26.1 二次函数的概念（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念及实际应用，通过矩形面积、球队比赛场次等问题导入，先梳理一元二次方程循环与数字问题模型，再过渡到二次函数解析式构建，形成从方程到函数的知识衔接支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，如“水火箭升空”问题引导观察数量关系，通过步骤化判断（整式、最高次2、a≠0）发展数学思维，结合增长率、运动轨迹模型强化数学语言表达。分层练习与易错总结助力学生掌握，教师可直接用于培优教学提升效率。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.1 二次函数的概念 第26章 二次函数 25.3.3 实际问题与一元二次方程——循环问题与数字问题（含解析） 一、核心知识点梳理 本节包含两类经典一元二次方程实际题型：循环问题（握手、单循环赛事）和数字问题（数位、连续数），题型固定、套路性强，是单元测试与期中期末必考基础应用题。 1. 单循环问题模型（核心考点） 适用场景：两两之间只发生一次互动，不重复、不双向计数，常见于握手问题、单循环比赛、两两送礼、线段连线问题。 通用公式：若总人数（队伍数）为$$x$$，总互动次数为$$N$$，则 $$\dfrac{1}{2}x(x-1)=N$$。 原理：每个人与其余$$x-1$$人互动，整体会重复计算一次，因此需要乘$$\dfrac{1}{2}$$。 补充区分：互送礼物、双循环比赛为双向互动，无需除以2，公式为 $$x(x-1)=N$$。 2. 数字问题模型 （1）连续数问题：设较小整数为$$x$$，相邻整数为$$x+1$$，相邻偶数/奇数为$$x+2$$，根据和、积关系列方程。 （2）两位数数位问题：设十位数字为$$x$$，个位数字为$$y$$，则两位数表示为 $$10x+y$$，切勿直接写成$$xy$$（非乘积）。常考数位对调、数字和、数字积相关题型。 3. 通用解题步骤 ①审题判断题型（循环/数字）；②合理设未知数（优先设基础量）；③套用模型列一元二次方程；④解方程后结合实际取舍（人数、数位数字均为正整数，数位数字0~9）。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 某次聚会所有人两两握手，一共握手28次，设参会人数为$$x$$，方程正确的是（） A. $$x(x-1)=28$$ B. $$\dfrac{1}{2}x(x-1)=28$$ C. $$x^2=28$$ D. $$x(x+1)=28$$ 2. 一个两位数，十位数字为$$x$$，个位数字比十位大2，该两位数可表示为（） A. $$x(x+2)$$ B. $$10x+2$$ C. $$11x+2$$ D. $$10x+(x+2)$$ （二）填空题 3. 单循环篮球联赛，每两队之间只赛一场，总场次45场，设参赛队伍为$$x$$，列方程为________。 4. 两个连续正整数的积为56，则这两个数分别是________。 （三）解答题 5. 毕业聚会中，每两名同学之间都握手一次，统计得总握手次数为45次，求参加聚会的学生人数。 6. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为8，将十位与个位数字对调后，新两位数与原两位数的积为1855，求原两位数。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B。解析：两两握手属于单循环问题，无双向重复，必须除以2，套用公式$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=28$$。 2. 答案：D。解析：个位数字为$$x+2$$，两位数=10×十位数字+个位数字，即$$10x+(x+2)$$。 3. $$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$$答案：。解析：单循环赛事核心公式，直接代入总场次即可。 4. 答案：7、8。解析：设小数为$$x$$，大数为$$x+1$$，列方程$$x(x+1)=56$$，解得正整数根$$x=7$$。 5. 解析：设参加聚会的学生有$$x$$人。 根据单循环握手公式列方程：$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$$，整理得$$x^2-x-90=0$$。 因式分解得$$(x-10)(x+9)=0$$，解得$$x_1=10$$，$$x_2=-9$$（人数为正，舍去负根）。 答：参加聚会的学生人数为10人。 6. 解析：设原两位数十位数字为$$x$$，则个位数字为$$8-x$$。 原两位数：$$10x+(8-x)=9x+8$$，新两位数：$$10(8-x)+x=80-9x$$。 根据题意列方程：$$(9x+8)(80-9x)=1855$$，整理得$$81x^2-648x+1215=0$$，化简得$$x^2-8x+15=0$$。 解得$$x_1=3，x_2=5$$。当$$x=3$$时，原数为35；当$$x=5$$时，原数为53。 答：原两位数为35或53。 四、易错总结 1. 单循环问题忘记乘$$\dfrac{1}{2}$$，与双循环互送问题公式混淆，是最高频易错点；2. 两位数表示错误，误将数位数字拼接当成数字乘积；3. 数字问题未限制取值范围，出现数位数字大于9、负数等不合理结果；4. 解方程后未检验，保留无意义的负根；5. 连续奇数、偶数问题误用连续整数关系，列式出错。 掌握二次函数的概念，能判断一个函数关系是不是二次函数关系. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数. 显然，矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数．根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为______________,即________________. 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m²）会随矩形一边长（单位：m）的变化而变化，y与x之间有什么关系？ y=x（20－x） 二次函数的概念 知识点 1 问题1 y=－x2+20x① 3 3 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 每支球队都要与其他________支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数______________,即________________. （n－1） m= n(n－1) m= n2－ n② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 探究新知 问题2 4 4 这种产品的原产量是20t, 一年后的产量是 t,再经过一年后的产量是 t,即两年后的产量为______________,即___________________. 某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定,y与x之间的关系应怎样表示？ 20(1+x) 20(1+x)(1+x) y=20x2+40x+20③ ③式表示了两年后的产量y与计划增产倍数x之间的关系,其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值, y都有唯一确定的值与其对应,即y是x的函数. 探究新知 问题3 y=20（1+x）2 5 5 观察函数①②③，它们有什么共同点? y=－x2+20x ① m= n2－ n ② y=20x2+40x+20 ③ 探究新知 【思考】 学生以小组形式讨论，并由每组代表总结. 6 6 y=－x2+20x 自变量 函数 函数解析式 y y m x x n 【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数． 这些函数有什么共同点？ 这些函数自变量的最高次项都是二次的！ 探究新知 m= n2－ n y=20x2+40x+20 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫作二次函数. （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 （3）等式的右边最高次数为 注意 （2）a,b,c为常数，且 （4）x的取值范围是 . 整式. a≠0. 2 任意实数 探究新知 二次函数的概念 项和常数项，但不能没有二次项. ，可以没有一次 8 8 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫作二次函数. 二次项系数 自变量 一次项系数 常数项 探究新知 二次函数的概念 二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a，b，c是常数,a≠0) 探究新知 二次函数的形式 当b＝0时， y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项） 当c＝0时， y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项） 当b＝0，c＝0时， y＝ax2.（只含有二次项） 二次函数的特殊形式: 10 10 例1 下列函数中是二次函数的有 . 二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） √ a=0 × 最高次数是4 × × √ √ ①⑤⑥ 二次函数的识别 素养考点 1 探究新知 方法点拨 判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 探究新知 12 下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t² (5) y=(x+3)²-x² (6) v =10πr² （是） （否） （是） （否） （否） （是） (7) y=x²+x³+25 (8) y =2²+2x （否） （否） (2) (4) 右边不是整式 右边不是整式 自变量的最高次数是1 整理后，自变量的最高次数是1 自变量的最高次数是3 巩固练习 13 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言； ②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数解析式，并化成一般形式； ③取值：联系实际，确定自变量的取值范围. 列二次函数解析式 知识点 2 探究新知 例 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数解析式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，计算菜园的面积. xm y m2 xm （40－2x ）m 解： 由题意，得 y=x(40-2x). 即 y=－2x2+40x. (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为 y =－2x2+40x=－2×122+40×12=192（m2）. 素养考点2 建立二次函数的模型 素养考点 探究新知 方法点拨:确定实际问题中的二次函数解析式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等. 15 15 知识点1 二次函数的定义 1. 下列函数中，一定是二次函数的有( ) ；； ； ； . C A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 中考考法 16 2.若函数是二次函数，则 ___. 3 【点拨】 当函数的二次项系数包含字母时，要注意二次项系数不为 0，解此类题易只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系 数的限制，从而导致错误. . . . . 中考考法 17 知识点2 二次函数的一般形式及函数值 3. 把函数 化成一般形式后， 二次项系数和一次项系数分别是( ) B A. 1,9 B. ,9 C. 1， D. ， 中考考法 18 4. [2026合肥期中] “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实 验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的 升空高度与飞行时间 满足的关系为 ．若“水火箭”的升空高度为 ，则此 时的飞行时间为( ) C A. B. C. D. 或 中考考法 19 【点拨】，且 ， ，整理，得 ，解 得，， ． 中考考法 20 5. 如图，它是一个运算程序示意图，若第一次 输入1，则输出的结果是____. 11 中考考法 21 知识点3 建立二次函数模型 6. 黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一. 新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为 元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天 的销售额为元.设增长率为，则关于 的函数关系式为 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 22 7. 如图,用长为 的 篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长 度是 ）,围成中间有一道篱笆的 （1）求与的函数关系式及 的取值范围. 【解】 . 矩形花圃,设该花圃的一边长是,面积是 . 中考考法 23 （2）如果要围成面积为的矩形花圃,那么 的长应为 多少米？ 当时，,解得, . , . 答：的长应为 . 中考考法 24 8. 已知二次函数 的二次项系数 与一次项系数的和为 ，差为2，则常数项为( ) A A. B. C. D. 中考考法 25 9. 刀削面堪称天下一绝， 传统的操作方法是一手托面，一手拿刀， 直接将面削到开水锅里.如图，面刚被削离 时与开水锅的高度差 D A. B. C. D. ，与锅的水平距离，锅的半径 . 若将 削出的小面条（看作点）的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使 其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度 不可能为 （提示：，，水平移动距离 ） ( ) 中考考法 26 【点拨】由题意得,解得, （不合题意,舍去） 要使其落入锅中， ,即 , . ， 选项D不可能. 中考考法 27 问题导入，列解析式 探索二次解析式共同点 总结二次函数概念 二次函数y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0） 二次函数的判别: ①函数解析式是整式； ②整理后自变量的最高次数为2； ③二次项系数不等于0. 确定二次函数解析式及自变量的取值范围 课堂小结 $