CF=3,则AB的长是() B A.2 8.3V5 c.22 D.2.5 【答案】A 【详解】解：延长FE交CD的延长线于点M, ,四边形ABCD是平行四边形， :.ABIICD,AB=CD, ∴.∠A=∠EDM,∠AFE=∠M, E是AD的中点， ∴AE=DE, 在△AFE和△DME中， [∠AFE=∠M ∠A=∠EDM AE=DE △AFE≌ADME(AAS) ∴.AF=DM,EF=EM, ,△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=90°， ∴CE⊥FM 17/112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CE垂直平分FM, ..CF=CM, F是AB的中点， &4-4, CF-CM=CD+DM-4B+AF-AB+14B-3 1 2 AB. CF=3, 3 B=3,即AB=2 【典例1-3】(2026辽宁朝阳·二模)如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长分 别是4和3，则图中阴影部分的面积是 6 B > 【答案】4 【详解】解：连接AF,BG, D H G B :正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长分别是4和3， ∴.正方形的面积分别为16和9， 7 二图中阴影部分的面积4×(6-9)= 方法技巧 18/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1角度求值：利用邻角互补、对角线平分角、等腰三角形倒角 2边长求值：勾股定理、斜边中线、全等线段转化 3面积求值：底乘高、对角线乘积一半、割补法 通用解题模板 判定图形类型→调取图形专属性质→构造直角三角形→勾股列式求解 【变式11】(2026辽宁沈阳三模)如图，E是正方形ABCD内的一点，且DE=DC,EB=EC,则 ∠BDE的度数为」 【答案】15° 【详解】如图，连接AE, 四边形 是正方形， C· ABCD AB=DC=AD,∠ABC=∠DCB=∠BAD=90°，∠ADB=∠ABD=45° DE=DC,EB=EC. DE=AD,∠EBC=∠ECB ∴.∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠ECB,即∠ABE=∠DCE, 在△ABE和△DCE中， AB=DC ∠ABE=∠DCE EB=EC 19/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABE≌ADCE(SAS) ∴.AE=DE, ∴.AE=DE=AD, ∴.△ADE是等边三角形， :∠ADE=60 ∠BDE=∠ADE-∠ADB=60°-45°=15° 【变式1-2】(2026贵州安顺二模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点，连接 EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点，连接GH.若AB=3,则GH的长度为 A D E H G 32 【答案】4 【详解】解：如图，连接CH并延长交AD于点P,连接PE, ,四边形ABCD为正方形， .∠A=90°，AD∥BC,AB=AD=BC=3. ,点E,F分别是边AB,BC的中点， .AE=CF=3 2 AD BC, 20/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DPH=∠FCH, 点H为FD的中点， ∴.DH=FH, 在△PDH和△CFH中， LDPH=∠FCH,∠PHD=∠CHF,DH=FH, △PDH≌aCFH(AAS) PD=CF=3 2 .AP=AD-PD=3 , PE-VA+AP3 ,点G,H分别是EC,FD的中点， GH-1PE-32 2 4 【变式1-3】(24-25八年级下湖北黄石期末)如图，在口ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点， A与D5相交于点'.BF与CE相交于点2，若四边形PF的面积2 EPFO 20cm2 ,则图中阴影部分的面积为 E B 【答案】20 【详解】解：如图，连接EF, E B 21/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD :△AED和△AEF等底同高， S.AED=S.AEF .S.AED-S.AEP=S.AEF-S.AEP S.APD=S.EPF S.B0C=S.EOF 同理可得： 一图中阴影部分的面积 =S.APD+S.B0c =S.EPF+S.EOF =S四边形EPFe =20cm2 故答案为：20 题型2判定证明类题型（解答大题必考★★★★★） 方法技巧 题型细分+最优证明路径 1证平行四边形：优先选【一组对边平行且相等】，步骤最少、不易扣分 2证矩形：优先路径：先证平行四边形→加对角线相等/一个直角 3证菱形：优先路径：先证平行四边形→加邻边相等对角线垂直 4.证正方形：严禁跳步！矩形+邻边相等/菱形+直角两步证明 【典例2-1】(2026湖北武汉·二模)如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD,E为AD中点，过点 22/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AFBC A作 ,交BE的延长线于点F,连接CF,DF, B D (1)求证：四边形ABDF是平行四边形： (2)若∠BAC=90°，请添加一个与FC有关的条件， 使四边形ADCF为菱形. 【详解】(1)证明：，AF‖BC, ∴.∠FAD=∠BDA, E为AD中点， .AE=ED, ,在△AEF和△DEB中， ∠FAD=∠BDA AE=ED ∠AEF=∠DEB' △AEF≌ADEB(ASA) .'AF=BD. ,AFI‖BC,AF=BD, ∴.四边形ABDF是平行四边形 (2)添加的条件为：FC∥AD, :AFI‖BC,FC∥AD, ∴四边形ADCF是平行四边， ,由(1)得四边形ABDF是平行四边形， .AB∥DF, ∠BAC=90°， AB⊥AC, .DF⊥AC, 23/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.四边形ADCF为菱形 【典例2-2】(2026：北京密云·一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AC边上一点，且 AD=BD,过点C作DB的平行线，与过点B所作的BC边的垂线相交于点E. B (1)求证：四边形BDCE是平行四边形： (2)若AC=2BC,AC=8,求CE的长. 【详解】(1)证明：EB⊥CB, .∠CBE=90°， ∴∠ACB=∠CBE, ..BEl AC, .CEl BD ∴四边形BDCE是平行四边形： (2)解：：四边形BDCE是平行四边形， .BD=CE AD=BD, .AD=BD=CE. .AC=2BC,AC=8. ∴BC=4. 设AD=BD=CE=x,则CD=8-x, 在RtBDC中，根据勾股定理得： BD2=CD2+BC2 即r=4+(8- 解得：x=5, ∴.CE=5 【变式2-1】(2026山东青岛二模)已知：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,分别过点C、 24/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D作CFBD,DFI‖AC,连接BF交AC于点E. E (1)求证：△FCE≌aBOE: (2)当AD⊥CD时，判断四边形OCFD的形状，并说明理由. 【详解】(1)证明：CF∥BD,DF‖AC, ∴.四边形OCFD是平行四边形，∠OBE=∠CFE, :.OD=CF, ~四边形ABCD是菱形， ..OB=OD :.OB=CF, 在△FCE和△BOE中， I∠OBE=∠CFE ∠BEO=∠FEC OB=CF aFCE≌aBOE(AAS); (2)解：四边形OCFD的形状是正方形，理由如下： ,菱形ABCD,AD⊥CD, ∴四边形ABCD为正方形， .OA=OB=OC=OD,∠COD=90°， 由(1)知：四边形OCFD是平行四边形， ,∠C0D=90° ∴四边形OCFD是矩形， 又，OC=OD. ∴四边形OCFD是正方形 25/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】(2026湖南长沙三模)如图，△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DP⊥BC于点F, 点G在DE的延长线上，且DG=FC. B (1)求证：四边形DFCG是矩形： (2)若∠B=45°，DF=6,DG=10,求BC和AC的长 【详解】(1)证明：D、E分别是AB、AC的中点， DE BC.DE-BC, 又：DG=FC, ∴.四边形DFCG是平行四边形， ,DF⊥BC, ∴∠DFC=90°， ∴四边形DFCG是矩形. (2)解：∠DFB=90°，∠B=45°， .∠BDF=90°-45°=45°， .∠BDF=∠B, .BF =DF=6. :四边形DFCG是矩形， ·CF=DG=10,CG=DF=6,∠G=90°， .BC=BF+CF=6+10=16. Dec .EG=DG-DE=10-8=2, :.EC=VEG+CG2=V22+6=2V10 AC=2EC=4v10 【变式2-3】(2026甘肃兰州二模)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF, 26/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂足为M. M B E C (1)求证：AE=BF: (2)若点E是BC的中点，连接DM,请你判断线段DM与AD之间的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=∠C=90°， ∴∠ABF+∠CBF=90°， :AE⊥BF,垂足为M, ∴∠AMB=∠AMF=90°. .∠ABM+∠BAM=90°， ∴.∠BAE=∠CBF」 在△ABE和△BCF中， I∠BAE=∠CBF AB=BC ∠ABC=∠C △ABE≌△BCF(ASA) ∴，AE=BF (2)解：DM=AD,理由： 在正方形ABCD中，BC=CD=AD,∠ADC=∠C=90°， 延长AD、BF,交于点K,则∠CDK=180°-90°=90°， ∠CDK=∠C, D M E 27/112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)得△ABE≌△BCF, ..BE=CF, ,点E是BC的中点， CF-CD DF-CD-CF. 2 在△BCF和△KDF中， [∠C=∠KDF CF=DF ∠BFC=∠DFK' △BCF≌△KDF(ASA) .BC=KD. .AD KD, ∴点D是AK的中点， 又：∠AMF=90°， :DM=号AK=AD 2 题型3几何模型类培优题型（中考压轴★★★★） 方法技巧 11.正方形半角45°模型题：固定旋转辅助线，直接套用EF=BE+DF结论 ⅰ2.共顶点旋转全等题：双正方形双菱形共顶点，SAS全等，证线段相等+垂直 3对角垂直四边形题型：不限图形，直接套用面积公式S=)d,d2 2 【典例3-1】(23-24九年级下湖南湘潭·自主招生)如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°， 将△AEB绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG.延长AE交CG于点F,连接DE,下列结论：① 28/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF⊥CG:②四边形BEFG是正方形，③若DA=DE,则2CF=CG.其中正确的结论是() A.①②③ B.①② C.①③ D.① 【答案】A 【详解】解：设AF交BC于K,如图： E ,四边形ABCD是正方形， ∠ABK=90°， .∠KAB+∠AKB=90° “.将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG, ∴.∠KAB=∠BCG :∠AKB=∠CKF, .∠BCG+∠CKF=90°， ∠KFC=90°， .AF⊥CG,故①正确： ,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， .∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG,∠EBG=90°， 又∠BEF=90°， .四边形BEFG是矩形， 又：BE=BG, ∴.四边形BEFG是正方形，故②正确： 如图，过点D作DH⊥AE于H, 29/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F E H G B :DA=DEDH⊥AE 1 六4H=24E, .∠ADH+∠DAH=90°， .四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠DAB=90°， ∴.∠DAH+∠EAB=90°. ∴.∠ADH=∠EAB, 又.'AD=AB,∠AHD=∠AEB=90°， .∴△ADH≌ABAE(AAS) :AH BE= 2 9 .将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， .AE=CG .四边形BEFG是正方形， :BE=GF, :6f-c 即2CF=CG,故③正确： ∴正确的有：①②③ 【典例3-2】(24-25八年级下·河北唐山阶段检测)【问题情境】如图①，在正方形ABCD中， ∠EAF=45°，AE,AF分别与BC,CD交于点E,F. D B B D 图① 图② 图③ 30/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段BE,EF,DF之间的数量关系，小杨延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG, 先证明△ABG≌△ADF，,再证明△AEF≌aAEG,即可得到BE,EF,DF之间的数量关系为： 【操作探究】 (2)如图②，当点E,F分别在CB,DC的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段BE,EF,DF 之间的数量关系： 【问题解决】 (3)如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E在BC边上，且∠DAE=45°，若BD=3, DE=5,则BC的长为一 【详解】(1)解：正方形ABCD ∴.AB=AD,∠ABG=∠ABC=∠D=∠BAD=90°. 又：BG=DF, ∴.△ABG≌△ADF(SAS) .AG=AF,∠BAG=∠DAF, .∠EAF=45° ∴.∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°， ∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠EAG=45°， ∴.∠EAF=∠EAG, 又：AF=AF, ∴.△AEF≌△AEG(SAS) .EF EG=BE+BG=BE+DF, ∴.EF=BE+DF 故答案为：EF=BE+DF. (2)解：如图，在DC上截取DH=BE,连接AH, D H ⊙ C.正方形ABCD, 图② 31/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=AB,∠ABE=∠ABC=∠D=∠BAD=90° 又：DH=BE, ∴.△ADH≌△ABE(SAS) AH=AE,∠DAH=∠BAE, ∠EAF=45°， .∠BAE+∠BAF=45°， .∠DAH+∠BAF=45°， .∠HAF=∠BAD-（∠DAH+∠BAF)=90°-45°=45° ∴.∠EAF=∠HAF, 又：AF=AF, .△AEF≌△AHF(SAS) .EF =HF, .DF DH +HF =BE+EF, ∴.DF=BE+EF (3)解：如图，过点C作CM⊥BC且CM=BD,连接EM, ，AB=AC, E 图③ .'∠BAC=90 ∠B=LACB=45°， CM⊥BC, ∴.∠MCE=90° ∴.∠ACM=∠MCE-∠ACB=90°-45°=45°. .∠ACM=∠B 又'AB=AC,CM=BD=3, .△ACM≌△ABD(SAS) .AM=AD,∠CAM=∠BAD. 32/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAE=45°， .∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°， ∴.∠CAM+∠CAE=45°，即∠MAE=45°， .∠MAE=∠DAE, 又：AM=AM, ∴.△AME≌△ADE(SAS) .ME =DE=5, ∠MCE=90°， .CE=VME2-CM2=V52-32=4 .BC=BD+DE+CE=3+5+4=12. 故答案为：12 【典例3-3】(25-26八年级下江苏泰州阶段检测)性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那 么这个四边形的中点四边形是正方形. 图1 图2 (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是 A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形 (2)拓展运用：如图1，△ABC为锐角三角形，以△ABC的两边AB、AC为边长，分别向外侧作正方形 ABDE和正方形ACFG,连接BE、EG、GC,判断四边形BEGC的中点四边形的形状，并说明理由. (3)素养提升：如图2，四边形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,M、N分别为AB、CD的中点. ①探究MN与AC的数量关系，并证明， ②若AC=4,求AD+BC的最小值， 【详解】(1)解：(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形的中点四边形一定是正方形， 理由：，正方形的对角线相等且互相垂直， .正方形的中点四边形是正方形： (2)解：四边形BCGE中点四边形是正方形， 33/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由：如图，设四边形BCGE的边BC、CG、GE、BE的中点分别为M、NRL,连接CE交AB于P,连 接BG交CE于K, R ,四边形 各边中点分别为M、N、R、L, BCGE ∴MN、NR,RL,LM分别是△BCG、aCEG、△BGE、△CEB的中位线， .MN II BG, MN.RL/G.RN/CE RW-CE.AL/CE ML=CE .MN∥RL,MN=RL,RN∥CE∥ML,RN=ML, ∴四边形MNRL是平行四边形， :四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， .AE=AB,AG=AC,∠EAB=∠GAC=90°， .∠EAC=∠BAG △EAC≌△BAG(SAS) ∴.CE=BG,∠AEC=∠ABG 又u=Bc.Rv=cE, ∴.RL=RN, ∴.平行四边形MNRL是菱形， :∠EAB=90°， ∴.∠AEP+∠APE=90° 又，∠AEC=∠ABG,∠APE=∠BPK, ∠ABG+LBPK=90°， .∠BKP=90°， 又.MNI‖BG,ML∥CE, .∠LMN=90° ∴菱形MNRL是正方形， 34/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.四边形BCGE中点四边形是正方形. ,回nws 2 AC 证明：如图，记AD、BC的中点分别为E、F,连接EM,MF,FN,MN, 四边形 中， ABCD AC=BDAC⊥BD ∴，四边形ABCD中点四边形是正方形，即四边形ENFM是正方形， :.FM=FN,∠MFN=90° MN=FM2+FN=V2FM :M,F分别是AB,BC的中点， 1 .FM=AC, 2 MN= -AC 2 ②如图，设BD交AC于点O,连接OE、OF、EF, 当点O在EF上（即E、O、F共线）时， 最小，最小值为EF的长， W OE+OF 2(OE+OF) 的最小值=2EF :AC⊥BD,即∠AOD=∠BOC=90°， 、△AOD,aBOC都是直角三角形， E、F分别为ADBC的中点， 35/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .20E AD,2OF BC. 2(OE+OF)=AD+BC ∴AD+BC的最小值=2EF, :四边形ENFM是正方形， :MN EF, .AD+BC的最小值=2MN, N=- AC 由①知 2 又AC=4, .,MIN=2 2MN =42 ,即 AD+B 的最小值为4W2 【变式3-1】(2026·吉林二模)如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按 顺时针方向旋转90°得到△CBG,延长AE交CG于点F,连接DE.下列结论：①LAED=∠CBG;② AF⊥CG:③四边形BEFG是正方形：④若DA=DE,则CF=FG，其中正确的结论是 (填序号) 【答案】②③④ 【详解】解：：将RtAABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBG, LCBG=∠ABE, ÷∠AEB=90, ∠ABE+∠BAE=90°， ,四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°， 36/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE+∠BAE=90°， .∠DAE=∠ABE=∠CBG 根据现有条件无法证明∠DAE=∠AED, ∴无法证明∠AED=∠CBG,故①错误： 设AF交BC于K,如图： G :四边形ABCD是正方形， ∠ABK=90°， ∴.∠KAB+∠AKB=90°， ,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到aCBG, ∠KAB=∠BCG, ,∠AKB=∠CKF ∴∠BCG+∠CKF=90°， .∠KFC=90°， 、.AF⊥CG,故②正确： ,将RIAABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBG, ∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG,∠EBG=90°， 又：∠BEF=180°-∠AEB=90°， ∴四边形BEFG是矩形， 又，BE=BG, ∴四边形BEFG是正方形，故③正确： 如图，过点D作DH⊥AE于点H, 37/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D DA=DE,DH⊥AE, AH=EH=AE,ZADH+/DAH=909 ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAB=90°， ∴∠DAH+∠EAB=90° ∠ADH=∠EAB, 又：AD=AB,∠AHD=∠AEB=90°， 片aHDH/BAE(AaS) &AH=BE=号AE 2 :将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBG, ..AE=CG ,四边形BEFG是正方形， .BE=GF, ·GF-2cG :.CF=FG,故④正确： .正确的有②③④， 【变式3-1】(25-26九年级上陕西渭南·期中)【问题探究】 (1)如图，己知正方形ABCD,点E在边AB上，点H在射线BC上，连接DE. ①如图1，当点H在BC边上时，过点H作HG⊥DE交DE于点O,则线段DE GH;(填 “>”“<”或“=”) 38/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 图1 ②如图2，平移图1中的线段GH,使点G与点D重合，点H在BC的延长线上，连接EH,取EH的中点P, 连接PC,求证： BE=2PC 图2 【问题解决】 (2)如图3，有一块边长为7km的正方形农田ABCD,为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、 H、G(大小忽略不计)分别在边AB、BC、AD上，DE、GH是两条水渠，水渠DE和GH相交于点O, 已知∠G0D=450 水英HG=6m,求水库E到农田边AD的距离AE, D B H 图3 【详解】解：(1)①过点C作CF∥GH,交AD于点F,如图， A G D B ,四边形ABCD是正方形， 39/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠ADC=90,AD∥BC, 、HC∥GF, ∴四边形GHCF是平行四边形， ..CF=GH, ,GH⊥DE, .CF⊥DE. ∴.∠EDC+∠DCF=90°， 又∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠ADE=∠DCF, 又DA=CD,∠A=∠ADC, △DAE≌ACDF(ASA) .DE =CF, :.DE=GH, 故答案为：=； ②证明：由平移得DE=GH=DH,DH⊥DE, .四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,∠ADC=∠DCH=90°. .∠ADE+∠EDC=90°， ∠EDH=∠EDC+∠CDH=90°， ∴.∠ADE=∠CDH .△ADE≌ACDH(ASA) :AE=CH, 如图，在BC上截取BN=BE,连接EN, 40/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则△BEN是等腰直角三角形， EN=BE2+BN:=2BE .BA=BC.BE=BN, .CN=AE=CH, ∴.点C为NH的中点， .点P为EH的中点， ·PC是△ENH的中位线， .PC-EN PC-号BE,即BE=NpC 2 (2)解：如图，过点D作DN∥GH交BC于点N, M D B :AD‖BC,即DG∥HN, ∴.四边形GHND是平行四边形， DN=GH=√65km ∠C=90°，DC=AB=7km, CN-DN:-CD=65-49-4(km) .BN=BC-CN=7-4=3(km) 41/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接EN,在AD上方作∠ADM=∠CDN,DM交BA的延长线于点M, ,四边形ABCD是正方形 ∴.AD=CD,∠DAM=∠C=90°， ∴.△ADM≌ACDN(ASA) :AM=NC.DM=DN, ∠D0G=45°， ∴.∠NDE=45° ∴.∠ADE+∠CDN=45°， ∴.∠MDE=∠ADE+∠ADM=45° 在△NDE和△MDE中，ND=MD,∠NDE=∠MDE,DE=DE, ∴.ANDE≌AMDE(SAS) .EM=EN=AE+AM=AE+CN. 设AE=x,则BE=7-x, 在RIABEN中，BN2+BE2=EN,即3+(7-x'=(c+4 21 解得：x= 11, 水库E到农田边AD的距离AB为如 【变式33】(25-26八年级下江苏苏州期中)综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E,使∠CED=90°，将点E 绕点C逆时针旋转9O°得到点E',射线DE,E'B交于点F. 特例研究： D E (E F B B E 图1 图2 图3 备用图 42/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点F 与点B重合，此时四边形EFEC的形状为 探究发现： (2)博雅小组发现，如图2，只要∠CED=90°，四边形EFEC的形状都是正方形，请证明. (3)卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G,连接EG,FO,AF,又发现： 在点E运动过程中，FO与EG始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由， 拓展应用： (4)在(3)的条件下，已知AF=1,BC=5,直接写出BF的长 【详解】(1)解：，点E在对角线AC中点O处，点F与点B重合，四边形ABCD是正方形， .FE=CE,∠FEC=90° 由旋转的性质得∠ECE'=90°，CE=CE', .∠FEC+∠ECE'=I80°，FE=CE', 、.FECE', ∴四边形EFE'C是平行四边形， :∠FEC=90° .四边形EFEC是矩形， ..FE=CE. “.四边形EFEC是正方形： (2)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°，BC=CD. .∠BCE+∠DCE=90°， .点E绕点C逆时针旋转90°得到点E', .CE=CE,∠ECE'=90° .∵∠CED=90° ∴.∠BCE+∠DCE=90°，∠BCE+∠BCE'=90°， ∠DCE=LBCE', ·△CBE'≌aCDE(SAS) ∴.∠CED=∠CEB=90°， .四边形EFEC是矩形， 43/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=CE', 四边形EFEC是正方形. (3)解： FO=2E'G ,理由如下： 连接BD,OG. ,四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， 图3 :O是BD的中点，AC=BD,OC=OB=AC 2 .四边形EFEC是正方形， ∠BFE=90°， :.FO-0B=1BD-1AC-OC, 2 2 ,四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， 0C=0B,∠B0C=90,∠0BC=∠0CB=45°， .G是BC的中点， ∴OG=BG=GC, .0C=0G2+GC2=2GC ,四边形EFEC是正方形， ∠BE'C=90°， .G是BC的中点， .EG-1BC-GC 0C=√2E'G :.F0=√2E'G 44/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)解：取AF的中点M,取BF的中点N连接OM,ON,OB,MN, D G MN I 4B.MN=1 5 BC= 2 2 根据(3)得OB=OC=OF=OA,AF=1, .AM=FM=IAF=1 21 ∠0wr=90∠4oM=∠FoM=3∠A0r, 2； N=BN-ar,∠0NF=90∠B0N=∠FoN-=5Bor, .四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， ∠108-90,4CB+c-55,01=08=0F-号4c-59 2, ∠FoM+∠FoN=40F+5∠B0F=(∠a0F+∠B0F)=A0B=45, OM-JOF-MFE -1 过点M作M犯⊥ON于点Q, :∠MO0=∠FOM+∠FON=45°， :△MO卫是等腰直角三角形 0-0-9aw.3 4, №=w2-Mg= 4 ∴.ON=Og+NQ=22 FN=JOR2-ON= 2, 45/112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF=2FN=3√2 题型4综合复合培优题型（中考倒数大题★★★★★） 方法技巧 求值先找直角，证明先证平行； 菱形看对角线，矩形找斜边中线， 正方形遇45必旋转，折叠题目必设元。 【典例4-1】(25-26八年级下·湖北武汉阶段检测)【问题背景】 M D B (1)正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上一点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF. 【类比分析】 (2)矩形ABCD中，MN分别为边AD、AB上一点，BM、DN交于点P,若∠MPD=45°，DM=BN, AM=3,AN=2,求MD的长. 【思维拓展】 (3)在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，连接AE,CD交于点F.若AB=4,BC=3, ∠CDB=45°，且AE=CD,则CF-AF= 【详解】(1)证明：延长CB到点G,使得BG=DF,连接AD, .四边形ABCD是正方形， ∠D=∠ABC=90°，AB=AD, ∠ABG=∠D=90°， ∴.AABG≌AADF(SAS) .AG=AF,∠BAG=∠DAF, .'∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°， 46/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAG+∠BAE=∠EAG=45°， .∠EAG=∠EAF, .AE=AE, ∴.△EAG≌△EAF(SAS) .EG=EF EG=BG+BE=BE+DF, ..EF BE+DF: A D (2)解：在CD上取点Q,使得CQ=AN=2,连接B0,PQ, 设DM=BN=x, .四边形ABCD是矩形， .AB=CD, .DO=BN=x BNDO 四边形 是平行四边形， .DN BO 过点B作BE⊥BM,交DN的延长线于点E,过点B作BF⊥DE于点F,过点O作QG⊥DE于点G,过点 M作MH⊥DE于点H, 设MH=a,DH=b, .MH2+DH2=DM2. .a2+b2=x2 ∠DHM=90°. ∴.∠MDH+∠DMH=90°， 47/112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADC=90°， ∴.∠MDH+∠QDG=90° ∴.∠DMH=∠QDG ∠DHM=∠QGD=90°DM=DQ=x .∴ADMH≌△QDG(AAS) ∴.MH=DG=aDH=QG=b ∠MHP=90°.∠MPD=45°， △PMH是等腰直角三角形， .PH=MH=a, ∴.PD=PH+DH=a+b」 DNIBO BF⊥DE ∴.BF⊥BQ QG⊥DE BFGO 四边形 是矩形， ∴.BF=QG=b∠BFN=∠QGD=90° BN=DO=x ∴.Rt△DMH≌Rt△ODG(HL) ∴.NF=DG=a, .BF⊥BQ∠BPE=∠DPM=45° .∠E=45°， ∴△PBE是等腰直角三角形， 48/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BF⊥DE, .EF PF BF=b. .EN=EF+FN =b+a, ·.EN=PD AB CD .∠ENB=∠PDg BN=DO=x .∴△EBN≌△PQD(SAS) ∴.∠E=∠DPQ=45° QG⊥DE ∴△PGQ 是等腰直角三角形， .PG=OG=b .PO=PG2+0G2=b2+b2=2b .DN BO .∠PBQ=∠DPM=45° ∠QPM=∠DPM+∠DPQ=90° ∴.∠BPQ=90° ∴△BPQ是等腰直角三角形， ∴BP=PQ=V2b 在等腰直角三角形MPH中，PM=VPH'+MH2=V+&=√2a 49/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BM=a+2b=2(a+b) :∠A=90°， ..AB2+AM2=BM2, (x+22+32=[V2(a+b], (x+2)2+9=2(a2+b2+2ab)） ∴(x+2)}2+9=2x2+2ab)▣ S.P2w=S梯形BCDM-S,BCQ-S,BPe-S,DOM =5eaw-5awae-5ew-0x*x+3x+2)x+3)x2-c+3)-3 1 =X, 同时S.ouPM,FP0=ab=ab, ∴ab=x② 把②代入①，得c+2+9=2(x+2x), 整理得x2=13, x>0, “x= 即MD的长为B 3 M (3)解：以AB、BC为边向上作平行四边形ABCM,过点M作M0⊥AE于点Q,MP⊥CD于点P,连 50/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接MD,ME,MF, :四边形ABCM是平行四边形， 1 ∴CM=AB=4:AM=BC=3S,wam=S.uE=2S边Bcw, 2 CD.MPM 2 .AE =CD, ∴.MP=Mg ∠MPF=∠MQF=90°MF=MF ∴.RtAMPF≌Rt△MQF(HL) :.PF=OF .CMII AB .∠MCP=∠CDB=45°. '∠MPC=90°， ∴△MPC是等腰直角三角形， :MP=CP. .MP2+CP2=CM2 2MP2=42, MP=22 解得 ∴CP=22M0=2W2 在RIAMO中，A0=VAM-M@=32-(22)=1, ..CF-AF CP+PF-(AQ+OF)=CP-AO=22-1 51/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A D 【典例4-1】(25-26八年级下河南鹤壁阶段检测)正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，过点E 作EF⊥AE交射线CD于点F,以AE,EF为邻边作矩形AEFG,连接DG. G A E (1)求证：矩形AEFG是正方形： G② (2)若 3,DE=2BE,求AB的长； (3)若点E为BD中点，连接EG,直接写出EG和AD的位置关系. 【详解】(1)证明：过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N,则∠AME=∠FNE=∠EMD=90° G D ----W B C ,四边形ABCD是正方形， :∠ADC=90°，DE平分∠ADC, ∴.∠MEN=360°-90°-90°-90°=90°，EM=EN ,四边形AEFG是矩形， .∠AEF=90° ∴.∠AEM=∠FEN=90°-∠MEF 52/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AME≌△FNE(ASA) .AE=FE, ∴矩形AEFG是正方形： (2)解：，四边形ABCD和AEFG是正方形 ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90° :.∠GAD=∠EAB=90°-∠DAE :△GMD2aEAB(S4S) BE=DG= 3 :DE=2BE=22 3 ,BD=BE+DE=5+25-5 3 3 :∠BAD=90°，AB=AD ·AB2+AD2=BD',即2AB2=(2)月 ∴.AB=1(负值舍去)： (3)解：EG⊥AD,理由如下： 如图， G D(F) B :在正方形ABCD中，AB=AD, 又，点E为BD的中点， .AE⊥BD,即∠AED=90°， 53/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AEF=90°， ∴，点F在射线CD上， AF-EF-2BP-DE. ∴此时D,F重合， ,四边形AEFG是正方形， .EG⊥AD 【典例4-3】(25-26八年级下·浙江绍兴阶段检测)如图所示，在平面直角坐标系中 A(a,0),B(b,0),D(O,d),DCllx 轴. D O B AO B 图1 图2 图3 )如图1，若1DBC,且a,b,d满足a++b-3+d-7=0 ①直接写出C点坐标 ②如图2，线段BC的垂直平分线交y轴于点E,F为AD的中点，试判断∠EFB的大小，并说明理由； (2)如图3，若b=d,∠C=90°，∠AD0=45°，F为AD上任一点，过F作EFLD0,交D0于点E,连接FB, G为线段FB的中点，OG的延长线交BD于M点；试探究线段FO与ME之间的数量关系，并说明理由 【详解】1)解：①：(a+)+b-3+d-7=0 .a+1=0,b-3=0,d-7=0 a=-l,b=3,d=7 .A(-1,0),B(3,0),D(0,7) ∴.OA=1,OB=3,OD=7 54/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=4, DCIx轴，ADI‖BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AB=CD=4 C的坐标为 4,7) ②∠EFB=90°，理由如下： 如图2，连接EC,EB, 轴，C的坐标为 O B 图2 .DCIx (4,7)）B(3,0) CD=4,D0=7,0B=3, .线段BC的垂直平分线交y轴于点E, .EC=EB. .EC2=BE2 ∴.DC2+DE2=OE2+OB2 16+(7-0E)2=0E2+9 .OE=4 ∴.E(0,4) :BE=VOE2+0B2=V9+16=5 :A(-1,0),D(0,.F为AD的中点， 55/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点 (3,0) ∴.BF= :EF+BF:-2+98=25=BB, 44 .∠EFB=90°： FO=2EM (2)解： ,理由如下： 如图，延长EG交OB于H, D F E G H B ..b=d ∴.OD=OB .ABICD,∠C=90° .∠C=∠DBC=90°， ∠D0B=90°， 四边形DOBC是矩形， 又：OD=OB ∴.四边形DOBC是正方形， .∠ODB=∠OBD=∠BDC=45°， EF⊥DO .EF OB 56/112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠FEH=∠BHE, :G为线段FB的中点， ..FG=BG. 又∠EGF=∠BGH, △EFG≌△HBG(AAS) ∴.EG=GH,EF=BH ∠ADO=45°，EF⊥OD ∴△DEF是等腰直角三角形， .EF DE BH ∴.OE=OH, 又EG=GH, ∴.∠DOG=∠BOG. 又OB=OD, ∴.DM=BM, ∴.点M为BD中点： 如图，过点M作MN⊥EM,交DC于N,连接EN, .OB=OD,∠DOB=90°，DM=MB ∴.DM=OM,∠DMO=90°，∠DOM=45° ∴.∠DMO=∠EMN=90°，∠DOM=∠CDM=45° '.∠DMO-∠DME=∠EMN-∠DME. ∴.∠DMN=∠OME. .△DMN≌aOME(ASA) ∴.EM=MN,OE=DN .∴EN=VEM2+MN2=V2EM 57/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF=DE,∠FEO=∠EDN=90°OE=DN △FEO≌△EDN(SAS) .FO=EN, :FO=2EM 【变式4-1】(25-26八年级下江苏南京期末)如图，正方形ABCD的边长为2，直线I分别交AD,BC于 M,N.A,B A',B' 关于直线1的对称点为，且点A恰好在CD上. D BLN E (1)当点A是CD中点时，MN的长为一一： (2)连接AB,交BC于点E,连接AA,交MN于点P. ①连接AE,求证∠A'AE=45°： ②已知△4'C 的面积为5，求4E的长 G∥MN 【详解】(1)解：如图所示，过点D作 ,交AA于点H, M D N EG 四边形ABCD是正方形， 58/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷AB=BC=CD=AD=2,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AD BC, .MDII NG ∴四边形MWGD是平行四边形， ∴MN=DG,MN∥DG. 在正方形ABCD中，∠DAA'+∠DAA=90°， 折叠， .MN⊥AA',垂足为点P, ∴.DG⊥AA',垂足为点H, ∴∠HDA'+∠DAA=90°， ∴.∠HDA'=∠DAA, 在RLADAA,RiACDG中， ∠DAA'=∠CDG AD=DC ∠ADA'=∠DCG=90°' Rt△DAA'≌RtACDG(ASA) .AA'=DG. ∴MN=DG=AA, ,点A是CD中点， :D=)cD=1 2 AA'=√AD2+(D42=V22+=5 5 .MN的长为 5 故答案为： (2)解：①如图所示，过点A作AK⊥AE于点K, 59/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P K E .∠AKA'=∠ADA'=90°，∠AKE=∠ABE=90°， 折叠， ∴.∠BAA=∠BAA, 在正方形ABCD中，AB‖CD, ∴∠BAA=∠AA'D .∠AAK=∠AA'D, 在Rt△ADA,Rt△AKA中， ∠AA'D=∠AA'K ∠ADA'=∠AKA'=90° AA'=AA Rt△ADA'≌Rt△AKA(AAS) .AK=AD,∠AAD=∠AAK, 六AK=AB ∠AAK=∠DAK 2 在Rt△ABE,Rt△AKE中， AE=AE AB=AK Rt△ABE≌Rt△AKE(HL) ∠BAE=∠KAE, :∠KAE=∠BAK 60/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAD=∠BAK+∠DAK=90°， )BAK+2DAK=∠KAE+∠KAA=乙AAE4 ②根据上述证明得到AD=AK,EK=BE,AK+EK=AE, ∴A'D+BE=A'E, 4'C=x,CE=y,'D=CD-A'C=2-x,BE=BC-CE=2-y, AE=2-x+2-y=4-(x+y) :△1C的面积为2 :ccE==5,则w-25 在RtaA'CE中，AC2+CE2=AE2, .+少=[2-+(2-订，整理得，(+-2w=[4-(+刃， 设x+y=m」 :m-4W5=4-m,整理得；8m=16+45, 解得， m=4+V2 2, :4E=4-(x+)=4-4+24-V5 2 2. 【变式4-2】(2026浙江杭州二模)【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进 行实验探究 如图1，两个全等的直角三角形ABC和DEF的斜边AC和DF在同一直线上，AB=DE,△DEF可沿直线 AC平移，连接AE,BD. 61/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 【实验探究】 (1)在△DEF平移过程中，同学们发现四边形ABDE是平行四边形，请证明此结论： (2)当△DEF沿AC平移到某一个位置时，四边形ABDE恰好为菱形， ①如图2，此时若AB=8,AC=10,试求AF的长： ②如图3，连接BE,若BE=CD,求∠BAC的度数. 【详解】(1)证明：△ABC≌aDEF, ∴AB=DE,∠BAC=∠EDF, AB=DE ∠BAC=∠EDF 在 和 中， △ABD△DEA AD=AD ∴.△ABD≌△DEA, .BD=AE, ∴.四边形ABDE是平行四边形： (2)①解：如下图所示，连接BE交FC于点O, AB=8,AC=10 .BC=VAC2-AB2=V102-82=6 .‘四边形ABDE是菱形， AB=BD=DE=AE=8,BE和AD互相垂直平分， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,AB=8, ∴tan∠BAC=B0_BC_6_3 AO AB 84' 设B0=3x,则A0=4x, .AB=VB02+A02=V3x}+(4x)}=5x=8 62/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 x25, B0=3x=2 ,A0=4x= 32 5, AD=2A0=64 ， AF=AD-DF=64-10=14 5 9 E ②解：如下图所示，延长BC交DE于点H, :△ABC≌aDEF, .∠ACB=∠DFE, .BC EF ∠DEF=90°， .∠DHB=∠DEF=90°， .∠BHE=90°， ∠EBH+∠BCO=90°，∠CDH+∠DCH=90°， :∠BCO=∠DCH, .∠EBH=∠CDH, ∠BHE=∠DHC=90 ∠EBH=∠CDH 在 和 中， △EBH△CDH BE=CD ∴△EBH≌△CDH, .BH =DH, :∴△BDH是等腰直角三角形， ∠DBH=∠BDH=45°， 63/112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形ABDE是菱形， ∠ADE=∠BDH=22.50 ∴.ABIIDE: 2 ∴.∠BAC=∠ADE=22.5° H 【变式4-3】(25-26八年级下·四川成都期中)如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE 过点E作EF⊥BE,交射线CD于点F. 图1 图2 图3 (1)如图1，若点F在线段CD上，写出BE与EF的数量关系并加以证明： (2)若AB=6,CF=2,求EC的值： (3)如图3，若点F在线段CD上，AB=6,连接BF,交AC于点M,将△EFM沿EF翻折，得到△EFN,连 接BN,交AC于点I,请按题意画出图形，探究当∠EN=90°时，EN的值是多少？ 【详解】(1)解：BE=EF,证明如下： 如图所示，连接DE, A :四边形ABCD是正方形， .BC=DC,∠BCD=90°，∠BCE=∠DCE=45°， 又CE=CE, 64/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BCE≌△DCE(SAS) EB=ED,∠EBC=∠EDC: ,EF⊥BE, .∠BEF=90° ∴.∠BEF+∠BCF=180° ∠EBC+∠EFC=360°-（∠BEF+∠BCF)=180° ,∠EFD+∠EFC=180°， ∴.∠EFD=∠EBC, ∴.∠EFB=∠EBF, ∴ED=EF, ∴EB=EF: (2)解：如图所示，过点E作EH⊥CD于H, ,四边形ABCD是正方形， CD=AB=6,∠DCE=45°， .'..DF =CD-CF=4. 由(1)可得ED=EF, :EH⊥CD, :FPH-DF=2,CEH是等腰直角三角形， ..EH=CH=CF+FH=4. .CE=VCH+EH-CH=4 (3)解：补全图形如下： 65/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 连接BD, ,四边形ABCD是正方形， BD⊥AC, .∠EIN=90°， .BN⊥AC, ∴.B、D、N三点共线 由(1)可得EB=EF, 又，BE⊥EF, ∠EFB=45°， 由折叠的性质可得∠EFN=∠EFM=45°，MF=NF,EN=EM,即∠MFN=90°： 如图所示，过点M作MG⊥CD,过点N作NW⊥CD,垂足分别为G、W, ·.∠NWF=∠FGM=∠MFN=90° .∠GFM+∠GMF=∠GFM+∠WFN=90°. .∠GMF=∠WFN, :△GMF.WVFN(AaS) .NW =FG,WF =GM: :四边形ABCD是正方形， .∠ACD=∠BDC=45°，CD=AB=6,∠ABC=∠BCD=90°， .△DWN,aCMG都是等腰直角三角形， .DW =NW,MG=CG, .DW=FG,WF=CG .CD=DW+WF+FG+CG=6. .DW+WF=CG+FG=3, :.DF=CF=3; 66/112 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，过点E作EP⊥CD于P,延长PE交AB于Q,连接DE,则四边形BCPO是矩形， .AQ=DP,∠BQP=∠AQP-90°， 由2)可知DP=0F 2 3 :.A0=2: 同理可证明△4QE是等腰直角三角形， :B0=AQ Γ2 46=a0+0=54Q=5 如图所示，过点M作MH⊥BC于H, D E G B H :∠ACB=∠ACD=45,MH⊥BC,MG⊥CD. .MG=MH. S.cr=S.c+8.rCM CMH+CF-MG-2BC-CF. :x6MG+3MG=x6x3】 1 .MG=2, CM=MG2+CG2=2MG=22 4C=VAB+BC2=2AB=6 67/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.EN-EM-AC-AE-CM-6-3-25 释疑惑•重难拓展 题型1四边形折叠专题（填空必考） 【典例1】(24-25八年级下重庆期末)如图，在矩形ABCD中，F是边BC上一点，将△CDF沿DF翻折， 点C的对应点C合好落在线段AP上，已知CF=5,CD=3,则4C的长是 AC 刀 72 【答案】4 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ,ADIBC,∠C=90°， ∴.∠ADF=∠CFD, :将△CDF沿DF翻折，点C的对应点C恰好落在线段AF上， :CF=CF=2.CD=CD=3∠CFD=∠AFD ∴.∠ADF=∠AFD, AF=AD-AC+CF-AC+ 在Rt△ACD中， 由勾股定理，得AC2+CD2=AD2, 即4C2+32=(4C'+2, 68/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得 C=72 4. 【变式1-1】(2026河南驻马店三模)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E为BC上一点，连接 DE,过点E作EF⊥DE交AB于点F,连接EF.将△BEF沿EF翻折，使点B落在点G处，连接DG,当 △DGE是以DE为腰的等腰三角形时，则CE的长为 B 【答案】 版2 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， :AD=BC=6,AB=CD=4,∠C=90° 设CE=a,则BE=6-a,由折叠的性质可得BE=GE=6-a,∠GEF=∠BEF, 当△DGE是以DE为腰的等腰三角形时，分为以下两种情况： 如图1，当GE=DE时，DE=6-a, B 图1 图2 ,四边形ABCD是矩形， 在RIACDE中，DE=CE2+DC2,即(6-a=a+4 5 解得a= 3； 如图2，当DG=DE时，过点D作DH⊥GE于H, :E-0E.62 2· 69/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,EF⊥DE, .∠DEF=90°， 、∠GEF+∠GED=90°，∠BEF+∠CED=90°， ·.∠GED=∠CED :DE=DE,∠DHE=∠DCE. &ADHE△DCE(AAS) 6-a=a, HE=CE,即 解得a=2。 5 综上，CE的长为5或2， 【变式1-2】(25-26八年级下·辽宁葫芦岛期中)如图，长方形纸片ABCD中，AB=3Cm,BC=4cm,点 E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB,以C,E,B为顶点的三角形是直角三角 形时，BE的长为 cm D 【答案】3或1.5 【详解】解：由翻折变换的性质可知，AB'=AB=3,B'E=BE,∠AB'E=LB=90°， 分两种情况讨论： ①当∠B'EC=90°时，如图1， B' B 图1 .∠B'EC=90 ∠BEB'=180°-90°=90°， 由翻折变换的性质得∠AEB=∠AEB-)∠BEB=45°， 在RtABE中，∠B=90°， 70/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·△ABE是等腰直角三角形， BE=AB=3; ②当∠EB'C=90°时，如图2， A D B' B-- E 图2 :∠AB'E=90°∠EB'C=90° .∠AB'E+∠EB'C=180°， A、B、C三点在同一直线上， 在Rt△ABC中，由勾股定理得4C=VAB+BC=V32+4平=5 .B'C=AC-AB'=5-3=2 设BE=x,则B'E=x,EC=BC-BE=4-x, 在Rt△EB'C中，由勾股定理得B'E+B'C2=EC2, 即+22=4- 解得x=1.5, BE=1.5. 综上所述，BE的长为3或1.5。 【变式1-3】(25-26八年级下~重庆期中)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=8,点M、N分别在 线段AD、BC上，将四边形ABNM沿着MN翻折到菱形ABCD所在平面得到四边形EFNM,EF刚好过点 D,NF交CD于点G,连接DN.若CN=2,则DN=一，点M到DN的距离为一 B A M E D 4V39 【答案】 2W13 5 【详解】解：过点N作NH⊥CD于点H 71/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A ⊙C四边形ABCD是菱形， M G - ∠A=60°AB=8 ∴CD=BC=AB=8,∠C=∠A=60° :NH⊥CD .∠NHC=90°，∠CNH=30° CN=2, CCN-1 ∴.DH=CD-CH=7 在R1△NCH中，由勾股定理得，NH=VCW-CF=V2-下=V5 在R△NDH中，由勾股定理得，DN=VDH+NH=V72+N3列=2N 由翻折性质可知，四边形EFNM≌四边形ABNM, EF=AB=8,∠E=∠A=60°， FN=BN=BC-CN=6,∠EFN=∠ABC=120°， ,点D在EF上， ∴.∠DFN=120° 过点N作NK⊥EF,交EF的延长线于点K, ∴.∠NFK=180°-120°=60° ∴FK=FN=3 2 在Rt△NFK中，由勾股定理得，NK=VFN-FK=V6-3=35 在RtANKD中，由勾股定理得， DK=VDW2-NK2=V213)2-(3W3)2=5 ..DF=DK-FK=2,ED=EF-DF=6 设AM=x,则EM=x,MD=AD-AM=8-x. 过点M作MP⊥ED交于点P, ∠E=60°，∠MPE=90°， 72/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 GEP=5EM 在p,约取定拜得，r=Vw-P-F-仔-9 1 ∴.PD=ED-EP=6- . 在RtAMPD中，由勾股定理得，MD2=MP2+PD2, 静期一经 ÷MD=8-1426 55· 过点B作BO⊥AD于点Q, :∠A=60°∠AQB=90° ∴.∠ABQ=30° 40=54B=4 由勾股定理得， BQ=VAB2-A02=V82-4=45 AD‖BC, 43 ∴.点N到AD的距离等于菱形的高 设点M到DN的距离为h, 5 45=x23-h, 2 h=4v39 解 5. 73/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-4】(25-26八年级下河南开封·期末)如图，在平行四边形纸片ABCD中， AB=V2,AD=3,∠BCD=45 ，B是线段BC的中点，点F在CD边所在的直线上，将△CEF 沿EF所在的直 线翻折得到△CEF,连接AC',则AC'长度的最小值是 D C B E V293 【答案】22 【详解】解：如图：先作AG⊥BC交CB的延长线于点G,连接AE, D B E AB=2,AD=3, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=3,ABICD :∠BCD=45°，E是线段BC的中点， ∠48G=∠BCD=45BE=CE=8C- 2 根据折叠的性质得CE=CE= 2 根据三角形三边之间的关系，可得AC'≤AE-CE, 当点A、C、E共线时AC'最小， :∠ABG=45°，∠AGB=90°. .∠ABG=∠BAG=45°， ..AG=BG 根据勾股定理，得4G+BG2=AB=(2,解得：4G=BG=1, 74/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EG=BG+BE 2 √293 ∴.AC最小值是22. 题型2动点存在性问题（月考大题） 【典例2】(25-26八年级下辽宁鞍山期中)己知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直 平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长： (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自 A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5Cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的 四边形是平行四边形时，求t的值. ②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位：Cm,ab≠0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是 平行四边形，求a与b满足的数量关系式。 【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形， AD‖BC, ∴.∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE, ,EF垂直平分AC,垂足为O, ..OA=OC, 75/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AOE≌△COF(AAS) ..OE=OF, ∴四边形AFCE为平行四边形， 又EF⊥AC, ∴四边形AFCE为菱形. 设菱形的边长4=CF=xcm,则A BF=(8-x)cm 在Rt△ABF中，AB=4cm, 42+(8-x)2=x2 由勾股定理得 解得x=5, .'AF=5cm (2)①显然当P点在AF上时，O点在CD上， 此时A、C、P、O四点不可能构成平行四边形： 同理P点在AB上时，O点在DE或CE上或P在BF上， Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形. 因此只有当P点在BF上、O点在ED上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA, :点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒， .PC=PF+PC=PF+AF=5t,QA=CD+AD-41 =12-4t,A=12-4t, 0 D B P C.5t=12-4t 解得 4 以4、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，1=3秒. 76/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上. 分三种情况： i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=C0,即a=12-b,得a+b=12: i)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，A0=CP,即12-b=a,得a+b=12, i如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ,即l2-a=b,得a+b=12 综上所述，0与b满足的数量关系式是“+b=12(b≠0) E OD B P 图1 图2 图3 【变式2-1】(25-26八年级下·吉林长春期中)在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm, BD=8cm 4cm/s DC-CB-BD ,动点P从点D出发，以 的速度沿折线 运动，连接MP交BD于点0，设点 P的运动时间为t秒. B B D 备用图 (1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长为DP=_一，CP=一·（用含t代数式表示） (2)在(1)的条件下，当aOPD是等腰三角形时，求t的值： (3)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是lCm/s,当直线PQ平分平行四 △AQP 边形ABCD的面积时，直接写出 的面积. 【详解】(1)解：：平行四边形ABCD中，AB=6Cm, ∴.AB=CD=6cm, 77/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点P在DC边上运动， ∴DP=4t,CP=6-4t (2)解：：AB=6cm,AD=10cm,BD=8cm, .AB2+BD2=62+82=10=AD2 ∴△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°， ,四边形ABCD是平行四边形 :.AB∥CD,AB=CD=6cm, ∴∠BDC=∠ABD=90°， 当aOPD是等腰三角形时，DP=DO=4t, ∴.∠DOP=∠DPO. 又，ABIICD ∴∠BAO=∠DPO, :∠AOB=∠DOP .∠BAO=∠BOA, ∴.AB=BO=6, 又B0=BD-D0=8-4t. :8-41=6,解得：1=2 1 ∴在(1)的条件下，当。OPD是等腰三角形时，t的值是2秒. (3)解：如图，连接AC交BD于G,则点G为平行四边形ABCD的对称中心. B ○ 当点P在CD上，且PQ过点G时，直线PQ平分平行四边形ABCD的面积， ABII CD 78/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABD=∠CDB∠BQG=∠OPG GB=GD ,而 ∴.△BQG≌aDPG(ASA) B0=DP,即6-1=4，解得：1=。 5 409 如图：过P作PE⊥AB交AB延长线于E, ∠BDC=∠EBD=∠E=90°. ∴四边形BDPE是矩形， .PE=BD=8, ÷△40P的面积为240PE=)×5×8=24 25 5: 当点P运动到点G时，如图直线PQ平分平行四边形ABCD的面积，此时BP=PD=4, B G .BP=4t-16 .4-16=4,则t=5, .A0=5: ÷△40P的面积为40PB×5x4=10, 1 如图：O与B重合，P与D重合时，此时直线PQ平分平行四边形ABCD的面积， 1 此时1=6，△A0P的面积等于△ABD的面积，即：2AB:BD=2×6x8=24 B(O) (P) D 24 综上，△4QP的面积为5或10或24. 【变式2-2】(25-26八年级下吉林期中)如图，在口ABCD中，AB=24,AD=20,DE垂直平分AB于 79/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点E.点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点C出发沿射线CD 以每秒3个单位长度的速度运动，点P到达终点时，八Q同时停止运动，设点P运动的时间为'秒>0) AP E B (1)DE的长为 (2)用含t的代数式表示线段DQ的长. (3)当以点A、D,RQ为顶点的四边形是平行四边形时，求1的值. (4)当△PDQ为钝角三角形时，直接写出t的取值范围. 【详解】(1)解：，DE垂直平分AB于点E, .AE=BE=I2,DE⊥AE, AD=20, DE=AD2-AE2 =16 (2)解：在ABCD中，AB=24,AD=20. ..CD=AB=24,BC=AD=20, 当点Q在线段CD上时，D0=24-31, 当点Q在线段CD的延长线上时，D0=31-24: (3)解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且AP∥D0, ∴.AP=DQ ∴.t=24-3t或3t-24=t, 解得：t=6或t=12: (4)解：当点Q在CD上，点P在AE上时，则∠PD0>90°， 80/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0≤3t<24 .0≤t<12, 0≤t<8, 当Q在线段CD的延长线上时，点P在AE上时， 当∠PD=90°时，如图所示， D APE B PE=OD=3t-24 又PE=AE-AP=12-t, .3t-24=12-t, 解得：t=9, ∠POD>90°时，8<t<9； 当点Q在线段CD的延长线上，点P在BE上时，则∠PD>90°， [3t>24 ∴.12<t≤24， 解得：12<t24, 综上所述：0≤t<8或8<t<9或12<≤24 【变式2-3】(25-26八年级下·江苏常州阶段检测)如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形 OABC为矩形， A(10,0)C(0,4) 点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向 点B运动.设动点P的运动时间为秒. P B B B D A xO D D 1 图2 图3 (1)当四边形PODB是平行四边形时，求t的值： 81/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在线段CB上是否存在一点Q,使得四边形ODQP为菱形？若存在，求当四边形ODQP为菱形时t的值， 并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由： (3)若点M是平面内一点，且O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的M的坐标有 【详解】4)解：：四边形01BC为矩形，10,0)，C0,4),点D是OA的中点， ..BC=OA=10,AB=CO=4,0D=AD=5 ,四边形PODB是平行四边形， .PB=OD=5. .PC=5, t=5 (2)解：四边形ODOP为菱形，点P,Q是线段CB上一点， ∴OD=DQ=PQ=OP=5 ∴.CP=√Op2-0C2=3 CQ=3+5=8 t=3.Q(84) (3)解：①当PO,OD为菱形的边时，PO=OD=PM=DM=5, P M B D A 则PC=F-平=3.PM∥OD .CM=3+5=8, .M(8,4) ； 82/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当PD,OD为菱形的边时，PD=OD=PM=5, :P,4,D65,0) ,(t-5)2+42=52 t=2 t=8 解得或 .CP=2或CP=8, M P C B D .CM=5-2=3或CM=8-5=3, ,M(-3,4)M(3,4) ③当PD,OP为菱形的边时，PD=OP=DM=OM,点P与点M关于OD对称， 过点P作PH⊥OD H D M ..OH=1OD=5 2 2 3 棕上.如度r(3t度s 83/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知中考·真题探源 1.(2026四川自贡·中考真题)我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用 出入相补的原理证明了勾股定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S1,S2,正方形ABCD S. 的面积记作，则S,S2与⊙的关系是() D S S+S2<S3 B.S+,=8 c.9+8>S D. S,+S2=S 【答案】B 【详解】解：如图，取点E,F, D S E 根据题意可知，∠AED=∠DFC=90°， :四边形ABCD是正方形， ∴，AD=CD,∠ADC=90° ,∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°， ∴∠ADE=∠DCF, 在△ADE和△DCF中， ∠ADE=∠DCF ∠AED=∠DFC AD=CD 84/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ADE≌△DCF(AAS) .DE=CF, 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2, S,=AE2.52=Cr2=0E2S,=4D2 S1+S2=S3 2.(2026~四川眉山中考真题)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=6cm, BD=8cm PM⊥AC PN⊥BD ,点P为线段BC上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M, 于点N,连接MN,则MN的最小值为() A N 0 B D M 5 12 5 24 A.cm B.5cm C.2cm D.5cm 【答案】B 【详解】解：连接OP, A B D M D ,在菱形ABCD中， ∠BOC=90°、0C=2AC=3Cm,OB=2BD=4cm PM⊥AC,PN⊥BD, 85/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形OMPN为矩形， :.MN=OP, 则MN的最小值为OP最小值， ,点P为线段BC上的一个动点， .OP⊥BC时，OP最小， B 此时Sac-)0B.0C=BC-OP 2 :BC=V32+4=5 0P=OB-0C=3x412 BC 5(cm). 12 .MN的最小值为5 cm 3.(2026江苏扬州中考真题)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，点F在DE的延 长线上.若△ADE的面积是3，则△BCF的面积是 【答案】6 【详解】解：连接CD, 86/112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E ,点E是AC的中点， S.4CD=2S.ADE=6 点D是AB的中点， S.BCD=S.ACD=6 :D,E分别是AB,AC的中点， .DE ll BC S.BCF =S.BCD =6 BCF 即 的面积是6。 4.(2026江苏连云港中考真题)如图，在口ABCD中，AB=3,AD=2,∠BAD的平分线交CD于点 E,则CE=」 O 【答案】1 【详解】，'四边形ABCD是平行四边形， .AB CD AB=CD=3 .∠EAB=∠DEA, :EA平分∠DAB, ∴.∠DAE=∠EAB, ∠DAE=∠DEA, .AD=DE=2, ∴.EC=CD-DE=1 5.(2026四川凉山中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米.动点E从点B出发以 87/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2厘米/秒的速度在线段BC上运动，运动到点C处停止.动点E运动t秒时，连接AE,将△ABE沿着直线 AE折叠，顶点B的对应点是点F,连接CF.当△EFC是直角三角形时，则t为秒 【答案】1.5或3 【详解】解：由折叠的性质可知，AF=AB=6,EF=BE=2t,∠AFE=∠B=90°， ,四边形ABCD是矩形， ∠B=90°，AC=VAB2+BC2=V62+82=10 点E在线段BC上， ·.EC=BC-BE=8-2t: 当△EFC是直角三角形时，分三种情况讨论： ①当∠EFC=90°时，，∠AFE=90°， D B 、.∠AFE+∠EFC=180°， ∴A,F,C三点共线， ∴FC=AC-AF=10-6=4 在 RtAEFC 中，由勾股定理得EF+FC=EC即20+4=8-2 解得t=1.5: ②当∠CEF=90°时， 88/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF⊥BC, .∠BEF=90°， 由折叠可知∠AEB=∠AEF, :∠AEB=)∠BEF=45, 2 在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠AEB=45°， ∠BAE=∠AEB, .BE=AB=6. 2t=6, 解得t=3; ③当∠FCE=90°时此时FC⊥BC,即点F在CD边上， 在RtADF中，斜边AF=6,直角边AD=BC=8, AF AD, .此种情况不存在. 综上所述，t的值为1.5或3 6.(2026云南中考真题)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,AD=BC, ∠ABC+∠BAD=180°，BD平分∠ABC. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若LBAD=2LABC,求∠ACB的度数. 【详解】(1)证明：：∠ABC+∠BAD=180°， .AD//BC, ..AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形， ,ADIIBC,BD平分∠ABC, .∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CBD .∠ABD=∠ADB, 89/112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AB=AD, ∴，四边形ABCD是菱形： (2)解：∠ABC+∠BAD=180°，∠BAD=2LABC, .3∠ABC=180°， .∠ABC=60°， .∠BAD=120°， ,四边形ABCD是菱形， .∠BCD=∠BAD=120°， :∠ACB=】∠BCD=600 2 7.(2026四川遂宁中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,点E是线段AD的中点， 过点A作AFI‖BC交CE的延长线于点F,连接BF. B D (1)求证：△DEC≌△AEF: (2)判断四边形ADBF的形状并说明理由. 【详解】(1)证明：AF‖BC, ·.∠EAF=∠EDC,∠EFA=∠ECD, 点E是线段AD的中点， .AE=DE: 在△AEF和△DEC中， [∠EAF=∠EDC ∠EFA=∠ECD AE=DE 90/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △DEC≌△AEF(AAS) (2)解：四边形ADBF是矩形，理由如下： :在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, .AD⊥BC,CD=BD ∴.∠ADB=90°： 由(1)得△DEC≌△AEF, .'AF=CD .AF =BD. :AF‖BC,即AF I BD, ∴.四边形ADBF是平行四边形， 又，∠ADB=90°， ∴平行四边形ADBF是矩形 8.(2026江苏扬州中考真题)如图，在口ABCD中，O是CD的中点.分别延长AO,BC交于点E,连 接AC,DE 刀 B (1)求证：四边形ACED是平行四边形： (2)若BE=8,∠BAE=90°，求四边形ACED的周长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :.ADIIBC,即AD/CE :.ZDAO=ZCEO,ZADO=ZECO. ,O是CD的中点， ∴.D0=C0 在△AOD与△EOC中， 91/112 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAO=∠CEO ∠ADO=∠ECO DO=CO △AOD≌△EOC(AAS) .AD=CE, 又：ADIICE, ∴四边形ACED是平行四边形 (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， .'BC=AD. 由(1)得AD=CE, :BC=CE,即C为BE的中点， BE=8,∠BAE=90°， :cE=E=4,4c- BE=4, ,四边形ACED是平行四边形， 四边形ACED的周长 =2(AD+AC)=2×(4+4)=16 9.(2026甘肃武威中考真题)在，一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部 分探究内容，请你思考并解答 B B 图1 图2 图3 【初步尝试】 (1)如图1，在△ABC中，AB=AC,过点B作BOI‖AC,BO=2,连接A0.点P在线段AB上，满足 ∠BPC=∠CAQ AP ,求“的长 【类比探究】 92/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P,Q分别是线段 AB , AP=BQ,∠BPC=BCD OE BE上的动点（不含端点）， 当 时，用等式表示出CD和的数量关系， 并说明理由. 【拓展迁移】 (3)如图3，在矩形AEBD中，P,Q分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=B.当 ∠EA0-∠DAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)解：：BQ‖AC. ∴.∠PAC=∠QBA ,∠BPC=∠CAQ .∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠QAB .∠PCA=∠QAB :∠PAC=∠QBA AC=BA∠PCA=∠QAB .APAC≌AQBA(ASA) ∴.AP=BQ=2 (2)解：CD=QE,理由如下： 如图1，连接A0, 93/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,四边形 为矩形， D 图1 AEBD BEI‖AD, ∴.∠PAC=∠QBA ·AC=BA∠PAC=∠QBA AP=BQ △PAC≌△QBA(SAS) ∴.∠CPA=∠AQB .180°-∠CPA=180°-∠A0B, 即∠BPC=∠AQE ∠BPC=∠BCD, ∴∠BCD=∠AQE ,四边形AEBD为矩形， BD=AE∠BDC=∠BDA=∠AEQ=90° .