第07讲 一元二次方程的应用（知识点+10题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

第07讲 一元二次方程的应用（知识点+10题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 传播问题 题型2 增长率问题 题型3 与图形有关的问题 题型4 数字问题 题型5 营销问题（中考最高频） 题型6 动态几何问题 题型7 工程问题 题型8 行程问题 题型9 图表信息题 题型10 握手、循环赛问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 列一元二次方程解应用题的步骤增长率（下降率）问题利润（销售）问题几何图形面积问题数字问题动点问题解的合理性检验 1. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能规范书写解题过程。2. 能分析增长率（下降率）、商品销售利润、几何图形面积、数字等常见实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出一元二次方程。3. 能根据实际问题的背景和意义，检验一元二次方程的解是否合理，舍去不符合题意的解。4. 能解决简单的动点问题，体会用代数方法解决几何问题的数形结合思想，感受一元二次方程在解决实际问题中的工具作用。 学习重点：列一元二次方程解应用题的一般步骤，增长率问题、利润问题、面积问题这三类核心实际问题的解法。 学习难点：准确分析复杂实际问题中的数量关系，找出隐含的等量关系；根据实际意义正确检验方程的解；动点问题中动态等量关系的建立。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤：遵循“审→设→列→解→验→答”六步曲 1. 审：审题，找出已知量、未知量及核心等量关系 2. 设：设未知数（直接设或间接设），必须注明单位 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程 4. 解：用合适的方法解所列的一元二次方程 5. 验：双重检验①检验根是否为方程的解；②检验根是否符合实际意义 6. 答：写出完整的答案，注明单位 即时即练 1．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 【易错提醒】 最容易遗漏“验”的第二步，导致出现负数边长、负数人数、超过100%的下降率等不符合实际的答案 设未知数时不注明单位，或答句中遗漏单位 间接设未知数时，最后忘记将求出的未知数转化为题目要求的最终量 等量关系找错，尤其是隐含的等量关系，导致整个方程列错 知识点02 增长率/下降率问题（教材核心题型） 基本等量关系： 1.增长率：起始量×(1+平均增长率)增长次数=终止量 下降率：起始量×(1-平均下降率)下降次数=终止量 2.数学语言： 设起始量为a，平均增长率/下降率为x，经过2次变化后终止量为b，则 a(1±x)2=b（增长用“+”，下降用“-”） 即时即练 2．某社区便民生活服务中心9月份的服务收入为4万元，随着居民消费需求提升，服务项目不断拓展，11月份的服务收入达到5.76万元． (1)求该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率； (2)若收入还保持相同的月平均增长率，则该服务中心12月份的服务收入是多少万元？ 【易错提醒】 混淆“增长率”和“增长后的量”，如把“增长了20%”当成“增长到20%” 忘记平方，错误写成a(1+x)=b（仅适用于一次增长） 下降率问题中，出现1-x<0的情况，不符合实际意义，必须舍去 连续两次增长率不同时，不能用此公式，需分步计算 知识点03 面积问题（教材高频题型） 基本等量关系：利用常见几何图形的面积公式列方程 教材经典模型： 矩形围栏问题：利用周长和面积的关系列方程 道路问题：通过平移法将不规则图形转化为规则矩形，避免重复计算交叉面积 边框问题：大矩形面积-小矩形面积=边框面积 即时即练 3．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【易错提醒】 道路问题中，未使用平移法导致重复减去交叉部分的面积 忽略图形的实际限制，如道路宽度不能超过矩形的长和宽 边框问题中，内外矩形的边长差是边框宽度的2倍，容易误算为1倍 三角形、梯形面积计算时忘记乘以 知识点04 销售利润问题 核心公式： 单件利润=售价-进价（成本） 总利润=单件利润×销售量 总销售额=售价×销售量 教材经典模型：售价每降低/提高1元，销售量对应增加/减少固定数量 即时即练 4．吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【易错提醒】 混淆“进价” “售价” “标价” “折扣”的概念，如把标价直接当成售价 销售量与售价的变化关系搞反，如售价降低时，销售量应该增加 计算总利润时错误用“总销售额-单件进价”，正确应为“(售价-进价)×销售量” 结果需根据实际情况取整，如商品数量必须为正整数 题型1 传播问题 【例1】 冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 通用公式：a(1+x)n=b（a=初始传染源数，x=每轮每人传播人数，n=传播轮数，b=最终患病总数） 两轮传播最常见：a(1+x)2=b 特例：若初始1人，两轮后患病1+x+x(1+x)=(1+x)2人 【变式1-1】 1．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】 2．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 题型2 增长率问题 【例2】根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【技巧归纳】 增长公式：a(1+x)n=b；下降公式：a(1-x)n=b a=基础量，x=平均增长率/下降率，n=增长/下降次数，b=最终量 两年增长/下降是中考高频考点，n=2 【变式2-1】 1．某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】 2．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商看准商机，购进了A、B两种品牌头盔进行销售． (1)该经销商统计了A品牌头盔4月份到6月份的销量，A品牌头盔4月份销售64个，6月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同，求A品牌头盔销售量的月增长率； (2)考虑到头盔需求不断增加，该经销商准备再购进一批A、B品牌头盔共100个．已知A品牌头盔的进价为每个50元，售价为每个70元；B品牌头盔的进价为每个100元，售价为每个130元．假设所购进的头盔全部售完，为使利润不低于2600元，该经销商购进A品牌头盔不超过多少个？ 题型3 与图形有关的问题 【例3】为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 道路问题：平移法（将道路移到边缘，空白部分拼成规则矩形） 边框问题：设边框宽度为x，用含x的式子表示内部图形的长和宽 直角三角形问题：利用勾股定理列方程 【变式3-1】 1．如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【变式3-2】 2．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． (1)求矩形菜地的长和宽． (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 题型4 数字问题 【例4】【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【技巧归纳】 两位数表示：（=十位数字，=个位数字） 三位数表示： 连续整数：设中间数为，则为 连续偶数/奇数：设中间数为，则为 【变式4-1】 1．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【变式4-2】 2．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 题型5 营销问题 【例5】某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【技巧归纳】 设未知数技巧：设涨价/降价的金额为x元 单件利润=售价-进价=（原售价±x）-进价 销售量=原销量±（每涨/降1元的销量变化量）×x 列方程：总利润=单件利润×销售量 【变式5-1】 1．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【变式5-2】 2．为备战2026靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的团购优惠方案如下：若购买数量不超过30个，则每个足球的售价为180元；若购买数量超过30个，则每增加1个，每个足球的售价降低2元，但每个足球的售价不得低于120元．若该足球队共花费6750元购买该品牌足球，求该足球队购买足球的数量． 题型6 动态几何问题 【例6】如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【技巧归纳】 第一步：用含的代数式表示所有运动线段的长度 第二步：根据勾股定理、面积公式或相似三角形性质列方程 第三步：解出后，必须检验是否在运动时间范围内 【变式6-1】 1．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为 ． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【变式6-2】 2．如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； (3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 题型7 工程问题 【例7】列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【技巧归纳】 甲单独完成需x天，则甲的效率为 合作效率=各队效率之和 等量关系：各部分工作量之和=总工作量1 【变式7-1】 1．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式7-2】 2．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 题型8 行程问题 【例8】2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【技巧归纳】 相遇问题：路程和=总路程 追及问题：路程差=初始距离 航行问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 一元二次方程常用于往返、变速或多次相遇问题 【变式8-1】 1．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】 2．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 题型9 图表信息题 【例9】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【技巧归纳】 先看表头、横纵坐标含义，明确两个变量是什么 提取关键数据点（如起点、终点、转折点） 若为线性关系，先求出一次函数解析式，再结合利润等公式列方程 【变式9-1】 1．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【变式9-2】 2．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型10 握手、循环赛问题 【例10】 2025年9月13日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他所有队伍各进行1场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（     ）支 A．9 B．10 C．11 D．12 【技巧归纳】 1.单循环（每两人/队只进行一次）： （适用：握手、单循环赛、互赠照片等） 2.双循环（每两人/队进行两次）：n(n-1) （适用：主客场赛、互发消息等） 3.n为总人数/总队数 【变式10-1】 1．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式10-2】 2．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 一、单选题 1．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 3．某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 4．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 7．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 8．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 9．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 12．把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 13．如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 二、填空题 1．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 2．如图，在矩形中，，，点E是BC边上的点，，点P是边上的动点，若是等腰三角形时，则________． 3．2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________． 4．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 5．一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 6．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 7．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为，，则中柱（为底边的中点）的长为______m． 8．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 9．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 10．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 11．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把沿着AD方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为36时，它移动的距离等于_________． 12．容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 三、解答题 1．红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元，当购买红薯的质量超过时，每多购买，红薯的单价降低0.2元，但要求红薯的单价不低于2元．已知某零售商购买红薯的质量超过了，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 2．阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件饰品商家需多付元快递费． (1)求出每件饰品的成本； (2)三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件饰品的售价． 3．列方程（组）解应用题 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价元，售价元，每天可售出盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价元，每天销量将增加盒，若要实现每天销售利润元，则每盒应降价多少元销售？ 4．王大爷想以墙为一边，另三边用长为的竹篱笆围成一个面积为的长方形花坛，已知墙长为，求：花坛的长和宽各是多少时，才能使竹篱笆正好合适？ 5．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 6．【动手实践】如图1，小明将一张长为，宽为的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）． 【探索应用】 (2)若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为，求此时的长． 7．某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 8．某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 9．某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 10．每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 11． 综合与实践 数学与交通 情境材料 司机在驾驶汽车行驶过程中，经常会遇到因前方有异常情况而需要紧急刹车的情况．从司机发现前方道路有异常情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间可称作反应时间，在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离；从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离；从司机发现前方道路有异常情况开始到汽车停止行驶，这段距离称作停车距离d，停车距离反应距离制动距离． 实验数据 ①已知反应距离与行驶速度之间近似满足函数关系，反应距离与行驶速度关系如下： 40 50 60 70 80 反应距离 8 10 16 ②制动距离与行驶速度之间近似满足二次函数关系，制动距离与行驶速度的关系为∶ 交通规则 《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》 第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯，并在车后50米至100米处设置警告标志，夜间还应当同时开启示廓灯和后位灯； 第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100千米时，应当与同车道前车保持100米以上的距离，车速低于每小时100千米时，与同车道前车距离可以适当缩短，但最小距离不得少于50米． 《中华人民共和国道路交通安全法》 第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，警告标志应当设置在故障车来车方向150米以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报警． (1)请写出反应距离与行驶速度的函数关系式及停车距离与行驶速度的函数关系式． (2)某司机在高速公路以行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，才能安全停车？并结合法规分析150米的安全距离是否足够． (3)某司机发现正前方80米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结合计算结果，给司机朋友提出1条安全驾驶建议． 12．综合实践： “耕读园”劳动实践基地设计方案 项目主题：“耕读园”花圃设计 项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50米，宽为40米的矩形花圃设计项目．以下为项目学习小组对花圃设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型方案． 驱动问题一 (1)项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ． ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824平方米． 驱动问题二 (2)请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100平方米的矩形花坛，如图所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米． 驱动问题三 (3)若篱笆总长为30米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长 ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽边两种围法）都可以围出面积为100平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15米．甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 13．综合与实践：图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在观察一种LED灯的信号灯红绿灯交替闪烁时，发现该信号灯的灯珠按一定规律进行排列．为了探究灯珠的摆放规律，该小组观察不同大小的信号灯的灯珠个数进行探究． 【项目准备】 1．观察现象 不同大小的信号灯的灯珠排放方式如下图所示，其中实心圆表示发出红光，空心圆表示发出绿光． 2．规律猜想 小组初步猜想：用不同方式来观察第n个图的灯珠的总个数S，并尝试用算式表达． 【项目分析】 1．统一符号：设第个图的灯珠总数为． 2．任务分解： 任务一：通过每行来数的方式写出和的算式，并归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“斜线”来数），重新表达出． 任务三：建立第个图灯珠总数的通用公式． 【项目实施】 问题一：按“行”来统计数量 1．请补全下表： 图形 算式 ①_______ ②_______ 2．根据规律，写出第个图的算式：③_______．（写出最终结果） 问题二：按“斜线”来统计数量 请补全下表： 图形 算式 ④_______ ⑤_______ 问题三：建立通用公式 根据你在问题一和问题二中得出的规律，写出第n个图形中的规律：⑥_______． 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上面的空白内容补充完整： ①_______；②________；③________； ④_______；⑤_______；⑥________． (2)若某个信号灯的灯珠的 ，求n的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 一元二次方程的应用（知识点+10题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 传播问题 题型2 增长率问题 题型3 与图形有关的问题 题型4 数字问题 题型5 营销问题（中考最高频） 题型6 动态几何问题 题型7 工程问题 题型8 行程问题 题型9 图表信息题 题型10 握手、循环赛问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 列一元二次方程解应用题的步骤增长率（下降率）问题利润（销售）问题几何图形面积问题数字问题动点问题解的合理性检验 1. 掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能规范书写解题过程。2. 能分析增长率（下降率）、商品销售利润、几何图形面积、数字等常见实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出一元二次方程。3. 能根据实际问题的背景和意义，检验一元二次方程的解是否合理，舍去不符合题意的解。4. 能解决简单的动点问题，体会用代数方法解决几何问题的数形结合思想，感受一元二次方程在解决实际问题中的工具作用。 学习重点：列一元二次方程解应用题的一般步骤，增长率问题、利润问题、面积问题这三类核心实际问题的解法。 学习难点：准确分析复杂实际问题中的数量关系，找出隐含的等量关系；根据实际意义正确检验方程的解；动点问题中动态等量关系的建立。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤：遵循“审→设→列→解→验→答”六步曲 1. 审：审题，找出已知量、未知量及核心等量关系 2. 设：设未知数（直接设或间接设），必须注明单位 3. 列：根据等量关系列出一元二次方程 4. 解：用合适的方法解所列的一元二次方程 5. 验：双重检验①检验根是否为方程的解；②检验根是否符合实际意义 6. 答：写出完整的答案，注明单位 即时即练 1．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的倍．已知一个钉子受击次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的．设铁钉的长度为，那么符合这一事实的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据每次钉入木板的长度关系，求出三次钉入的长度，利用三次长度和等于铁钉总长度列方程即可． 【详解】解：∵第一次受击后进入木板的长度为，且每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的倍， ∴第二次钉入木板的长度为，第三次钉入木板的长度为， 又∵钉子受击次后恰好全部进入木板，总钉长为，即三次钉入长度和为， ∴列方程得． 【易错提醒】 最容易遗漏“验”的第二步，导致出现负数边长、负数人数、超过100%的下降率等不符合实际的答案 设未知数时不注明单位，或答句中遗漏单位 间接设未知数时，最后忘记将求出的未知数转化为题目要求的最终量 等量关系找错，尤其是隐含的等量关系，导致整个方程列错 知识点02 增长率/下降率问题（教材核心题型） 基本等量关系： 1.增长率：起始量×(1+平均增长率)增长次数=终止量 下降率：起始量×(1-平均下降率)下降次数=终止量 2.数学语言： 设起始量为a，平均增长率/下降率为x，经过2次变化后终止量为b，则 a(1±x)2=b（增长用“+”，下降用“-”） 即时即练 2．某社区便民生活服务中心9月份的服务收入为4万元，随着居民消费需求提升，服务项目不断拓展，11月份的服务收入达到5.76万元． (1)求该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率； (2)若收入还保持相同的月平均增长率，则该服务中心12月份的服务收入是多少万元？ 【答案】(1)该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为 (2)该服务中心12月份的收入是6.912万元 【分析】（1）设该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为，根据“服务中心9月份的服务收入为4万元，11月份的服务收入达到5.76万元”列出方程，求解即可； （2）根据（1）中计算的增长率，即可求解． 【详解】（1）解：设该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为． （2）解：由（1）可知该服务中心10月、11月服务收入的月平均增长率为． （万元）． 答：该服务中心12月份的收入是6.912万元． 【易错提醒】 混淆“增长率”和“增长后的量”，如把“增长了20%”当成“增长到20%” 忘记平方，错误写成a(1+x)=b（仅适用于一次增长） 下降率问题中，出现1-x<0的情况，不符合实际意义，必须舍去 连续两次增长率不同时，不能用此公式，需分步计算 知识点03 面积问题（教材高频题型） 基本等量关系：利用常见几何图形的面积公式列方程 教材经典模型： 矩形围栏问题：利用周长和面积的关系列方程 道路问题：通过平移法将不规则图形转化为规则矩形，避免重复计算交叉面积 边框问题：大矩形面积-小矩形面积=边框面积 即时即练 3．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】(1) (2)或 (3)解：假设该实验田的面积能为240平方米， ∴， ∴， ∴， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【分析】（1）直接根据建造要求计算即可； （2）根据“面积为180平方米”求出x的值，再根据墙长求出x的取值范围，进而可知x的值； （3）假设该实验田的面积能为240平方米，列出方程，根据根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：米； （2）解：由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∴或； （3）略． 【易错提醒】 道路问题中，未使用平移法导致重复减去交叉部分的面积 忽略图形的实际限制，如道路宽度不能超过矩形的长和宽 边框问题中，内外矩形的边长差是边框宽度的2倍，容易误算为1倍 三角形、梯形面积计算时忘记乘以 知识点04 销售利润问题 核心公式： 单件利润=售价-进价（成本） 总利润=单件利润×销售量 总销售额=售价×销售量 教材经典模型：售价每降低/提高1元，销售量对应增加/减少固定数量 即时即练 4．吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元 【分析】（1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 【易错提醒】 混淆“进价” “售价” “标价” “折扣”的概念，如把标价直接当成售价 销售量与售价的变化关系搞反，如售价降低时，销售量应该增加 计算总利润时错误用“总销售额-单件进价”，正确应为“(售价-进价)×销售量” 结果需根据实际情况取整，如商品数量必须为正整数 题型1 传播问题 【例1】 冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 【技巧归纳】 通用公式：a(1+x)n=b（a=初始传染源数，x=每轮每人传播人数，n=传播轮数，b=最终患病总数） 两轮传播最常见：a(1+x)2=b 特例：若初始1人，两轮后患病1+x+x(1+x)=(1+x)2人 【变式1-1】 1．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的总知晓人数，再据此列出方程． 【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人， ∴第一轮传播结束后，总共有人知晓， 第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为， ∵两轮传播后总共有49人知晓， ∴可列方程为 ，故选C． 【变式1-2】 2．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 题型2 增长率问题 【例2】根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律，确定初始量，增长年数和最终量即可列出正确方程． 【详解】先计算2025到2035年的间隔年数，，即共增长10年， 年平均增长率为，初始规模为万亿元， 按照平均增长率规律，年后规模为初始量， 10年后规模为， 又 2035年规模为万亿元， 可列方程为． 【技巧归纳】 增长公式：a(1+x)n=b；下降公式：a(1-x)n=b a=基础量，x=平均增长率/下降率，n=增长/下降次数，b=最终量 两年增长/下降是中考高频考点，n=2 【变式2-1】 1．某制造企业为分析一季度到二季度初的生产经营状况，统计了产值增长数据：今年月份产值为万元，月份产值为万元，设该企业月份至月份产值平均每月的增长率为，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用增长率得到月份产值的表达式，再结合已知条件即可列出方程． 【详解】解：∵设平均每月增长率为，月份产值为万元， ∴月份产值为万元， ∴月份产值为万元， 又∵已知月份产值为万元， ∴可列方程为 ． 【变式2-2】 2．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商看准商机，购进了A、B两种品牌头盔进行销售． (1)该经销商统计了A品牌头盔4月份到6月份的销量，A品牌头盔4月份销售64个，6月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同，求A品牌头盔销售量的月增长率； (2)考虑到头盔需求不断增加，该经销商准备再购进一批A、B品牌头盔共100个．已知A品牌头盔的进价为每个50元，售价为每个70元；B品牌头盔的进价为每个100元，售价为每个130元．假设所购进的头盔全部售完，为使利润不低于2600元，该经销商购进A品牌头盔不超过多少个？ 【答案】(1) (2)该经销商购进A品牌头盔不超过个 【分析】（1）设A品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设该经销商购进A品牌头盔个，则该经销商购进B品牌头盔个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设A品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意可得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴A品牌头盔销售量的月增长率为， （2）解：设该经销商购进A品牌头盔个，则该经销商购进B品牌头盔个， 由题意可得， 解得， ∴该经销商购进A品牌头盔不超过个． 题型3 与图形有关的问题 【例3】为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设水池的边长为米，每边均相距米，则圆的半径为米，可种植绿植的面积为圆的面积减去正方形的面积，根据可种植绿植的面积恰好为平方米即可列出方程． 【详解】解：设水池的边长为米，每边均相距米， 则圆的半径为米， 可种植绿植的面积恰好为平方米， ． 【技巧归纳】 道路问题：平移法（将道路移到边缘，空白部分拼成规则矩形） 边框问题：设边框宽度为x，用含x的式子表示内部图形的长和宽 直角三角形问题：利用勾股定理列方程 【变式3-1】 1．如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为； （2）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 【变式3-2】 2．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． (1)求矩形菜地的长和宽． (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 【答案】(1)矩形菜地的长为5米，宽为3米 (2)购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少 【分析】（1）根据矩形菜地的面积为15平方米，列一元二次方程进行求解． （2）设购买种化肥千克，根据“要给15平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定的取值范围，再根据“总花费=种化肥的花费+种化肥的花费”，列出总花费与的函数关系式，最后确定购买方案． 【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为米，则长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， （米）． 答：矩形菜地的长为5米，宽为3米． （2）解：设购买种化肥千克，则购买种化肥千克，总花费为元， 由题意，得， 解得． 由题意，得， ∵， 随的增大而增大， 当取最小值，即时，取最小值， 此时． 答：购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少． 题型4 数字问题 【例4】【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 【技巧归纳】 两位数表示：（=十位数字，=个位数字） 三位数表示： 连续整数：设中间数为，则为 连续偶数/奇数：设中间数为，则为 【变式4-1】 1．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME−14的举办年份． (1)八进制数123换算成十进制数是___________； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【答案】(1)83 (2)9 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得： ； （2）解：根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程可得： ， ∴， 整理得：， 解得（不符合题意，舍去）， 故n的值为9． 【变式4-2】 2．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1)，； (2)证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； (3)7． 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）略； （3）解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 题型5 营销问题 【例5】某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 【技巧归纳】 设未知数技巧：设涨价/降价的金额为x元 单件利润=售价-进价=（原售价±x）-进价 销售量=原销量±（每涨/降1元的销量变化量）×x 列方程：总利润=单件利润×销售量 【变式5-1】 1．为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【答案】(1) (2)该款文创产品每件的售价为35元． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 【变式5-2】 2．为备战2026靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的团购优惠方案如下：若购买数量不超过30个，则每个足球的售价为180元；若购买数量超过30个，则每增加1个，每个足球的售价降低2元，但每个足球的售价不得低于120元．若该足球队共花费6750元购买该品牌足球，求该足球队购买足球的数量． 【答案】45个 【分析】设该足球队购买了x个足球，先判断，然后根据总花费6750元，列出方程，解方程，然后根据每个足球的售价不得低于120元，再进行判断即可． 【详解】解：设该足球队购买了x个足球， 若购买30个，总价为（元）， ∵， ∴， 则， 整理得：， ∴，，                                       当时，单价为（元），，不符合题意，舍去； 当时，单价为（元），，符合题意． 答：该足球队购买了45个足球． 题型6 动态几何问题 【例6】如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 【技巧归纳】 第一步：用含的代数式表示所有运动线段的长度 第二步：根据勾股定理、面积公式或相似三角形性质列方程 第三步：解出后，必须检验是否在运动时间范围内 【变式6-1】 1．在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为 ． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 【变式6-2】 2．如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； (3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2) (3)存在，满足条件的的值为秒或秒 【分析】（1）过点作于，根据题意证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果； （2）当四边形是平行四边形，则点在上，点在上，则，，根据平行四边形的性质可得，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可； （3）分两种情况进行讨论：①当点在线段上时；②当点在线段上时；根据三角形面积列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ，， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ∴根据勾股定理得，， ； （2）解：当四边形是平行四边形， 则点在上，点在上， 如图， 由运动知，，， ， ， 此时，，，根据勾股定理得，； 四边形的周长为； （3）解：①当点在线段上时，即：时， 如图， ， ； ②当点在线段上时，即：时， 如图， ，， ， 或（舍）， 即：满足条件的的值为秒或秒． 题型7 工程问题 【例7】列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 【技巧归纳】 甲单独完成需x天，则甲的效率为 合作效率=各队效率之和 等量关系：各部分工作量之和=总工作量1 【变式7-1】 1．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式7-2】 2．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 题型8 行程问题 【例8】2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为 ， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为 ， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 【技巧归纳】 相遇问题：路程和=总路程 追及问题：路程差=初始距离 航行问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 一元二次方程常用于往返、变速或多次相遇问题 【变式8-1】 1．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 【变式8-2】 2．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 题型9 图表信息题 【例9】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 【技巧归纳】 先看表头、横纵坐标含义，明确两个变量是什么 提取关键数据点（如起点、终点、转折点） 若为线性关系，先求出一次函数解析式，再结合利润等公式列方程 【变式9-1】 1．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 【变式9-2】 2．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型10 握手、循环赛问题 【例10】 2025年9月13日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，中心城区赛区在这一赛段一共会举办55场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其他所有队伍各进行1场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（     ）支 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是支，根据单循环赛制可得一共会举办场比赛，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是支， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是11支． 【技巧归纳】 1.单循环（每两人/队只进行一次）： （适用：握手、单循环赛、互赠照片等） 2.双循环（每两人/队进行两次）：n(n-1) （适用：主客场赛、互发消息等） 3.n为总人数/总队数 【变式10-1】 1．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 【变式10-2】 2．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 一、单选题 1．某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求出两次迭代升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， ∴第二次升级后的能量密度为 ， 又∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 2．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是分析球队比赛的场次关系，结合每两队赛两场的条件推导方程． 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数 ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 3．某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次降价的百分率为，根据商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即每次降价的百分率为． 4．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的增长规律，推导两年后研发资金的表达式，即可列出正确方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，2024年投入研发资金为万元， ∴2025年投入研发资金为万元， ∴2026年投入研发资金为万元， 又∵2026年投入研发资金为万元， ∴列方程得 5．某学校组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是掌握单循环比赛的场次计算方法，找出等量关系列方程． 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场次为(场)， 设邀请个队参赛，每个队要与其余个队各赛1场， 又∵每两个队之间只比赛1场，原计算会重复计数，因此实际总比赛场次为， ∴可列方程为． 6．已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件．经调研发现，每件时装每降价1元，每天可多卖出2件．若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出降价后的每件利润和销售量，根据“总盈利=每件利润×销售量”即可列出方程． 【详解】解：∵每件进价为120元，原售价为200元，每件降价元， ∴降价后每件的利润为元， ∵原每天售出20件，每降价1元每天多售出2件，降价元后每天多售出件， ∴降价后每天的销售量为件， ∵每天总盈利为1400元， ∴可列方程为． 7．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 8．为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形的一边长为 米，根据围栏总长为 10 米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为 10 米， ∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽）， 设矩形的一边长为米，则另一边长为米， ∵矩形区域的面积为 21 平方米， ∴根据矩形面积公式可得方程： ． 9．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合长宽的数量关系列方程，整理后对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵设长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积等于长乘宽，这块田地面积为平方步， ∴列方程得， 整理得． 10．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 11．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 12．把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 13．如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 二、填空题 1．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看作线段，且满足．若蜻蜓的全身长为，则蜻蜓的腹部长为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】设的长为，根据线段的和差关系表示出的长，再根据已知比例式列出关于的一元二次方程，解方程并根据线段长度为正数取舍，即可作答． 【详解】设， ，点在线段上， ， ∵． ， ， 整理得， ∴， ∴， ∴（舍去）， 的长为． 2．如图，在矩形中，，，点E是BC边上的点，，点P是边上的动点，若是等腰三角形时，则________． 【答案】或或． 【分析】设，则，根据勾股定理结合矩形的性质用表示出、的长，根据是等腰三角形时，分腰长的不同情况列方程求解即可. 【详解】解：设，则， ∵在矩形中， ∴，， ， 又∵， ∴， ∴， ， ， 若是等腰三角形， ①当时，，解得：（负值已经舍去）， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：，（不合题意舍去） 综上所述：或或． 3．2025年某公司一月份的销售额是100万元，要使三月份的销售额达到144万元，平均每月销售额增长的百分率为_________． 【答案】 【分析】先根据平均增长率的规律列出关于增长率的一元二次方程，舍去不符合实际意义的根，即可得到结果． 【详解】解：设平均每月销售额增长的百分率为， 根据题意得：， 解得：，， 因为增长率不能为负数，所以舍去， 即平均每月销售额增长的百分率为． 4．某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润每杯利润销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可. 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 5．一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：设每次降价的百分率都是，由题意可列方程为． 6．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于、的方程组，利用可得出③，将③代入②中可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得到值，进而得出的值，再利用矩形面积公式得出图3摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案． 【详解】解:设矩形的长为，宽为， 由题意可得： 得：③， 将③代入②，得：， 整理，得， 解得：，（舍去）， 所以， 所以按图3放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：． 7．如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为，，则中柱（为底边的中点）的长为______m． 【答案】/ 【分析】由等腰三角形的性质求得的长，由含30度的直角三角形的性质得到，再根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ，即 解得． 8．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【答案】8 【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可． 【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个， 根据题意，可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 当时，定价为元/个， 当时，定价为元/个， 因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个． 9．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 【答案】 【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键． 【详解】解：设参加比赛的足球队有支. 根据题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合实际意义，舍去）， 参加比赛的足球队有支． 10．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【答案】 5 或 7 或 6+ 【分析】（1）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，，根据题意，分和时，两种情况求解即可． （2）利用分类思想，解方程计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q， 根据题意，得，， 当即时，点P在线段上，连接， 此时 ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当即时，此时点P在线段上， ∴ ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得；不满足范围，舍去， 综上所述，在秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，， 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 解得，； 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 整理，得， 解得， 故，（时间不能为负，舍去）； 此时， 综上所述，在5秒或7秒或秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 11．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把沿着AD方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的图形面积为36时，它移动的距离等于_________． 【答案】6 【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分的面积为，解方程即可求解． 【详解】解：设，与相交于点， ∵是正方形剪开得到的， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ∴， 解得， 即移动的距离为． 12．容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 【答案】10 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设第一次倒出酒精x升，根据两次倒出操作后容器内纯酒精剩余30升，建立一元二次方程求解． 【详解】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液升，根据题意得， 第一次倒出后，剩余纯酒精升，用水加满后浓度为； 第二次倒出的纯酒精为升， 倒出第二次后剩余纯酒精量为． 整理得， 解得， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 故答案为：10． 三、解答题 1．红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元，当购买红薯的质量超过时，每多购买，红薯的单价降低0.2元，但要求红薯的单价不低于2元．已知某零售商购买红薯的质量超过了，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 【答案】该零售商购买红薯的质量为 【分析】设该零售商购买红薯的质量为，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该零售商购买红薯的质量为． 根据题意，得． 解得． 当时，，舍去． 当时，，且． 答：该零售商购买红薯的质量为． 2．阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件饰品商家需多付元快递费． (1)求出每件饰品的成本； (2)三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件饰品的售价． 【答案】(1)每件产品的成本为元 (2)三月份每件饰品的售价为元 【分析】（1）首先求出当售价为元时，线下月销量为件，设每件产品的成本为元，根据线下月利润为元，列方程求解即可； （2）设三月份每件产品的售价为元，用含的代数式表示出三月份的线上利润和线下利润，根据三月份的总利润为元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当售价为元时，线下月销量（件）， 设每件产品的成本为元， 则， 解得：，                 答：每件产品的成本为元； （2）解：设三月份每件产品的售价为元， 则线下月销量为：（件）， 则线下月利润为：（元）， 线上月利润为（元）， 可得：， 解得：或，             ， （舍去）， 答：三月份每件饰品的售价为元． 3．列方程（组）解应用题 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价元，售价元，每天可售出盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价元，每天销量将增加盒，若要实现每天销售利润元，则每盒应降价多少元销售？ 【答案】每盒应降价元销售 【分析】设每盒降价元，则每盒利润为元，每天销量为盒．根据“每天销售利润=单盒利润日销量”列方程求解，注意检验解的合理性． 【详解】解：设每盒降价元，则每盒售价为元，每盒利润为元，每天销量为盒， 由题意得：， 解得：，， 为降价金额，， 不合题意，舍去， ， 答：每盒应降价元销售． 4．王大爷想以墙为一边，另三边用长为的竹篱笆围成一个面积为的长方形花坛，已知墙长为，求：花坛的长和宽各是多少时，才能使竹篱笆正好合适？ 【答案】长为，宽为 【分析】设在长方形花坛中，平行于墙的边长为，则垂直于墙的边长为，根据长方形的面积公式建立方程，解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】解：设在长方形花坛中，平行于墙的边长为，则垂直于墙的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：花坛的长为，宽为时，才能使竹篱笆正好合适． 5．暑假期间，随着旅游热度的提升，各种文创产品不断出圈，类型也更加丰富．某博物馆超市新购进A，B两种冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的售价是每个B款冰箱贴售价的倍，顾客用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个． (1)求每个B款冰箱贴的售价为多少元？ (2)经过统计，该超市每月卖出A款冰箱贴100个，每个A款冰箱贴的利润为16元．为了尽快减少库存，该超市决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款冰箱贴的售价每降低2元，则平均每月可以多售出20个，如果该超市想要每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元，每个A款冰箱贴应降价多少元？ 【答案】(1)每个B款冰箱贴的售价为25元 (2)每个A款冰箱贴应降价10元 【分析】（1）设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元，根据“用150元购买A款冰箱贴的数量比用150元购买B款冰箱贴的数量少1个”列分式方程求解； （2）设每个A款冰箱贴应降价y元，根据“每月卖出A款冰箱贴的利润达到1200元”列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设每个B款冰箱贴的售价为x元，则每个A款冰箱贴的售价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴每个B款冰箱贴的售价为25元； （2）解：设每个A款冰箱贴应降价y元， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴每个A款冰箱贴应降价10元． 6．【动手实践】如图1，小明将一张长为，宽为的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)如图2，拼成的新图形是图_______（填“甲”或“乙”）． 【探索应用】 (2)若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为，求此时的长． 【答案】(1)乙 (2) 【分析】（1）根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线，据此判断即可； （2）先根据新图形的面积列出方程，求出的值，再利用新图形是一个中心对称图形进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，原矩形裁去阴影部分后得到4块空白，平移拼接时，斜向的边缘会错开，不会连成一条直线， 因此，拼成的新图形是乙； （2）解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 由于新图形是一个中心对称图形， 7．某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6万人次． (1)求第三、四季度游客人数的平均增长率； (2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数． 【答案】(1)20% (2)万人次 【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可； （2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可． 【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x． 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第三、四季度游客人数的平均增长率为； （2）解：∵第一季度游客人数为100万人次， ∴第二季度游客人数为（万人次）， 第三季度游客人数为（万人次）． ∵第四季度游客人数为129.6万人次， ∴该旅游景区一年接待游客的总人数为（万人次）． 8．某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【答案】(1)平均每天可销售180件 (2)单价应降低5元 (3)不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件． （2）解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元． （3）略 9．某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【答案】(1)四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； (2)． 【分析】（1）根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解； （2）据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不符合的根得到结果． 【详解】（1）解：设四月份游船票价为元，观光车票价为元. 将单位统一为元，0.8万人人，1万人人，60万元元． 根据题意列方程得：， 解得， 因此，． 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； （2）解：根据题意，五月份游船票价为元，乘坐游船人数为0.8万人，观光车票价为元，乘坐观光车人数为万人，总销售额为 万元，单位统一为万元， 列方程得：， 化简得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：a的值为50． 10．每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 【答案】(1)5元 (2)个 (3)5或 【分析】（1）设购买一个牛角粽需元，则购买一个三角粽需元，根据小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个，再建立方程求解即可． （2）表示降价量为元，进一步列代数式即可． （3）结合（2）可列方程，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：设购买一个牛角粽需元，则购买一个三角粽需元， 由题意得， 解得（舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个牛角粽需元． （2）解：打折时，每个三角粽售价为元， 降价量为元， 多售出个， 总共售出个． （3）解：由（2）可列方程， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：或． 11． 综合与实践 数学与交通 情境材料 司机在驾驶汽车行驶过程中，经常会遇到因前方有异常情况而需要紧急刹车的情况．从司机发现前方道路有异常情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间可称作反应时间，在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离；从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离；从司机发现前方道路有异常情况开始到汽车停止行驶，这段距离称作停车距离d，停车距离反应距离制动距离． 实验数据 ①已知反应距离与行驶速度之间近似满足函数关系，反应距离与行驶速度关系如下： 40 50 60 70 80 反应距离 8 10 16 ②制动距离与行驶速度之间近似满足二次函数关系，制动距离与行驶速度的关系为∶ 交通规则 《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》 第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯，并在车后50米至100米处设置警告标志，夜间还应当同时开启示廓灯和后位灯； 第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100千米时，应当与同车道前车保持100米以上的距离，车速低于每小时100千米时，与同车道前车距离可以适当缩短，但最小距离不得少于50米． 《中华人民共和国道路交通安全法》 第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，警告标志应当设置在故障车来车方向150米以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报警． (1)请写出反应距离与行驶速度的函数关系式及停车距离与行驶速度的函数关系式． (2)某司机在高速公路以行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，才能安全停车？并结合法规分析150米的安全距离是否足够． (3)某司机发现正前方80米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结合计算结果，给司机朋友提出1条安全驾驶建议． 【答案】(1)， (2)至少需要米，米的安全距离足够 (3)车速不超过时，可避免事故；安全驾驶建议：在高速公路行驶时，若前方有故障或警示标志，应提前减速，车速不超过，并与前车保持足够安全距离，避免急刹追尾 【分析】（1）由表格数据可知，反应距离与行驶速度成正比例关系，利用待定系数法求解即可；再根据停车距离反应距离制动距离，制动距离与行驶速度的关系求解即可； （2）将代入即可求得至少需与故障车辆保持的距离；再与150米比较即可判断安全距离是否足够； （3）令，则，即可求得不得超过的速度；再根据安全需要提建议即可． 【详解】（1）解∶由表格数据可知，反应距离与行驶速度成正比例关系． 设，将代入得∶，解得， ∴反应距离与行驶速度的函数关系式为， ∵停车距离反应距离制动距离，制动距离与行驶速度的关系为：， ∴停车距离与行驶速度的函数关系式． （2）解：当时， ； 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第六十八条，警告标志应设置在故障车来车方向150米以外． ∵1， ∴150米的安全距离足够． 答：至少需与故障车辆保持110.4米的距离才能安全停车；150米的安全距离足够． （3）解：根据题意，令，得∶ ， 整理得∶ ，解得：或(不合题意，舍去)． 所以车速不超过． 建议：在高速公路上行驶时，应时刻关注前方路况保持安全车距，遇有警告标志应提前减速，确保行车安全． 12．综合实践： “耕读园”劳动实践基地设计方案 项目主题：“耕读园”花圃设计 项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50米，宽为40米的矩形花圃设计项目．以下为项目学习小组对花圃设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型方案． 驱动问题一 (1)项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ． ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824平方米． 驱动问题二 (2)请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100平方米的矩形花坛，如图所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米． 驱动问题三 (3)若篱笆总长为30米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长 ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽边两种围法）都可以围出面积为100平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15米．甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)①四种方案中小路面积相等；②89平方米；89平方米；③；； (2)两条小路的宽度是米； (3)①或； ②甲，乙都错误，理由如下： 由题意得：， ∴， 设方程的两个根为，则，且， ∴， ∴，， ∴， ∴甲，乙说法都错误． 【分析】（1）①根据题意直接得出猜想； ②分别用两种不同的方法求解即可； ③分别用两种不同的方法表示即可； （2）先得出小路的面积，列出方程求解即可； （3）①分别用两种不同的方法表示即可； ②由题意得到，设方程的两个根为，则，且，求得的取值范围，可得结论． 【详解】（1）解：①我认为四种方案中小路面积相等； ②甲方案小路面积：（平方米）， 乙方案小路面积：（平方米）； ③若小路宽为米， 甲方案小路面积为：， 甲方案小路面积为：； （2）解：∵草坪面积1824平方米， ∴小路面积为：（平方米）， ∴， 解得：， ∴两条小路的宽度是米； （3）解：①方法1： ∵面积为100平方米， ∴， ∴； 方法2：∵篱笆总长为30米，宽，长， ∴， ∴； ②略 13．综合与实践：图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在观察一种LED灯的信号灯红绿灯交替闪烁时，发现该信号灯的灯珠按一定规律进行排列．为了探究灯珠的摆放规律，该小组观察不同大小的信号灯的灯珠个数进行探究． 【项目准备】 1．观察现象 不同大小的信号灯的灯珠排放方式如下图所示，其中实心圆表示发出红光，空心圆表示发出绿光． 2．规律猜想 小组初步猜想：用不同方式来观察第n个图的灯珠的总个数S，并尝试用算式表达． 【项目分析】 1．统一符号：设第个图的灯珠总数为． 2．任务分解： 任务一：通过每行来数的方式写出和的算式，并归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“斜线”来数），重新表达出． 任务三：建立第个图灯珠总数的通用公式． 【项目实施】 问题一：按“行”来统计数量 1．请补全下表： 图形 算式 ①_______ ②_______ 2．根据规律，写出第个图的算式：③_______．（写出最终结果） 问题二：按“斜线”来统计数量 请补全下表： 图形 算式 ④_______ ⑤_______ 问题三：建立通用公式 根据你在问题一和问题二中得出的规律，写出第n个图形中的规律：⑥_______． 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上面的空白内容补充完整： ①_______；②________；③________； ④_______；⑤_______；⑥________． (2)若某个信号灯的灯珠的 ，求n的值． 【答案】(1) ① ；② ；③；④；⑤ ⑥ (2)19 【分析】（1）从“按行”和“按斜线”两种视角观察图形，归纳出第 个图形灯珠总数的通项公式 ；（2）建立方程 ，求解并舍去负根即可． 【详解】（1）解：①： ②： ③：根据规律可得： ④： ⑤： ⑥：问题一中的规律为：，问题二中的规律为： 第n个图形中的规律： （2）解： (舍去)， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $