期末复习（11）平面向量复习（2）教案-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

平面向量复习（2） 【教学目标】 1. 熟练运用坐标进行向量的线性运算（加、减、数乘）及数量积运算； 2. 掌握用坐标判断向量平行与垂直、求模、单位向量的方法，发展数学运算素养. 【教学重点与难点】 重点：熟练运用坐标进行向量的线性运算（加、减、数乘）及数量积运算. 难点：能够运用向量的坐标运算解决问题. 【教学过程】 1． 知识梳理 1. 向量的坐标表示：可正交分解为，则. 2. 向量运算的坐标表示 （1） ；； （2） . （3） 设，则（终点减起点） （4） 向量的单位向量. （5） . （6） 向量夹角的坐标表示 . （7） ；. 2． 例题与练习 例1 已知，求： （1）；（2）；（3）与的夹角． 解：（1），则. （2）， . （3）所以， 则与的夹角的余弦值为. 例2 已知，，是同一平面内的三个向量，其中 （1）若，且，求； （2）若，且，求在上的投影向量. 解：（1），所以，所以，，； （2）因为，所以， ，，，， 所以在上的投影向量为. 例3 如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． （1）求的余弦值． （2）若在上是否存在一点，使得？若存在，求的长度，若不存在，请说明理由． 解：（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则．  的余弦值为． （2）设 ． ．由题得． 设， ； 3． 课堂小结 知识：向量坐标的线性运算及数量积运算． 思想方法：数形结合思想． 核心素养：直观想象，逻辑推理． 4． 课后作业 1．已知，，，则的坐标为__________． 【答案】． 2．已知向量，，若，则_______. 【答案】由向量，，得， 又因为，得,所以，解得. 3．若点，，，且，，三点共线，则______. 【答案】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使， 即：，解得：，所以. 4．已知向量，，满足，则_____. 【答案】，， 因为，所以，解得， 因此. 5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______. 【答案】因为，，则，， 则向量在向量上的投影向量为. 6．已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________. 【答案】因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 7．已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）∵，且与夹角为， ∴， ∴； （2）， ∴ 8．已知向量． （1）若与垂直，求的值； （2）若向量，若与共线，求． 【答案】（1）， ， 由垂直关系：， 解得：. （2）， ， 若与共线，则， 所以. ， 所以. 9．已知向量. （1）若，求的值； （2）记，求函数的最大值和最小值及对应的的值. 【答案】（1）由向量. 因为，所以 ，解得， 又因为，所以； （2）由， 因为，所以， 当时，即时，； 当时，即时， ． 学科网（北京）股份有限公司 $