∴ABDC≌△AEQ(AAS) ..CD=OE (3)解：BP=2QE,理由如下： 如图2，延长AD至点F,使得AF=AB,连接BF,PF. 94/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O E D 图2 AF=AB ∠DFB=∠A8F=0s0-∠D4P)=0-DaP, :∠EA0-DMP, ∴.∠DFB=90°-∠EAQ=∠EQA 由(2)同理可得， △DFB≌△EQA(AAS) ..FD=OE AB=AF, ∴AP+BP=AD+FD, ∴.AP+BP=AD+QE ,四边形AEBD为矩形， :AD=BE, .AP+BP=BE+OE ∴.AP+BP=BQ+2QE .AP=BO ∴.BP=2QE 10,(2026四川乐山中考直盟)刻图，在矩形4BCD中，AB=5、4D=1,点P在线段CD上（点P不 与点D重合)，连结AP,将△ADP沿AP翻折得到、点D的对应点为D. 95/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D D D D B (1)求AD'的长度： (2)求证：当DP=1时，四边形AD'PD为正方形： B若点Q在线段AB上，且B0=DP=a0<a≤），连接CQ、将BCcQ沿CQ翻折得到△BCQ、点B的 对应点为B',设点B'与点D之间的距离为d,求d的取值范围. 【详解】(1)解：~△ADP沿AP翻折得到△AD'P, ∴AD'=AD, 又，AD=1, .AD'=1: (2)证明：法一：△ADP沿AP翻折得到△AD'P, D D .'AD'=AD=1,D'P=DP=1 ∴.AD'=AD=D'P=DP ∴四边形AD'PD是菱形， 又：四边形ABCD是矩形， ∠D=90°， ∴四边形AD'PD是正方形： 法二： :四边形ABCD是矩形， 96/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D ∠D=90° 又，△ADP沿AP翻折得到△AD'P, .∠AD'P=∠D=90°，∠DAP=∠D'AP, DP=AD=1, .∠DAP=45°， .∠DAP=∠DAP=45°， .∠DAD'=2∠DAP=90°， ∴.四边形AD'PD是矩形， 又：DP=AD, ∴，四边形AD'PD是正方形： (3)解：①当B'与D重合时， D B D) Q B 此时d=0」 ②当点P与点C重合（点Q与点A重合）时， B D C(P) A(Q) D “四边形ABCD 矩形， AB=3 AD=1 97/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷∠ADC=∠ABC=90°，CD=AB=V5AD=BC=1 4C-V+BC()+F=2. 由折叠可得 AD'=AD=1AB=AB'=V5CD'=CD=5CB=CB'=1∠AD'C=∠ADC=90° ∠AB'C=∠ABC=90°， CB'=AD'=1 AB'=CD'=3 ∴四边形AB'CD'是平行四边形， ,∠AD'C=∠ADC=90°， ∴平行四边形AB'CD'是矩形， :B'D'=AC, ∴d=B'D'=AC=2. .0≤d≤2 11.(2025四川攀枝花中考真题)如图1，正方形ABCD的边长为2.E、F分别为边BC、CD上的动点， △CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB=DF. BE BE M 图1 图2 (1)求证：AG1AF: (2)试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由： (3)如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF,垂足为H.求MH的最小值. 【详解】(1)证明：：正方形ABCD, 、AB=AD,∠ABC=∠BAD=∠D=90°， .∠ABG=90°， .∠ABG=∠D=90° 在△ABG和△ADF中， 98/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF △ABG≌△ADF(SAS) ∴.∠BAG=∠DAF, ∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF. .∠GAF=∠BAD=90°， AG⊥AF: (2)解：aCEF的周长为4， CF+CE+EF=4, ,正方形ABCD的边长为2， .BC=CD=2. ..BC+CD=4, .CF+CE+EF=BC+CD=BE+CE+CF+DF, .'EF=BE+DF, GB=DF, .EF BE+DF=BE+GB=EG. 由(1)得△ABG≌△ADF,∠GAF=90°， .AG=AF, 在△AEG和△AEF中， AG=AF AE=AE EG=EF △AEG≌AAEF(SSS) ∴.∠EAG=∠EAF, EAG-1FAG- ×90°=450 ·.∠EAF的大小是定值，定值为45°： (3)解：连接AM, 99/112 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D BE M ,正方形ABCD的边长为2， ∴.AB=BC=2,∠ABC=90° .AB是△AEG的高， AH⊥EF, ∴AH是△AEF的高， 由(2)得，△AEG≌△AEF. ，SABG=SABr EG-AB-EF-AH, .2 由(2)得，EG=EF, .'AH=AB=2, ,M为边BC的中点， :.BM-IBC=1 2 AM=VAB2+BM2=2+=5 .AH+MH≥AM, :2+MM≥5 MH≥V5-2 解得 .MH 5-2 的最小值为 练好题提分培优 一、单选题 100/112 第03讲 四边形（暑假复习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 平行四边形核心考点（必考） 2 知识点02 矩形、菱形重难点培优 3 知识点03 正方形+五大几何培优模型（中考压轴） 5 剖题型·讲技巧 题型1 性质计算类题型（选择填空高频★★★★★） 9 题型2 判定证明类题型（解答大题必考★★★★★） 10 题型3 几何模型类培优题型（中考压轴★★★★） 13 题型4 综合复合培优题型（中考倒数大题★★★★★） 17 释疑惑·重难拓展 题型1 四边形折叠专题（填空必考） 20 题型2 动点存在性问题（月考大题） 22 知中考·真题探源 24 练好题·提分培优 28 课标要点 一、基础必修课标（全员必掌握，中考必考） 1.理解多边形、四边形相关概念，掌握多边形内角和、外角和公式，了解四边形不稳定性； 2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形概念，厘清四类特殊四边形从属包含关系； 3.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理，规范几何证明书写； 4.掌握直角三角形斜边中线性质，会利用四边形性质完成角度、边长、面积基础计算； 5.了解图形轴对称、旋转性质，能结合全等解决简单四边形几何问题。 二、培优拓展课标（九年级拔高、中考压轴要求） 1.能综合运用四边形性质、全等、勾股定理解决折叠、动点、最值综合题型； 2.掌握正方形半角、共顶点旋转、斜边中线几何模型，具备模型迁移解题能力； 3.能完成四边形存在性问题论证，结合方程思想求解动态几何参数； 4.会用割补法、对角线公式求解不规则垂直四边形面积，优化解题方法； 5.建立平面几何逻辑，规避几何证明跳步、判定逻辑错误，适配中考大题评分标准。 知识点01 平行四边形核心考点（必考） 1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，符号记作： 2. 五大性质 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补； 对角线：对角线互相平分（）； 对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点； 推论：过平行四边形对角线交点的任意直线，平分图形面积。 3. 五大判定（大题优先选用） 定义法：两组对边分别平行； 两组对边分别相等； 一组对边平行且相等（考试最常用）； 两组对角分别相等； 对角线互相平分。 4. 面积公式 练习 1．（2026·山西长治·三模）如图，点，分别是的一组对边 ，上的点，点 ，分别是另一组对边 ， 上的点，且线段 和 把的面积四等分．若 ， ，，则的长为__________． 2．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 知识点02 矩形、菱形重难点培优 一、矩形（有一个角是直角的平行四边形） 1. 专属性质（含平行四边形全部性质） 1. 四个内角均为； 2. 对角线相等且互相平分：； 3. 培优核心推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 Rt△ABC，斜边中点为O，则 2. 三大判定 1. 平行四边形+一个直角⇒矩形； 2. 平行四边形+对角线相等⇒矩形； 3. 四边形有三个内角为直角⇒矩形。 3. 面积： 二、菱形（有一组邻边相等的平行四边形） 1. 专属性质（含平行四边形全部性质） 1. 四条边长度全部相等； 2. 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组内角； 3. 对角线将菱形分割为4个全等的直角三角形。 2. 三大判定 1. 平行四边形+一组邻边相等⇒菱形； 2. 平行四边形+对角线互相垂直⇒菱形； 3. 四边形四条边相等⇒菱形。 3. 培优面积公式（必考） （对角线互相垂直四边形通用） 三、矩形&菱形判定对比易错表 图形 对角线特征 扣分易错点 矩形 平分、相等 仅对角线相等，不是平行四边形，不能判定矩形 菱形 平分、垂直 仅对角线垂直，不是平行四边形，不能判定菱形 练习 3．（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 4．（2026·云南昆明·二模）如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作于点，延长交于点．若，，求四边形的面积． 知识点03 正方形+五大几何培优模型（中考压轴） 一、正方形核心考点 1. 性质：兼具矩形+菱形全部性质 四边相等、四角90°；对角线相等、垂直、平分，对角线平分45°内角；对角线分出4个全等等腰直角三角形 2. 三阶判定（大题规范书写，禁止跳步） 平行四边形+邻边相等+一个直角⇒正方形 矩形+一组邻边相等/对角线垂直⇒正方形 菱形+一个直角/对角线相等⇒正方形 3. 面积公式 （a为边长） 二、五大必考培优模型（暑假拔高核心） 模型1：直角三角形斜边中线模型 条件：共斜边直角三角形｜结论：斜边中点到三顶点距离相等｜用途：倒角、求边长 模型2：正方形45°半角模型（中考高频压轴） 条件：正方形ABCD，∠EAF=45°，E、F在BC、CD边上 核心结论：① ②△CEF周长=2倍正方形边长 辅助线：旋转全等，延长CB至G，使BG=DF，证△ABG≌△ADF 模型3：正方形共顶点旋转模型 共顶点双正方形：对应三角形SAS全等，对应线段相等、夹角90°互相垂直 模型4：对角线垂直四边形面积模型 任意对角线垂直四边形：（菱形、正方形、筝形通用） 模型5：四边形将军饮马最值模型 菱形、正方形边上动点最值：利用对称找点，垂线段最短求值 练习 5．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 7．（2026·山西晋中·二模）如图，在中，，为的中点． (1)实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想证明：若是的中点，证明：． 8．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．（2026·山西晋中·二模）下面是勤学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“正交四边形”的研究报告研究对象：正交四边形 研究思路：类比特殊平行四边形的学习过程，按“定义—性质—判定”的路径，由一般到特殊展开研究． 概念理解：对角线互相垂直的凸四边形叫作正交四边形；有一条对角线平分另一条对角线的正交四边形是筝形．例如，如图，在凸四边形中，若，则四边形为正交四边形；若，，则四边形为筝形． 问题解决：问题：下列四边形中，是筝形的有 ▲ ； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题：如图，分别以的边和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，交于点．求证：四边形是正交四边形． 证明：，． 又，， … 任务： (1)请写出问题中“▲”处空缺的内容为 ． (2)请补全问题的证明过程． (3)在图中，若，，，直接写出的长． 题型1 性质计算类题型（选择填空高频★★★★★） 【典例1-1】（2026·河北沧州·三模）生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·山东青岛·二模）如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（     ） A．2 B． C． D．2.5 【典例1-3】（2026·辽宁朝阳·二模）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 方法技巧 1.角度求值：利用邻角互补、对角线平分角、等腰三角形倒角 2.边长求值：勾股定理、斜边中线、全等线段转化 3.面积求值：底乘高、对角线乘积一半、割补法 通用解题模板 判定图形类型→调取图形专属性质→构造直角三角形→勾股列式求解 【变式1-1】（2026·辽宁沈阳·三模）如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 【变式1-2】（2026·贵州安顺·二模）如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 【变式1-3】（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为_______________． 题型2 判定证明类题型（解答大题必考★★★★★） 方法技巧 题型细分+最优证明路径 1.证平行四边形：优先选【一组对边平行且相等】，步骤最少、不易扣分 2.证矩形：优先路径：先证平行四边形→加对角线相等/一个直角 3.证菱形：优先路径：先证平行四边形→加邻边相等/对角线垂直 4.证正方形：严禁跳步！矩形+邻边相等 / 菱形+直角 两步证明 【典例2-1】（2026·湖北武汉·二模）如图，在中，为上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，请添加一个与有关的条件，____________________使四边形为菱形． 【典例2-2】（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【变式2-1】（2026·山东青岛·二模）已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式2-2】（2026·湖南长沙·三模）如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【变式2-3】（2026·甘肃兰州·二模）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 题型3 几何模型类培优题型（中考压轴★★★★） 方法技巧 1.正方形半角45°模型题：固定旋转辅助线，直接套用EF=BE+DF结论 2.共顶点旋转全等题：双正方形/双菱形共顶点，SAS全等，证线段相等+垂直 3.对角垂直四边形题型：不限图形，直接套用面积公式 【典例3-1】（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，下列结论：①；②四边形是正方形，③若，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【典例3-2】（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【典例3-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）性质：对于一个凸四边形对角线互相垂直且相等，那么这个四边形的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形         B．矩形        C．菱形        D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点． ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值． 【变式3-1】（2026·吉林·二模）如图，点为正方形内一点，，将绕点 按顺时针方向旋转 得到，延长交于点，连接．下列结论：①；②；③四边形 是正方形；④若，则 ，其中正确的结论是____________．（填序号） 【变式3-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【变式3-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： (1)精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为______． 探究发现： (2)博雅小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明. (3)卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. 拓展应用： (4)在（3）的条件下，已知，，直接写出的长． 题型4 综合复合培优题型（中考倒数大题★★★★★） 方法技巧 求值先找直角，证明先证平行； 菱形看对角线，矩形找斜边中线； 正方形遇45必旋转，折叠题目必设元。 【典例4-1】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）【问题背景】 (1)正方形中，E、F分别为边、上一点，，求证：． 【类比分析】 (2)矩形中，M、N分别为边、上一点，、交于点P，若，，，，求的长． 【思维拓展】 (3)在中，点D，E分别在边，上，连接，交于点F．若，，，且，则______． 【典例4-1】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长； (3)若点E为中点，连接，直接写出和的位置关系． 【典例4-3】（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系中轴． (1)如图1，若，且a，b，d满足． ①直接写出C点坐标___________； ②如图2，线段的垂直平分线交y轴于点E，F为的中点，试判断 的大小，并说明理由； (2)如图3，若，F为上任一点，过F作，交于点E，连接，G为线段的中点，的延长线交于M点；试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． (1)当点是中点时，的长为_____； (2)连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 【变式4-2】（2026·浙江杭州·二模）【问题情境】数学课上，同学们以小组为单位用两个全等的三角形进行实验探究． 如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，．可沿直线平移，连接， 【实验探究】 (1)在平移过程中，同学们发现四边形是平行四边形，请证明此结论； (2)当沿平移到某一个位置时，四边形恰好为菱形， ①如图，此时若，，试求的长； ②如图，连接，若，求的度数． 【变式4-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)如图1，若点F在线段上，写出与的数量关系并加以证明； (2)若，，求的值； (3)如图3，若点F在线段上，，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点I，请按题意画出图形，探究当时，的值是多少？ 题型1 四边形折叠专题（填空必考） 【典例1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 【变式1-1】（2026·河南驻马店·三模）如图，矩形中，，点为上一点，连接，过点作交于点，连接．将沿翻折，使点落在点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的长为______． 【变式1-2】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 【变式1-3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在菱形中，，，点、分别在线段、上，将四边形沿着翻折到菱形所在平面得到四边形，刚好过点，交于点，连接．若，则______，点到的距离为______． 【变式1-4】（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，在平行四边形纸片中，，E是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是____________． 题型2 动点存在性问题（月考大题） 【典例2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【变式2-1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【变式2-2】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 1．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在 中，D，E分别是， 的中点，点F在 的延长线上．若 的面积是3，则 的面积是_______． 4．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点E，则____． 5．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在矩形中，厘米，厘米．动点E从点B出发以2厘米/秒的速度在线段上运动，运动到点C处停止．动点E运动t秒时，连接，将沿着直线折叠，顶点B的对应点是点F，连接．当是直角三角形时，则t为_______秒． 6．（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 7．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状并说明理由． 8．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在中，是的中点．分别延长 ， 交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的周长． 9．（2026·甘肃武威·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． 【初步尝试】 (1)如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． 【类比探究】 (2)如图，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【拓展迁移】 (3)如图，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 10．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形中，、，点在线段上（点不与点重合），连结，将沿翻折得到、点的对应点为． (1)求的长度； (2)求证：当时，四边形为正方形； (3)若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 11．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在矩形 中，是边上的一个动点，点 ， 分别是的中点．连接，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，在边上运动，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论： ①四边形是矩形； ②若点E是的中点，则； ③当时，线段长度的最大值为1.5； ④当点E在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在四边形中，，，，，是上一点，且，从点出发以的速度向点运动，同时从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值为____． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在正方形 中， ，点在边上，点 在 上， ，交 于点，交于点，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 三、解答题 5．（2026·河南平顶山·二模）综合与实践：数学实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究． (1)【特例感知】如图1，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕分别与，交于点E，F，连接，．猜想：四边形的形状是______；和的位置关系是_____． (2)【数学思考】如图2，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接并延长，交的延长线于点F，猜想四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展探究】在矩形纸片中，，沿着翻折，使点B落在点E处，连接，当是等腰三角形时，直接写出的长． 6．（25-26八年级下·上海虹口·期末）已知：点 、、 、 分别是四边形 的边 、 、 、 上的点，且点 、、 、 不与四边形 的顶点重合． (1)如图，如果四边形与四边形都是平行四边形，求证：； (2)如图，如果四边形与四边形都是矩形，且 ，求的值； (3)如图，如果四边形与四边形都是正方形，且 、 、 、 所在直线为对称轴，作 、 、 、的对称点、、、，如果，，求的面积（简要写出主要的解题思路即可）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $