第17讲 二元一次方程组的解法（9类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第17讲 二元一次方程组的解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 用含一字母的代数式表示另一个字母 题型2 代入消元法解二元一次方程组 题型3 加减消元法解二元一次方程组 题型4 二元一次方程组的错解复原问题 题型5 已知二元一次方程组的解求参数 题型6 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型7 二元一次方程组中含参数多结论问题 题型8 构造二元一次方程组求解 题型9 利用同解方程组的问题求解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 代入消元法、加减消元法、消元、化归、灵活选择、检验。 1. 掌握用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤，体会“消元”思想（将二元转化为一元）。 2. 掌握用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，能根据方程组特征灵活选择方法。 3. 能熟练运用两种方法解二元一次方程组，并检验解是否正确。 4. 在消元过程中体会化归思想，培养运算能力与灵活选择方法的能力。 学习重点：代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤与技巧。 学习难点：选择适当的方法简化运算（如系数为1时用代入法，系数相同或相反时用加减法），以及含分数或括号的方程组变形处理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 【易错提醒】 代入消元法易错警示：选取系数简单（如系数为1）的方程变形。代入时，要用括号替换另一方程中的整体项（如代入x或y），注意符号。代入后解一元一次方程，求另一元时勿代回原方程（避免循环），注意检验。 即时即练1．以方程组的解为坐标的点在第 象限 【答案】二 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，点的坐标．先用代入消元法解二元一次方程组，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得， 把代入②得，， 方程组的解是， 以方程组的解为坐标的点的坐标是， 在第二象限， 故答案为：二． 2．下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务． 解：． 第一步：由①得，③； 第二步：将③代入②，得； 第三步：解得； 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为． 任务一：张亮解方程组用的方法是__________________消元法（填“代入”或“加减”）； 任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第__________________步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二；任务三：过程见解析， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：任务一：根据题意可得，用的方法是代入消元法； 故答案为：代入； 任务二：但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得， 解得，代入③，解得， ∴原方程组的解为：． 知识点02 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 【易错提醒】 加减消元法易错警示：方程两边同乘非零数时，每一项都要乘。注意：两式相减时，若减式前有负号，被减式各项都要变号。消元后求另一元，再用代入法或加减法求，勿用变形后的式子代（避免循环），结果需检验。 即时即练1．如果实数满足方程组，那么 ． 【答案】8 【分析】本题考查解二元一次方程组及代数式求值，先利用加减消元法求出实数，将他们代值代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得； 将代入②得； ， 故答案为：8． 2．解方程组 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用代入法解答即可求解； （）利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为． 题型1 用含一字母的代数式表示另一个字母 【例1】已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 【答案】/ 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握等式的性质．将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例2】已知方程，用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数，看作未知数．将看作已知数求出即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【技巧归纳】 将方程看作关于目标字母的一元一次方程，把其他字母看作常数，移项、合并、系数化1。如2x+3y=6，用x表示y：3y=6-2x，y=(6-2x)/3。注意符号和分母不为0。若目标字母系数为0则无法表示。常用于代入消元法。 【变式1-1】在方程中用含的式子表示，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代数式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则进行变形即可． 【详解】解：， 方程两边同时加上，得：，即， 方程两边再同时减去2，得：，即． 故答案为：． 【变式1-2】已知，，用含有的式子表示，则 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的加减消元法，掌握二元一次方程组的加减消元法是解题的关键．将两式相加，再整理即得答案． 【详解】将和相加，得， ． 故答案为：． 题型2 代入消元法解二元一次方程组 【例3】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1）解：（1）， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 【例4】用代入消元法解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组， （1）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可； （2）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：由可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为； （2）解：整理可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为． 【技巧归纳】 从较简单的方程用一个未知数表示另一个（如x=...），代入另一方程消去一个未知数，解一元一次方程，再回代求另一个。选择系数为1或-1的方程代入，减少分数。回代时代入原方程验证。注意符号和计算准确。适用于任何方程组。 【变式2-1】用代入法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1） 解：（1）， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2） 解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 【变式2-2】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型3 加减消元法解二元一次方程组 【例5】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查的就是二元一次方程组的解法，属于基础题型．解决这个问题的关键就是利用加减法进行消元． （1）利用求出x的值，然后代入①求出y的值，从而得出方程组的解； （2）首先将方程组进行化简，然后利用加减消元法得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：将方程组进行变形可得：， 得：，解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【例6】解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先化简方程组为，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 解得：， 把代入，①得 解得：， ∴； （2）解：化简整理，得， 由，得， 解得：， 把代入①，得， ∴． 【技巧归纳】 将两个方程变形使某一未知数系数相等或相反，然后相加（系数相反）或相减（系数相等）消去该未知数。解出一个未知数后，再代入求另一个。若系数不成倍数，找最小公倍数扩大方程。注意两边同乘，等式不变。避免计算错误。解后代入验证。 【变式3-1】解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴； （2）， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴． 【变式3-2】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 题型4 二元一次方程组的错解复原问题 【例7】下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由①，得③第一步 将③代入②，得，第二步 解得． 第三步 将代入①，得，第四步 原方程组的解为 第五步 任务： （1）这种解二元一次方程组的方法叫作______，以上求解步骤中，小权同学从第______步开始出现错误． （2）请用加减消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）代入消元法，一（2） 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据代入消元法解方程组，进行作答即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法；以上求解步骤中，小权同学从第一步用表示时就开始出错，正确的表示为：． 故答案为：代入消元法；一； （2）由①，得③； 由，得． 将代入①，得， 原方程组的解为 【例8】下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小强解方程组用的方法是______消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小强解方程组的过程，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号；任务三：见解析 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据代入消元法解二元一次方程组的步骤，逐一进行作答即可． 【详解】解：任务一：小强解方程组用的方法是代入消元法； 故答案为：代入； 任务二；小强解方程组的过程，从第二步开始出现错误，错误的原因是：整体代入未添加括号． 故答案为：二，整体代入未添加括号； 任务三：正确的解答过程： 解：由①得③ 将③代入②得，解得． 把代入③，即：，解得 ∴原方程组的解为：． 【技巧归纳】 从错误结果反推：将错解代入原方程或变形后的方程，找出错误步骤（如符号错、漏乘、加减消元时系数处理错）。再按正确方法重解。常见错因：代入时未变号、消元时未乘遍每项。对比正解，定位差异，避免重复。 【变式4-1】下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)一，等式右边没有乘3 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法判断即可； （3）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：加减消元；等式的基本性质 （2）第一步开始出现错误，具体错误是等式右边没有乘3， 故答案为：一，等式右边没有乘以3； （3）解方程组: 解：由①，得③ ③②，得， 将代入①， 解得， 所以，原方程组的解为， 故答案为：． 【变式4-2】下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为……………第五步 (1)上述材料中小马同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）； A．公式法      B．换元法      C．代入消元法      D．加减消元法 (2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）； A．转化思想    B．类比思想    C．分类讨论    D．数形结合 (3)第 步开始出现错误，请你直接写出原方程组的解 ． 【答案】(1)D (2)A (3)二， 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了数学常识和解二元一次方程组，理解数学常识是解题的关键； （1）根据解二元一次方程组的基本方法求解； （2）将“二元”转化为“一元”是转化思想； （3）利用加减消元法解方程． 【详解】（1）解： 小马同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法， 故选：D； （2）解：第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是：转换思想， 故选为：A； （3）解：从第二步开始出现错误， 解方程组： 解：①得③ ②③得 将代入①得 所以，原方程组的解为 故答案为：二，． 题型5 已知二元一次方程组的解求参数 【例9】已知是关于 x、y的二元一次方程组的解，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，先把代入原方程得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵是关于 x、y的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【例10】已知方程组解是，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程租的求解以及二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解方法．将代入方程组，得到关于的方程组，然后求解即可． 【详解】解：将代入方程组，得 ①②，得，解得 将代入得，，解得 ∴ 故答案为： 【技巧归纳】 将解代入方程组，得到关于参数的方程（组）。如含两个参数，需两个方程联立求。若只有一个参数，任选一个方程代入求值，再代入另一个检验。注意参数可能使方程系数为0，需额外限制。如{x+y=a, 2x-y=3}，解(2,1)代入得a=3。代入验证。 【变式5-1】关于x、y的方程组的解为，则的平方根是 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求平方根．把代入，求出m，n的值，可得到的值，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根是． 故答案为： 【变式5-2】若是关于、的方程组的解，则的值是 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把代入，得到关于、的二元一次方程组，求出、，再代入代数式进行计算即可，正确掌握代入法和解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型6 已知二元一次方程组解的情况求参数 【例11】若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查由含参数的二元一次方程组解的情况求参数，根据题意得到，联立求解得到，进而代入得，解方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数， ， 联立，解得， 将代入得，解得， 故答案为：． 【例12】已知方程组的x，y 的值相等，则 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解 即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．根据题意得到，代入方程组求出的值即可． 【详解】解：把代入方程组得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【技巧归纳】 判断解的情况：唯一解：系数行列式≠0；无解：x系数成比例但常数项不成比例；无穷多解：两方程成比例。含参数时，列关系式。如ax+by=c与dx+ey=f：若ae=bd且cf≠bf则无解，若全成比例则无穷多。注意分类讨论。利用消元后一元一次方程系数判断。 【变式6-1】已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件，则m的值是 ． 【答案】8 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解，把两个方程相加可得，再将代入，即可求解． 【详解】解： 由①②得：， 把代入， 可得出：， 解得：， 故答案为：8． 【变式6-2】若是整数，且关于、方程组有整数解，则 ． 【答案】或/7或3 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组及根据解的情况求参数，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，先求解关于、方程组得，，再确定的值即可． 【详解】解： 得：③， 得：④， 得：， 把代入①得：， ∵方程组有整数解， ∴或， ∵是整数， ∴符合题意的或， 故答案为：或． 题型7 二元一次方程组中含参数多结论问题 【例13】已知关于，的方程组下列结论正确的有（　　）个． ①当时，该方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③当时，；④不论取什么实数，的值始终不变． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键． 直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得： ， 解得：， 把代入得： ，故①不正确， ②解方程组得： ， 若， 则， 解得：， 即存在实数k，使得，故②正确， ③解方程组得： ， 当时，， ，故③正确， ④解方程组得： ， ， 不论取什么实数，的值始终不变，故④正确； 故选：C． 【例14】已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【知识点】方程的解、同底数幂相乘、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出的值，这样比较简便．利用加减消元法消去，得：，故①③正确；当时，代入方程组计算得：，故②正确；解出方程组的解，根据条件得，把方程组的解代入得，故④正确． 【详解】解：， ①②得：， ， 不论取何值，方程组总有一组解， 故①③正确； 当时，方程组为：， ①②得：， ， ，的值互为相反数， 故②正确； ， 解得：， ， ， ， ， 故④正确； 故选：A 【技巧归纳】 先解方程组（用参数表示解），再根据条件列不等式或方程，判断结论是否正确。若参数范围影响解的性质，需分类讨论。常结合整数解、正负解。也可用特殊值法快速验证选项。注意方程组有解时消元后方程系数不为0。推导要严谨。 【变式7-1】已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，；②当时，x与y互为相反数；③无论a取何值时，都有；④当时，．其中正确结论的序号是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式，将代入方程组第二个方程可判断①；将代入方程组第一个方程可判断②；将方程组二个方程相加可判断③；将代入方程组第二个方程可判断④ 【详解】解：①当时，， ∴， 故①正确； ②当时，， ∴， 故②正确； ③方程组中的两个方程相加得， ， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 故④不正确， 综上，正确的结论是①②③， 故选：C 【变式7-2】已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么实数，的值始终不变； ④若用x表示y，则； A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 【答案】B 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将、代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， 得：， ， 解得：，①结论正确； 当时，， 解得： 将代入中，得：， 解得：， 方程组的解不是方程的解，②结论错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：B． 题型8 构造二元一次方程组求解 【例15】若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、构造二元一次方程组求解、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 【例16】如果与是同类项，那么 ． 【答案】0 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查同类项及二元一次方程组的应用，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”，求出a，b的值即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ， 解得， ， 故答案为：0． 【技巧归纳】 根据题意设两个未知数，找两个等量关系列方程组。如“已知两数和与差”构造{x+y=A, x-y=B}。也可利用几何条件（面积、周长）或比例关系。列方程后解出未知数，检验是否满足实际意义。注意等量关系需独立（不矛盾）。常用代入或加减法。 【变式8-1】在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了二元一次方程，以及解二元一次方程组，先构造二元一次方程组解得，然后把代入即可求出y的值． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， ∴方程为， ∴当，， 故答案为：． 【变式8-2】已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，先把化成，再根据方程组的解是，列出关于、的方程组，求解即可．解题关键是掌握二元一次方程组的解的定义：使各个方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴， 解得：， ∴方程组的解是． 故答案为：． 题型9 利用同解方程组的问题求解 【例17】已知关于、的方程组 和 有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】同解方程组、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出，再代入求出即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入方程组得， 解得：，则 ∴， 故答案为：． 【例18】如果方程组与有相同的解，则 ， ． 【答案】 2 1 【知识点】同解方程组 【分析】本题考查了同解方程组，由题意求解方程组得；再解方程组即可． 【详解】解：解方程组得： 由方程组得： 将代入得： 故答案为：①2②1 【技巧归纳】 两个方程组同解：先解其中一个不含参数的方程组，得x、y；再将解代入另一个方程组求参数。若两方程组都含参数，可先将它们相加或消元得公共解条件，再联立求参数。注意同解即解集相同，代入验证是否满足所有方程。常用代入法。 【变式9-1】已知关于，的两个方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【知识点】同解方程组、二元一次方程组的特殊解法 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程，先根据方程组和的解相同，得方程组的解是方程组和的解，再由，得，然后将代入和中，得，由此可得的值，理解二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵方程组和的解相同， ∴方程组的解是方程组和的解， 解方程组，得， 将代入和， 得， 得：， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】已知关于x、y的方程组和的解相同，则代数式值为 ． 【答案】24 【知识点】同解方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，根据方程组解的定义得到解相同得新方程组和，先求解方程组得x、y的值，再代入方程组中求出a、b，最后代入得结论． 【详解】 解：关于x、y的方程组和的解相同， ∴方程组和的解也相同． 解方程组，得． 把代入方程组， 得． 解这个方程组，得． ∴ ． 故答案为：24． 一、单选题 1．在二元一次方程中，用含有x的代数式表示y，得（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二元一次方程中，用含的代数式表示，得． 2．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，解题思路是将方程①中的表达式代入方程②，去括号整理后即可得到正确结果． 【详解】解： 将方程①代入方程②，得 ∴． 3．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用相反数的性质得到x与y的关系，再代入方程组依次求解，即可得到k的值． 解法二：由相反数的性质可得，把两个方程相加，整体代入得到关于的方程，求解即可． 【详解】解法一：∵已知方程组的解互为相反数 ∴ 把代入方程得 解得 ∴ 把，代入得． 解法二：， ，得， ∵方程组的解互为相反数， ∴， ∴，即， 解得：． 4．定义一种新运算：，若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，那么公共解为（  　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算定义得到b与a的关系，代入方程后整理，根据方程对任意a都成立的性质，得到关于x，y的二元一次方程组，求解即可得到公共解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， 将代入方程，得，， 整理得：， ∵取不同值时，方程都有公共解，即等式对任意恒成立， ∴， 解得， ∴公共解为． 5．关于、的二元一次方程组，则下列说法中正确的是（     ） ①当，时，该方程组的解是；②当时，该方程组无解；③当，时，该方程组有无数个解；④当时，该方程组有唯一解． A．②④ B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】利用消元法结合二元一次方程组解的情况：当方程组系数对应不成比例时有唯一解，系数和常数项对应都成比例时有无数解，系数成比例但常数项不成比例时无解，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：对原方程组， 将第一个方程两边乘得，减去第二个方程得， ∴解得：，逐个判定如下： ①当，时， ∴，代入； 解得，故①正确； ②当时，， 此时方程变为， 若，方程组无解； 若，则，原方程组两个方程为同一个方程，方程组有无数解， ∴②错误； ③当，时，原方程组化简后两个方程相同，因此方程组有无数个解，故③正确； ④当时，， ∴可得唯一确定的，对应可得唯一的， ∴方程组有唯一解，故④正确； 综上，①③④正确． 二、填空题 6．已知方程，将其改写成用含的式子表示的形式为______． 【答案】 【分析】将看作已知数，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解： 移项得：， 系数化为得：． 7．关于，的方程组与方程组的解相同，则_____ 【答案】1 【分析】由于两个方程组解相同，因此先联立不含、的二元一次方程组求出、的值，再代入含、的方程组求出、的值，最后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵两个方程组的解相同， ∴先解，得， 把代入，得， 解得: ， ∴． 8．若某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”．若关于，的二元一次方程组是“关联方程组”，则_______ 【答案】 【分析】根据“关联方程组”的定义得到，通过对方程组变形得到与的关系，即可求出的值 ． 【详解】解：方程组， 得：， ∵该方程组是“关联方程组”，两个未知数的值互为相反数， ∴， ∴，解得． 9．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②可能存在某个a值，使得x，y的值互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则．正确的序号为_____． 【答案】 【分析】利用消元法解二元一次方程组，得到，再逐个判断每个结论的正误即可． 【详解】解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为， ∴， 当时，， ∴当时，，故①正确； ∵， ∴， ∴不存在某个a值，使得x，y的值互为相反数，故②错误； ∵， ∴， 若x、y都为自然数，则当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴x，y都为自然数的解有4对，故③错误； ∵， ∴， ∴当时，， ∴，故④正确． 10．如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都相同，则的值为__________． 【答案】 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，然后可得，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数， 甲袋：（个）， 乙袋：（个）， 丙袋：（个）， ∵此时三只袋中球的个数都相同， ∴， 整理得， 解得：，， ，则． 三、解答题 11．解下列方程组 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用代入消元法求解即可． （2）先将原方程组整理为标准形式，再用加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：， 由①可得， 将代入②中可得，，解得， ∴， 故方程组的解为． （2）解：原方程组，整理得， 得，解得， 将代入①得，解得 ， 故方程组的解为． 12．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 将代入得：， ∴， 方程组的解为：． （2）解：， 由得：， 将代入得：， ， ∴， 将，代入得：， ∴方程组的解为：． （3）解：， 得：， ∴， 将代入得：， ∴， ∴方程组的解为：． （4）解：， 得：， ∴， 将代入得：， ∴， ∴方程组解为：． 13．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）甲看错方程①中的，就把代入②式，乙看错了方程②中的，就把代入①式； （2）将代入用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：，解得； 将代入方程得：，解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 14．定义：二元一次方程组的解满足，我们就说方程组的解为“友好解”． (1)方程组的解_______（填“是”或“不是”）“友好解”； (2)若方程组的解是“友好解”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2) 【分析】（1）先求解给定二元一次方程组得到x、y的值，再代入验证等式是否成立，判断是否为友好解； （2）联立和方程组中不含参数的方程，先解出x和y的值，再代入含参数的方程，直接求出m的值． 【详解】（1）解方程组 得，解得， 代入得， ∴， ∴这个解不是“友好解”． （2）∵方程组的解是“友好解”， ∴满足，即， ∴将代入， 得：，解得， 代入得， 把代入，得． 15．对于有理数x，y，定义新运算：，a、b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，解方程组可得，再由得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入①得，解得， ∴； （2）解：∵， ∴ 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 16．对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如： (1)填空：____（用含，的代数式表示）： (2)若，， ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①3，1；②1 【分析】（1）根据新运算T的计算方法计算即可； （2）①将，转化为方程组，求解即可； ②将转化为方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：①，, ． 整理得：, 解得：． ②∵，, ， ∴, 解得：． 17．按要求完成各题 (1)已知是关于、的二元一次方程的一个解，求的值； (2)不论实数（）取何值时，方程总有一个公共解，求出这个公共解； (3)点中的、是方程组的解，若点到轴的距离是5 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为3或 【分析】（1）将已知解代入原方程，解一元一次方程，即可得到的值； （2）将原方程整理为，根据对任意，等式恒成立的条件，得到关于，的方程组，求解即可得到公共解； （3）先解二元一次方程组，用表示出，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程， 得：， 解得：； （2）∵， ∴， ∵不论取何值，方程都成立， ∴， 解得：， 即这个公共解为； （3）解方程组， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵点到轴的距离是5， ∴，即， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为3或． 【点睛】利用方程解代入求值，恒成立则参数系数与常数项均为零，消元解方程组，结合绝对值几何意义分类求解是本题的关键． 18．已知关于、的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴方程的一组正整数解为； （2）解：∵方程组的解满足， ∴，解得：， 把代入得：， 解得：； （3）解：， 整理得：， ∵不管取任何值，方程总有一个公共解， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第17讲二元一次方程组的解法 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1用含一字母的代数式表示另一个字母 题型2代入消元法解二元一次方程组 题型3加减消元法解二元一次方程组 题型4二元一次方程组的错解复原问题 题型5已知二元一次方程组的解求参数 题型6已知二元一次方程组解的情况求参数 题型7二元一次方程组中含参数多结论问题 题型8构造二元一次方程组求解 题型9利用同解方程组的问题求解 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤，体会“消元”思想（将 代入消元法、加减消 二元转化为一元)。 元法、消元、化归、 2.掌握用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，能根据方程组特征灵活 灵活选择、检验。 选择方法。 3.能熟练运用两种方法解二元一次方程组，并检验解是否正确。 4.在消元过程中体会化归思想，培养运算能力与灵活选择方法的能力。 学习重点：代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤与技巧。 学习难点：选择适当的方法简化运算（如系数为1时用代入法，系数相同或相反时用加减法），以及 含分数或括号的方程组变形处理。 02 教材全解 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|框|架 代入时符号漏抄 消元思想 核心方法 通查个知三元方程组化为 加减时符号处理错误 高频易错点 目的降低方程个数和未知数个数 回代时未验算 用一个未知数表示另一个未知数 解法选择与计算 代入另一个方程消元 步骤 同解方程组问题 高频考点 解一元一次方程得一个未知数 代入消元法 解与系数关系 回代求另一个未知数 二元一次方程组的解法 对应两直线交点的坐标 方程组的解 适用情况有系数为1或负1的未知数时简便 与一次函数的关系 画直线找交点坐标 图象法解方程组 变形使同未知数系数绝对值相等 两直线相交于一点唯一解 两式相加减消去未知数 步骤 两直线平行无交点无解 二元一次方程组解的三种情况 解一元一次方程 加减消元法 回代求另一个未知数 两直线重合无数解 系数无或负1时常用 适用情况 系数互为相反数或相等时直接加减 知1识I精1讲 知识点01代入消元法解二元一次方程组 )代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方 程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式 表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元 一次方程③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。 【易错提醒】 代入消元法易错警示：选取系数简单（如系数为1）的方程变形。代入时，要用括号替换另一方程中的整 体项（如代入x或y),注意符号。代入后解一元一次方程，求另一元时勿代回原方程（避免循环），注 意检验。 y=-2x+1 即时即练1. 以方程组y=x+2 的解为坐标的点(x,y)在第。 象限 2.下面是张亮同学的一道作业题，请认真阅读并完成相应任务 x-2y=1① 解： 2x+2y=5② 第一步：由①得，x=2y+1③： 第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5: 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 第三步：解得y=3 第四步：将y=1代入③，解得x= 3 2 x= 3 第五步：所以原方程组的解为 7. y= 3 任务一：张亮解方程组用的方法是 消元法（填“代入”或“加减”）： 任务二：仔细检查后，发现张亮的答案是错误的，他从第 步开始出现错误； 任务三：请写出正确的解答过程. 知识点02加减消元法解二元一次方程组 1)加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减， 消去一个未知数的方法。 2)加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加 或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解：③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一 个未知数的值， 【易错提醒】 加减消元法易错警示：方程两边同乘非零数时，每一项都要乘。注意：两式相减时，若减式前有负号，被 减式各项都要变号。消元后求另一元，再用代入法或加减法求，勿用变形后的式子代（避免循环），结果 需检验。 2m-n=7 即时即练1. m. 如果实数 满足方程组 m+n=-1,那么 m-2n= 2.解方程组 5x-2y=-3 「3x+4y=-1 四y=x-1 (2)12x-3y=5 03 题型突破 3/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型1用含一字母的代数式表示另一个字母 【例1)】已知方程9x+y=7,用含x的式子表示y,则y= 【例2】已知方程3x-5y=2,用含y的代数式表示x,则x= 【技巧归纳】 将方程看作关于目标字母的一元一次方程，把其他字母看作常数，移顶、合并、系数化1。如2x+3y=6, 用x表示y:3y=6-2x,y=(62x)/3。注意符号和分母不为0。若目标字母系数为0则无法表示。常用于代入 消元法。 【变式11】在方程x-y=2中用含x的式子表示y,则y= 【变式1-2】已知x=2a+3,y=1-2a,用含有x的式子表示y,则y= 题型2代入消元法解二元一次方程组 【例3】解方程组： y=2x-1 (1)17x-3y=1 3x-2y=11 (2)14x-5y=3 【例4】用代入消元法解方程组 3x+4y=2 (12x-y=5 [x+y=2 (232 4(x-y)=3x-4 【技巧归纳】 从较简单的方程用一个未知数表示另一个（如x=…),代入另一方程消去一个未知数，解一元一次方程， 再回代求另一个。选择系数为1或-1的方程代入，减少分数。回代时代入原方程验证。注意符号和计算准 确。适用于任何方程组。 【变式2-1】用代入法解方程组： 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=2x-1 ()17x-3y=1 [3x-2y=11 (2)14x-5y=3 【变式2-2】解方程组： [3x+4y=2 (y-2x=-5 x+y=3 (2)5x-3(x+y)=1· 题型3加减消元法解二元一次方程组 【例5】计算： [x-2y=1 ()13x+4y=23 3(x-1)=y+5 【例6】解方程组： 2x-y=8① (1)3x+2y=5② 2x-1=3-y (2)2.11 5x-2=2 -x- 【技巧归纳】 将两个方程变形使某一未知数系数相等或相反，然后相加（系数相反）或相减（系数相等）消去该未知 数。解出一个未知数后，再代入求另一个。若系数不成倍数，找最小公倍数扩大方程。注意两边同乘，等 式不变。避免计算错误。解后代入验证。 【变式31】解下列方程组： x-y=5 ()12x+y=4 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-y=7 (2)1x+3y=-1 【变式32】解方程组： [2x+y=-5 (014x-5y=11 x-2_5-y=1 23 (2) x_y+1=5 0.20.3 题型4二元一次方程组的错解复原问题 【例】下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务 3x-y=4① 解方程组： 6x-3y=-10② 解：由①，得y=3r+4③第一步 将③代入②，得6x-3(3x+4)=-10,第二步 2 解得x=一3·第三步 2 将x=一5代入①，得y=2,第四步 2 x=- 原方程组的解为 3第五步 y=2 任务： (1)这种解二元一次方程组的方法叫作 以上求解步骤中，小权同学从第步开始出现错误 (2)请用加减消元法写出此题正确的解答过程. 【例8】下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务， x-2y=1① 解： 2x+2y=5② 第一步：由①得，x=2y+1③ 第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5 2 第三步：解得y=3 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第四步：将y=了代入③，解得x=3 1 x= 3 第五步：所以原方程组的解为 2 y23 任务一：小强解方程组用的方法是 消元法.（填“代入”或“加减”）： 任务二：小强解方程组的过程，从第 步开始出现错误，错误的原因是 任务三：请写出方程组正确的解答过程， 【技巧归纳】 从错误结果反推：将错解代入原方程或变形后的方程，找出错误步骤（如符号错、漏乘、加减消元时系数 处理错)。再按正确方法重解。常见错因：代入时未变号、消元时未乘遍每项。对比正解，定位差异，避 免重复。 【变式41】下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 2x+y=3① 解方程组： 6x+2y=5② 解：由①×3，得6x+3y=3③…第一步 ③-②，得y=-2,…第二步 将y=-2代入①，解得x=2,…第三步 5 x= 所以，原方程组的解为 2 ,…第四步 y=-2 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 (2)第. 步开始出现错误，具体错误是， (3)直接写出该方程组的正确解： 【变式42】下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 2x-3y=-4① 解方程组： 4x-5y=-20② 解：①×2得4x-6y=-8③…第一步 ②-③得-y=-12…第二步 7/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=12.…第三步 将y=12代入①得x=16…第四步 x=16 所以，原方程组的解为 y=12…第五步 (1)上述材料中小马同学解二元一次方程组的数学方法是（填序号即可）； A.公式法B.换元法 C.代入消元法D.加减消元法 (2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的 数学思想是（填序号即可）： A.转化思想B.类比思想C.分类讨论D.数形结合 (3)第步开始出现错误，请你直接写出原方程组的解_· 题型5已知二元一次方程组的解求参数 x=1 2ax-by =3 【例)已知y=2是关于xy的二元一次方程组ax+by=6的解，则a+b= ax+by=4 x=2 【例10】已知方程组1bx+y=5解是y=1,则(a-b)2 【技巧归纳】 将解代入方程组，得到关于参数的方程（组）。如含两个参数，需两个方程联立求。若只有一个参数，任 选一个方程代入求值，再代入另一个检验。注意参数可能使方程系数为0，需额外限制。如x+y=a,2x y=3,解2,1)代入得a-3。代入验证。 mx-y=3 x=2 【变式s】关于xy的方程组3x+四=14的解为=-1，则m-n的平方根是 x=2 ax+by=2 【变式5-2】若y=1是关于x、y的方程组bx+y=7的解，则(a+b)(2a-b)的值是 题型6已知二元一次方程组解的情况求参数 x+2y=2a+ 【例】若关于xy的二元一次方程组 x-y=6 的解满足x与，互为相反数，则，的值是 8/14 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+3y=m 【例12】己知方程组 2x+y=m+1的x,y的值相等，则 【技巧归纳】 判断解的情况：唯一解：系数行列式≠0；无解：x系数成比例但常数项不成比例；无穷多解：两方程成比 例。含参数时，列关系式。如ax+by=c与dk+ey=f:若ae=bd且cf≠bf则无解，若全成比例侧无穷多。注 意分类讨论。利用消元后一元一次方程系数判断。 [2x+y=1+3m 【变式61】已知关于x,y的方程组x+2y=1-m, 若方程组的解x与y满足条件x+y=6?则m的值是 2x+my=3 【变式62】若m是整数，且关于xy方程组3x+4y=11有整数解，则 m= 题型7二元一次方程组中含参数多结论问题 x+2y=k 【例13】已知关于x’y的方程组2x+3y=3张-1下列结论正确的有（)个. ①当k=0时，该方程组的解也是方程x-2y=-3的解：②存在实数k,使得x+y=0:③当y-x=-1时， k=1;④不论k取什么实数，x+3y的值始终不变. A.1 B.2 C.3 D.4 x+3y=4-a 【例14】己知关于x,y的方程组x-y=3a，给出下列结论： ①不论a取何值，方程组总有一组解： ②当a=-2时，x,y的值互为相反数： ③x+2y=3； ④当3*”=81时，a=2.其中正确的是（ A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.①③④ 【技巧归纳】 先解方程组（用参数表示解），再根据条件列不等式或方程，判断结论是否正确。若参数范围影响解的性 质，需分类讨论。常结合整数解、正负解。也可用特殊值法快速验证选项。注意方程组有解时消元后方程 9/14 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系数不为0。推导要严谨。 x+y=2-a 【变式7-1】已知关于x,y的方程组 x-y=a，给出下列结论：①当a=0时，x=y:②当a=2时，x 与y互为相反数；③无论α取何值时，都有x=1;④当a<0时，x>y.其中正确结论的序号是() A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ x+3y=4-a 【变式7-2】已知关于x,y的方程组x-y=3a，下列结论中正确的有(） ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，a=-2: ②当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变： x,3 ④若用x表示y,则y=一 22: A.①④ B.①③④ C.②③④ D.①② 题型8构造二元一次方程组求解 【例15】若m+2n-+(m-3n+4=0,则m+n的值为 【例16】如果2xy2与4x2y是同类项，那么a-b= 【技巧归纳】 根据题意设两个未知数，找两个等量关系列方程组。如“已知两数和与差”构造x+y=A,y=B}。也可利 用几何条件（面积、周长）或比例关系。列方程后解出未知数，检验是否满足实际意义。注意等量关系需 独立（不矛盾）。常用代入或加减法。 【变式81】在方程y=a+b中，当x=5时，y=6;当x=-3时，y=-l10.当x=1时，求y的值是 ax+by=c x=3 ax+4by=c-2a 【变式8-2】已知方程组a,x+bh,y=G,的解是{y=8,则方程组a,x+4h,y=6,-2a,的解是 题型9利用同解方程组的问题求解 4x-y=5 ax+by=-1 【例17刀已知关于x、y的方程组 3x+y=9和 3x+4hy=18有相同的解，则(2a+3b22的值为- 10/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ax-by=13 ax+by=3 【例18】如果方程组4x-5y=41与2x+3y=-7有相同的解，则a=一， b= 【技巧归纳】 两个方程组同解：先解其中一个不含参数的方程组，得x、y;再将解代入另一个方程组求参数。若两方程 组都含参数，可先将它们相加或消元得公共解条件，再联立求参数。注意同解即解集相同，代入验证是否 满足所有方程。常用代入法。 2x+3y=83x-4y=-5 【变式91】已知关于x'y的两个方程组ar+by=-1和bx-y=-8的解相同，则 a-3b=— [2x+5y=-6[3x-5y=16 【变式92】已知关于xy的方程组ax-by=-4和bx+y=-8的解相同，则代数式3a-76值为- 04 过关检测 一、单选题 1.在二元一次方程2x-y=6中，用含有x的代数式表示y,得() A.x=6-y B.Y=6-x C.y=6-2x D.y=2x-6 y=-x+2① 2.用代入法解方程组2x-3y=4②时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（） A.2x+3x-6=4B.2x+3x-2=4C.2x-3x+6=4D.2x-3x-6=4 x+2y=k 3.己知关于x'y的二元一次方程组2x+y=4的解互为相反数，则k的值为《) 4 A.4 B.4 c. D.3 4,定义一种新运算：a☆b=2a-b,若a☆b=0,且关于x,y的二元一次方程(a-)x+by+6-2a=0, 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当，b取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解x,),那么公共解为() [x=5 [x=5 x=6 x=6 A. y=-1.5 B y=1.5 y=2 D y=-2 x-by=1 5.关于xy的二元一次方程组 ax+3y=2, 则下列说法中正确的是() > x-5 ①当，b=2时，该方程组的解是 1: ②当 时，该方程组无解；③当 3时，该 y= a=1 ab=-3 a=2b- 2 方程组有无数个解；④当b≠-3时，该方程组有唯一解。 A.②④ B.①③ C.①②④ D.①③④ 二、填空题 6.已知方程4x+3y=9,将其改写成用含x的式子表示y的形式为 ax-by =4 ax+by=16 7.关于x'y的方程组3x-y=5与方程组4x-7y=1的解相同，则(a-b2s=一 8.若某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若 2x+3y=k 关于x’y的二元一次方程组1 x+2y=1是“关联方程组”，则k= x+2y=5-2a 9.已知关于x,y的方程组 x-y=4-1，给出下列结论：①当。=1时，方程组的解也是x+y=2a+1 的解：②可能存在某个a值，使得x,y的值互为相反数：③x,y都为自然数的解有3对；④若2x+y=8, 则a=2.正确的序号为 10.如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2个球放入乙袋， 再从乙袋中取出(2+2”)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数都 相同，则2x+y的值为 丙袋 5 2+2” 29 29 甲袋 乙袋 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.解下列方程组 2x-y=-4 (014x-5y=-231 [3x-1)=y+5 (②)150y-)=3x+5) 12.解下列方程组： 2x-4y=6 3x+2y=17 〔3y=x+4 \2x+5y=-19 |2x+3y=7 63x-5y=1 3x+5y=5 ④3x-4y=23 ax-4y=-6① x=3 13.甲、乙两人同解方程组5x=by+10②时，甲看错了方程0中的。，解得y=1乙看错了方程②中 [x=-1 的b’解得y=2· (I)求正确的a,b的值； (②)求原方程组的正确解. 14.定义：二元一次方程组的解满足y-x=2,我们就说方程组的解为“友好解”. x+y=5 )方程组x-y=1的解 (填“是”或“不是”)“友好解”； [x-2y=5 2)若方程组2x+y=m的解是“友好解”，求m的值. 15.对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+byx⊕y=-by,a、b是常数.已知l#1=1,3田2=8. (I)求a,b的值： xty =4-m (②)若关于x,y的方程组x⊕y=5m的解也满足方程x+y=3,求m的值. 16.对整数x、y定义一种新运算T,规定T(x,y)=ar'+by(其中a、b是常数)，如： T(2,1)=a×2+b×12=2a+b (1)填空：T3,2(用含a,b的代数式表示)： 13/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②)若T(1,2)=5,T(2,1)=7, ①求a与b的值： ②若T(x,)=T(1,),求出此时x的值. 17.按要求完成各题 x=1 )已知y=-1是关于xy的二元一次方程2x+y=a-3的一个解，求。的值： (2)不论实数a(a≠0)取何值时，方程2x+ay=a-3总有一个公共解，求出这个公共解： x+y=a-5 6)点P(x,)中的xy是方程组x-y=-3a+1的解，若点P(x,)到，轴的距离是5，求，的值 [2x+y=6 18.已知关于xy的方程组 m-2y+mx+8=0 (1)请写出方程2x+y=6的一组正整数解： ②)若方程组的解满足x+2y=0,求m的值： 3)不管m取任何值，方程m-2y+mx+8=0总有一个公共解，请直接写出这个解。 14114