26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，课堂导入通过回顾函数表示方式及一次函数图象画法（列表、描点、连线），搭建学习支架，帮助学生迁移旧知至新知探究。 其亮点在于以描点法为基础，通过对比y=x²、y=2x²、y=-x²等图象，引导学生观察归纳开口方向、对称轴等性质，培养几何直观与推理意识。用表格系统总结性质，助力学生形成结构化认知，既提升学生探究能力，也为教师提供清晰教学路径。

第二十六章 二次函数 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念. 2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的解析式. 3.通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征，经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 学习目标 2 2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤？ 图象法、列表法、解析法 ①列表 ②描点 ③连线 回顾 1.函数有几种表示方式？图象法有什么特点？ 图象法更直观 课堂导入 问题 用描点法画出 y=x2 的图象. 1.列表. x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … y=x2 … … 9 4 1 1 0 4 9 2.描点. 3.连线. y=x2 思考：这个图象像什么形状？ 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 可以看出，二次函数 y=x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . y=x2 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 y=x2 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 顶点 对称轴 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 从二次函数y=x2的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. y=x2 思考：你还能从图象中看出什么？ 左侧 右侧 减小 增大 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 (1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； (2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； (3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x2，y=2x2 的图象. 例1 x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 解：分别列表，再画出它们的图象. y=x2 y=2x2 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 思考：函数  的图象与函数  的图象（图中的虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？ 共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点 是函数图象的最低点. 不同点：开口大小不同，函数 的图象开口最大，函数 的图象开口最小. y=x2 y=2x2 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 思考：利用信息技术工具画二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象，改变  的值，函数 y=ax2 的图象也发生了改变. 随着 a 的变化，二次函数 y=ax2 的图象有什么变化？ a的值越大，图象的开口越小. 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. y=x2 y=2x2 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 探究 回顾上面研究二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数 y=ax2 (a<0) 的图象和性质吗？ 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=﹣x2， y=﹣x2 ，y=﹣2x2的图象. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是函数图象的最高点. 不同点：开口大小不同，函数 y=的图象开口最大，函数y=﹣2 的图象开口最小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 思考：观察这些抛物线有什么共同点和不同点？ 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 二次函数 y=ax2 的图象和性质 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 已知抛物线 ，回答下列问题： 抛物线  开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______； 当  时， 随  的增大而______，当  时， 随  的增大而______； 对于任意的  值，总有函数值  ___ 0，当  ___ 时， 有最_____值，是______. 例2 下 减小 y轴 (0,0) 增大 ≤ 0 大 0 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： (1)y=3x2; (2)y=-3x2. 解：函数图象如图所示. 随堂练习 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 当 x<0 时（y 随 x 的变化） 当 x>0 时（y 随 x 的变化） y=4x2 向上 y 轴 原点 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 解： y=−4x2 向下 y 轴 原点 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 y=​x2 向上 y 轴 原点 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 y=−​x2 向下 y 轴 原点 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 随堂练习 3. 已知y＝(m＋1)是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式. 解：依题意，得 由②，得m1=-2，m2=1； 由①，得m＞-1. ∴m＝1. 此时，二次函数的解析式为y＝2x2. 随堂练习 二次函数y=ax2的图象和性质 画法 性质 描点法 抛物线 图象 轴对称图形 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 课堂小结 Lavf57.25.100 $