22.3　实际问题与二次函数 第1课时 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦九年级二次函数的实际应用，核心内容为运用二次函数模型解决现实生活中的最值问题，涵盖高度、面积等情境。课堂通过动手画矩形比较面积导入，衔接矩形周长与面积关系，搭建知识点讲解、顶点最值归纳、解题步骤总结等学习支架。 其亮点是以现实问题为载体，通过铅球运动路线、篱笆围矩形等实例，培养数学眼光（抽象能力、几何直观）、数学思维（推理运算）和数学语言（模型观念）。采用“情境-建模-求解-总结”教学法，帮助学生增强应用能力，教师可借助结构化内容提升教学效率。

九年级·数学·人教版·全一册册 导学案课堂同步导学 22.3　实际问题与二次函数 单击此处编辑母版文本样式 第1课时　现实生活中的最值问题与二次函数 单击此处编辑母版文本样式 1.会运用二次函数模型求实际生活中与图形有关的最大值或最小值问题. 2.在转化和建模中增强应用数学解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系. ◎重点:从实际问题中抽象出二次函数模型. ◎难点:将生活中的问题转化为二次函数的最值问题. 单击此处编辑母版文本样式 请你按1∶100的比例尺,画一个周长为60米的矩形,算算它的面积是多少,再和同学比比,看谁的面积最大.(学生动手实践) 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 用二次函数求高度、面积的最大值     请你阅读课本“问题”至“探究1”结束,思考:如何利用二次函数的知识求实际问题中的高度、面积的最值? 1.当t为何值时,函数h=30t-5t2(0≤t≤6)取最大值?最大值是多少?你有几种方法? 单击此处编辑母版文本样式 答:方法一:由函数图象可知,抛物线开口向下,其顶点是这个函数图象的最高点,故当t取顶点的横坐标3时,函数取最大值,最大值等于顶点的纵坐标45. 方法二:由函数解析式可知,当t=-=3时,这个函数有最大值,最大值是=45. 单击此处编辑母版文本样式 2.课本“探究1”中,场地面积S与l的关系式是什么?当l为何值时,S取最大值? 解:S=-l2+30l(0<l<30);当l=-=15时,S取最大值. 单击此处编辑母版文本样式 周长固定时,长、宽相等(即为正方形时)的矩形的面积最大. 归纳总结　一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最　 　点,也就是说,当　 　 时,二次函数y=ax2+bx+c有　 　值  　.  低(高) x=- 最小(大) 单击此处编辑母版文本样式 高度问题 1.(模型观念)体育测试时,某个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线y=-x2+x+2的一部分(如图),根据解析式回答下列问题. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 (1)该同学出手时的高度是多少? (2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少?该同学的成绩是多少?(成绩精确到0.1米) 解:(1)令x=0,解得y=2, 即该同学出手时的高度是2米. 单击此处编辑母版文本样式 (2)y=-x2+x+2=-(x-6)2+5,顶点坐标为(6,5), 所以铅球在运行过程中离地面的最大高度是5米. 令y=0,则-x2+x+2=0. 解得x1=6+2≈13.7,x2=6-2(舍去), 所以该同学的成绩大约是13.7米. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.如图,羽毛球的某次运动路线可以看作一条抛物线.若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-x2+x+,则羽毛球飞出的水平距离为　　米.  5 单击此处编辑母版文本样式 2.篮球运动员投篮后,球的运动路线为抛物线的一部分(如图),抛物线的对称轴为直线x=2.5. (1)求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动过程中离地面的最大高度. 单击此处编辑母版文本样式 (2)若篮框离地面3.05 m ,离运动员投篮处水平距离为4.2 m,问篮球以该运动方式能否投进篮框?若能投进篮框,请说明理由;若不能,则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮,刚好能使篮球投进篮框? 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-2.5)2+h, 将(0,2.25)和(3.5,3.3)代入,得 解得 单击此处编辑母版文本样式 ∴抛物线的解析式为y=-0.2(x-2.5)2+3.5, 当x=2.5 时,y最大,最大值为3.5 m, ∴篮球在运动过程中离地面的最大高度为3.5 m. 单击此处编辑母版文本样式 (2)不能.∵篮框离地面3.05 m, ∴3.05=-0.2(x-2.5)2+3.5, 解得x1=1,x2=4, ∴向前移动4.2-1=3.2(m)或4.2-4=0.2(m). 若向前移动3.2 m,则此时篮球的运动轨迹是从下往上的,不符合实际意义,故舍去, 单击此处编辑母版文本样式 ∴抛物线向右平移0.2 m,即运动员应向前移动0.2 m后再投篮,刚好能使篮球投进篮框. 单击此处编辑母版文本样式 面积问题 2.如图,有长为24 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为9 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x m,面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围. (2)当长方形的长、宽各为多少时,养鸡场的面积最大?最大的面积是多少?   单击此处编辑母版文本样式 　解:(1)由题意,得AB=,所以y=x·=-x2+8x(0<x≤9). (2)因为y=-x2+8x=-(x-12)2+48,且0<x≤9,所以当x=9时,y最大,最大值为45, 所以当养鸡场的长为9 m,宽为5 m时,面积最大,最大的面积是45 m2. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　用二次函数解决实际问题的一般步骤:①设自变量;②列出　 　;③确定自变量的取值范围;④根据　 　或　 　求出最大值或最小值(　 　).  函数解析式 顶点坐标公式 配方法 在自变量的取值范围内 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 如图,利用一面墙,其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地,墙长为30米,则围成矩形场地的最大面积为( ) A.800平方米 B.750平方米 C.600平方米 D.2400平方米 B 单击此处编辑母版文本样式 1把一个小球以20 m/s的速度从地面竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足h=20t-5t2,当h=20 m时,小球的运动时间为 ( ) A.20 s B.2 s C.(2+2)s D.(2-2)s 　　　　　 　　　　　 　　　　　 B 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2在一定条件下,若物体运动的路程s(m)与时间t(s)的关系式为s=5t2+2t,则当t=4 s时,该物体所经过的路程为　 　.  88 m 单击此处编辑母版文本样式 3已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系:S= -5x2+10x+14.若使S有最大值,则x=　　.  4若矩形的周长为10,设矩形一边长为x,它的面积为y,则y与x的函数解析式为y=　 　.  1 -x2+5x 单击此处编辑母版文本样式 5周长为16 cm的矩形的最大面积为　 　,此时矩形的长为　 　,宽为　 　,该矩形为　 　形.  16 cm2 4 cm 4 cm 正方 单击此处编辑母版文本样式 6如图,运动员将一个小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足二次函数关系,t与h的几组对应值如表所示: t/s 0 1 2 3.5 h/m 0 15 20 8.75 单击此处编辑母版文本样式 (1)求h与t之间的函数表达式.(不要求写出t的取值范围) (2)小球从飞出到落地要用多长时间? 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)设h与t之间的函数表达式为h=at2+bt+c(a≠0). 根据题意把(0,0),(1,15),(2,20)代入得 解得 单击此处编辑母版文本样式 ∴h与t之间的函数表达式为h=-5t2+20t. (2)当h=0时,-5t2+20t=0,解得t1=0,t2=4, ∴小球从飞出到落地需要4 s. 单击此处编辑母版文本样式 7如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A出发,沿AC向点C以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点C出发,沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时,两点同时停止运动),在运动过程中,四边形PABQ的面积的最小值为 ( ) A.19 cm2 B.16 cm2 C.15 cm2 D.12 cm2 C 单击此处编辑母版文本样式 8已知一直角三角形两条直角边的和是6 cm,则以这个直角三角形的斜边为边长的正方形面积的最小值是　 　.  18 cm2 单击此处编辑母版文本样式 9如图,有一段长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为100米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S 平方米. (1)求S与x的函数解析式. (2)当AB的长为多少时,才能使花圃的面积最大?最大面积是多少? 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵宽AB为x米, ∴长BC为(24-3x)米, 这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x. (2)当x=-=4(米)时,S最大==48(平方米), 在围花圃时,让其AB长为4米,才能使花圃的面积最大,最大面积是48平方米. 单击此处编辑母版文本样式 10(模型观念)为增强学生身体素质,创设体育文化氛围,某校开展田径运动会,小贤同学报了投铅球比赛的项目,如图,曲线AB就是他投出的铅球运动路线,呈抛物线形,出手点A离地面BC的高度为 m,铅球飞行的水平距离的长度为13 m.过A作AO⊥BC于点O,以OB为x轴,OA为y轴,建立平面直角坐标系. 单击此处编辑母版文本样式 (1)写出A,B两点的坐标. (2)若抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). ①求的取值范围; ②若=-10,求小贤同学投出的铅球运动路线(抛物线)的解析式. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)∵出手点A离地面BC的高度为 m,铅球飞行的水平距离的长度为13 m. ∴A ( 0, ),B(13,0). (2)①∵0<-<, ∴-13<<0. 单击此处编辑母版文本样式 ②∵=-10, ∴对称轴为直线x=5. 故该抛物线与x轴的另一个交点为(-3,0). ∴设y=a(x+3)(x-13). 将 (0, )代入上式得=a(0+3)(0-13), 单击此处编辑母版文本样式 ∴a=-, ∴b=, 故小贤同学投出的铅球运动路线的解析式为y= -x2+x+. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 41 $