广东惠州市光正实验学校2025-2026学年高一下学期期末数学复习卷3

**基本信息** 涵盖高一数学核心内容，通过复数、向量、立体几何等知识，考查空间想象、逻辑推理与数据分析能力，适配期末复习巩固与素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、向量数量积、立体几何线面关系|如第7题结合圆台与内切球，考查空间几何直观| |多选题|3/18|复数性质、解三角形命题判断、概率独立事件|第10题通过多命题辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|复数方程、棱台体积、异面直线成角|第14题正四面体中点连线成角，强化空间观念| |解答题|5/77|频率分布直方图、解三角形、概率应用、立体几何、平面向量动态问题|第15题志愿服务统计分析数据，第17题垃圾分类概率建模，体现数学应用意识；第19题梯形动点问题，发展创新思维|

2025-2026学年惠州光正高一下学期期末复习3 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.已知复数满足其中为虚数单位，则(    ) A. B. C. D. 2.已知向量满足，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列推理中正确的是(    ) A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 4.某圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，则该圆台的侧面积为(    ) A. B. C. D. 5.在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 6.在中，角，，所对的边分别为，，若，，的角平分线交于，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点，则的余弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数满足，其中为虚数单位，则下列说法正确的有(    ) A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10.在中，内角，，的对边分别为，，，下列命题中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则一定是等腰直角三角形 D. 若，，则一定是等边三角形 11.一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个白色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于”，则(    ) A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则           ． 13.已知正四棱台的体积为，若，，则正四棱台的高为        ． 14.在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为      ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 现对某校学生一学期参与志愿服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加志愿服务的次数根据所得数据，按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． 求图中的值； 若该校有学生人，试估计该校学生参加志愿服务次数不低于次的总人数； 试估计该校学生参与志愿服务次数的中位数结果取整数 16.本小题分 在中，已知，． 证明：为钝角三角形； 若的面积为，求周长． 17.本小题分 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． 求和的值； 试求两人共答对道题的概率． 18.本小题分 在多面体中，底面为矩形，，，，平面， 求直线与底面所成角的正弦值； 求二面角的正切值； 求三棱锥的体积． 19.本小题分 如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点． 若，求的值； 求的长； 求的取值范围． 2025-2026学年惠州光正高一下学期期末复习3 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由得，则， 2.【答案】 【解析】解：因为，，所以，；两式相减得，，解得． 3.【答案】 【解析】解：已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，对于：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于：由，，则可能有，或，故B错误； 对于：由，，，则，故C正确； 对于：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 4.【答案】 【解析】解：由题可得：母线． 故圆台侧面积为． 5.【答案】 【解析】解：连接，，因为，所以即为和所成角， 因为，， 由勾股定理得，， 因此． 6.【答案】 【解析】解：根据角平分线的性质有，已知，，则，即，易知，对于，，，，则， 对于，，，则，对于，，，则，所以，解得． 7.【答案】  【解析】解：如图所示，作出轴截面，，分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心，则为的中点， ，，，，， 因为，所以， 则， 过点作，垂足为， 则， 在中，由勾股定理得， 即，解得或， 因为，所以，，故AB， 所以圆台的侧面积为． 8.【答案】  【解析】解：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：   已知，，， 则以下各点坐标为，，，， 则：，， ， ，， ． 9.【答案】 【详解】因为复数满足，则， 对于选项，的虚部为，对；对于选项，，错；对于选项，，对；对于选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，对． 10.【答案】  【解析】解：选项A，在中，由大角对大边定理知：若，则。根据正弦定理为外接圆半径，可得，。因为且，所以，故选项A正确；选项B，由，根据余弦函数性质，在的条件下，。则或。若，则，此时，与三角形内角和为矛盾，故舍去。因此，即，为等腰三角形，选项B正确。 选项C，由，根据正弦定理得，即。则或，即或。当时，为等腰三角形；当时，，为直角三角形。因此可能是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，选项C错误。 选项D，已知，。根据余弦定理，代入得：，整理得，即，所以。又因为，所以，故为等边三角形，选项D正确。 11.【答案】  【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于，，事件、可以同时发生，则、不互斥，A错误； 对于，，、相互独立，B正确； 对于，， C正确；对于，， D错误． 12.【答案】 【详解】因为是关于的方程的一个根，且，为实数， 所以也是关于的方程的一个根，由根与系数的关系可得：，解得，所以． 13.【答案】  【解析】解：因为正四棱台的体积为，若，， 设正四棱台的高为，根据棱台体积公式可得： ，． 14.【答案】  【解析】解：在正四面体中，连接，因为，分别为，的中点，所以，所以异面直线，所成角为或其补角， 设正四面体的棱长为， 则，， 由余弦定理，， 则异面直线，所成角的余弦值为． 15.【答案】      【解析】解：因为，则； 学生参加志愿服务次数不低于次的频率为； 学生参加志愿服务次数在内的频率为， 则中位数在内，设为， 则，则． 16.【解析】解：证明：因为，且， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以与一个为正，一个为负，即和中有一个为钝角， 所以为钝角三角形； 因为，且，所以， 因为面积为，所以，所以， 由正弦定理得：，其中为的外接圆半径， 因为，所以， 所以，所以， 由余弦定理得：， 所以，即， 所以周长为． 17.【答案】解：设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题， 则，， 设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题， 则，， 二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， 与相互独立，与相互互斥， ， ， 由题意得：，解得或，，，． 设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，， 由题意得：，， ，， 设甲乙二人共答对道题，则， ，甲乙两人共答对道题的概率为．  18.【答案】     【解析】解：取的中点为，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面， 则就是直线与底面所成角， 又底面为矩形，，所以， 因为，所以在直角中，，所以， 所以直线与底面所成角的正弦值为． 设二面角的大小为， 因为平面，， 所以平面． 过作，垂足为，连接， 所以就是二面角的平面角， 即， 在直角中，，，所以，所以， 则，所以二面角的正切值为． 把多面体补成如图长方体， 则， 又长方体的体积为，，，，， 所以． 19.【答案】      【解析】解：如图：以为原点，建立如图平面直角坐标系， 设，，则，，，，，， 所以，又，， 所以， 又，所以，，所以； 因为，， 由，可得，即， 又，所以，故AD； 设，， 则，， 所以， 当或时，取得最大值；当时，取得最小值； 所以的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $