10.1.3 古典概型 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦古典概型，通过抛硬币、掷骰子等四个随机试验的样本空间列举，引导学生观察样本点有限性与等可能性特征，搭建从具体试验到抽象概念的学习支架，衔接概率基础与古典概型的概念形成。 其亮点是以问题链驱动探究，结合单选多选题概率对比、掷骰子标记与否的等可能性辨析等实例，强化数学抽象与数学运算核心素养。通过三种抽样方式概率计算培养数学建模能力，课堂小结结构化梳理知识。学生能提升逻辑思维，教师可借助丰富案例高效教学。

10.1.3 古典概型 第十章 概率 1. 理解古典概型及其概率计算公式，培养学生数学抽象的核心素养； 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，培养学生数学运算、数学建模的核心素养。 学习目标 写出下列随机试验的样本空间， 1.抛掷一枚质地均匀的硬币，观察它落地时哪一面朝上. 2.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数. 3.从10个质地和大小完全相同、分别标号为0,1,2,…,9的球中，摇出一个球，观察这个球的号码． 4.甲乙两人下一盘棋，观察谁是获胜者. 2.Ω＝{1，2，3，4，5，6}. 3.Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 1.Ω＝{正面朝上，反面朝上} 4.Ω＝{甲获胜，乙获胜} 能确定它们的基本事件的概率吗？ 能求出试验的基本事件的概率吗？ 习题引新 思考1：试验1,2,3的共同特征有哪些？ 主要看它们的样本点及样本空间有哪些共性. 探究新知 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型模型，简称古典概型. 下面我们就来研究古典概型. （1）从40名学生中选1名学生，即样本点是有限个；随机选取，即选到每个学生的可能性都相等； 故这是一个古典概型。 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量． 样本空间中有40个样本点 事件A=“抽到男生”包含18个样本点 思考1：考虑下列的随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？ (1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”； (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”； 所以 思考1：考虑下列的随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？ (1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”； (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”； （2） 用1表示硬币“正面朝上”，0表示“反面朝上”， Ω={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)}, 共有8个样本点，且每个样本点是等 可能发生的，这是一个古典概型。 事件B发生的可能性大小，取决于事件B包含的样本点在样本空间的样本点中所占的比例大小，故可用事件B包含的样本点数与样本空间的样本点数的比值来度量． 因为B={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}， 所以 一、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。 例7 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考察的内容, 他可以选出唯一正确的答案. 假设考生有一题不会做，他随机选择一个答案， 答对的概率是什么? 解：试验有选A、选B、选C、选D共四种结果，试验的样本空间为 Ω ={A, B, C, D}. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型. 设M =“选中正确答案”，则 思考3：在标准化的考试中也有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？ 分析：在多选题中有11个可能结果， 试验的样本空间为Ω={AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD}． 假设该考生不会做，在他答任一种答案是等可能的情况下， 他答对的概率是 ，单选题答对的概率为 ，所以 更难答对． 例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 解: (1) 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可以与号骰子的任意一个结果配对, 组成掷两枚骰子试验的一个结果. 用数字m表示I号骰子出现的点数, n表和I号骰子出现的点数, 则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点. 因此该试验的样本空间为 Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}, 共36个样本点. 由于骰子质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型. 例8 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； (2) 求出下列事件的概率： A =“两点之和是5”； B =“两个点数相等”； C =“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数. 思考4：在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 思考5：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？ (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)； (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性； (3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率. 二、求解古典概型问题的一般思路： 例9 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: (1) A =“第一次摸到红球”; (2) B =“第二次摸到红球”; (3) AB =“两次都摸到红球” . 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × 解：将2个红球编号为1, 2，三个黄球编号为3, 4, 5. 第一次摸球时有5种等可能的结果, 对应第一次摸球的每一个结果, 第二次摸球时都有4种等可能的结果, 将两次摸球的结果配对, 组成20种等可能的结果, 如下表所示. 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × (1) 第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1, 2行)， (2) 第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2列)， (3) 事件AB包含2个可能结果, 即AB={(1,2), (2, 1)}, 解: (1) 第一次、第二次抽取的人分别记为x1, x2, 用(x1, x2)表示样本点. 有放回简单随机抽样的样本空间为 Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1), (G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}. 共16个样本点. 不放回简单随机抽样的样本空间为 Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2), (G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}. 共12个样本点. 按性别等比例分层抽样，其样本空间为Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}. 例10 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人. (1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间. (2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率. 解：(2)设事件A=“抽到两名男生”，三种抽样方法样本点有限个，每一个样本点等可能，均为古典概型. 对于有放回简单随机抽样: A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}， 对于不放回简单随机抽样: A={(B1,B2),(B2,B1)}， 按性别等比例分层抽样: A=∅，∴P(A)=0. 可见，在总体的男女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率. 特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现. 所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要. 1. 判断下面的解答是否正确，并说明理由. 某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y表示命中，用n表示没有命中，那么试验的样本空间为Ω={yy, ym, ny, nn}， 因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25 . 解：不正确. 理由如下： 样本空间所包含的样本点个数为4，但每一个样本点的可能性不一定相等. 所以这不一定是古典概型. 故不能用P=1/4=0.25来计算 . 随堂检测 2. 从52张扑克牌(不含大小王)中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率: (1) 抽到的牌是7； (2) 抽到的牌不是7； (3) 抽到的牌是方片； (4) 抽到J或Q或K； (5) 抽到的牌既是红心又是草花； (6) 抽到的牌比6大比9小； (7) 抽到的牌是红花色； (8) 抽到的牌是红花色或黑花色. 3. 从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率: (1) 这个数平方的个位数字为1; (2) 这个数的四次方的个位数字为1. 解：从0～9 这10个数中随机选择一个数的样本空间为Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，样本点的个数为10. (1)设事件A =“这个数平方的个位数字为1”, 则事件A的样本点为1,9，共有2个样本点，所以 （2）设事件B=“这个数的四次方的个位数字为1”， 则事件B的样本点为1,3,7,9，共有4个样本点，所以 1.下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　) (1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率； (2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； (3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率； (4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪练习 2.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 课堂小结 $