26.3二次函数与一元二次方程第1课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心讲解二次函数图象与x轴交点个数和方程根的对应关系。课堂导入通过复习一次函数与一元一次方程的联系，搭建知识迁移支架，引导学生类比探究新知。 其亮点在于以数形结合为主线，通过小球飞行高度等实例培养几何直观和模型意识，提供代数法、对称性、韦达定理等多种解题方法发展推理能力。课堂小结系统梳理判别式与交点关系，帮助学生构建知识网络，教师使用可提升教学针对性，学生能深化知识理解与应用能力。

第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课时1 1.理解二次函数的图象与 x 轴的交点个数和对应的一元二次方程根的情况之间的对应关系，能利用二次函数的图象判断一元二次方程根的情况. 2.能将二次函数问题转化为一元二次方程问题来解决，体会数形结合与转化的数学思想. 学习目标 2 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系. 复习 一次函数 y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx+b=3的解为________． 1 3 O x y 2 y=kx+b x=2 课堂导入 思考：如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2； (2) y=x2−8x+16； (3) y=x2−x+1. 由此，你能说方程 x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0 根的情况吗？ y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 通过图中的函数图象可以看出： (1) 抛物线 y=x2+x−2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是−2，1. 当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0. 由此可知，方程 x2+x−2=0 有两个不相等的实数根 −2，1. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 通过图中的函数图象可以看出： (2) 抛物线y=x²−8x+16 与 x 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 4. 当 x=4 时，函数值是 0. 由此可知，方程x2−8x+16=0 有两个相等的实数根 4. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 通过图中的函数图象可以看出： (3) 抛物线 y=x2−x+1 与 x 轴没有公共点. 由此可知，方程 x2−x+1=0 没有实数根. y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，可得如下结论： (1) 如果抛物线 y=ax2+bx+c 与  轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当  时，函数值是 0，因此  是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根. (2) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与  轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 解析：方法一 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3,0), ∴x=3是一元二次方程 的一个根， ∴，解得m=3, ∴ 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 例1 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 已知二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为 . 例1 解析：方法二 ∵二次函数y=-x2+2x+m的图象的对称轴是直线x= 且与x轴的一个交点为(3，0)， ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). 方法三 ∵二次函数 的图象与x轴的一个交点为(3，0), ∴x=3是一元二次方程 的一个根. 设方程的另一个根为x₁，则 解得 ∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0). (-1，0) 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 求抛物线与 x 轴的交点的坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时，转化为解一元二次方程的问题； (2) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解； (3) 已知抛物线与x轴的一个交点坐标，可利用根与系数的关系求解. 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________. 跟踪训练 解析：由题意得，方程  的根的判别式=22-4×(-1)×m=4+4m. (1) 若该抛物线与  轴没有公共点，则  ，解得  . (2) 若该抛物线与  轴有公共点，则  ，解得  .     新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 (1) 若抛物线 与  轴没有公共点，则  的取值范围是___________； (2) 若抛物线与  轴有公共点，则  的取值范围是____________； (3) 若抛物线与  轴的两个公共点为 (x1，0)，(x2，0)，且 ，则该抛物线与  轴的公共点的坐标为__________________. 跟踪训练 解析：(3)该抛物线与  轴的两个公共点为， 是方程的两根， . 又，， 该抛物线与轴的公共点的坐标为(，0)，(，0).     (，0)，(，0) 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多长时间？ 例2 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t-5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程20=20t-5t2的根的问题. 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2，小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多长时间？ 例2 解：当  时，由函数关系 ， 列得方程 即 解方程，得 这说明，当自变量  时，二次函数  的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m. 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多长时间？ 解：(1)小球的飞行高度能达到15 m. 当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . 解方程，得 . ∴当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15 m. 跟踪训练 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (2)小球的飞行高度能否达到20.5 m?如果能，需要多长时间？ 跟踪训练 解：(2)当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . ∵ , ∴方程无实数根， ∴小球的飞行高度不能达到20.5 m. 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h=20t-5t2. 关于例题，回答下列问题： (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ 跟踪训练 解：(3)小球飞出和落地时的高度都为0 m， 当  时，由函数关系 ， 列得方程 ， 即 . 解方程，得 . ∴小球从飞出到落地需要4s. 新知讲解 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 1. 一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程 l (单位：m)关于行驶时间 t (单位：s) 的函数解析式是 l=9t+t2，经过 10s 汽车行驶了多远?行驶180 m 需要多长时间? 解：当  时，. 当  时，, 整理得 , 解得 （舍去）. 答：经过 10 s 汽车行驶了 140 m，行驶 180 m 需要 12 s. 随堂练习 2.下列选项中，不与x轴相交的抛物线是( ) A.y =2x2-3 B.y=-2x2+3 C.y=-x2-3x D.y=-2(x+1)2-3 D 随堂练习 3.当a＞0，c＜0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点情况是 ( ) A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定 C 随堂练习 4.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是( 　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 A 随堂练习 二次函数与 一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程ax2+bx+c=0 b2-4ac>0 与x轴有两个公共点 b2-4ac=0 与x轴有一个公共点 b2-4ac<0 与x轴无公共点 课堂小结 $