10.1.2 事件的关系和运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦随机事件的关系（包含、相等）与运算（并、交、互斥、对立），通过掷骰子试验创设情境，从简单事件列举到复杂事件关联分析，以集合关系和运算为类比支架，构建知识脉络。 其亮点在于采用类比集合的研究方法，结合Venn图与符号语言，发展数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。通过电路、摸球实例巩固，小结以问题链引导知识结构化，助力学生理解知识关联，教师可高效开展概念教学。

第九章 统计 10.1随机事件与概率 第二课时 事件的关系和运算 教学内容 1.随机事件之间的关系（包含关系、相等关系）； 2.随机事件的运算（并事件、交事件）； 3.特殊的事件关系（互斥事件、对立事件） 教学目标： 1.结合随机试验实例，理解事件包含、相等关系，能依托集合观点解读随机事件关联，完成事件语言与集合语言互化，发展数学抽象、直观想象核心素养. 2.掌握事件并、交运算定义，能用符号语言、Venn 图形语言规范表示事件运算，熟练辨析互斥事件、对立事件，厘清二者异同，发展逻辑推理、 直观想象核心素养. 3.通过类比集合知识探究随机事件关系与运算，迁移集合研究方法解决概率基础问题，感悟知识关联性，发展数学抽象、逻辑推理核心素养. 教学重点和难点 1.教学重点：事件的关系和运算. 2.教学难点：互斥事件和对立事件的区别与联系，用简单事件表示复杂事件. 环节一 创设情境，提出问题 问题1：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，这个试验的样本空间是什么? 在一个随机试验中可以定义多个随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.一个自然的想法是：能否通过简单事件研究复杂事件，从简单事件的概率推算出复杂事件的概率?为此，需要研究事件之间的关系和运算. 追问1 在这个试验中，可以定义多个随机事件，你能从简单到复杂地列举出一些随机事件吗?如何表示你列举的事件? 样本空间 Ω={1,2,3,4,5,6} Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”; D2= “点数大于3”; E1= “点数为1或2”; E2= “点数为2或3”; F= “点数为偶数”;G=“点数为奇数”; …… 追问2 这些事件之间有什么联系呢? 环节二 类比思考，归纳性质 问题2：一般来说，事件之间有些什么关系，如何用符号来表示这些关系呢?为了回答这个问题，让我们一起回顾，在研究两个集合的关系时，是按照怎样的路径和顺序进行的. (1)集合A的元素都是集合B的元素，即A⊆B; (2)集合A的元素部分是集合B的元素，部分元素不是； (3)集合A的元素都不是集合B的元素，即A∩B=Ø . 追问1 请以掷骰子试验为例，找出与集合关系(1)、(2)和(3)相对应的随机事件. Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”; D2= “点数大于3”; E1= “点数为1或2”; E2= “点数为2或3”; F= “点数为偶数”;G=“点数为奇数”; …… 环节二 类比思考，归纳性质 分析：如果事件C1发生，那么事件G一定发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1}⊆{1,3,5},即C1⊆G.这时我们说事件G包含事件C1 . 环节二 类比思考，归纳性质 1.对于集合关系(1),用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”,它们分别是 C1={1} 和G={1,3,5}, 则事件C1与事件G的关系与关系(1)对应. 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B), 记作B⊇A(或A⊆B). 特别地，如果事件B包含事件A, 事件A也包含事件B, 即B⊆A且A⊇B, 则称事件A与事件B相等，记作A=B. Venn图 追问2 集合与集合除包含关系外，还可以进行运算.类比集合的并集与交集运算，用集合的形式表示事件E1、E2、D1，并分析它们的关系是什么? 环节二 类比思考，归纳性质 Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”; D2= “点数大于3”; E1= “点数为1或2”; E2= “点数为2或3”; F= “点数为偶数”;G=“点数为奇数”; …… E1={1,2}，E2={2,3}，D1={1,2,3} 分析：事件E₁和事件E₂至少有一个发生，相当于事件D₁发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1,这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件. 如果事件E₁和事件E₂同时发生,相当于事件C₁={2}发生，这时我们称事件C1为事件E1和事件E2的交事件. 环节二 类比思考，归纳性质 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作AUB(或A+B). 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB). 环节二 类比思考，归纳性质 追问3 如果用集合的运算表示关系(3):C₁和C₂,F和G,D₁和D₂,它们的含义是什么？ Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”; D2= “点数大于3”; E1= “点数为1或2”; E2= “点数为2或3”; F= “点数为偶数”;G=“点数为奇数”; …… C₁={1}，C₂={2}; F={2,4,6},G={1,3,5}; D₁={1,2,3},D₂={4,5,6}. 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Ø,则称事件A与事件B互斥(或互不相容). 环节二 类比思考，归纳性质 追问4 事件F={2,4,6}和G={1,3,5}互斥与C₁={1}和C={2}互斥有何不同? “互斥事件F={2,4,6}与G={1,3,5}的和事件有何特征?” 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即AUB=Ω,且A∩B=Ø,那么称事件A与事件B互为对立事件.事件A的对立事件记为 . 追问5 对立事件与互斥事件有什么联系与区别? 事件的关系与运算 含义 符号表示 包含 并事件（和事件） 交事件（积事件） 互斥（互不相容） 互为对立 A发生导致B发生 A与B至少一个发生 A与B同时发生 A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 环节二 类比思考，归纳性质 两个事件的运算可以推广到多个事件，如AUBUC发生当且仅当A,B,C 中至少一个发生，事件AB发生，当且仅当A,B,C同时发生. 环节三 例题练习，巩固理解 例5.如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件； (3)用集合的形式表示事件AUB和事件 ,并说明它们的含义及关系. 环节三 例题练习，巩固理解 例6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R₁=“第一次摸到红球”,R₂=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)事件R与R₁,R与G,M与N之间各有什么关系? (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系?事件R₁与事件R₂的交事件与事件R有什么关系? 环节四 小结提升，形成结构 问题3:请你带着以下问题，总结本节课的学习内容，并给出回答： (1)随机事件的关系有哪些?如何理解事件的交、并运算的含义? (2)举例说明互斥事件与对立事件的区别和联系. (3)本节课是如何研究事件的关系与运算的?采用了哪些研究方法? (4)本节课学习事件的关系和运算对于学习概率有何作用?接下来该研究什么呢? 环节五 作业布置，应用迁移 作业1:教科书第233页练习第1、2题. 作业2:教科书第243页习题10.1第5题. 作业3:教科书第245页习题10.1第15题. 下 课 $