26.3二次函数与一元二次方程第2课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，核心内容包括用图像法（二分法）求方程近似根及二次函数与一元二次不等式的关系。课堂导入通过回顾两者联系，将方程问题转化为函数问题，搭建从二次函数图象到近似根求解的学习支架。 其亮点是以数形结合为核心，通过“观察图象定位根范围+二分法逐步缩小范围”，培养几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维）。以x²-2x-2=0为例，演示“画图、定位、试值、定根”四步骤，规范数学语言表达（模型意识）。学生能深化转化思想提升估算能力，教师可借助清晰流程和实例提高教学效率。

第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课时2 1.进一步掌握二次函数与一元二次方程的双向转化关系，理解利用二次函数图象求一元二次方程近似根的原理与方法. 2.能通过“观察图象+逐步缩小范围(二分法)”的方式，估算一元二次方程的近似根，深化数形结合与转化的数学思想. 学习目标 2 根据二次函数与一元二次方程的联系，也可以将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题.不妨来看下面的问题. 课堂导入 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 例1 解：画出函数y=x2-2x-2的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 所以方程的实数根为 y=x2-2x-2 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数的图象，可以发现：点(2,-2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0，点(3,1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0. 因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴.也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根. y=x2-2x-2 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. y=x2-2x-2 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6 875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于∣2.6875-2.75∣=0.0 625<0.1，我们可以将2.6 875作为根的近似值. y=x2-2x-2 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 y=x2-2x-2 思考：你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)？ 观察函数 y=x2-2x-2 的图象，可以发现： 点(-1,1)在轴的上方，即当自变量为-1时的函数值大于0，点(0,-2)在x轴的下方，即当自变量为0时的函数值小于0. 因为抛物线 y=x2-2x-2 是一条连续不断的曲线， 所以抛物线在 -1<x<0 这一段经过轴. 也就是说，方程x2-2x-2=0在-1和0之间有根. 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取-1和0的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为-0.75<0，与自变量为-1时的函数值异号，所以根在-1与-0.5之间. y=x2-2x-2 再取-1与-0.5的平均数-0.75，计算自变量为-0.75时的函数值为0.0 625>0，与自变量为-0.5时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.5之间. 再取-0.75与-0.5的平均数-0.625，计算自变量为 -0.625时的函数值为-0.359 375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.625之间. 此时区间两端点之差为∣-0.625-(-0.75)∣=0.125>0.1 不满足精度要求，再取一次平均数. 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 取-0.75与-0.625的平均数-0.6 875，计算自变量为-0.6 875时的函数值为-0.15234375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.6 875之间. 此时区间两端点之差为∣-0.6 875-(-0.75)∣=0.0 625<0.1. 因此，我们可以将-0.75或-0.6 875作为根的近似值. 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程. y=x2-2x-2 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 确定一元二次方程的近似根的步骤 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 确定一元二次方程的近似根的步骤 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 跟踪训练 利用二次函数的图象求方程 2x2-3x-1=0 的近似根（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数y=2x2-3x-1的图象，如图所示. 由图可知，函数y=2x2-3x-1的图象与x轴的两个公共点的横坐标分别在-1和0，1和2之间. 取-1和0的平均数-0.5，当x= -0.5 时,y=1,当x=0时,y=-1, 所以方程的一个根在-0.5和0之间. 取-0.5和0的平均数-0.25，当x=-0.25 时,y= -0.125, 所以方程的这个根在-0.5和-0.25之间. 取-0.5和-0.25的平均数-0.375，当x=-0.375 时,y=0.406 25, 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 跟踪训练 所以方程的这个根在-0.375和-0.25之间， 由此方法可得到原方程的一个近似实数根为-0.3. 用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8. 所以方程 2x2-3x-1=0 的近似实数根是x1≈-0.3，x2≈1.8. 根据根与系数的关系求方程的另一个近似实数根 利用二次函数的图象求方程 2x2-3x-1=0 的近似根（结果保留小数点后一位）. 知识点1 用图象法求一元二次方程的近似根 新知讲解 除了可以根据二次函数与一元二次方程的联系来估计一元二次方程的近似根，我们还能根据二次函数的图象求解一元二次不等式的解集. 新知讲解 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 问题 如图是函数 y=x2-x-2 的图象，根据图象回答问题： (1) 方程 x2-x-2=0 的根是多少？ (2) x 取什么值时，函数值大于 0？ (3) x 取什么值时，函数值小于 0？ y=x2-x-2 (1)x1=2，x2=-1. (2)当x<-1或x>2时，函数值大于0. (3)当-1<x<2时，函数值小于0. 新知讲解 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 新知讲解 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 已知二次函数  () 的部分图象如图所示，当  时， 的取值范围是 （ ） A.  B.  C.  或  D.  例2 解析: 由图可知抛物线 𝑦=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐 的对称轴为直线 𝑥=−1，且经过点 (−3，0)， ∴ 抛物线与 𝑥 轴的另一个交点为 (1,0). ∵ 抛物线在 𝑥 轴的上方部分的 𝑦>0, ∴ 当 𝑦>0 时，𝑥 的取值范围是 −3<𝑥<1. B 1 新知讲解 知识点2 二次函数与一元二次不等式的关系 1. 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）: (1) x2-3x+1=0； (2) -x2-x+1=0. 解：(1)画出函数 y=x2-3x+1 的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是0.4，2.6. 所以方程 x2-3x+1=0 的实数根为x1≈0.4，x2≈2.6. 随堂练习 1. 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）: (1) x2-3x+1=0； (2) -x2-x+1=0. 解：(2)画出函数 y=-x2-x+1 的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-1.6，0.6. 所以方程 -x2-x+1=0 的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 随堂练习 2.利用函数图象求下列方程的根的近似值(结果保留小数点后一位): (1) x2-6x+7=0; (2) -x2+3x+1=0. 解：(1)画出函数 y=x2-6x+7 的图象, 它与x轴的公共点的横坐标大约是1.6，4.4. 所以方程 x2-6x+7=0 的实数根为x1≈1.6，x2≈4.4. 随堂练习 2.利用函数图象求下列方程的根的近似值(结果保留小数点后一位): (1) x2-6x+7=0; (2) -x2+3x+1=0. 解：(2)画出函数 y=-x2+3x+1 的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.3，3.3. 所以方程-x2+3x+1=0 的实数根为x1≈-0.3，x2≈3.3. 随堂练习 3. 画出函数的图象，利用图象回答： (1) 方程  的根是多少？ (2)  取什么值时，函数值大于 0？ (3)  取什么值时，函数值小于 0？ 解：图象如图所示. (1)x1=3，x2=-1. (2)当x<-1或x>3时，函数值大于0. (3)当-1<x<3时，函数值小于0. 随堂练习 估计一元二次方程的近似根 二次函数与一元二次方程 求解一元二次不等式的解集 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集 1.画图；2.定位；3.试值；4.定根 课堂小结 $