10.1.3 古典概型 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦古典概型，涵盖定义、两大特征（有限性、等可能性）及概率计算公式，通过初中试验估计概率方法引入，结合彩票摇号、抛硬币等实例问题链，引导学生抽象概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，通过投篮试验辨析等可能性发展数学抽象，抛骰子编号对比强化逻辑推理，摸球模型构建提升数学建模。采用问题驱动教学，小结通过问题链自主梳理，助力学生掌握解题思路，也为教师提供清晰教学流程与典型案例。

第十章 概率 10.1 随机事件与概率 2025级数学备课组 第三课时 古典概型 教学内容 1.古典概型的定义及特征； 2.古典概型的概率计算公式； 3.利用古典概型解决简单的随机事件概率计算问题 教学目标： 1.结合随机试验实例，抽象归纳古典概型两大特征，理解古典概型概念内涵，能精准判定试验是否属于古典概型，发展数学抽象、逻辑推理核心素养. 2.熟记古典概型概率计算公式，厘清等可能样本点本质，规范梳理解题步骤，能准确计数并求解简单随机事件概率，发展数学运算、逻辑推理核心素养. 3.能提炼生活情境中的概率问题，构建古典概型解题模型，辨析等可能与非等可能试验，利用古典概型解决生活化概率问题，发展数学建模、数据分析核心素养. 教学重点和难点 1.教学重点：古典概型的定义、两个核心特征（有限性、等可能性），以及古典概型的概率计算公式与应用. 2.教学难点：准确判断试验是否满足等可能性特征，区分等可能与非等可能样本点；正确计算样本空间与随机事件包含的样本点个数，解决不放回抽样、有序/无序等易混淆问题. 环节一 创设情境，感知概念 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性的大小，对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 问题1：上述对概率意义的说明，可以看作是概率的描述性定义.在初中，我们学习了哪些求事件概率的方法呢? 初中求事件概率的方法：在等可能条件下求随机事件的概率，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计值. 通过试验估计的方法耗时较多，进而提出这节课将进一步研究的问题：在等可能条件下求随机事件的概率的应用前提和适用范围是什么?如何判断“等可能”?能否通过建立适当的数学模型直接计算概率呢? 环节一 创设情境，感知概念 问题2：在之前的学习中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子试验.从试验的样本点的个数以及样本点发生的可能性大小来看，它们有哪些共性? 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 古典概型的定义：我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 追问 如何判断每个样本点发生的可能性大小相等呢? 根据问题表述中所含的信息进行判断： 抛掷“质地均匀”的硬币或骰子、从n个“大小质地完全相同”的球中随机摸出一个球等试验等. 环节一 创设情境，感知概念 问题3：下面几个随机试验是否是古典概型?如果是古典概型，如何度量事件发生的可能性大小? (1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”; (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”; (3)某同学投篮1次，事件C=“投篮命中”. 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. (3)试验的样本空间Ω={投篮命中，投篮不中},包含两个样本点，但是投篮命中和投篮不中的可能性是否相等不能确定，所以(3)不一定是古典概型，除非规定“投篮命中”与“投篮不中”发生的可能性是相等的. 环节一 创设情境，感知概念 问题3：下面几个随机试验是否是古典概型?如果是古典概型，如何度量事件发生的可能性大小? (1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”; 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小. 环节一 创设情境，感知概念 问题3：下面几个随机试验是否是古典概型?如果是古典概型，如何度量事件发生的可能性大小? (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”; 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间所有样本点中所占比例的大小. 用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,则试验的样本空间Ω={(1,1.1),(1,1, 0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}. ∵B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 古典概型是做了等可能假设的非常特殊的样本空间下的一种概率模型，其功能是有局限性的，是高中阶段主要研究的概率模型. 环节二 抽象概念，辨析内涵 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 其中，n(A)和n(2)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 概率的古典定义 环节二 抽象概念，辨析内涵 例1：(1)单项选择题是标准化考试中常用的题型， 一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少? (2)在标准化考试中也有多选题，多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的).你认为单选题和多选题哪种更难选对?为什么? 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 环节二 抽象概念，辨析内涵 例2：抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和5”; B=“两个点数相等”; C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数” 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 环节二 抽象概念，辨析内涵 例7：抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 解：(1)用数字m表示I号骰子出现的点数是m,数字n表示II号骰子出现的点数是n,则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间 Ω={(m,n)∣m,n∈{1,2,3,4,5,6}}, 其中共有36个样本点. 由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型. 环节二 抽象概念，辨析内涵 例8：抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (2)求下列事件的概率： A=“两个点数之和5”; B=“两个点数相等”; C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数” 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 解：(2) ∵A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}, B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}, C={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3), (6,3),(5,4),(6,4),(6,5)}. 环节二 抽象概念，辨析内涵 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 追问1 为什么要把两枚骰子标上记号?如果不作标记，样本空间是什么?事件A发生的概率为多少？ 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点. 这样，(1,2)和(2,1)的结果将无法区别,只算个一个样本点. 样本空间变成了 Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n} ∵ n(Ω1)=21, A={(1,4),(2,3)}. 环节二 抽象概念，辨析内涵 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 追问2 同一个事件的概率为什么会出现两个不同的结果，哪个结果是正确的? 可以发现，对骰子编号所得的36个样本点是等可能的，而不编号情形下所得的21个样本点中，样本点(1,1),(1,2)发生的可能性大小不相等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率. Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n} Ω={(m,n)∣m,n∈{1,2,3,4,5,6}} 需要知晓的是：两枚均匀骰子独立抛掷，客观上存在36种等可能有序结果， 不标号只是我们无法区分两枚骰子，并没有改变每种有序结果发生的概率. 环节二 抽象概念，辨析内涵 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 问题4：归纳上述例子的共性，你能说明求解古典概型问题的一般思路吗? (1)明确试验的条件和可能的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果及样本空间(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果); (2)根据实际问题情境判断是不是古典概型(尤其注意判断样本点的等可能性); (3)计算样本点总个数n(Ω)及事件A包含的样本点个数n(A), 运用公式 求事件A的概率. 环节三 研讨例题，巩固理解 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 例9.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率： (1)A=“第一次摸到红球”; (2)B=“第二次摸到红球”; (3)AB=“两次都摸到红球”. 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解：将两个红球编号为 1,2,三个黄球编号为3,4,5.将两次摸球的结果配对为数组(x,y)，如右表所示： (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) 组成20种等可能的结果，即n(Ω)=20 环节三 研讨例题，巩固理解 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 例9.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率： (1)A=“第一次摸到红球”; (2)B=“第二次摸到红球”; (3)AB=“两次都摸到红球”. 解：(1)A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)}, (2)B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)}, (3)AB={(2,1),(1,2)}, 环节三 研讨例题，巩固理解 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 例题9.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球. 追问1 如果同时摸出2个球，那么事件AB的概率是多少，同时摸球与依次摸球的样本空间有何区别与联系? Ω2={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}, ∵AB={(1,2)}, 即 n(Ω2)=10. 依次摸球是有顺序的，同时摸球是无序的，样本空间不一样，同时摸两球的样本点个数是依次摸两球的样本点个数的一半，相同的事件所包含的样本点个数也减半，从而在计算某事件发生的概率时，结果是相同的.就概率的计算而言，本质是一样的，都可以看作是不放回依次抽取模型. 环节三 研讨例题，巩固理解 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 追问2 例9与例8中的样本空间有何区别?请尝试归纳. 例9对应的是不放回依次摸球问题，样本空间中不包含重复事件，而例8可以等价看成是有放回摸球问题，相当于是相同的试验重复进行，样本空间中包含重复事件. (1)有放回模型：如重复掷硬币(骰子)n 次. 同时掷n枚硬币(骰子).观察n个元件构成电路是否通畅等，都是重复试验； (2)不放回模型：抽签问题、随机抽样、同时(一次性)摸球问题等. 不同的样本空间模型: 环节三 研讨例题，巩固理解 古典概型的两个特征：（1）有限性；（2）等可能性. 例10.从两名男生(记为B₁和B₂)、两名女生(记为G₁和G₂)中任意抽取两人. (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间； (2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率. 解：设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点. 环节三 研讨例题，巩固理解 追问:基于例10的计算，请思考：在抽样中如何提高样本的代表性? 从概率大小的角度认识抽样方法对样本代表性的影响： 1.抽样方法不同，则样本空间不同，极端事件A=“抽到两名男生”发生的概率也可能不同. 2.在有放回简单随机抽样时最大，在不放回简单随机抽样时次之，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现，所以改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要. 环节四 小结提升，形成结构 问题5:请带着以下问题回顾总结本节课的学习内容，并给出回答： (1)古典概型的研究对象有怎样的特征?概率的古典定义是什么? (2)解决古典概型问题的一般思路是什么? (3)如何判断样本点的“等可能性”?计算样本点个数时要注意什么问题? (4)类比函数的研究过程，在定义了古典概型之后，接下来该研究什么? 环节五 作业布置，应用迁移 作业1:教科书第239页练习第2题，第244页习题10.1第6、7、8题. 作业2:教科书第244页习题10.1第9、10、11题. 作业3:判断下列说法是否正确.若不正确，请举出反例： (1)事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大； (2)事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小. 下 课 $