精品解析：江苏苏州高新区实验初级中学2025－2026学年下学期初二数学期末模拟卷(二)

实初教育集团初二数学期末模拟卷 (二) 一、选择题．(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1. 若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m≠2 C. m＞0 D. m≠0 2. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 3. 乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 5. 如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高AB为（ ）m． A. 5 B. C. 7 D. 8. 如图，矩形 中，过对角线的中点作的垂线交于点 ，交 于点，是上一动点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9. 把三角板切去一个角，使它成为四边形，这件事是________事件(填“确定”或“随机”)． 10. 已知两非零实数、，且，则______． 11. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点、、在一条直线上，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长为______． 12. 近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________． 13. 设，是一元二次方程的两根，则______． 14. 已知为的中线，点O为的重心，若，则的长为_______． 15. 如图，梯形 中，，，，，则______． 16. 在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”．经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．若点，把线段绕点O做“旋似”运动，点A的对应点是点B，当“旋似角”为，“旋似比”为时，点B的坐标为______． 三、解答题．(本大题共11小题，共60分) 17. 解下列方程： （1）(配方法)； （2）(公式法)． 18. 如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； （2）在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 19. 某中学开展航天知识竞答活动，随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理(满分为100分，将抽取的成绩在60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）学校抽取的八年级学生的人数是 ； （2） ，请把频数分布直方图补充完整； （3）学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 20. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长． 21. 如图，在中，F是边DC的中点，过点F作，交AB于点E．连接ED、EC，作CG∥DE，交EF的延长线于点G，连接DG． （1）求证：四边形DECG是平行四边形； （2）当DE平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形． 22. 如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 23. 如图，在中，点 ， 分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 24. 在矩形纸片 中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与 相交于点F，求的长； （2）图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； （3）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的两直角边分别在x轴，y轴的正半轴上()，且的长分别是一元二次方程的两个根，线段的垂直平分线交于点C，分别交x轴，y轴于点D，E． （1）直接写出点A、B的坐标：A ，B ； （2）求线段的长； （3）已知P是直线上一个动点，点Q是直线上一个动点，则在坐标平面内是否存在点M，使得以点C、P、Q、M为顶点的四边形是以5为边长的正方形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 26. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 27. 特例研究：在正方形中，，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在上，点F落在上，求的值； 类比探究： （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实初教育集团初二数学期末模拟卷 (二) 一、选择题．(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1. 若方程（m﹣2）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m≠2 C. m＞0 D. m≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m−2≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：m﹣2≠0， 解得：m≠2， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计图的选择、样本容量和调查方式． 根据统计图的用途、样本容量的定义和普查的适用条件判断各选项． 【详解】解：∵ 扇形统计图适用于表示各部分占总体的比例，折线统计图适用于表示变化趋势， ∴ A错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数量，从5万中抽取300，样本容量是300， ∴ B错误； ∵ 普查适用于个体数量较少的情况，某班学生数量少， ∴ C正确； ∵ 样本容量越大，对总体的估计越准确， ∴ D错误． 故选：C． 3. 乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着移植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是， 故选：B． 4. 下列关系中，是菱形具有的性质但不是平行四边形具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】A 【解析】 【详解】解：对角线互相垂直、两组对边分别平行、对角线互相平分、两组对角分别相等的四条性质中，对角线互相垂直是菱形具有但平行四边形不具有，其余三条性质是菱形和平行四边形都具有的. 5. 如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，DF＝8， ∴， 即＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 6. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，   故选：C ． 7. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高AB为（ ）m． A. 5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判定，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， 即树高． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出是解题的关键． 8. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，是上一动点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由四边形为矩形，则，，故有，然后证明，则，从而得垂直平分，得到，要使有最小值，则需三点共线，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴要使有最小值，则需三点共线， 如图， ∵矩形中， ，， ∴， ∴， ∵过对角线的中点作的垂线交于点，交于点， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题．(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9. 把三角板切去一个角，使它成为四边形，这件事是________事件(填“确定”或“随机”)． 【答案】随机 【解析】 【分析】根据切去一个角的不同切法，得到的图形边数不一定为四边形，结合确定事件与随机事件的定义进行判断即可． 【详解】解：三角板原图形为三角形，切去一个角时，不同切法可得到不同边数的图形：切去一个角时，不同切法可得到不同边数的图形：若切线经过一个顶点和对边上的非顶点位置，则得到三角形；若切线与被切角的两条边均交于非顶点位置，则得到四边形， 因此把三角板切去一个角使之成为四边形，这件事可能发生，也可能不发生，是随机事件． 10. 已知两非零实数、，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点、、在一条直线上，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 【详解】解：由题知， 点是的黄金分割点（）， ； （）． 故答案为：． 12. 近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程． 【详解】解：设年平均增长率为 ，则2024年收入为万元，2025年收入为万元． 根据题意，2025年收入为3.92万元，故列方程为， 故答案为：． 13. 设，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握，是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系求出和，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，， ，， ， 故答案为：． 14. 已知为的中线，点O为的重心，若，则的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的倍，结合已知的长度即可计算的长． 【详解】解：∵为的中线，O为的重心，， ∴， ∴． 15. 如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 16. 在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”．经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”．若点，把线段绕点O做“旋似”运动，点A的对应点是点B，当“旋似角”为，“旋似比”为时，点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线解此题的关键． 作轴于，轴于，可得，根据，即可求得点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于，轴于， 根据题意可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题．(本大题共11小题，共60分) 17. 解下列方程： （1）(配方法)； （2）(公式法)． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． （1）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； （2）在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】（1）解：如图，则即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 19. 某中学开展航天知识竞答活动，随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理(满分为100分，将抽取的成绩在60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）学校抽取的八年级学生的人数是 ； （2） ，请把频数分布直方图补充完整； （3）学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 【答案】（1）40 （2）20， （3）估计达到优秀等级的人数为80人 【解析】 【分析】（1）根据数据来源判断即可，在频数分布直方图可得B组有12人，扇形图中可知组占，据此可计算总人数； （2）根据（1）中总人数可得D组有8人，据此计算占比得到m的值，补充频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，B组有12人， 占， ∴(名)， 答：学校抽取的八年级学生的人数为40． 【小问2详解】 解：D组有(人)， 占总人数的 ， ∴； 补全的频数分布直方图略． 【小问3详解】 解：知D组占总人数的， ∴估计达到优秀等级的人数为(人)． 20. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长． 【答案】（1）k≤2且k≠0；（2）． 【解析】 【分析】（1）已知一元二次方程有实数根，可得△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围； （2）由于AB=2是方程kx2-4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值． 【详解】解：（1）∵关于x的方程有实数根， ∴△=（-4）2-8k≥0， 解得k≤2， 又k≠0， ∴k的取值范围为k≤2且k≠0． （2）∵AB=2是方程的根， ∴4k-8+2=0, 解得k=， 则原方程为， 解得， ∴BC的长为． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 21. 如图，在中，F是边DC的中点，过点F作，交AB于点E．连接ED、EC，作CG∥DE，交EF的延长线于点G，连接DG． （1）求证：四边形DECG是平行四边形； （2）当DE平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先证明△DEF≌△CGF可得DE=CG，再加上条件CG∥DE，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形DECG是平行四边形． （2）首先证明∠DEF=∠EDF，∠FEC=∠ECF，再证明∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°，从而得到2∠DEC=180°进而得到∠DEC=90°，再由四边形DECG是平行四边形，可得四边形DECG是矩形． 【小问1详解】 解：∵F是边CD的中点， ∴DF=CF， ∵CG∥DE， ∴∠DEF=∠CGF． 又∵∠DFE=∠CFG， ∴△DEF≌△CGF（AAS）， ∴DE=CG， 又∵CG∥DE， ∴四边形DECG是平行四边形． 【小问2详解】 证明：∵ED平分∠ADC， ∴∠ADE=∠FDE． ∵EF∥AD， ∴∠ADE=∠DEF． ∴∠DEF=∠EDF， ∴EF=DF=CF， ∴∠FEC=∠ECF， ∴∠EDC+∠DCE=∠DEC， ∵∠EDC+∠DCE+∠DEC=180°， ∴2∠DEC=180°． ∴∠DEC=90°， 又∵四边形DECG是平行四边形， ∴四边形DECG是矩形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，矩形的判定，关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理． 22. 如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】（1）AB=-2x+44；（2）6；32 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知AD+BC-2+AB-2=40且有AD=BC=x，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长AB的式子； （2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时x的值即可． 【详解】解：（1）∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x， ∴AB=-2x+44； （2）由题意得，（-2x+44）•x=192， 即2x2-44x+192=0， 解得x1=6，x2=16， ∵x2=16＞（舍去）， ∴AD=6， ∴AB=-2×6+44=32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 23. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （）可证，由比例线段可求出线段的长； 本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； （2）图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； （3）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 【答案】（1）的长为 （2）四边形是等腰梯形，理由如下： 由翻折可得，， 由(1)知， 故，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是等腰梯形； （3） 【解析】 【分析】（1）先由折叠的性质和平行线的性质得出，再设，则，根据勾股定理即可求解； （2）通过折叠的性质和矩形对边相等的性质，得到，再利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，由折叠的性质，确定被垂直平分，可得，，由（1）可得，即可判断四边形为菱形，通过勾股定理求得和的长，最后通过菱形的面积求解即可． 【小问1详解】 解∶由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴，故， 又∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得 解得 即的长为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图1所示，连接，则被垂直平分，故，， 又由(1)中同理可证， 故，即四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得 由勾股定理可得， 根据菱形的面积可得 ， ∴ ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的两直角边分别在x轴，y轴的正半轴上()，且的长分别是一元二次方程的两个根，线段的垂直平分线交于点C，分别交x轴，y轴于点D，E． （1）直接写出点A、B的坐标：A ，B ； （2）求线段的长； （3）已知P是直线上一个动点，点Q是直线上一个动点，则在坐标平面内是否存在点M，使得以点C、P、Q、M为顶点的四边形是以5为边长的正方形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，点M的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）解方程，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标； （2）连接 ，设，则，利用勾股定理列出方程，由此即可求出． （3）以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：①当点Q与点B重合时，求的解析式为，设，再根据列出方程，解方程即可求出M的坐标．②当点Q与点A重合时，求的解析式，设，再根据列出方程，解方程即可求出M的坐标． 【小问1详解】 解： 解得， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中， ， ∵线段的垂直平分线 交于点C， 连接 ， ∵垂直平分， ∴， 设，则， 在中， 解得 ，即 ； 【小问3详解】 解：在坐标平面内存在点 M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形， ∵正方形的边长为5， ∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B 或点A 重合．分两种情况： ①当点Q 与点B 重合时， ∵ ， ∴ ∵是的中点，； ∴， ∴的解析式为：， ∵， ∴设 的解析式为 把代入得解得 ∴ 的解析式为 设 ∵， 化简整理，得 解得， ， ②当点Q 与点A 重合时，同理的解析式为 设 ∵， 化简整理，得 解得 ∴； 综上所述，所求点 M 的坐标为 26. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】（1）③ （2），， （3），3，1或3 【解析】 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． 【小问2详解】 解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 27. 特例研究：在正方形中，，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在上，点F落在上，求的值； 类比探究： （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）的值与无关，理由如下： 由旋转的性质，可得， 由菱形的性质，可得， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ， 如图，过点 O作于 ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴的值与无关． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的性质和判定解题； （2）根据题意得到 ，进一步证明，结合相似三角形的性质解题； （3）证明，得到 ，过点 O作 于 ，根据含的直角三角形的性质和勾股定理解题即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 是正方形， ∴， ， ， ∴ ， ∵绕点A逆时针旋转，旋转角为 ，并放大得到， ∴，； 【小问2详解】 解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵绕点A逆时针旋转，旋转角为 ，并放大得到， ∴ ， ∴， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $