暑假作业04 四边形综合探究（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“判定-性质-应用”为主线，系统整合特殊四边形判定方法、中点辅助线策略及中点四边形规律，形成“方法口诀化+题型分类化”的专项突破体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点模块|7个核心知识点|特殊四边形“先定型再补条件”判定法、“见中点想中位线”辅助线策略、中点四边形形状判定口诀|从特殊四边形定义与判定（概念生成）→中位线等性质推导（原理构建）→中点四边形规律总结（应用拓展），逻辑递进| |题型模块|5类典型题型|中点四边形判定（口诀应用）、阴影面积（对称性转化）、动点问题（方程思想）、最值问题（模型意识）|题型与知识点精准对应，以题载法，强化方法迁移与问题解决能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 四边形综合探究 【知识点1 特殊四边形的判定：先定型，再补条件】 1. 菱形：先证它是平行四边形，再补一组邻边相等或对角线垂直 2. 矩形：先证它是平行四边形，再补一个角＝90°或对角线相等 3. 正方形：先证它是矩形→再补一组邻边等/对角线垂直；或：先证它是菱形→再补一个角＝90°/对角线相等 【知识点2 见中点优先想：三角形中位线定理】 1. 在△ABC中，若D，E分别是AB，AC中点，则DE∥BC，DE＝BC 2. 顺次取四边中点→得到两组三角形的中位线→新四边形对边平行且等于原对角线的一半。 【知识点3 见平行线＋中点/等长的典型思路】 1. 中位线：直接给两个中点→用中位线得到平行与半长。 2. 平行四边形判定（由平行来）： (1) 两组对边分别平行→平行四边形 (2) 一组对边平行且相等→平行四边形 3. 等腰三角形＋中点（常与矩形/菱形混合）： (1) 在等腰三角形中，底边中点⇒三线合一（高/中线/顶角平分线合一） (2) 反过来：给垂直＋中点，也可反推等腰 【知识点4 平行四边形系的通用法（对角线）】 1. 对任意四边形，只要你已经知道（或可证）它是平行四边形，就有：对角线互相平分（设交点O，则AO＝OC，BO＝OD） 2. 对特殊情形再追加： (1) 菱形⇔还可拿到：垂直或邻边等 (2) 矩形⇔还可拿到：等长或一个角90° (3) 正方形⇔同时拿到对方的额外项（如矩形＋对角线垂直/菱形＋对角线相等） 【知识点5 中点四边形的定义】 1. 顺次连接一个四边形各边中点所构成的四边形，叫作中点四边形。 2. 四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA中点，则EFGH为中点四边形。 【知识点6 中点四边形的通解定理】 1. 连接AC（或BD）作辅助线：在△ABC中：EF∥AC，EF＝AC；在△ADC中：HG∥AC，HG＝AC 2. EF∥HG，EF＝HG 3. 中点四边形至少是平行四边形。 4. 继续用另一条对角线BD同理可得：EH∥BD，FG∥BD。 5. 由此得到最关键的对应关系：中点四边形的边，平行于原四边形的对角线；中点四边形的形状，由原四边形两条对角线的“位置关系＋数量关系”决定。 【知识点7 中点四边形形状判定口诀】 原四边形对角线的特征 中点四边形形状 快速理由 只保证是一般四边形 平行四边形 两组对边分别平行（中位线） 对角线相等（AC＝BD） 菱形 中点四边形邻边EF＝HG＝AC＝BD⇒四边相等 对角线垂直（AC⊥BD） 矩形 邻边方向分别平行于AC、BD，而AC⊥BD ⇒一个角＝90°⇒矩形 对角线既等又垂直 正方形 同时满足上面两条⇒菱形＋矩形⇒正方形 常见例子： 1. 原四边形＝矩形（对角线相等）→中点四边形＝菱形 2. 原四边形＝菱形（对角线垂直）→中点四边形＝矩形 3. 原四边形＝正方形（既等又垂直）→中点四边形＝正方形 4. 原四边形＝平行四边形（一般）→中点四边形＝平行四边形 题型01 中点四边形 1．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、，再由菱形的判定得出四边形为菱形，连接，交于点O，利用勾股定理得出，确定，再由菱形的性质求面积即可． 【详解】解：，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵， ， ∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形的面积为：． 2．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 题型02 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【答案】(1)B (2)24 (3)详见解析 【分析】（1）根据“和谐四边形”的定义进行判断即可； （2）由于对角线互相垂直，所以四边形的面积可化为的和，再求解即可； （3）先证明，再证得，求得，由等腰三角形三线合一性质可得，从而证得结论． 【详解】（1）解：菱形的两条对角线互相垂直，且两条对角线互相平分，符合“和谐四边形”的定义， 故选：B； （2）解：设与相交于点， ， 的面积为：， 的面积为：， 四边形的面积：， ， ， ， 故答案为：24； （3）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， （三线合一性质）， 四边形是“和谐四边形”． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握对“和谐四边形”的理解． 题型03 （特殊）平行四边形的动点问题 1．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形时，，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∴， 当四边形是矩形时，， 即， 解得：． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角梯形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 【分析】分类讨论：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，如图 由题意得：，， 由，可得 当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形为平行四边形， 综上所述，当秒时，四边形为平行四边形；当秒时，四边形为平行四边形． 