第05讲 函数及其性质（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦函数及其性质，覆盖函数概念、三要素、单调性、奇偶性、周期性、对称性、分段函数及新定义等高考核心考点，按“概念-性质-应用”逻辑构建知识框架，通过命题分析、知识精讲、题型拆解、真题训练等环节帮助学生系统突破难点。 资料特色在于紧密对接高考命题趋势，强化基础性质应用与新定义问题破解，采用“知识解构+题型破译+分层训练”模式，如在单调性教学中结合定义证明与复合函数法则培养数学思维，通过课本典例与真题溯源提升数学语言表达能力，分层练习确保复习实效，为教师把控复习节奏提供有力指导。

第05讲 函数及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的概念及其表示 知识点2 函数的单调性与最值 知识点3 函数的奇偶性 知识点4 函数的周期性和对称性 题型破译 (含超链接） 题型1 函数的定义域 题型2 函数的值域 题型3 函数的解析式 题型4 函数的表示方法 题型5 分段函数 题型6 确定函数的单调性 题型7 函数的单调性的应用 题型8 函数奇偶性的判断 题型9 函数的奇偶性的应用 题型10 函数的周期性 题型11 函数的对称性 题型12 函数新定义 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 分段函数 秋考第12题 秋考第2题 春考第9题 函数单调性 秋考第15、19题 春考第21题 函数奇偶性 秋考第5题 秋考第21题 春考第21题 秋考第4、16题 春考第21题 函数新定义 春考第16、21题 秋考第21题 春考第21题 秋考第16题 考情分析 ① 强化新概念阅读理解，现场定义函数成为压轴主流； ② 弱化复杂导数放缩，强化函数基础性质（单调、奇偶、周期、对称） 作为推理工具； ③ 数形结合、分类讨论、转化与化归三大思想贯穿全题； ④ 教考衔接：全部素材源自教材例题改编，不考偏难怪技巧。 复习目标 1.掌握函数三要素：熟练求定义域、常规解析式、基础值域，分段函数求值、解不等式零失误 2.熟记奇偶、单调基础性质，会判定性质、求基础参数、对称区间求值 3.会用定义证明简单单调性，吃透复合函数同增异减法则 4. 灵活运用四大性质，完成函数不等式、存在性、唯一性逻辑证明 5. 熟练拆解上海新定义压轴函数，掌握反证法、分类讨论规范书写 6. 融会贯通周期+对称+单调性综合题型，数形结合简化压轴推理运算 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的概念及其表示 1.函数的概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 5.防范四个易错点 (1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化. (2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围. (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围. (4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错. 自主检测 1．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确； 对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误； 对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误； 对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误. 故选：A. 知识点2 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增, 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减, 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 3.函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I上单调递增. ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1). (3)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 4.解题时谨防以下易误点 (1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M. 5.求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 自主检测 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则满足条件的实数的值是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于A，，在上单调递减，所以A不正确； 对于B，，，定义域为为，是非奇非偶函数，所以B不正确； 对于C，，，是奇函数，且在上单调递增，所以C正确； 对于D，，，是偶函数，所以D不正确； 故选：C. 知识点3 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c. 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 自主检测 3．（2026·上海·三模）下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，定义域关于原点对称，，为偶函数，故A选项错误； 对于B选项，，，为非奇非偶函数，故B选项错误； 对于C选项，为偶函数，故C选项错误； 对于D选项，为奇函数，故D选项正确. 知识点4 函数的周期性和对称性 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称. (3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称. 4.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|； (2)若f(x＋a)＝则T＝2|a|； (3)若f(x＋a)＝－则T＝2|a|. 5.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|. 自主检测 4．定义在上的函数满足，则下列函数中是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，定义在上的函数满足， 所以， 所以是周期为的周期函数. 故选：B. 5．函数的图象关于（    ）对称． A．轴 B．直线 C．坐标原点 D．直线 【答案】C 【详解】因为，定义域为R，所以， 所以函数为奇函数，即函数的图象关于原点对称， 故选：． 题●型●破●译 题型1 函数的定义域 例1函数的定义域为________． 【答案】 【分析】求对数函数的定义域需要满足真数大于0，所以只需解二次不等式. 【详解】要使函数有意义， 只需，即， 解得或， ∴函数的定义域为. 故答案为： 【变式训练1-1】（25-26高三上·上海·期中）函数 的定义域为________. 【答案】 【详解】由题意有：，所以， 所以函数 的定义域为， 故答案为：. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的定义域为______. 【答案】 【详解】对于函数，有，可得，等价于，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练1-3】（2025·上海·三模）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型2 函数的值域 例2-1（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）定义在区间上的函数的值域为_____. 【答案】 【详解】由于定义域为，对于任意 ，则， 所以，因此， 当且仅当时，即时，等号成立， 即函数最大值为， 无最小值. 所以，在区间上的函数的值域为. 故答案为： 例2-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 例2-3（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 【变式训练2-1】已知函数的值域为，则函数的值域为__________. 【答案】 【详解】函数的图象是通过一下操作得到的： 首先将函数上所有点的横坐标缩小到原来的得到， 然后将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 以上操作过程中不改变函数图象的“高度”， 也就是说函数的值域和函数的值域一样，都是. 故答案为：. 【变式训练2-2】若函数的值域为，则实数a的值为_____． 【答案】2 【详解】由， ∵，∴， 又该函数的值域为， ∴． 故答案为：2． 【变式训练2-3】函数在区间上的值域为，则m的范围是_________. 【答案】 【详解】由题意可得：，开口向上，对称轴为， 且，    若函数在区间上的值域为，则， 所以m的范围是. 故答案为：. 【变式训练2-4】函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为__________. 【答案】 【详解】由题设，则， 又函数的值域为，则，可得， 可得函数的定义域为 函数， 所以且，可得 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即. 故答案为： 题型3 函数的解析式 例3已知，则函数的解析式为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用换元法求解作答. 【详解】依题意，令，则， 所以函数的解析式为. 故答案为： 【变式训练3-1】已知函数满足：①对任意恒有成立；②时，；若，则满足条件的最小的正实数是______. 【答案】40 【详解】取则，从而 ，其中 ， 设 则 所以，即 ∴满足条件的最小的正实数是40． 故答案为：40. 【变式训练3-2】设，，，则函数的最小值的解析式为__________. 【答案】 【详解】由已知，， 则，， 又函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当，即时，函数在上单调递减， 则的最小值为，即此时； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，即此时； 当时，函数在上单调递增， 则的最小值为，即此时； 综上所述. 故答案为：. 【变式训练3-3】已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【详解】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则①， 又②， 用替换可得③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又，两式相加，整理得， 显然当时也成立， 所以. 故答案为： 题型4 函数的表示方法 例4-1下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 例4-2已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【答案】10 【详解】当时，，则. 故答案为：10 例4-3已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用________表示． 【答案】①② 【分析】根据分段函数的形式，只能用解析法表示. 【详解】函数不能用列表法和图像法表示，只能用解析法表示. 利用解析法表示为 . 故答案为：①② 【变式训练4-1】某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为________． 【详解】由图知，当时，设函数为，则 ，得，所以， 当时，设函数为，则 ，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为. 故答案为： 【变式训练4-2】国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 【详解】观察表格，用分段函数表示法可得所求即为. 题型5 分段函数 例5-1（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 例5-2（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 【答案】 【详解】当时，，所以. 展开式中，的系数为. 例5-3（25-26高三上·上海·期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】当时，， 若时，；若时，， 故当时，函数的最小值为0； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数不存在最小值； 当时，函数在上单调递减，此时， 若且时，， 因为函数存在最小值，则，解得， 所以； 若且时，函数在上单调递增， 则， 因为函数存在最小值，则，即，该不等式无解； 综上，实数t的取值范围是， 故答案是：. 例5-4（25-26高三上·上海·期中）设，则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】当时，单调递增，单调递减， 故单调递减，且； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 解得，与不符，故不等式无解； 当且，即时，，故不等式无解； 当且，即且，不可能成立； 当且，即时，，不等式成立， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 方法技巧 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 【变式训练5-1】（2025·上海金山·三模）已知函数，其中，则__________． 【答案】 【分析】根据自变量的取值代入求值即可. 【详解】因为时，， 所以， 故答案为： 【变式训练5-2】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】对任意，都有成立，可知函数在上单调递减， 则，解得， 故答案为：. 【变式训练5-3】（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，若是的最小值，则实数的取值范围为________. 【答案】 【详解】因在上单调递减，在上单调递增， 欲使是的最小值，则需，即，得， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时不是最小值，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时是最小值， 符合题意， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：    【变式训练5-4】28．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 题型6 确定函数的单调性 例6-1（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意； 对于B，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意； 对于C，是定义在上的周期函数， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意； 对于D， 在上为严格增函数，故D符合题意. 例6-2（25-26高三上·上海·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并解关于的不等式. 【详解】（1）∵是奇函数， ∴,即， ∴． ∴，又， ∴，∴， ∴． （2）在区间上是增函数．证明如下: 任取，，且， , ∵，∴， ∴，又，，， ∴即， ∴在区间上是增函数． 是奇函数，且， ， ，解得， 故不等式的解集为. 【变式训练6-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以幂函数在上是增函数，所以A错误； 令，则其定义域为，且， 所以函数是奇函数，所以B错误； 因为，所以函数在上单调递增，所以C错误； 函数的定义域为， 对，，所以函数是偶函数. 因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，所以D正确. 【变式训练6-2】（24-25高三上·上海闵行·期中）若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则满足条件的实数的值是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于A，，在上单调递减，所以A不正确； 对于B，，，定义域为为，是非奇非偶函数，所以B不正确； 对于C，，，是奇函数，且在上单调递增，所以C正确； 对于D，，，是偶函数，所以D不正确； 故选：C. 【变式训练6-3】已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得，所以，定义域为， 且，所以（）； (2)在区间上为严格增函数， 证明如下：设任意， 则， 由，得， 即，，， 所以，即，故在区间上为严格增函数. 题型7 函数的单调性的应用 例7-1已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，显然函数在上都递增，则函数在上递增， 而，，， 又，因此 所以. 故选：C 例7-2（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 【答案】D 【详解】 因为，的定义域为； 所以中，解得； 所以，的定义域是 令，，则，所以， 在上单调递增，当时，即时，取得最大值为. 故选：D 例7-3（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 方法技巧 (1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 【变式训练7-1】（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由①，对任意的，当时，都有， 则，故函数在上单调递增， 由②，，则， 则函数为周期函数，周期为8， 由③，是偶函数，则函数关于直线对称， 所以， ， 而，且函数在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 【变式训练7-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，其中，存在实数使得成立.若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】设， 因为，则，所以， 则， 当时，， 则，显然存在任意正整数使得成立； 当时，，， 要使得正整数的最大值为8，则，解得； 当时，，，则， 显然存在任意正整数使得成立； 当时，，则， 要使得正整数的最大值为8，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练7-3】（2026·上海徐汇·二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 【答案】 【详解】 作垂直于无人机航线与平面的平面，与无人机航线交于点A,与平面交于直线BC， 线段BC的长为农药条带的宽度，BH为水平线 作于D，于H,由坡角为易得， 由题意得, 则，， 所以， ， 因为，所以，， . 【变式训练7-4】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知（其中），且的最小正周期为． (1)求函数的表达式及其所有的极大值点； (2)若，且对任意恒成立，求的最大值； (3)若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）因为的最小正周期，由得，所以， 令，解得， 故极大值点为； （2）， 则，， 因为对任意恒成立， 所以，即， 即， 即， 即对任意恒成立， 由得， 得， 故的最大值为； （3）当时， ， 因为正弦函数在单调递增，在上单调递减，且， 则关于的方程在上有四个不相等的实数根等价于方程在上有两个不等实根， 则，，，， 得，故的取值范围是. 题型8 函数奇偶性的判断 例8-1（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，，函数定义域为，且，所以函数为偶函数； 对于选项B，，函数定义域为，所以函数为非奇非偶函数； 对于选项C，，定义域为，且，所以函数为偶函数； 对于选项D，，函数定义域为， 且，所以函数为奇函数； 例8-2（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 例8-3（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数 (1)若，求x的值； (2)是否存在实数k，使得函数为偶函数？请说明理由． 【详解】（1）函数的定义域为，且. 由，得，即，即. 所以或，解得或. （2）存在.理由如下： 假设存在实数，使得函数为偶函数. 则恒成立 即恒成立， 即恒成立. 因为不恒成立，所以，所以. 当时，，其定义域为. 因为， 所以函数是偶函数. 故存在实数，使得函数为偶函数. 方法技巧 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 【变式训练8-1】（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 【变式训练8-2】（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 【答案】 【详解】解：设， ， 又函数是奇函数， ，即，， ，， 解得． 【变式训练8-3】（2025·上海杨浦·一模）已知函数，. (1)记，求证：函数为偶函数； (2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 【详解】(1)根据题意， ， 则， 所以函数为偶函数； （2）由辅助角公式得， 则， 所以，可得， 由余弦定理可得，由于 ，， 则，解得（舍去负根）， 由已知得，则， 所以. 【变式训练8-4】（25-26高三上·上海·开学考试）已知为常数，函数． (1)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． 【详解】（1）记，定义域为， ①当时，， 因为，故函数为偶函数， ②当时，， 取，因为且， 即且，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数． （2）， 因为，所以当时，， 当时，， 所以函数在上严格单调递增，在上严格单调递减． 题型9 函数的奇偶性的应用 例9-1（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； 例9-2（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，则函数是定义域为， 因为是增函数，是减函数，是增函数， 所以在上单调递增； 因为， 所以其图象关于点对称，即有，即． 由得 ， 即， 即，所以 ，解得 ． 故选：A． 方法技巧 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 【变式训练9-1】（25-26高三上·上海·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数的定义域为， ∵， ∴函数为偶函数， 当时，， 又，均在上单调递增，所以在上单调递增， 根据偶函数性质可知不等式，等价于， 即，解得， ∴的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练9-2】（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则函数在处的导数_____. 【答案】 【详解】因为奇函数的定义域为， 令，则，所以， 所以当时，， 所以. 故答案为：. 题型10 函数的周期性 例10-1（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，对于下列两个命题：①②的值域为.判断正确的是（    ）. A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】D 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以，故①错. 当时，，所以，即， 又因为函数是偶函数，所以，可得， 所以当时，， 又因为函数是周期为4的周期函数，所以的值域为，故②对. 故选：D. 例10-2（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 例10-2（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，若存在实数和定义域为的周期函数 ，使得恒成立，则称具有性质. (1)判断，是否具有性质，不需说明理由； (2)已知对任意实数，函数，满足， .若具有性质， （i）当时，求 （ii）求证：不是周期函数; （iii）求证：具有性质. 【详解】（1）因为 ，其中为周期函数，所以具有性质， 若具有性质，则存在实数和周期函数，使得， 所以为周期函数， 又由二次函数性质知当且仅当时，取最小值， 这与是周期函数矛盾，所以不具有性质； （2）（i）由，，，可得 ； （ii）若是周期函数，设是 的一个周期， 则 ，这与 矛盾， 所以不是周期函数； （iii）因为具有性质，所以存在实数和周期函数，使得， 由(ii)知，否则是周期函数，矛盾， 令 ， 以下证是以为周期的周期函数，是 的周期， ， 假设存在 ，使得 ， 则 ，矛盾， 所以 所以 ， 所以 具有性质 ，即证. 方法技巧 (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 【变式训练10-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）设和是定义在上的两个函数，，是上任意两个不相等的实数，下列结论正确的有（   ）． （1）若恒成立且为奇函数，则为奇函数； （2）若恒成立且为周期函数，则也是周期函数； （3）若恒成立且为上的严格增函数，则，都是上的严格增函数 A．（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3） 【答案】A 【详解】对于（1），令， ， 则为奇函数，为非奇非偶函数， 显然恒成立，故（1）错误； 对于（2），设的周期为，取，， 则， 是以为周期的周期函数， ， ， ，即， 是以为周期的周期函数，故（2）正确； 对于（3），不妨设， 是上的严格增函数， 当时，， 又，即， ， ， 当时，， 是上的严格增函数， ， 当时，， 函数是上的严格增函数，故（3）正确； 正确的命题为：（2）（3）． 【变式训练10-2】（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； (3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 【详解】（1）为减函数，则即恒成立，所以. (2)不存在，理由：因为为减函数，取任意实数，设，则有， 又为偶函数即有，可得， 同时根据单调性由可得，所以 即对任意实数成立，所以为常值函数，设， 则， 当时，不成立，所以不存在满足条件的函数. (3)证明：设函数的正周期为即对任意都有， 因为，根据为减函数可知，所以， 那么有，因为， 所以即，于是可得，从而， 而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数， 所以在上为常值函数. 【变式训练10-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数满足对任意，当时，都有＜，则称函数为“绝对值严格增函数”． (1)若为“绝对值严格增函数”，试判断是否可能具有周期性； (2)求证：为“绝对值严格增函数”是 始终在图像上方的充要条件； (3)若“绝对值严格增函数”的值域为且在上为严格增函数，试讨论的奇偶性． 【详解】（1）不可能. 假设具有周期性，设是它的一个周期，则对任意正整数，都有. 由于，而为“绝对值严格增函数”，所以.又，矛盾. 因此不可能具有周期性. （2）先证为“绝对值严格增函数”等价于. 若，当时，有，即，所以为“绝对值严格增函数”. 反之，若为“绝对值严格增函数”，有，取，则，所以. 再证始终在图像上方等价于. 当时，等价于. 令，则，且，于是上式等价于， 进一步化简得. 若，由， 可得. 所以恒成立. 反之，若始终在图像上方，则对任意恒成立. 取，得，化简得，所以. 综上，为“绝对值严格增函数”是始终在图像上方的充要条件. （3）设，其中.由于为“绝对值严格增函数”， 当时，有. 于是. 固定，令，其中，再令， 由连续性可得， 故，即对任意，都有. 下面分类讨论. 当时，的值域为，故对任意，都有. 于是由可得，所以为偶函数. 当时，由值域为知既取负值又取正值. 又连续，所以存在，使得，存在，. 若，则由可得，矛盾. 故，且是的唯一零点. 因为在上为严格增函数，且，所以当时，. 若存在，则在与之间存在，， 与是的唯一零点矛盾,则时，. 则，即是奇函数，值域关于原点对称，故. 综上，当时，为偶函数；当时，为奇函数. 题型11 函数的对称性 例11-1（25-26高三上·上海静安·阶段检测）若函数的对称中心是，则___________. 【答案】 【详解】因为， 所以该函数的对称中心为， 由已知可知函数的对称中心是， 所以， 故答案为： 例11-2（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设是非零实数，为函数的图像上的两点. ①对于任意给定的，总存在点，使得对任意的点都存在唯一的点与关于对称； ②对于任意给定的，不存在直线，使得对任意的点都存在唯一的点与关于对称.下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题. 【答案】B 【详解】命题①，已知，其定义域为， 对进行变形:， 函数的对称中心是， 根据函数图象的平移规律，函数的图象是由的图象经过平移得到的. 对于函数，由向右平移个单位，再向上平移个单位得到的， 所以的对称中心为. 对于任意给定的，取点，对于函数图象上的任意一点， 根据点关于点对称的性质，存在唯一的点与关于对称，①是真命题. 命题②，由的图象关于对称， 所以的图象关于、对称， 故图象上任意点，都存在唯一的点关于或对称，即或， 所以存在直线，使得对任意的点都存在唯一的点与关于对称，②是假命题. 综上，①是真命题，②是假命题； 故选：B. 方法技巧 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 【变式训练11-1】（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（   ） ①；②的图象关于对称；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①，由等式，两边求导可得， 则，令，则，解得，故①错误； 对于②，取点在函数的图象上， 易知点关于的对称点为，假设该点也在函数的图象上， 可得，消去可得， 整理可得，故②正确； 对于③，由等式，两边求导可得， 则，显然与题意不符，故③错误； 对于④，由等式，可得函数的对称中心为， 由等式，可得函数的对称中心为， 点关于的对称点为也是对称中心，点关于的对称点为也是对称中心， 归纳可得函数图象的对称中心为， 当时，，成立； 假设当时，成立； 当时， ， 由数学归纳法，则， 所以函数图象的对称点为，则， 易知数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，故④正确. 故选：B. 【变式训练11-2】函数的图像关于垂直于轴的直线对称，则实数的取值集合是__________. 【答案】 【详解】假设函数关于对称， 则， 即恒成立， 若， 又，即， 则，解得， 此时， 所以恒成立，实数不存在， 或恒成立，解得， 若， 又，即， 则，解得， 此时， 所以恒成立，解得， 此时满足成立； 若， 又，即， 则，解得， 此时， 所以恒成立，解得， 此时满足成立； 综上所述的取值集合为， 故答案为：. 【变式训练11-3】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，与函数关于原点对称 (1)求函数的解析式 (2)已知，求的最大值及取最大值时的值． 【详解】（1）由题可得函数与函数关于原点对称， 则在任取一点，则在函数上， 则得，故. （2）由题 函数的定义域为，要使函数有意义， 需使，解得，即， 所以， 当，即时，. 故当时，函数取得最大值. 题型12 函数新定义 例12-1已知定义在R上的函数，，依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记．则对于下列命题： ①若是严格增函数，则； ②若是严格减函数，则； ③若是周期函数，则．正确的有（    ） A．无一正确 B．①② C．③ D．①②③ 【答案】D 【详解】对于①项：是严格增函数，得：，且，有 ： 又因为：，分别为严格减函数，周期函数不符题意，为严格增函数符合题意， 所以：，故①项正确； 对于②项：是严格减函数，得：，且，有 ：， 又因为：，分别为严格增函数，周期函数不符题意，为严格减函数符合题意， 所以：，故②项正确； 对于③项：是周期函数，设其周期为：，则得：，，都有：， 又因为：，分别为严格增函数，严格减函数不符题意，为周期函数符合题意， 所以：，故③项正确. 故选项D正确. 故选：D. 例12-2（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． (1)试判断是否为“等比函数”并说明理由． (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”． (3)若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 【详解】（1）取，则， 由，得，所以， 又成等比数列，所以是“等比函数”. （2）设二次函数，求导得， 由直线与曲线在点处的切线平行或重合， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又因为成等比数列，所以，所以， 所以，所以，与矛盾， 故任意二次函数都不是“等比函数”． （3）若，可得的定义域不为或在处不可导，所以. 当且时，函数在处无意义，所以的定义域不为， 所以且，结合已知可得 当时，可得，所以，所以， 又，满足，符合题意； 当时，由（2）可知幂函数不是“等比函数”，故不符合题意； 当时，由，得， 因为成等比数列，所以， 所以，所以， 所以， 又， 当且仅当，即时取等号，又，故等号不成立， 所以方程在时无解. 综上所述：. 【变式训练12-1】（2026·上海黄浦·三模）设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（     ）． A．“”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件 B．设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件 C．设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件 D．设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为， 若，则对任意，均有，充分性成立； 若函数具有“性质”，则，，使得， 即，则，所以，必要性成立， 所以“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件，故A错误. 对于B，若函数具有“性质”，则，，使得， 即，则，所以充分性成立； 若具有最小值，设，则，，使得， 即，所以函数具有“性质”，必要性成立， 则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的充分必要条件，故B错误. 对于C，函数具有“性质”，则，，使得， 所以，且， 由不等式的性质可知，即，必要性成立； 若，取，而， 所以，所以函数不具有“性质”，充分性不成立， 所以“”是“函数具有‘性质’”的必要非充分条件，故C错误. 对于D，（方法一）若函数具有“性质”，则，，使得， 推不出，所以充分性不成立； 若函数具有“性质”，则，，使得，则， 若不在的值域内，则不存在，使得，所以必要性不成立. （方法二）充分性：举反例，取常函数， 令，则， 所以，，使得，函数具有“性质”， ，所以函数不具有“性质”， 即函数具有“性质”推不出具有“性质”，充分性不成立； 必要性：举反例，取一个值域为的函数，令，则， 取，则，，使得，函数具有“性质”， 假设存在，使得，则，与值域矛盾， 所以假设不成立，所以不具有“性质”， 即函数具有“性质”推不出具有“性质”，必要性不成立. 综上，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件，故D正确. 【变式训练12-2】（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并证明； (2)已知余弦周期函数在区间上仅存在2026个不同的实数， 使得，求实数的取值范围； (3)已知是以为“余弦周期”的“余弦周期函数”，且恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数． 【详解】（1）是，证明如下：， 所以函数是否为“余弦周期函数”； （2）， 所以当且仅当时，， 所以在区间上有2026个不同的解， 因为， 所以函数的一个周期为，在1个周期内，有2个不同的解， 所以区间上有2026个不同的解问题可等价转化为在区间上方程有2个不同的解， 所以； （3）证明：若，由得为周期函数． 若，那么对任意，存在正整数，使得且． 由得，由函数是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，得， 因此． 由于在上严格递减，因此，即， 因此恒成立，故函数是周期函数． 若，那么同理可证（取为负整数即可）． 综上，是周期函数，得证． 【变式训练12-3】（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【详解】（1）由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． （2）必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. （3）由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 2．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若函数图像如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是， 而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 3．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 二、填空题 4．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______. 【答案】 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 5．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 【答案】0 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 6．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________． 【答案】 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 7．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 8．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 9．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 三、解答题 10．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 11．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 12．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 13．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 14．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【详解】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. (3)首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将是排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．根据函数图象直观判断函数的单调性． 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【详解】， 画出函数图象如下：    故在上单调递减，在上单调递增. 2．已知函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】∵当时，在区间上单调递减，故， 此时， 反比例函数在上单调递减，则函数在上单调递减， 而函数在区间上单调递增， 必有，即，则实数a的取值范围为. 3．已知函数在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】要想满足在R上是减函数， 则二次函数的对称轴，且， 解得， 所以实数a的取值范围是. 4．根据定义证明：函数在定义域R上是奇函数． 【详解】，都有， 且， 所以，函数在定义域R上是奇函数． 5．设，求满足的x值． 【答案】3 【详解】当时，可知，解得，显然不合题意； 当时，可得，解得，符合题意； 综上可得满足的x值为3. 6．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并给出证明． 【详解】（1）的定义域为R. 因为，所以为奇函数. （2）在R上单调递增，下面进行证明： . 任取，则 . 因为在R上单调递增，且，所以，所以， 即. 所以在R上单调递增. 7．周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 【详解】（1）解：由图可知，函数的最小正周期为. （2）解：当时，设，则，即； 当时，设，则，可得，即. 故当时，， 因为函数是以为最小正周期的周期函数，故对任意的，， 对任意的，当时，， 则. 因此，函数的解析式为，，. 8．判断下列函数的奇偶性： （1） （2）； （3）； （4）． 这几个函数的图象如图所示，你能在图中分别标出对应的函数吗？    【详解】（1），定义域为R，且， 故为奇函数； （2），定义域为R，且， 故为偶函数； （3），定义域为R，且， 故为偶函数； （4），定义域为R，由于， 即， 故为非奇非偶函数； 各函数对应图像标示如图：    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 一、单选题 1．（2025·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，为奇函数，不是偶函数，在上严格减，故A错误； 对于B，定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 当时，，显然在上严格减，故B正确； 对于C，由幂函数性质知，为偶函数，在上严格增，故C错误； 对于D，由指数函数性质知，既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：B 2．（2025·上海虹口·一模）已知， 若，则实数的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，可以取，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B. 二、填空题 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【详解】 ， 则，， 若，则，定义域是， 定义域不关于原点对称，不符合题意，所以， 所以，要使的定义域关于原点对称， 则需，则， 此时的定义域是. 则由解得， 此时 ，，符合题意. 所以 故答案为： 4．（2025·上海虹口·一模）已知 ，若幂函数为偶函数，则实数____ 【答案】 【详解】当时，，定义域为，是奇函数； 当时，，定义域为R，关于原点对称， 设，则，为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数； 故答案为：. 5．（2025·上海崇明·一模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_______． 【答案】 【详解】依题意，， 而是奇函数， 所以. 故答案为： 6．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为： 7．（2026·上海杨浦·二模）不等式的解集为______. 【答案】 【详解】令，定义域为， 函数和在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 又，则， 所以不等式的解集为. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 【答案】150 【详解】将定义域中的五个元素分为三组，每组的元素个数可为1，1，3 或 2，2，1， 当以 1，1，3 分组时，组数为，当2，2，1分组时，组数为， 所以可以组成的函数个数为. 9．（2026·上海·模拟预测）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 【答案】 【详解】当时，，所以， 展开式中，的系数为. 三、解答题 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若，解不等式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即 . 化简得， 所以，即. （2）时，原不等式可化为，设，则. 所以不等式变为，化简得， 因为，所以，所以要使得不等式成立，则. 即，即，根据指数函数的性质可知. 所以不等式的解集为. 11．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【详解】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 重难·创新演练 一、单选题 1．（2026·上海虹口·三模）若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（     ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【详解】对于①，由，，成等差数列，则， 取，即， 则，， 若，，成等比数列，则， 即，则， 即或，则或（舍去）， 当时，，当时，， 所以函数满足“性质”，故①错误； 对于②，由，，成等差数列，则， 取，则，， 所以 ， 而，则， 所以对于任意的正实数，都满足“性质”，故②正确. 2．（2026·上海静安·模拟预测）设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点 ，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若 是 关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若 (a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】A 【详解】对于命题①，构造点集 显然． 下证仍是关于点集的“拟像函数”． 任取图象上一点． 当时，取，因为所以点在的图象上． 此时的中点为，且，所以． 当时，，取，则在的图象上，且的中点为． 因此是关于点集的“拟像函数”，但，所以命题①是假命题． 对于命题②，设是关于点集的“拟像函数”． 当时，点在的图象上． 由定义，存在图象上一点，使得的中点在中． 于是 所以 由可得，因此当趋于正无穷时，趋于． 将不等式 两边同时除以，得 令趋于正无穷，得，所以．故命题②是真命题． 二、填空题 3．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 4．（2026·上海·模拟预测）已知向量、满足，，且.若函数，则的最小值为__________；若为偶函数，则__________. 【答案】 【详解】 ， 所以， ， 因为为偶函数，而的定义域为， 所以， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：；. 5．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. 6．（2026·上海宝山·三模）严格递增函数的定义域为正整数集，函数值也是正整数，且满足，则的值为________. 【答案】3029 【详解】时，， 若，则，不符合题意， 若，则与矛盾，不符合题意， 所以，则，符合题意， ，则 ， ， ， 又，严格递增，且为正整数， 所以 时， ， 又严格增，故 ． 三、解答题 7．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 【详解】(1)，猜想：当x为正整数时，.（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当x为正整数时，. 综上：当x为正整数时，. (2)①用反证法证明： 假设存在满足：恒成立； 则：恒成立，化简得：恒成立； ∴ 这与矛盾，故假设不成立， ∴ 不具有周期性； ②由结论知为偶函数，则为偶函数，又为奇函数，   则定义域为R，关于原点对称，   故， 所以为定义域为R的奇函数， ∴ . 9．（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 【详解】（1）因为，，所以，． 若，，是一组“有序和谐函数”，则 代入得，即 因为，所以 因此可取 （2）由题意， 根据“有序和谐函数”的定义，得 由积化和差公式，得 三式相加，得 因为所以原式等于 若它对一切实数恒等于常数，则含的项必须为，所以即 因此或 若，则，符合条件． 若，则，不符合条件． 所以的所有可能取值为 (3)因为，，是一组“有序和谐函数”，所以， 即所以， 令，则， 由，得，所以 令，则，所以在上单调递增． 若，则，即 所以， 取充分大的正数，使得，则． 又因为，所以， 若，则，即， 所以， 取充分小的负数，使得，则． 又因为，所以 因为在上可导，所以在上连续． 又，，由零点存在定理可知，存在，使得 故存在零点． 10．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 【详解】(1)不是函数， 说明如下（举反例）：记，取， 则 即， 所以不是函数； （2）记， 当时，当时，， 对任何实数以及中的任意两个实数， 即， 所以是函数． 当时，取 ， 又， 所以 即， 所以 不是函数． 综上所述，的最大值为1． (3)先证充分性，若“存在实数，使得恒成立”， 则有，则恒成立． 充分性得证． 再证必要性，若“存在非零实数，使得恒成立”， 不妨设，记，则有 ， 因为， ， 故对于任意整数， 有 ，假设存在实数，使得， 显然 ，则存在整数，使得 ， 一方面，取，则 ， ， 即， 另一方面，取，则， 所以，即，所以， 与矛盾，假设不成立， 所以恒成立，必要性得证． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 函数及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的概念及其表示 知识点2 函数的单调性与最值 知识点3 函数的奇偶性 知识点4 函数的周期性和对称性 题型破译 (含超链接） 题型1 函数的定义域 题型2 函数的值域 题型3 函数的解析式 题型4 函数的表示方法 题型5 分段函数 题型6 确定函数的单调性 题型7 函数的单调性的应用 题型8 函数奇偶性的判断 题型9 函数的奇偶性的应用 题型10 函数的周期性 题型11 函数的对称性 题型12 函数新定义 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 分段函数 秋考第12题 秋考第2题 春考第9题 函数单调性 秋考第15、19题 春考第21题 函数奇偶性 秋考第5题 秋考第21题 春考第21题 秋考第4、16题 春考第21题 函数新定义 春考第16、21题 秋考第21题 春考第21题 秋考第16题 考情分析 ① 强化新概念阅读理解，现场定义函数成为压轴主流； ② 弱化复杂导数放缩，强化函数基础性质（单调、奇偶、周期、对称） 作为推理工具； ③ 数形结合、分类讨论、转化与化归三大思想贯穿全题； ④ 教考衔接：全部素材源自教材例题改编，不考偏难怪技巧。 复习目标 1.掌握函数三要素：熟练求定义域、常规解析式、基础值域，分段函数求值、解不等式零失误 2.熟记奇偶、单调基础性质，会判定性质、求基础参数、对称区间求值 3.会用定义证明简单单调性，吃透复合函数同增异减法则 4. 灵活运用四大性质，完成函数不等式、存在性、唯一性逻辑证明 5. 熟练拆解上海新定义压轴函数，掌握反证法、分类讨论规范书写 6. 融会贯通周期+对称+单调性综合题型，数形结合简化压轴推理运算 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的概念及其表示 1.函数的概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y＝f(x),x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 5.防范四个易错点 (1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化. (2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围. (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围. (4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错. 自主检测 1．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 知识点2 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增, 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减, 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 3.函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I上单调递增. ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1). (3)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 4.解题时谨防以下易误点 (1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M. 5.求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 自主检测 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则满足条件的实数的值是（   ） A． B． C．3 D．4 知识点3 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c. 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 自主检测 3．（2026·上海·三模）下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 知识点4 函数的周期性和对称性 1.函数的周期性 (1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点(a,0)对称. (3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为(a,0). 3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称. 4.熟记函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|； (2)若f(x＋a)＝则T＝2|a|； (3)若f(x＋a)＝－则T＝2|a|. 5.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a和x＝b对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|； (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|. 自主检测 4．定义在上的函数满足，则下列函数中是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象关于（    ）对称． A．轴 B．直线 C．坐标原点 D．直线 题●型●破●译 题型1 函数的定义域 例1函数的定义域为________． 【变式训练1-1】（25-26高三上·上海·期中）函数 的定义域为________. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的定义域为______. 【变式训练1-3】（2025·上海·三模）函数的定义域为______． 题型2 函数的值域 例2-1（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）定义在区间上的函数的值域为_____. 例2-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 例2-3（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________． 【变式训练2-1】已知函数的值域为，则函数的值域为__________. 【变式训练2-2】若函数的值域为，则实数a的值为_____． 【变式训练2-3】函数在区间上的值域为，则m的范围是_________. 【变式训练2-4】函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为__________. 题型3 函数的解析式 例3已知，则函数的解析式为______. 【变式训练3-1】已知函数满足：①对任意恒有成立；②时，；若，则满足条件的最小的正实数是______. 【变式训练3-2】设，，，则函数的最小值的解析式为__________. 【变式训练3-3】已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 题型4 函数的表示方法 例4-1下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 例4-2已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 例4-3已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用________表示． 【变式训练4-1】某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为________． 【变式训练4-2】国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 题型5 分段函数 例5-1（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 例5-2（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 例5-3（25-26高三上·上海·期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为_____． 例5-4（25-26高三上·上海·期中）设，则不等式的解集为__________. 方法技巧 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 【变式训练5-1】（2025·上海金山·三模）已知函数，其中，则__________． 【变式训练5-2】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是________. 【变式训练5-3】（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，若是的最小值，则实数的取值范围为________. 【变式训练5-4】28．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 题型6 确定函数的单调性 例6-1（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 例6-2（25-26高三上·上海·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并解关于的不等式. 【变式训练6-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（24-25高三上·上海闵行·期中）若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则满足条件的实数的值是（   ） A． B． C．3 D．4 【变式训练6-3】已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 题型7 函数的单调性的应用 例7-1已知，，，则（ ） A． B． C． D． 例7-2（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，则函数的最大值为（    ） A．6 B．-3 C．22 D．13 例7-3（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 方法技巧 (1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 【变式训练7-1】（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，其中，存在实数使得成立.若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是___________． 【变式训练7-3】（2026·上海徐汇·二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 【变式训练7-4】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知（其中），且的最小正周期为． (1)求函数的表达式及其所有的极大值点； (2)若，且对任意恒成立，求的最大值； (3)若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 题型8 函数奇偶性的判断 例8-1（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）以下函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例8-2（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 例8-3（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数 (1)若，求x的值； (2)是否存在实数k，使得函数为偶函数？请说明理由． 方法技巧 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 【变式训练8-1】（2025·上海金山·三模）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 【变式训练8-3】（2025·上海杨浦·一模）已知函数，. (1)记，求证：函数为偶函数； (2)在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，求的面积. 【变式训练8-4】（25-26高三上·上海·开学考试）已知为常数，函数． (1)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． 题型9 函数的奇偶性的应用 例9-1（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 例9-2（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 方法技巧 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 【变式训练9-1】（25-26高三上·上海·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是______． 【变式训练9-2】（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则函数在处的导数_____. 题型10 函数的周期性 例10-1（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，对于下列两个命题：①②的值域为.判断正确的是（    ）. A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 例10-2（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 例10-2（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，若存在实数和定义域为的周期函数 ，使得恒成立，则称具有性质. (1)判断，是否具有性质，不需说明理由； (2)已知对任意实数，函数，满足， .若具有性质， （i）当时，求 （ii）求证：不是周期函数; （iii）求证：具有性质. 方法技巧 (1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期. (2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 【变式训练10-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）设和是定义在上的两个函数，，是上任意两个不相等的实数，下列结论正确的有（   ）． （1）若恒成立且为奇函数，则为奇函数； （2）若恒成立且为周期函数，则也是周期函数； （3）若恒成立且为上的严格增函数，则，都是上的严格增函数 A．（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3） 【变式训练10-2】（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； (3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 【变式训练10-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数满足对任意，当时，都有＜，则称函数为“绝对值严格增函数”． (1)若为“绝对值严格增函数”，试判断是否可能具有周期性； (2)求证：为“绝对值严格增函数”是 始终在图像上方的充要条件； (3)若“绝对值严格增函数”的值域为且在上为严格增函数，试讨论的奇偶性． 题型11 函数的对称性 例11-1（25-26高三上·上海静安·阶段检测）若函数的对称中心是，则___________. 例11-2（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设是非零实数，为函数的图像上的两点. ①对于任意给定的，总存在点，使得对任意的点都存在唯一的点与关于对称； ②对于任意给定的，不存在直线，使得对任意的点都存在唯一的点与关于对称.下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题. 方法技巧 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 【变式训练11-1】（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知定义在R上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（   ） ①；②的图象关于对称；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练11-2】函数的图像关于垂直于轴的直线对称，则实数的取值集合是__________. 【变式训练11-3】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，与函数关于原点对称 (1)求函数的解析式 (2)已知，求的最大值及取最大值时的值． 题型12 函数新定义 例12-1已知定义在R上的函数，，依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记．则对于下列命题： ①若是严格增函数，则； ②若是严格减函数，则； ③若是周期函数，则．正确的有（    ） A．无一正确 B．①② C．③ D．①②③ 例12-2（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． (1)试判断是否为“等比函数”并说明理由． (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数”． (3)若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 【变式训练12-1】（2026·上海黄浦·三模）设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（     ）． A．“”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件 B．设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件 C．设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件 D．设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件 【变式训练12-2】（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并证明； (2)已知余弦周期函数在区间上仅存在2026个不同的实数， 使得，求实数的取值范围； (3)已知是以为“余弦周期”的“余弦周期函数”，且恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数． 【变式训练12-3】（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（   ） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 2．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 3．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 二、填空题 4．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______. 5．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 6．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________． 7．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 8．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 9．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 三、解答题 10．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 11．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 12．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 13．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 14．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．根据函数图象直观判断函数的单调性． 2．已知函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 3．已知函数在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 4．根据定义证明：函数在定义域R上是奇函数． 5．设，求满足的x值． 6．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并给出证明． 7．周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 8．判断下列函数的奇偶性： （1） （2）； （3）； （4）． 这几个函数的图象如图所示，你能在图中分别标出对应的函数吗？    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 一、单选题 1．（2025·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海虹口·一模）已知， 若，则实数的取值可以是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知函数为奇函数，则______. 4．（2025·上海虹口·一模）已知 ，若幂函数为偶函数，则实数____ 5．（2025·上海崇明·一模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_______． 6．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数______． 7．（2026·上海杨浦·二模）不等式的解集为______. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 9．（2026·上海·模拟预测）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 三、解答题 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)若，解不等式． 11．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 重难·创新演练 一、单选题 1．（2026·上海虹口·三模）若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（     ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．（2026·上海静安·模拟预测）设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点 ，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若 是 关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若 (a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 二、填空题 3．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 4．（2026·上海·模拟预测）已知向量、满足，，且.若函数，则的最小值为__________；若为偶函数，则__________. 5．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 6．（2026·上海宝山·三模）严格递增函数的定义域为正整数集，函数值也是正整数，且满足，则的值为________. 三、解答题 7．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 9．（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 10．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $