4.7　图形的位似 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 围绕“图形的位似”，通过基础概念辨析、坐标变换应用到综合创新探究，分层设计清晰，梯度合理，助力知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|位似中心、位似比、面积比等基本概念|选择填空（1-7题）直接考查定义与性质，强化概念理解，体现抽象能力| |提升层|坐标系中位似变换、作图操作|作图题（8题）与坐标计算（9-10题），培养空间观念与几何直观| |综合层|位似与相似综合、变换探究|证明题（12题）与创新题（13题），发展推理能力与创新意识，体现模型意识|

4.7　图形的位似 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，网格中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( ) A.点M B.点N C.点O D.点P 2.已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1∶3，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为( ) A.1∶3 B.1∶6 C.1∶9 D.3∶1 3.如图，以点O为位似中心，把△ABC的边长放大2倍得到△A'B'C'，下列说法中，错误的是( ) A.△ABC∽△A'B'C' B.C，O，C'三点共线 C.AO∶AA'=1∶2 D.AB∥A'B' 4.如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是( ) A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4 5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似。若△OA'B'与△OAB的相似比为2∶1，则点A的对应点A'的坐标为( ) A.(－2，－1) B.(－4，－2) C.(－1，－2) D.(－2，－4) 6.(3分)在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'。若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，(－9，－21)，则△ABC与△A'B'C'的相似比为 。  7.(3分)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于原点O位似，且位似比为。若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标为 。  8.(8分)如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以点O为位似中心的位似四边形。 (1)(4分)沿AO方向把边长放大为原图的2倍。 (2)(4分)沿OA方向把边长放大为原图的2倍。 第8题图　 9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上。若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为( ) A.(3，2) B.(3，1) C.(2，2) D.(4，2) 10.如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0)。若DE的长为3，则D'E'的长为( ) A. B.4 C. D.5 11.(8分)在平面直角坐标系中，一个图形先绕原点按顺时针方向旋转θ角(0°≤θ＜360°)，再以原点为位似中心，位似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换。例如，把图中的△ABC先绕原点O按顺时针方向旋转90°，再以原点为位似中心，位似比为缩小得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，】变换。 (1)(4分)在图中画出一个符合【90°，】变换的△A1B1C1。 (2)(4分)已知△OMN的顶点坐标为O(0，0)，M(2，4)，N(6，2)，把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O'M'N'，若点M的对应点M'的坐标为(－1，－2)，则θ= ，k= 。  12.(8分)如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP=∠CBP。 (1)(3分)求证：△ADP∽△BCP。 (2)(2分)△ADP与△BCP是不是位似图形？请直接给出答案。 (3)(3分)若AB=8，CD=4，DP=3，求AP的长。 13.(10分)[创新意识]如图，△ABC是☉O的内接正三角形，D是的中点，连结BD并延长至点E，使DE=BD，连结CD，CE。 (1)(5分)求证：△CDE是正三角形。 (2)(5分)△CDE经怎样的变换后能与△ABC成位似图形？请在图中画出△CDE变换后的对应三角形△C'D'E'(一种即可)，并求出△C'D'E'与△ABC的位似比。 第13题图 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.7　图形的位似 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，网格中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　D　) A.点M B.点N C.点O D.点P 2.已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1∶3，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为(　C　) A.1∶3 B.1∶6 C.1∶9 D.3∶1 3.如图，以点O为位似中心，把△ABC的边长放大2倍得到△A'B'C'，下列说法中，错误的是(　C　) A.△ABC∽△A'B'C' B.C，O，C'三点共线 C.AO∶AA'=1∶2 D.AB∥A'B' 4.如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是(　B　) A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4 5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，1)，B(1，2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似。若△OA'B'与△OAB的相似比为2∶1，则点A的对应点A'的坐标为(　B　) A.(－2，－1) B.(－4，－2) C.(－1，－2) D.(－2，－4) 6.(3分)在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'。若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3，7)，(－9，－21)，则△ABC与△A'B'C'的相似比为 　。  7.(3分)在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于原点O位似，且位似比为。若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标为　(－4，－8)或(4，8)　。  8.(8分)如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以点O为位似中心的位似四边形。 (1)(4分)沿AO方向把边长放大为原图的2倍。 (2)(4分)沿OA方向把边长放大为原图的2倍。 第8题图　 第8题答图 解：(1)如答图，四边形A'B'C'D'即为所求。 (2)如答图，四边形A″B″C″D″即为所求。 9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上。若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为(　A　) A.(3，2) B.(3，1) C.(2，2) D.(4，2) 【解析】 由位似的性质，得BC=EF=2。 设点C的坐标为(x，2)，则OB=x。 由正方形的性质，易得BC∥EF，BE=6， ∴OE=x＋6，△OBC∽△OEF，∴， ∴，解得x=3。 经检验，x=3是原方程的解，且符合题意， ∴点C的坐标为(3，2)。 10.如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0)。若DE的长为3，则D'E'的长为(　C　) A. B.4 C. D.5 11.(8分)在平面直角坐标系中，一个图形先绕原点按顺时针方向旋转θ角(0°≤θ＜360°)，再以原点为位似中心，位似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换。例如，把图中的△ABC先绕原点O按顺时针方向旋转90°，再以原点为位似中心，位似比为缩小得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，】变换。 (1)(4分)在图中画出一个符合【90°，】变换的△A1B1C1。 (2)(4分)已知△OMN的顶点坐标为O(0，0)，M(2，4)，N(6，2)，把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O'M'N'，若点M的对应点M'的坐标为(－1，－2)，则θ=　0°或180°　，k=  　。  解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求(位似变换不唯一)。 第11题答图 (2)∵点M(2，4)，M'(－1，－2)都在直线y=2x上， ∴M，O，M'三点共线，∴θ=0°或180°。 根据点M，M'的坐标易知OM'=OM，即k=。 12.(8分)如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP=∠CBP。 (1)(3分)求证：△ADP∽△BCP。 (2)(2分)△ADP与△BCP是不是位似图形？请直接给出答案。 (3)(3分)若AB=8，CD=4，DP=3，求AP的长。 解：(1)∵∠DAP=∠CBP，∠DPA=∠CPB， ∴△ADP∽△BCP。 (2)△ADP与△BCP不是位似图形。 (3)∵△ADP∽△BCP， ∴，∴。 又∵∠APB=∠DPC，∴△APB∽△DPC， ∴，即，∴AP=6。 13.(10分)[创新意识]如图，△ABC是☉O的内接正三角形，D是的中点，连结BD并延长至点E，使DE=BD，连结CD，CE。 (1)(5分)求证：△CDE是正三角形。 (2)(5分)△CDE经怎样的变换后能与△ABC成位似图形？请在图中画出△CDE变换后的对应三角形△C'D'E'(一种即可)，并求出△C'D'E'与△ABC的位似比。 第13题图 第13题答图 解：(1)∵△ABC是☉O的内接正三角形， ∴∠BAC=60°，∴∠BDC=120°， ∴∠CDE=60°。 ∵D是的中点，∴BD=CD。 又∵DE=BD，∴CD=DE， ∴△CDE是正三角形。 (2)如答图，当△CDE绕点C按顺时针方向旋转90°后与△ABC成位似图形(变换方法不唯一)。 ∵∠BDC=120°，BD=CD， ∴∠CBD=∠BCD=30°。 又∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°， ∴当△CDE绕点C按顺时针方向旋转90°后与△ABC成位似图形。 作DF⊥BC于点F，则BF=CF，设DC=2x=C'E'。 ∵∠BCD=30°，∴易知FC=x， ∴BC=2FC=2x， ∴， ∴位似比为。 学科网（北京）股份有限公司 $