题型04 四边形中的线段最值问题 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，的各顶点坐标分别为． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将和分别按顺时针方向旋转90°后的和； (2)y轴上有C，D两点，点C在点D下方，且，则四边形周长最小值为_． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了作中心对称图形、旋转图形、平面直角坐标系等知识点，掌握基本的作图方法是解题的关键． （1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点、，再与点O首尾顺次连接即可得；同样方法可以得到的对应图象； （2）根据题意、长度固定，四边形周长最小值，就是求的最小值，作点A关于y轴的对称点，有，作轴，且，连接交y轴于点，两点之间线段最短，的长度就是的最小值，运用勾股定理，即可求出周长最小值． 【详解】（1）解：步骤一，关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数，的对称点，的对称点，的对称点还是点，坐标系中描点连线，得到，如下图 步骤二，过旋转中心点O，顺时针方向作垂线，且，点就是点绕旋转中心点O，顺时针旋转得到的对应点， 同理，作出其他对应点连接，最终结果如下图所示 （2）解：作点A关于y轴的对称点，作轴，且，连接交y轴于点，连接，，如下图，当三点共线时，此时四边形的周长最小； ， 四边形是平行四边形， ， ，关于y轴对称， ， 四边形的周长最小值， ，， 四边形的周长最小值． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 题型05 四边形其他综合问题 1．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】(1)①③ (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 2．（2026·广东茂名·一模）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_________（填序号即可）； ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为的菱形． 性质探究： (2)如图1，，，，． ①求证：无论取何值，四边形一定为“勾股四边形”， ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求的值． 拓展应用： (3)如图2，和是等边三角形，连接，当四边形是以，为勾股边的勾股四边形时，若，，求的长． 【答案】(1)②③ (2)①见解析；② (3)4 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：根据“勾股四边形”的定义可知矩形和有一个角为直角的任意凸四边形为“勾股四边形”． 故答案为：②③ （2）解：①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”，且， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据题意作图，再结合中位线的性质，得证四边形是平行四边形，结合对角线互相垂直，证明有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：如图：，分别是边上的中点，连接，设交于点，交于点， ∵分别是边上的中点， ∴，分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是矩形，即得到的四边形一定是矩形． 2．（19-20七年级上·山东济宁·期中）如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查求不规则图形面积，解答本题的关键在于将不规则图形转化为规则图形面积再去求解即可． 【详解】解：剩下的铁皮的面积＝长方形的面积﹣圆的面积， 故选：A． 3．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，，动点从点出发，以的速度向点运动，同时动点从点出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点，在运动中会存在一个时刻，使得．不正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，用含的代数式表示出的长，利用矩形及平行四边形、梯形的性质逐一判断即可. 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当四边形为矩形时， ∴， 即：， 解得：， ∴不正确； 当四边形是平行四边形时， ∴， 即：， 解得：， ∴②不正确； 当时，若四边形是平行四边形，； 若四边形是梯形，分别过点作于，于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上：当时，或， ∴③正确； 由题意得：， 若， 则， ∵， ∴点，在运动中不存在一个时刻，使得， ∴④不正确． 综上：①②④不正确. 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 5．（25-26八年级下·广东珠海·期中）顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点四边形，矩形的中点四边形是___________． 【答案】 菱形 【分析】利用三角形中位线定理可得中点四边形对边平行且等于原矩形对角线的一半，结合矩形对角线相等的性质，可得中点四边形邻边相等，根据平行四边形和菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设矩形，，，，分别是，，，的中点，连接，， 根据三角形中位线定理，可得：，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线相等， ， ， ， 平行四边形是菱形． 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 7．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以3个单位/秒的速度向点B运动，当时运动停止，此时______． 【答案】260 【分析】如图，过作于，过作于，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，，证明，设，，设运动时间为，求解，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：如图，过作于，过作于，连接，， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形是矩形， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴设，， ∴， 设运动时间为， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴，，，， ∴， ∴. 8．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质以及最短路径问题的求解，关键是利用对称点将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定最小值．首先利用正方形对角线是对称轴，找到点关于的对称点，将转化为，把的和转化为；然后根据两点之间线段最短，确定当为与交点时，和最小，最小值为的长度；最后由正方形面积求出边长，结合等边三角形边长相等得到的长度，即为所求最小值． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴点与点关于直线C对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当点为与的交点时，的和最小，最小值为线段的长； ∵正方形的面积为6， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为； 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 【答案】（1）菱形、正方形 （2）或 【分析】本题主要考查了四边形中新定义问题、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质与判定，理解新定义以及掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据对角线平分一组对角的性质逐个分析即可解答； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：对角线是“美妙线”或对角线是“美妙线”，证相应的三角形全等，结合，，，即可求出美妙四边形的面积． 【详解】解：（1）根据“美妙四边形”的定义可知，在平行四边形，矩形，菱形，正方形这四个四边形中，其中是“美妙四边形”的是菱形、正方形； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况： ①当对角线是“美妙线”时，如图， 平分和，， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； ②当对角线是“美妙线”时，如图，过点作于点， ，平分， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； 综上所述，美妙四边形的面积为或． 10．（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D (2) 平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）略； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩恩 暑假作业04四边形综合探究 新知初探 【知识点1特殊四边形的判定：先定型，再补条件】 1.菱形：先证它是平行四边形，再补一组邻边相等或对角线垂直 2. 矩形：先证它是平行四边形，再补一个角=90°或对角线相等 3.正方形：先证它是矩形一再补一组邻边等/对角线垂直；或：先证它是菱形→再补一个角=90°/对 角线相等 【知识点2见中点优先想：三角形中位线定理】 1. 在△ABC中，若D,E分别是AB,AC中点，则DEllBC,DE=BC 2. 顺次取四边中点→得到两组三角形的中位线→新四边形对边平行且等于原对角线的一半。 【知识点3见平行线+中点/等长的典型思路】 1.中位线：直接给两个中点→用中位线得到平行与半长。 2. 平行四边形判定（由平行来）： (1)两组对边分别平行→平行四边形 (2)一组对边平行且相等一→平行四边形 3.等腰三角形十中点（常与矩形菱形混合）： (1)在等腰三角形中，底边中点→三线合一（高/中线顶角平分线合一） (2)反过来：给垂直+中点，也可反推等腰 【知识点4平行四边形系的通用法（对角线）】 1.对任意四边形，只要你已经知道（或可证）它是平行四边形，就有：对角线互相平分（设交点O, 则AO=OC,BO=OD) 2.对特殊情形再追加： (I)菱形一还可拿到：垂直或邻边等 (2)矩形一还可拿到：等长或一个角90 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)正方形~同时拿到对方的额外项（如矩形十对角线垂直/菱形十对角线相等） 【知识点5中点四边形的定义】 1.顺次连接一个四边形各边中点所构成的四边形，叫作中点四边形。 2.四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA中点，则EFGH为中点四边形。 D E 【知识点6中点四边形的通解定理】 1. 连接AC(或BD)作辅助线：在△AC中：ElAC,EF=AC,在△ADC中：HGlAC,HG= AC 2.EFHG,EF=HG 3. 中点四边形至少是平行四边形。 4. 继续用另一条对角线BD同理可得：EHBD,FG‖BD。 5. 由此得到最关键的对应关系：中点四边形的边，平行于原四边形的对角线；中点四边形的形状， 由原四边形两条对角线的“位置关系+数量关系”决定。 【知识点7中点四边形形状判定口诀】 原四边形对角线的特征 中点四边形形状 快速理由 只保证是一般四边形 平行四边形 两组对边分别平行（中位线） 对角线相等(AC=BD) 菱形 中点四边形边旺=HG=AC=BD-四边相等 邻边方向分别平行于AC、BD,而AC⊥BD 对角线垂直(ACLBD) 矩形 →一个角=90°→矩形 对角线既等又垂直 正方形 同时满足上面两条→菱形十矩形一正方形 常见例子： 1. 原四边形=矩形（对角线相等）→中点四边形=菱形 2.原四边形=菱形（对角线垂直）→中点四边形=矩形 3. 原四边形=正方形（既等又垂直）→中点四边形=正方形 4 原四边形=平行四边形（一般）→中点四边形=平行四边形 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 基础检测 题型01中点四边形 1.(25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测)如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC, CD,DA的中点，如果AC=BD=I0,EG=8,则四边形EFGH的面积为() D A.20 B.24 C.32 D.48 2.(25-26八年级下·山东滨州期中)如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的 中点.则下列说法：①若AC⊥BD,则四边形EFGH为矩形；②若AC=BD,则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互 相垂直且相等.其中正确的个数是() B A.1 B.2 C.3 D.4 题型02利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1.(25-26八年级下河北廊坊期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD长分别为3和8，P是对角线 AC上的任一点（点P不与点A,C重合），且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于点F,则阴影部 分的面积是 F E P 2.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期中)我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对 角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”. (I)请从以下选项中选出属于“和谐四边形的选项填在横线上 A.矩形B.菱形C.等腰梯形 (2)已知四边形ABCD是“和谐四边形”，对角线AC⊥BD,AC平分BD于点O若BD=8,AC=6,求四 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 边形ABCD面积 (3)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AC平分∠BAD,过点A作AH⊥BC交 BC于点H,交BD于点G,∠ABH=45°，BG=AC.求证：四边形ABCD是“和谐四边形”. D B 题型03（特殊）平行四边形的动点问题 1.(25-26八年级下.四川绵阳·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=24cm, BC=26cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向 点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过S, 使四边形ABQP是矩形. 2.(25-26八年级下山东济南·期中)如图，在直角梯形ABCD中， AD∥BC,∠B=90°，AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动 点Q从点C开始沿CB边向点B以3cms的速度运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到 达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：t为何值时，其中一个四边形为平行四边形？ 题型04四边形中的线段最值问题 1.(25-26八年级下·辽宁沈阳期中)如图，△0AB的各顶点坐标分别为A2,3),B(3,1,0(0,0). 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与△0AB成中心对称的△OA,B,: 步骤二：以点O为旋转中心，画出将△04B和△OAB,分别按顺时针方向旋转90°后的△04'B'和△OAB (2y轴上有C,D两点，点C在点D下方，且CD=1,则四边形ABCD周长最小值为_· 2.(25-26八年级下·广东珠海期中)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边AB上的动点，连接 DE. 0 M B B B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，点F在边BC上，满足AE=BF,连接AF,求证：AF⊥DE; (2)如图2，过点E作EP⊥DE,使得EP=DE,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥AB的延长线于点M, N,证明：四边形BNPM是正方形； (3)如图3，在第(2)问的条件下，延长NP,DC相交于点G,连接MG,求MG的最小值. 题型05四边形其他综合问题 1.(25-26八年级下·广西玉林·期中)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形 B D E B 图1 U 图2 (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (填写序号)； (2)性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，,垂足为O,试猜想：AB2+CD2与AD2+BC的 数量关系，并说明理由： (3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE,连接CE,BG,GE,且CE与BG相交于点H,己知BC=3,AB=5,求GE的长， 2.(2026广东茂名一模)定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四 边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边. 特例感知： (1)以下四边形中，是勾股四边形的为 (填序号即可)： ①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形. 性质探究： (2)如图1,0A=0B,0C=0D,LA0B=LC0D=20,∠BD0=0. 图1 ①求证：无论O取何值，四边形OBDC一定为“勾股四边形”， ②若四边形ABD0也为勾股四边形”，且BD,OD为勾股边，求的值. 拓展应用： (3)如图2，ABC和BDE是等边三角形(AB>BD),连接AD,当四边形ABED是以AB,AD为勾股 边的勾股四边形时，若AB=4√3，AD=8,求BE的长. 图2 小试牛刀 1.(25-26八年级下·江苏常州期中)顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一 定是() A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H :E,F,G,H分别是边上的中点， B G 2.(19-20七年级上山东济宁.期中)如图，在一块长为a,宽为2b的长方形铁皮中，若a=4,b=1时， 则剩下的铁皮的面积（π取3）为()· 2b A.5 B.7 C.8 D.12 3.(25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm, BC=8cm,动点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度 向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位：s), 对于结论：①当t=4s时，四边形ABMP为矩形；②当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形；③当 CD=PM时，t=4s或6s;④点P,M在运动中会存在一个时刻，使得S因边形4BMP=S西边形cDPM·不正确 的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 4.(25-26八年级下·河南洛阳·期中)如图，已知LM0N=90°，线段AB长为4，AB两端分别在0M, ON上滑动，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCD,连接OC,则OC的最大值为() W B A M A.2+2W5 B.3+3√5 C.4+25 D.8 5.（25-26八年级下·广东珠海期中)顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做四边形的中点 四边形，矩形的中点四边形是 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(24-25八年级下·陕西西安阶段检测)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CB=2AC=4,将ABC沿CB 方向平移，得到△DEF,连接AD·若AC=BF,则阴影部分的面积为 D E B F 7.(25-26八年级下·湖北武汉·期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=12, CD=7,点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以3个单位/秒 的速度向点B运动，当PQ∥CD时运动停止，此时DQ+CP2= A P D B 8.(2026八年级下·全国·专题练习)如图，正方形的面积为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形 ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，求这个最小值. D B C 9.(24-25八年级下·河南信阳·阶段检测)[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对 角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”.如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和 ∠ABD,那么对角线BC叫“美妙线”，四边形ABDC就称为“美妙四边形 [问题]：(1)下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形的是；（填 写名称) (2)四边形ABCD是“美妙四边形”，AB=2,∠BAD=60°，∠ABC=90°，求美妙四边形ABCD的面 积.（请画出图形，并写出解答过程） B D 10.(2025宁夏中卫.一模)阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律.例如在研究几何图形性质时，通过对特殊 多边形的分析来了解多边形的普遍性质，我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做 “等补四边形”. 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 90° 209 B B 图1 图2 (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是() A,平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形 (2)性质探究：已知四边形ABCD是“等补四边形”，AB=AD,LB+∠D=180°，如图1，连接AC,试 探究AC是否平分∠BCD,并说明理由. (3)应用拓展：在等补四边形”ABCD中，AB=AD=2,∠B=90°，∠BCD=120°，如图2，求AC的 长