周周练08 第二十一章 四边形综合训练（数学新教材人教版八年级下册）

2025-2026学年八年级下学期数学周周练08 第二十一章 四边形综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C D A A B C 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．45． 12．（﹣2，4）． 13．3． 14．134°． 15．72． 16．． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF． ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF． 18．【解答】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD， ∵BO是斜边AC的中线， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵BO＝DOBD， ∴BOAC； 方法二：如图，取BC的中点D，连接OD， ∵点O是AC的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°， ∴OD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AO＝COAC， ∴BOAC． 19．【解答】证明：∵菱形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝AD， ∴∠BAP+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADQ＝180°， ∴∠BAP＝∠ADQ， ∵点P是AD边的中点， ∴AP＝PDAD， ∵DQAD， ∴DQ＝AP， 在△ADQ和△BAP中， ， ∴△ADQ≌△BAP（SAS）， ∴∠Q＝∠APB． 20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为线段BC、AD的中点， ∴AFAD，CEBC， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）解：∵四边形AECF为平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AF＝DF， ∴OF为△ACD的中位线， ∴CD＝2OF＝2×3＝6． 21．【解答】解：（1）①由题意知，n边形的内角和为（n﹣2）×180°，是180°的整数倍， ∵1100°÷180°＝6…20°， ∴这个“多加的锐角”是20°， 故答案为：20； ②由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°， 解得n＝8， ∴小东求的是8边形内角和； （2）由题意知，这个正多边形的一个内角是1080°＝135°， ∴这个正多边形的一个内角是135°； （3）由多边形的内角和定理可得， ， ∴∠FCB＝180°﹣∠FCD＝45°， ∵， ∴∠FBC＝180°﹣∠ABF＝60°， 由三角形的内角和定理得：∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠EFG＝360°﹣∠EFB﹣∠GFC﹣∠BFC＝360°﹣135°﹣120°﹣75°＝30°． 22．【解答】解：（1）证明：∵M是边AC的中点， ∴AM＝CM又∵MN＝DM（已知）， ∴四边形ADCN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∴ADⅡCN（平行四边形的对边平行）． ∴∠ADC+∠DCN＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠ADC＝∠DCN（已知）， ∴∠ADC＝∠DCN＝90°． ∵四边形ADCN是平行四边形，且∠ADC＝90°， ∴四边形ADCN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． （2）如图，过点A作AE⊥BC于点E， 由（1）可知，四边形ADCN是矩形， ∴MA＝MD＝MC＝MN，∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴△MDA是等边三角形， ∴MA＝MD＝AD， ∴AC＝2MA＝2AD， ∵BD＝2AD＝8， ∴AC＝2AD＝8，AD＝4， ∴AB＝AD+BD＝12，， ∵∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴， ∵， ∴． 23．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°， ∴∠DAQ＝90°， ∵AP＝AP， ∴△DAP≌△BAP（SAS）， ∴PD＝PB，∠ADP＝∠ABP， ∵PQ＝PD， ∴PQ＝PB， ∴∠PQA＝∠PBA＝∠ADP， ∵∠AMQ＝∠DMP， ∴∠DPQ＝∠DAQ＝90°； ②AQOP，理由如下： 如图2，在OD上取一点N，使DN＝PA，连接PN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD＝OA，∠AOD＝90°， ∴ON＝OP， ∴△PON是等腰直角三角形， ∴PNOP， ∵∠DPQ＝90°， ∴∠APQ+∠OPD＝90°， ∵∠OPD+∠ODP＝90°， ∴∠APQ＝∠ODP， ∵PD＝PQ， ∴△DNP≌△PAQ（SAS）， ∴PN＝AQ， ∴AQOP； （2）AQ＝CP，理由如下： 如图3，过点D作DE⊥BQ于E，连接DQ， ∴∠AED＝∠DEQ＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AD∥BC， ∴∠ABD＝30°，AC⊥BD，AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°，△ABC是等边三角形， ∴∠BOC＝∠AED，∠AOB＝∠DEQ，∠ACB＝60°， 由（1）同理得：PB＝PD＝PQ，∠DPQ＝∠DAQ＝60°， ∴△PDQ是等边三角形， ∴DQ＝PD＝PB， ∴△ADE≌△CBO（AAS）， ∴DE＝OB，OC＝AE， ∴Rt△DEQ≌Rt△BOP（HL）， ∴EQ＝OP， ∴EQ+AE＝OP+OC， 即AQ＝CP． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练08 第二十一章 四边形综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 2．（3分）如果一个n边形的内角和比外角和多为900°，那么n的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（3分）菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：5，若周长为8，则此菱形的高等于（　　） A． B．4 C．1 D．2 4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 5．（3分）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 6．（3分）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D 7．（3分）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（　　） 甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求． 乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求． A．甲和乙的折法都正确 B．只有甲的折法正确 C．只有乙的折法正确 D．甲和乙的折法都不正确 8．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，连接DE、AC，相交于点F，则∠BFC的度数为（　　） A．60° B．75° C．45° D．80° 9．（3分）如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，QF∥AD，分别交EH、CD于点P、Q，过点P作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（　　） A．四边形AFQD B．四边形FBNP C．四边形MNCD D．四边形ABCD 10．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．④若ON＝3，AD＝2，则线段BE；其中，正确结论的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在▱ABCD中，若∠B+∠D＝3（∠A+∠C），则∠A＝　 　 °． 12．（3分）如图，点O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为 　 　 ． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F．若AB＝4，AD＝8，则BF的长为 　 　 ． 14．（3分）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是2026°，则少算的这个内角的度数为　 　 ． 15．（3分）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小丽在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为12cm，∠D'＝30°，则四边形的面积减少了 　 　 cm2． 16．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，若E，F分别是AD，DC边上的动点，DE＝CF，AF与BE交于点P，连接DP．则DP的最小值为　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF． 求证：BE＝DF． 18．（6分）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点P是AD边的中点，延长CD至Q，使得DQAD，连接BP，AQ，求证：∠Q＝∠APB． 20．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若OF＝3，求CD的长． 21．（8分）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是　 　 度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，F为公共顶点，试求∠EFG的度数． 22．（8分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，M是边AC的中点，连接DM并延长至点N，使得MN＝DM，连接AN，CN，CD，且∠ADC＝∠DCN． （1）求证：四边形ADCN是矩形； （2）若∠BAC＝60°，BD＝2AD＝8，求点A到边BC的距离． 23．（10分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求∠DPQ的度数； ②探究AQ与OP的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练08 第二十一章 四边形综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（3分）如果一个n边形的内角和比外角和多为900°，那么n的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】依题意，列式（n﹣2）×180°＝1260°进行计算，即可作答． 【解答】解：根据n边形的内角和公式可得： （n﹣2）×180°＝1260°， 解得n＝9， 故选：C． 3．（3分）菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：5，若周长为8，则此菱形的高等于（　　） A． B．4 C．1 D．2 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用直角三角形的30度角的性质，即可解决问题． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8， ∴AD＝AB＝2，AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A：∠B＝1：5， ∴∠A＝30°． 过点D作DE⊥AB于点E， ∴， ∴此菱形的高等于1． 故选C． 4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】由平行四边形性质可得OB＝OD，即O为BD中点，又E是PD的中点，所以OE是△PBD中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵E是PD的中点， ∴OE是△PBD中位线， ∴， ∵点P是AB的中点，AB＝6， ∴，即． 故选：B． 5．（3分）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【分析】根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数﹣3，即可得出答案． 【解答】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线， 故选：C． 6．（3分）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填DC＝CB D．（4）处可填∠B＝∠D 【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， ∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意； 故选：D． 7．（3分）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（　　） 甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求． 乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求． A．甲和乙的折法都正确 B．只有甲的折法正确 C．只有乙的折法正确 D．甲和乙的折法都不正确 【分析】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，根据对应角相等即可得出结论． 【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB∠EAD＝45°； 乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'（∠DAC+∠BAC）90°＝45°； 故选：A． 8．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，连接DE、AC，相交于点F，则∠BFC的度数为（　　） A．60° B．75° C．45° D．80° 【分析】由等腰△ADE可求∠ADE度数，则∠CDF度数可知，证明△DCF≌△BCF，可得∠CBF＝∠CDF，在△CBF中利用三角形内角和定理可知∠BFC度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝BC，∠DCF＝∠BCF＝45°． 又CF＝CF， ∴△DCF≌△BCF（SAS）． ∴∠CDF＝∠CBF． ∵△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB，∠BAE＝60°． 又AB＝AD， ∴AD＝AE，且∠DAE＝90°+60°＝150°， ∴∠ADE＝（180°﹣150°）÷2＝15°． ∴∠CDF＝90°﹣15°＝75°＝∠CBF． ∴∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝180°﹣45°﹣75°＝60°． 故选：A． 9．（3分）如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，QF∥AD，分别交EH、CD于点P、Q，过点P作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（　　） A．四边形AFQD B．四边形FBNP C．四边形MNCD D．四边形ABCD 【分析】连接PG，FN，根据平行四边形的性质可得△FPG的面积▱EFGH的面积，再利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而可得QF∥BC，进而可得△FPG的面积＝△FPN的面积，然后再根据MN∥AB，可证四边形FBNP是平行四边形，从而可得△FPN的面积▱FBNP的面积，进而可得▱EFGH的面积＝▱FBNP的面积，即可解答． 【解答】解：连接PG，FN， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴△FPG的面积▱EFGH的面积， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵QF∥AD， ∴QF∥BC， ∴△FPG的面积＝△FPN的面积， ∵MN∥AB， ∴四边形FBNP是平行四边形， ∴△FPN的面积▱FBNP的面积， ∴▱EFGH的面积＝▱FBNP的面积， ∴若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道四边形FBNP的面积， 故选：B． 10．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．④若ON＝3，AD＝2，则线段BE；其中，正确结论的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，根据平行线的性质得到DE⊥AC，根据垂直的定义得到∠DNA＝∠BMC＝90°，证明△DNA≌△BMC（AAS）得∠ADE＝∠CBF，AN＝CM，DN＝BM，可判断①；证明△ADE≌△CBF（ASA）得DE＝BF，证明四边形NEMF是平行四边形，得EM∥FN，可判断②；证明四边形DEBF是平行四边形，得∠ODN＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形，可判断③；设AN＝a，NE＝b，AE＝c，则OD＝OA＝a+3，根据勾股定理得AD2﹣AN2＝DN2＝OD2﹣ON2，即，解得a＝2，得到DN＝4，AC＝10，则，由DE2＝AD2+AE2和，可得，NE＝b＝1，可判断④． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAN＝∠BCM， ∵BF⊥AC，DE∥BF， ∴DE⊥AC， ∴∠DNA＝∠BMC＝90°， 在△DNA和△BMC中， ， ∴△DNA≌△BMC（AAS）， ∴∠ADE＝∠CBF，AN＝CM，DN＝BM， 故结论①正确，符合题意； 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE＝CF，DE＝BF， ∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF， ∵DE∥BF， ∴四边形NEMF是平行四边形， ∴EM∥FN， 故结论②正确，符合题意； ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴BE＝DF， ∵BE∥DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵AO＝AD， ∴AO＝AD＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠ADO＝∠DAN＝60°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝90°﹣60°＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADN＝∠ODN＝30°， ∴∠ODN＝∠ABD， ∴DE＝BE， ∴四边形DEBF是菱形， 故结论③正确，符合题意； 设AN＝a，NE＝b，AE＝c， ∵ON＝3，AD＝2，DE⊥AO，∠DAE＝90°， ∴OD＝OA＝a+3， 又∵AD2﹣AN2＝DN2＝OD2﹣ON2， 即， 解得：a＝2， ∴DN4，AC＝2OA＝10， ∴， ∵DE2＝AD2+AE2，即， 又∵，即， ∴AE＝c，NE＝b＝1， ∴BE＝AB﹣AE＝3， 故结论④错误，不符合题意； 综上所述，正确结论的个数有3个． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在▱ABCD中，若∠B+∠D＝3（∠A+∠C），则∠A＝　45　 °． 【分析】根据平行四边形的对角相等的性质和四边形的内角和是360°解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°， ∵∠B+∠D＝3（∠A+∠C）， ∴∠B+∠D+∠A+∠C＝4（∠A+∠C）＝360°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝45°， 故答案为：45． 12．（3分）如图，点O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为 　（﹣2，4）　 ． 【分析】由菱形的性质得到AC＝OC，AC∥BO，推出AC⊥OM，由点C的坐标，得到CM＝3，OM＝4，由勾股定理求出OC＝5，得到AC＝5，求出AM＝2，可得结论． 【解答】解：如图，AC交y轴于M， ∵四边形ABOC是菱形， ∴AC＝OC，AC∥BO， ∵BO⊥OM， ∴AC⊥OM， ∵点C的坐标为（3，4）， ∴CM＝3，OM＝4， ∴OC5， ∴AC＝OC＝5， ∴AM＝AC﹣MC＝2， 点A的坐标为（﹣2，4）． 故答案为：（﹣2，4）． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F．若AB＝4，AD＝8，则BF的长为 　3　 ． 【分析】先连接FA，根据线段垂直平分线的性质可知FA＝FC，再根据矩形的性质可知AB＝CD，AD＝BC，然后根据勾股定理即可求得BF的值． 【解答】解：连接FA，如图所示， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴FA＝FC， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠B＝90°， ∴AB2+BF2＝AF2， 设BF＝x，则CF＝8﹣x， ∵42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 即BF＝3， 故答案为：3． 14．（3分）小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是2026°，则少算的这个内角的度数为　134°　 ． 【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解n，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【解答】解：设凸多边形的边数为n（n≥3，且n为整数），少算的内角的度数为x（0°＜x＜180°）， 则（n﹣2）×180°﹣x＝2026°， 解不等式0＜（n﹣2）×180°﹣2026°＜180°， 得n＝14． ∵多边形的内角和为（14﹣2）×180°＝2160°， 故x＝2160°﹣2026°＝134°． 故答案为：134°． 15．（3分）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小丽在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为12cm，∠D'＝30°，则四边形的面积减少了 　72　 cm2． 【分析】过D′作D′E⊥BC交BC延长线于点E；则∠D′CE＝∠A′D′C＝30°，，则可求得▱A′BCD′的面积，再求出正方形的面积，即可求得减少的面积． 【解答】解：如图，过D′作D′E⊥BC交BC延长线于点E； 由题意知，AB＝BC＝CD＝AD＝12cm，则A′B＝CD′＝A′D′＝BC＝12cm， 则四边形A′BCD′是菱形， ∴BC∥A′D′， ∴∠D′CE＝∠A′D′C＝30°， ∴， 则▱A′BCD′的面积为BC•D′E＝12×6＝72（cm2）， 而正方形面积为12×12＝144（cm2）， 故减少的面积为144﹣72＝72（cm2）． 故答案为：72． 16．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，若E，F分别是AD，DC边上的动点，DE＝CF，AF与BE交于点P，连接DP．则DP的最小值为　　 ． 【分析】根据“边角边”证明△ABE≌△DAF，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠DAF，然后求出∠APB＝90°，取AB的中点O，连接OP，DP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AB的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得O、P、D三点共线时线段DP的值最小，然后根据勾股定理列式求出OD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD， ∵DE＝CF， ∴AD﹣DE＝CD﹣CF，即AE＝DF， 在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠DAF＝∠ABE， ∴∠BAP+∠ABP＝∠BAP+∠DAF＝∠BAD＝90°， ∴∠APB＝90°， 取AB的中点O，连接OP，DP， 则， ∴， ∵DP≥OD﹣OP， ∴当O、P、D三点共线时，DP取最小值， 最小值， 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF． 求证：BE＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，再判断四边形BEDF是平行四边形，即可得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AE＝CF． ∴OE＝OF， ∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF． 18．（6分）下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 【分析】方法一：延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD，根据三角形中线的定义可得AO＝CO，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得四边形ABCD是矩形，然后利用矩形的性质可得AC＝BD，从而可得BOAC，即可解答； 方法二：取BC的中点D，连接OD，再结合已知可得DO是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DO∥AB，从而可得∠ODC＝∠ABC＝90°，进而可得OD是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得OB＝OC，从而可得BOAC，即可解答． 【解答】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD， ∵BO是斜边AC的中线， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵BO＝DOBD， ∴BOAC； 方法二：如图，取BC的中点D，连接OD， ∵点O是AC的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°， ∴OD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AO＝COAC， ∴BOAC． 19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点P是AD边的中点，延长CD至Q，使得DQAD，连接BP，AQ，求证：∠Q＝∠APB． 【分析】根据菱形的性质及角的等量代换得到∠BAP＝∠ADQ，进而证得DQ＝AP，再证明△ADQ≌△BAP（SAS），即可得证． 【解答】证明：∵菱形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝AD， ∴∠BAP+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADQ＝180°， ∴∠BAP＝∠ADQ， ∵点P是AD边的中点， ∴AP＝PDAD， ∵DQAD， ∴DQ＝AP， 在△ADQ和△BAP中， ， ∴△ADQ≌△BAP（SAS）， ∴∠Q＝∠APB． 20．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O． （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2）若OF＝3，求CD的长． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，再证明AF＝CE，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）先根据平行四边形的性质得到OA＝OC，则可判断OF为△ACD的中位线，然后根据三角形中位线定理求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为线段BC、AD的中点， ∴AFAD，CEBC， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）解：∵四边形AECF为平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AF＝DF， ∴OF为△ACD的中位线， ∴CD＝2OF＝2×3＝6． 21．（8分）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是　20　 度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，F为公共顶点，试求∠EFG的度数． 【分析】（1）①由题意知，多边形的内角和为180°（n﹣2），是180°的整数倍，用1100°÷180°，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，180°（n﹣2）＝1080°，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出∠GFC＝∠FCD＝135°，∠EFB＝∠ABF＝120°，再根据三角形的内角和算出∠BFC，据此计算即可求解． 【解答】解：（1）①由题意知，n边形的内角和为（n﹣2）×180°，是180°的整数倍， ∵1100°÷180°＝6…20°， ∴这个“多加的锐角”是20°， 故答案为：20； ②由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°， 解得n＝8， ∴小东求的是8边形内角和； （2）由题意知，这个正多边形的一个内角是1080°＝135°， ∴这个正多边形的一个内角是135°； （3）由多边形的内角和定理可得， ， ∴∠FCB＝180°﹣∠FCD＝45°， ∵， ∴∠FBC＝180°﹣∠ABF＝60°， 由三角形的内角和定理得：∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠EFG＝360°﹣∠EFB﹣∠GFC﹣∠BFC＝360°﹣135°﹣120°﹣75°＝30°． 22．（8分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，M是边AC的中点，连接DM并延长至点N，使得MN＝DM，连接AN，CN，CD，且∠ADC＝∠DCN． （1）求证：四边形ADCN是矩形； （2）若∠BAC＝60°，BD＝2AD＝8，求点A到边BC的距离． 【分析】（1）先证明四边形ADCN是平行四边形，可得AD∥CN，再由∠ADC＝∠DCN，可得∠ADC＝∠DCN＝90°，即可证明结论； （2）过点A作AE⊥BC于点E，利用矩形的性质可得MA＝MD＝MC＝MN，∠ADC＝90°，由∠BAC＝60°可得△MDA是等边三角形，则可得AC＝2AD＝8，AD＝4，再可求得CD，BC，然后利用三角形的面积求出AE的长即可． 【解答】解：（1）证明：∵M是边AC的中点， ∴AM＝CM又∵MN＝DM（已知）， ∴四边形ADCN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∴ADⅡCN（平行四边形的对边平行）． ∴∠ADC+∠DCN＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠ADC＝∠DCN（已知）， ∴∠ADC＝∠DCN＝90°． ∵四边形ADCN是平行四边形，且∠ADC＝90°， ∴四边形ADCN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． （2）如图，过点A作AE⊥BC于点E， 由（1）可知，四边形ADCN是矩形， ∴MA＝MD＝MC＝MN，∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴△MDA是等边三角形， ∴MA＝MD＝AD， ∴AC＝2MA＝2AD， ∵BD＝2AD＝8， ∴AC＝2AD＝8，AD＝4， ∴AB＝AD+BD＝12，， ∵∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴， ∵， ∴． 23．（10分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD． （1）如图1，若四边形ABCD是正方形． ①求∠DPQ的度数； ②探究AQ与OP的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由． 【分析】（1）①可证明△DAP≌△BAP，进而推出PD＝PB；可得出PB＝PD＝PQ，根据等边对等角和8字形可得结论； ②如图2，在OD上取一点N，使DN＝PA，连接PN，证明△DNP≌△PAQ（SAS），可得结论； （2）如图3，过点D作DE⊥BQ于E，连接DQ，先证明△PDQ是等边三角形，再证明△ADE≌△CBO（AAS）和Rt△DEQ≌Rt△BOP（HL），进一步得出结论． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°， ∴∠DAQ＝90°， ∵AP＝AP， ∴△DAP≌△BAP（SAS）， ∴PD＝PB，∠ADP＝∠ABP， ∵PQ＝PD， ∴PQ＝PB， ∴∠PQA＝∠PBA＝∠ADP， ∵∠AMQ＝∠DMP， ∴∠DPQ＝∠DAQ＝90°； ②AQOP，理由如下： 如图2，在OD上取一点N，使DN＝PA，连接PN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD＝OA，∠AOD＝90°， ∴ON＝OP， ∴△PON是等腰直角三角形， ∴PNOP， ∵∠DPQ＝90°， ∴∠APQ+∠OPD＝90°， ∵∠OPD+∠ODP＝90°， ∴∠APQ＝∠ODP， ∵PD＝PQ， ∴△DNP≌△PAQ（SAS）， ∴PN＝AQ， ∴AQOP； （2）AQ＝CP，理由如下： 如图3，过点D作DE⊥BQ于E，连接DQ， ∴∠AED＝∠DEQ＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AD∥BC， ∴∠ABD＝30°，AC⊥BD，AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°，△ABC是等边三角形， ∴∠BOC＝∠AED，∠AOB＝∠DEQ，∠ACB＝60°， 由（1）同理得：PB＝PD＝PQ，∠DPQ＝∠DAQ＝60°， ∴△PDQ是等边三角形， ∴DQ＝PD＝PB， ∴△ADE≌△CBO（AAS）， ∴DE＝OB，OC＝AE， ∴Rt△DEQ≌Rt△BOP（HL）， ∴EQ＝OP， ∴EQ+AE＝OP+OC， 即AQ＝CP． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $