第04讲 认识一元二次方程（知识点+7题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

第04讲 认识一元二次方程（知识点+7题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元二次方程的定义 题型2 化成一元二次方程的一般式 题型3 判断是否是一元二次方程 题型4 由一元二次方程的定义求参数 题型5 判断是否是一元二次方程的解 题型6 由一元二次方程的解求参数 题型7 一元二次方程的解的估算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程的定义一元二次方程的解（根）等式的基本性质根据等量关系 列一元二次方程 1. 理解一元二次方程的定义，能准确识别一元一次方程，掌握一元二次方程的三个特征（只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。 2. 理解一元二次方程解（根）的概念，能检验一个数值是否为某一元二次方程的根，能根据方程的根求方程中未知参数的值。 3. 掌握等式的两条基本性质，能运用等式的基本性质对等式进行简单变形，为解一元二次方程奠定基础。 4. 能从实际问题中抽象出等量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，感受数学与生活的密切联系。 学习重点：一元二次方程的概念与识别、等式的基本性质、根据实际问题中的等量关系列一元二次方程。 学习难点：准确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并正确列出一元二次方程，理解等式基本性质的适用条件。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程 三大必备条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，二次项系数不为0。 即时即练 1．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 【易错提醒】判断方程时易忽略三点：分式方程不是整式方程；含多个未知数不是一元方程；未知数最高次数为2但二次项系数为0，不属于一元二次方程。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一般形式： 各部分名称：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 即时即练 2．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误 【易错提醒】①必须化为右边为0的标准形式；②系数包含前面符号，负数系数切勿漏掉负号；③a≠0，b、c可以为0；④常数项c不带未知数。 知识点03 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫方程的根。 几何语言：若将代入，等式成立，则是该方程的根。 即时即练 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ，即， ． 【易错提醒】已知方程的根求参数时，代入求值后，切记检验二次项系数不能为0，很多题目会设置隐藏陷阱。 知识点04 一元二次方程的估算 利用“夹逼法”估算方程的近似根：根据未知数取值，计算代数式的值，锁定代数式值由正变负/由负变正的区间，确定方程根的取值范围。 即时即练 4．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 【易错提醒】只能估算根的大致范围，不能直接确定精确值；部分学生容易混淆自变量范围与方程根的范围。 题型1 一元二次方程的定义 【例1】下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 【技巧归纳】 1. 必须是整式方程（分母、根号下不含未知数） 2. 只含有1个未知数 3. 未知数的最高次数是2 4. 隐含条件：二次项系数不能为0（最易忽略） 【变式1-1】 1.下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 【变式1-2】 2.下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 题型2 一元二次方程的一般式 【例2】方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数． 【详解】解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【技巧归纳】 1. 四步走：去分母→去括号→移项（变号）→合并同类项 2. 按未知数降幂排列，常数项放最后 3. 优先将二次项系数化为正数，方便后续计算 4. 注意：b和c可以为0，但a≠0 【变式2-1】 1. 把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 【变式2-2】 2. 一元二次方程化为一般式后，a，b，c的值分别为________． 【答案】2，， 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，即可确定出，，的值． 【详解】解：， 整理得： ∴，，． 题型3 判断是否是一元二次方程 【例3】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【技巧归纳】 1. 先看是否为整式方程：排除分式方程、无理方程 2. 再看未知数个数：排除二元及以上方程 3. 最后看最高次数：排除一次、三次方程 4. 特殊情况：化简后二次项系数为0的，不是一元二次方程 【变式3-1】 1.将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 【变式3-2】 2.把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 题型4 由一元二次方程的定义求参数 【例4】已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 【技巧归纳】 第一步：令未知数的最高次数等于2，解出参数的可能值 第二步：必须检验，舍去使二次项系数为0的参数值 易错点：只看次数不验系数，导致多解 若题目注明“关于x的一元二次方程”，则默认二次项系数≠0 【变式4-1】 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 【变式4-2】 2．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项系数不为0，可得，据此求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 题型5 判断是否是一元二次方程的解 【例5】对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般式即可判断①；将代入即可判断②；将代入化简即可判断③；把代入，然后化简等式的左边与右边，即可判断④． 【详解】解：①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是，故①错误； ②把代入方程的左边，则， ∵， ∴方程左边等于0，即方程成立， ∴是方程的根，故②正确； ③将代入，则，则，由于，故，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，则 ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有3个． 【技巧归纳】 1. 将未知数的值分别代入方程左右两边 2. 若左边=右边，则是方程的解；否则不是 3. 技巧：选择题优先代入0、1、-1等特殊值快速排除 4. 注意：一元二次方程最多有2个不相等的实数解 【变式5-1】 1．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 【变式5-2】 2．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 题型6 由一元二次方程的解求参数 【例6】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 【答案】1 【分析】先将根代入方程得到的可能取值，再根据一元二次方程二次项系数不为零的要求，排除不符合条件的解，即可得到的值 【详解】解： 关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程得 ， 解得或， 又 一元二次方程的二次项系数不能为，即， 得， 【技巧归纳】 1. 第一步：把已知的解代入原方程，所有x替换为解的值 2. 第二步：解关于参数的一元一次或一元二次方程 3. 易错点：代入负数时，注意平方的符号和负号的运算 4. 若已知两个解，可分别代入得到方程组求解 【变式6-1】 1．已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 【变式6-2】 2．若是方程的一个实数根，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】先根据是方程的根得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个实数根， ，则， 将代入得原式． 题型7 一元二次方程的解的估算 【例7】根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 【技巧归纳】 1. 先确定解的整数范围：代入整数x，找到使方程左右两边异号的两个相邻整数 2. 再逐步精确到十分位、百分位：在整数范围内代入小数，重复上述步骤 3. 规律：当x=a时左边<右边，x=b时左边>右边，则解在a和b之间 4. 估算时通常保留1位小数即可满足题目要求 【变式7-1】 1．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 【变式7-2】 2．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】D 【分析】首先将方程变形为，然后根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解： ∴ ∵该方程有实数根 ∴ ∴ ∴的值可以为5． 2．若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 3．若方程是关于的一元二次方程，则代数式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，原方程是关于的一元二次方程，方程整理后，的最高次数为，且只含未知数，依次代入选项验证即可． 【详解】解：选项A：将代入，可得：，整理为，是一元一次方程，故A选项不符合要求； 选项B：将代入，可得：，整理为，是关于的一元二次方程，故B选项符合要求； 选项C：将代入，可得：，整理为，是一元一次方程，故C选项不符合要求； 选项D：将代入，可得：，含有，两个未知数，不是关于的一元二次方程，故D选项不符合要求． 4．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 5．下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不是一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 6．已知代数式，，，若，且z为方程的一个实根，则的值为（   ） A．2026 B．2028 C．4052 D．4054 【答案】D 【分析】根据题意可求出，由方程的解的定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵z为方程的一个实根， ∴， 当时，，不符合题意， ∴， ∴， ∴ ∴． 7．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．3 B．－3 C．3或－3 D． 【答案】A 【分析】先将根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）排除不符合条件的 得到最终结果. 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入方程得， 解得或 ∵ 原方程是关于的一元二次方程 ∴ 二次项系数 , 即 ∴. 8．已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 【答案】A 【详解】解：①．∵将代入，可得， 又∵， ∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确． ②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得： ， ，得 ， ∴，故②说法正确． 综上①②都正确． 9．已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】当时，；当时，，；当时，在中，则，即，且；在中，结合题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，，均为绝对值不超过2的整数， ∴，，可能的值为， ∵为自然数，为中所有项的指数和， ∴， 当时，即， ∴，， 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； ∴，故①错误； 当时，即， ∴，， ∵恒成立， ∴，且， ，，共3种情况； ，，共3种情况； ∴，即共有6种情况，故②错误； 当时，即， ∵， ∴， 当，且时， 则，即， ∴的值可以是或，共有2种情况； 的值可以是或，共有2种情况； 当，且，时， 三个数的值的组合方式有： 和 共有10种情况； ∴种情况，故③正确； 综上所述，正确的个数为1， 故选：B ． 10．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 11．若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 二、填空题 1．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 2．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． 3．若一元二次方程的一个解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入原方程求解，再根据一元二次方程定义排除不符合条件的值即可得到结果． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得，解得． 又∵是关于的一元二次方程， ∴，即， ∴符合条件． 4．已知m是方程的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 5．关于的一元二次方程有一个根为，则实数，之间的关系为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，化简整理即可得到与的关系． 【详解】∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， ， 整理得． 6．若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题可先将方程的解代入一元二次方程，求出含、的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 7．若a是方程的根，则代数式值是_________． 【答案】 【分析】利用方程变形得到相关关系式，再通过整体代入法求解代数式的值． 【详解】解：是方程的根，且， ， 变形可得， 方程两边同时除以得， 即， ∴ ． 8．若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】13 【分析】根据方程的根的定义，将代入原方程可得的值，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴， ∴． 9．若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 10．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 11．阅读材料： 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于． 若规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且我们进一步规定：一切实数均可以与该新数“”进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立．于是有，，，，从而对于任意正整数，我们可以得到，同理可得，，．那么的值为________． 【答案】 【分析】根据已知运算规律，可得的幂次运算每次为一个循环，且一个循环内项的和为，计算总项数除以得到余数，再计算剩余项的和即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，，，，， ∴的幂次运算每次为一个循环，一个循环内的和为， ， ∴， ， ， ， ． 12．我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：就是一个数集，其中的实数具有互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同．如：．已知数集，数集，且． （1）若、为非负数，则________； （2）若、为任意实数，则所有可能值的和为________． 【答案】 【分析】（1）数集A，B相等，元素完全相同，且x，y为非负数，故，．结合，分情况讨论：若且，代入解得，此时；若且，解得，与非负矛盾，舍去，进而即可得到解答； （2）数集A，B均含元素，．分两种有效情况：①（同（1），符合互异性）；②，，此时、，也满足条件，得．则可求出所有可能值的和． 【详解】解：∵， ∴与的元素完全相同， ∵有意义， ∴， （1）∵为非负数， ∴， ∴，， ①当，时，则， 将代入得， 解得， ∵， ∴，符合条件，此时； ②当，时，则， 将代入， 得 ∴，与非负矛盾，舍去； 综上所述，； （2）∵含元素， ∴必有一个元素为， 当时，则，中有两个相等元素，违反互异性，舍去； 当时，①，，由得， 同（1）可得符合条件的解，故是有效解； ②，， 将代入得，，， 此时，不成立，舍去； 当时，则， ①，，则， 将代入得，， 此时，，符合互异性， ∴是有效解； ②，， 将代入得，矛盾，舍去； 综上所述，的所有可能值为和， ∴所有可能值的和为． 13．已知、、是非零实数，关于的一元二次方程，，有公共解，则代数式的值为__________． 【答案】或 【分析】设公共解为，代入三个方程后相加得到关于和的关系，分两种情况讨论，分别代入代数式计算其值即可． 【详解】解：设公共解为， 则，，， 三式相加得， 即， ∵， ∴或， 当时，即时， 原式 ； 当时，分别代入三个方程可得，， 联立两式解得， 此时； 综上所述，代数式的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解的应用，求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 三、解答题 1．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 2．已知是关于的一元二次方程，求不等式的解集． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元一次不等式． 由一元二次方程的定义，可得二次项系数不为零，可得，解不等式可得，即可得不等式的解集． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 解得， 将不等式化简， 得， 解得， ∴且． 3．已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 4．先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【详解】解：原式 为方程的解， ∴． ∴原式 ． 5．先化简，再求值：，其中m是方程的根． 【答案】； 【分析】先分别化简原式中的整式部分和分式部分，再合并得到最简结果，利用方程根的定义得到与的关系，代入最简式计算即可得到最终结果． 【详解】解： ； 是方程的根， ， ， 将代入得，原式． 6．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 7．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 8．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 9．阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． (3)思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案； （2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为； （3）∵，分别满足，，且， ∴， ∴和可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 【点睛】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第04讲认识一元二次方程（知识点+7题型) 孓内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1一元二次方程的定义 题型2化成一元二次方程的一般式 题型3判断是否是一元二次方程 题型4由一元二次方程的定义求参数 题型5判断是否是一元二次方程的解 题型6由一元二次方程的解求参数 题型7一元二次方程的解的估算 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解一元二次方程的定义，能准确识别一元一次方程，掌握一元二次方程 的三个特征（只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。 一元二次方程的定义 2.理解一元二次方程解（根）的概念，能检验一个数值是否为某一元二次方 一元二次方程的解 程的根，能根据方程的根求方程中未知参数的值。 (根)等式的基本性 3.掌握等式的两条基本性质，能运用等式的基本性质对等式进行简单变形， 质根据等量关系 为解一元二次方程奠定基础。 列一元二次方程 4.能纵实际问题中抽象出等量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现 实世界数量关系的有效数学模型，感受数学与生活的密切联系。 学习重点：一元二次方程的概念与识别、等式的基本性质、根据实际问题中的等量关系列一元二次方 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 程。 学习难点：准确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并正确列出一元二次方程，理解等式基本 性质的适用条件。 02 教材全解 知|识|框|架 概念：只含一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程 一元二次方程定义。 整式方程 三个必备条件0 只含一个未知数 未知数最高次数为2 标准形试：ax2+bz十c=0(a,b,c是常数，a≠0) 二、 一般形式O 二次项：ax2,二次项系数：a 各项名称0 一次项：bx,一次项系数：b 常数项：c 先化为整式方程 三、一元二次方程的识别 再整理为一般形式 最后判断是否满足三个条件 概念：使方程左右两边相等的未知数的值 四、一元二次方程的解（根）一 检验方法：代入方程验证 忽略二次项系数a卡0 五、 易错提醒O 未整理成一般形式就判断各项系数 遗漏常数项为0的情况 知识|精1讲 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程 三大必备条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，二次项系数不为0。 即时即练 1.下到方中：022-1-0.@0+bx+e=0,国x+2lx-31=×-3.@2-0.⑧x-登-5.⊙ √+Vx-2=0,是一元二次方程的有() 2/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【易错提醒】判断方程时易忽略三点：分式方程不是整式方程；含多个未知数不是一元方程；未知数最高 次数为2但二次项系数为0，不属于一元二次方程。 知识点02一元二次方程的一般形式 般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 各部分名称：ax为二次项，Q为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；C为常数项。 即时即练 2.下列方程中，是一元二次方程的是()· A.+=2 B.ax+bx+c=0 X c.x-1x+2=1 D.2x+1x-2=2x2+2x 对于选项D:整理，得-5x-2=0,未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误 【易错提醒】①必须化为右边为0的标准形式；②系数包含前面符号，负数系数切勿漏掉负号；③≠0， b、c可以为O:④常数项c不带未知数。 知识点03一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫方程的根。 几何语言：若将x=m代入ax2+bx+c=0,等式成立，则x=m是该方程的根。 即时即练 3.已知n是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式n2-n-2026的值为 【易错提醒】已知方程的根求参数时，代入求值后，切记检验二次项系数不能为0，很多题目会设置隐藏 陷阱。 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点04 一元二次方程的估算 利用“夹逼法”估算方程的近似根：根据未知数取值，计算代数式的值，锁定代数式值由正变负/由负变 正的区间，确定方程根的取值范围。 即时即练 4.根据表格中的信息，估计一元二次方程ax+bx+c=0.2(a、b、C为常数，a≠0)的一个解X的范围 为() 个 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ax2+bx+c -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44 A. 0.4<x<0.5 B.0.5<x<0.6 c.0.6<x<0.7 D.0.7<x<0.8 【易错提醒】只能估算根的大致范围，不能直接确定精确值；部分学生容易混淆自变量范围与方程根的范 围。 03 题型突破 题型1一元二次方程的定义 【例1】下列方程中，一元二次方程共有()个. 1 ①x-2x-1=0:@aX+bx+c=0:®7+3x-5=0,④X=0:⑤x-1+y=2:⑥ x-1川x-3=x2 A.2 B.3 C.4 D.5 【技巧归纳】 1. 必须是整式方程（分母、根号下不含未知数） 2. 只含有1个未知数 3. 未知数的最高次数是2 4. 隐含条件：二次项系数不能为0（最易忽略） 4/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】 1.下列各方程一定是关于x的一元二次方程的是() 2+0 A.2 B.ax+bx+c=0 C.n2+1x2+n=0 D.mx+3x=2xx-1+2 【变式1-2】 2.下列方程是一元二次方程的是（) A.ax2+bx+c=0B.x2-3x+1=0 C.x2÷y=1 D. 题型2一元二次方程的一般式 【例2】方程x=-2X+9化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 () A.1,-2,9 B.1,2,-9 C.-1,2,9 D.1,2,9 【技巧归纳】 1.四步走：去分母→去括号→移项（变号）→合并同类项 2.按未知数降幂排列，常数项放最后 3.优先将二次项系数化为正数，方便后续计算 4.注意：b和c可以为0，但a≠0 【变式2-1】 1.把一元二次方程(x+1)(x-2)=3x化成一般形式，正确的是() A.x2-4x-2=0 B.x2-4X+2=0 C.x2+4x-2=0 D.x2+4x+2=0 【变式2-2】 2.一元二次方程2x2-4x=5化为一般式ax2+bx+c=0后，a,b,c的值分别为 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3判断是否是一元二次方程 【例3】下列方程是一元二次方程的是() A.x-2y=1 B.X+1-2 X C.5x2+3=0 D.2x+1=3 【技巧归纳】 1. 先看是否为整式方程：排除分式方程、无理方程 2. 再看未知数个数：排除二元及以上方程 3. 最后看最高次数：排除一次、三次方程 4. 特殊情况：化简后二次项系数为0的，不是一元二次方程 【变式31】 1.将一元二次方程xx-3=25化成一般形式正确的是() A.x2-3x-25=0B.x2+3x+25=0C.x2-3x+25=0D.x2+3x-25=0 【变式32】 2.把一元二次方程x+1川1-x=2x化成一般式为() A.-x2+1=2X B.-x2+2x+1=0 C.x2+2x+1=0 D.x+2x-1=0 题型4由一元二次方程的定义求参数 【例4】己知m-1xm1+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 【技巧归纳】 第一步：令未知数的最高次数等于2，解出参数的可能值 第二步：必须检验，舍去使二次项系数为0的参数值 易错点：只看次数不验系数，导致多解 若题目注明“关于x的一元二次方程”，则默认二次项系数≠0 【变式41】 1.若关于x的方程xm+1+3x-2=0是一元二次方程，则m的值为· 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式42】 2.关于x的方程m-2xm-2+3-mlx-2=0是一元二次方程，则m的值为 题型5判断是否是一元二次方程的解 【例5】对于一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)，有下列说法： ①若α是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b: ②若a+b+c=0,则x=-1是方程ax2-bx+c=0的根： ③若-c是方程ax-bx+c=0的一个根，且c≠0，则一定有ac+b+1=0成立： ④若x是一元二次方程ax2-bx+c=0的根，则b2-4ac=2ax,-b 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【技巧归纳】 1. 将未知数的值分别代入方程左右两边 2. 若左边=右边，则是方程的解；否则不是 3.技巧：选择题优先代入0、1、-1等特殊值快速排除 4. 注意：一元二次方程最多有2个不相等的实数解 【变式51】 1.已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a≠0，若9a+3b+c=0,则它的一个根是() A.X=3 B.x C.X=-3 D.X=3 1 【变式52】 2.已知x=2是方程mx2+nx=1m≠0的一个实数根，则方程y+y=m一定有一个实数根是（) A.y=-2 B.y=.1 2 c.y=1 D.y=2 题型6由一元二次方程的解求参数 【例6】若关于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m的值是 【技巧归纳】 1.第一步：把已知的解代入原方程，所有x替换为解的值 2. 第二步：解关于参数的一元一次或一元二次方程 7/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 易错点：代入负数时，注意平方的符号和负号的运算 4. 若已知两个解，可分别代入得到方程组求解 【变式61】 1.己知a是方程x2+2x-5=0的解，则a2+2a+a2+2a-2026= 【变式62】 2.若t是方程x-x-1=0的一个实数根，则代数式t-t+2025的值为 题型7一元二次方程的解的估算 【例7】根据下列表格x与ax2+bx+c的对应值，对一元二次方程ax+bx+c=0的根，下列说法错误的 是() -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ax2+bx 0.43 0.09 -0.2 -0.33 -0.43 -0.44 -0.37 -0.23 0 0.31 A. 方程有一根为1 B.方程有一根的取值范围是-0.4<x<-0.2 C.方程有一根为-0.33 D.方程有两个不相等的实数根 【技巧归纳】 1. 先确定解的整数范围：代入整数x,找到使方程左右两边异号的两个相邻整数 2. 再逐步精确到十分位、百分位：在整数范围内代入小数，重复上述步骤 3. 规律：当x=a时左边<右边，xb时左边>右边，则解在a和b之间 4. 估算时通常保留1位小数即可满足题目要求 【变式7-1】 1.根据表格，判断关于x的方程ax2+bx+c=3a≠0的一个解的范围是() 1.1 1.2 1.3 1.4 ax+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76 A.-0.59<x<0.84 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3D.1.3<x<1.4 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-2】 2.根据下面的表格， 估计方程x+8P-826=0的一个正数解x的大致范围为() X 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 x+8}-826 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21 A.20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7 c.20.7<x<20.8 D.20.8<x<20.9 04 过关检测 一、单选题 1.已知关于x的一元二次方程x+22+4-k=0有实数根，则k的值可以是() A.-4 B.0 C.1 D.5 2.若a是关于x的方程2X-X-4=0的一个实根，则代数式a2-号+2026的值是（) A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 3.若方程E+2x=1是关于x的一元二次方程，则代数式E可以是() A.-x B.-x2 c.22 D.y 4.若关于x的一元二次方程k+2x2+3x+k2-4=0的一个根为0，则k的值为()· A.-2 B.2 C.2或-2 D.-1或2 5.下列方程中，一元二次方程的个数有() ①2x-3=0:(2)X+y=5:(3)X-5x=0:(4)X+=2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知代数式A=一，BX+2,C之 y+z' =x+y若x=y=1,且z为方程m2-2026m+1=0的一个实根， 则片+合+之的位为() A.2026 B.2028 C.4052 D.4054 7.若关于x的一元二次方程a+3x2+a2-9=0的一个根是x=0,则a的值为() 1 A.3 B.-3 C.3或-3 D.3 8.已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0). 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若a-b+c=0,则该方程一定有一个根为x=-1: ②若方程的两个根为-1和2，则a和c的数量关系为2a+c=0. 下列判断正确的是() A.①②的说法都正确 B.①②的说法都错误 C.①的说法错误，②的说法正确 D.①的说法正确，②的说法错误 9.已知整式Mx=anX+an1X-1+……+a1X+a,其中a,a1,a2-a,均为绝对值不超过2的整数，n 为自然数，规定N为M(x)中所有项的指数和.下列说法中： ①当N=1时，满足条件的M(x)共有25个： ②当N=2时，Mx)≥0恒成立，满足条件的M(x共有4个： ③当N=3时，a+a1+.+an<1,则满足条件的M(x共有14个. 其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 a2 1 -1 -1 -1 2 2 -2 -2 a -1 -2 -1 -2 2 ao -2 0 0 2 -1 -1 0 0 和 0 0 0 0 0 0 0 0 10.已知实数P,9满足p+3p-2=0,2q2-3q-1=0(p9≠1)，则P9+2p+ 的值是() A.-1 B.-4 c.-5 D.-7 m+m 11.若m为一元二次方程x2+x-4=0的一个根， 2m+1P的值为() 4 4 B.15 c.17 4 D.19 二、填空题 12 1.已知a是方程x2-2x-5=0的一个根，则代数式- a+a的值为 2.已知关于x的一元二次方程2x2-x+4=0的一个根为x=2,则k的值为 3.若一元二次方程a-2x2-2x+1=0的一个解为x=1,则a的值为一： 4.已知m是方程x2+X-2025=0的实数根，则-m2-m-1的值为 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0有一个根为x=-1,则实数a,b之间的关系为 6.若x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx-2026=0a≠0的一个解，则1-2a-b的值为 7.若a是方程X2+x-1=0的根，则代数式a2+2a-】-2026值是 8.若x=a是方程x2-2x-3=0的一个根，则2a-4a+7的值为 。若a是方程X+x-1=0的根，则代数式2026+a4。的值是 10.如果m是方程x2-2x-6=0的一个根，那么代数式m4-4m3+4m2的值为一 11.阅读材料： 我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1. 若规定一个新数“i”,使其满足2=-1（即方程x=-1有一个根为）·并且我们进一步规定：一切实数均 可以与该新数“i”进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立。于是有=i,子=-1， =子i=-1小i=-i,产==-12=1，从而对于任意正整数n,我们可以得到1=ni=”i=i, 同理可得4n*2=-1,4n+3=-i,4n=1.那么i++++…+2025+i2026+2027的值为 12.我们规定：用方括号括起来的若干实数称为“数集”，例如：1,3，x就是一个数集，其中的实数具有 互异性和无序性，即任意两个实数互不相等，且改变它们排列顺序后，所得数集仍与原数集相同.如： [1,3,2=1,2,3.已知数集A=2,xy,数集B=x,x+y,Vx-y,且A=B. (1)若x、y为非负数，则x+y=; (2)若x、y为任意实数，则x+y所有可能值的和为 13.已知a、b、C是非零实数，关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c=0,4bx2+4cx+a=0, c a b 4cX+4a+b=0有公共解，则代数式abba 的值为 三、解答题 1.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项. 1)3xx+1=4x-2: (2x+32=x+24x-1: 3)2y+5ly-1=y2-8: 4)2t=t+12. 2.已知3k+1x2+2kx=-3是关于x的一元二次方程，求不等式 k1之4k+1.1的解集. 3 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+2cx-c2=0的一个根，求代数式c+3c-3+cc-4的值. 4.先化简，再求值：(2x-52-(x-2)川x-3-12,其中x为方程x2-5x+2=0的解， 5.先化简，再求值：2m+1川m-1小-2mlm-1+m+2m ÷m+1- m2+2m+1 m+1 其中m是方程 x2-7x-7=0的根， 6.已知a是一元二次方程x2+x-1=0的一个根： 1)求2a+2a的值 (②)求a3-2a+2026的值. 7.阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x-6x-k-1=0与 x-x-7=0有相同根，试求k的值及相同根.思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m,根据题意，得 ①-②，得k-6m=k-6③ 显然，当k=6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根-1和7： 当k≠6时，由③得m=1,代入②式，得k=-6,此时两个方程有一相同根x=1. ∴.当k=-6时，有一相同根x=1:当k=6时，有两个相同根是-1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：己知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的 方程x2+kx=0与x+2x+k-2=0有相同的实根， 8.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“黄 金方程” (1)下列方程中：①x2=1;②x-1川x+2=0;③x2-2x-3=0,是黄金方程的为（填序号）. (②)已知关于x的一元二次方程2x+bx+c=0(c≠0)是“黄金方程”，求代数式b-2c+1的最小值. 9,阅读材料.材料：若一元二次方程aX+bx+c=0a≠0的两个根为x,X,则X+X,=. ￥水= 。y 0 1)材料理解：一元二次方程5x2+10x-1=0的两个根为1，X2,则x1+X2=,X1X2=_ (2)类比探究：已知实数m,n满足7m2-7m-1=0,7n2-7n-1=0,且m≠n,求mn+mn的值 )思维拓展：已知实数5，t分别满足7s2+7s+1=0,2+7t+7=0,且st≠1，求25t+7s+2 t 的值， 12112