第16讲 认识二元一次方程组（9类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第16讲 认识二元一次方程组 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否是二元一次方程 题型2 判断是否是二元一次方程组 题型3 判断是否是二元一次方程的解 题型4 判断是否是二元一次方程组的解 题型5 写出二元一次方程的正整数解 题型6 利用二元一次方程的定义求参数 题型7 已知二元一次方程的解求参数的值 题型8 已知二元一次方程的解求代数式的值 题型9 与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二元一次方程、二元一次方程组、解、检验、ax+by=c、建模。 1. 理解二元一次方程的概念，能识别并举例说明，知道其一般形式为ax + by = c（a≠0, b≠0）。 2. 理解二元一次方程组的概念，能判断一组方程是否为二元一次方程组。 3. 理解二元一次方程（组）的解的概念，能检验一组数是否为方程（组）的解。 4. 经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程组的工具价值，培养建模意识。 学习重点：二元一次方程（组）的概念，以及解的概念，能判断和检验一组数是否为方程（组）的解。 学习难点：理解二元一次方程（组）的解的“公共解”含义（即同时满足两个方程），以及从实际问题中抽象出二元一次方程组。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 【易错提醒】 二元一次方程概念易错警示：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程。注意：分母中含未知数（如+y=1）不是；xy=1次数为2，也不是。化简后判断。 即时即练1．下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义依次判断得到答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项错误； B、是分式方程，故本选项错误； C、是二元一次方程，故本选项正确； D、是二元二次方程，故本选项错误． 故选：C． 知识点02 二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 【易错提醒】 二元一次方程组易错警示：由两个一次方程组成，含两个未知数。注意：方程组中方程不必都是二元（可含一元），但整体需含两个未知数。如是方程组。概念要满足整式与次数。 即时即练1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的判别，熟悉二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】A． ，是二元一次方程组； B． ，方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组； C． ，方程组中含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； D． ，方程组中含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； 故选：A． 知识点03 二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 【易错提醒】 二元一次方程的解易错警示：使方程左右相等的一对未知数的值（记作x=a, y=b或(a,b)）。一个二元一次方程有无数个解（在实数范围内）。注意：解是一对有序数值，顺序与未知数对应，不可颠倒。检验需同时代入。 即时即练1．二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，正确把数据代入计算是解题关键．分别将各选项代入方程进而计算得出答案． 【详解】解：A、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； B、把代入方程左边得：，右边，左边=右边，是方程的解； C、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； D、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； 故选：B． 知识点04 二元一次方程组的解的概念 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解. 【易错提醒】 二元一次方程组的解易错警示：方程组中两个方程的公共解（即一对未知数同时满足两个方程）。注意：解必须是一对有序数，且要代入两个方程均成立。方程组可能有唯一解、无解或无数解，检验需同时验证。 即时即练1．已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 题型1 判断是否是二元一次方程 【例1】下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．根据二元一次方程的定义判断逐项分析即可 【详解】解：A．方程是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．方程的未知数在分母上，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．方程是二元一次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【例2】下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据定义逐项判断即可．含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程． 【详解】解：A选项不是二元一次方程，所以不符合题意； B选项不是整式方程，所以C不符合题意； C选项不是二元一次方程，所以B不符合题意； D选项是二元一次方程，所以D符合题意． 故选：D 【技巧归纳】 二元一次方程：含两个未知数，且含未知数项的次数均为1，整式方程。可化为ax+by=c（a,b不同时为0）。判断时，看未知数个数、次数，分母有无未知数，如2x+3y=5是，x²+y=0不是（次数2）。注意系数不为零。 【变式1-1】观察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解： ，未知数次数为2，不是二元一次方程， 是二元一次方程， ，未知数次数为2，不是二元一次方程， ，一个未知数，不是二元一次方程， 是二元一次方程， 其中二元一次方程有2个， 故选：B． 【变式1-2】下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义求解即可，正确理解二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知数的次数是的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键． 【详解】是二元一次方程； 不是二元一次方程； 不是二元一次方程； 是二元一次方程； 不是二元一次方程， 综上可知：是是二元一次方程， 故选：． 题型2 判断是否是二元一次方程组 【例3】下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解定义中的“共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程”是解答的关键．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，符合题意； C、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组中含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：B． 【例4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解；A、方程组中的一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； B、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【技巧归纳】 二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程组成。判断标准：每个方程都是一次方程，共两个未知数，且未知数项次数为1，分母无未知数。如{2x+y=5, x-y=1}是；{x+y=3, xy=2}不是（xy次数2）。注意两个方程可独立，但须共同含两个未知数。 【变式2-1】在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 【变式2-2】下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键． 利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论． 【详解】解：①，符合二元一次方程组的定义； ②，符合二元一次方程组的定义； ③，含有三个未知数； ④，符合二元一次方程组的定义； ⑤，方程组中的第一个方程中含未知数的项的次数是二次． 所以是二元一次方程组的有3个． 故选：B． 题型3 判断是否是二元一次方程的解 【例5】下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解， 故选：D． 【例6】下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中的数值代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案． 【详解】解：A．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 是二元一次方程的解，选项A符合题意； B．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项B不符合题意； C．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项C不符合题意； D．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项D不符合题意． 故选：A． 【技巧归纳】 将数对代入方程组中的每个方程，若同时满足所有方程，则是解；否则不是。注意代入时要对应x、y。如(1,2)代入2x+y=4得4=4，再代入x-y=-1得-1=-1，满足。可先代入较简单的方程验证。解是成对出现的，需同时成立。 【变式3-1】方程的解不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本考查二元一次方程的解（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．）解题的关键是熟知二元一次方程解的定义． 根据二元一次方程的解逐项判断即可． 【详解】解：A、当，时，，所以不是方程的解； B、当，时，，所以是方程的解； C、当，时，，所以是方程的解； D、当，时，，所以是方程的解； 故选：A． 【变式3-2】下列二元一次方程组的解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【知识点】根据二元一次方程组的解的定义，将解逐一代入方程组，能够使两个方程都成立的，即为该方程组的解，即可求得． 根据二元一次方程组的解代入计算即可判断． 【详解】解：将 代入各项中的二元一次方程， A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 题型4 判断是否是二元一次方程组的解 【例7】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 【例8】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 【技巧归纳】 将给出的x、y值分别代入方程组中的每一个方程，检验等式是否都成立。若全部成立，则是方程组的解；若有一个不满足，则不是。注意解为有序数对(x,y)。有时需要先化简方程再代入。常见于选择题，用代入法快速验证。 【变式4-1】下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为， 故答案选B． 【变式4-2】已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可． 【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和， 二元一次方程组的解是． 故选：D． 题型5 写出二元一次方程的正整数解 【例9】二元一次方程的正整数解为 ． 【答案】， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，先变形为，然后求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴，， 故答案为：，． 【例10】二元一次方程共有 组正整数解． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先求出，再根据x、y都是正整数，确定x的值，进而确定y的值即可，． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， ∴二元一次方程共有2组正整数解， 故答案为：2． 【技巧归纳】 将一个未知数用另一个表示，如x=(c-by)/a，然后令y为正整数，使x也为正整数。逐个代入y=1,2,...直到x≤0或非整数。注意系数限制。也可从较小系数入手枚举。写出所有可能的解，通常有限个。检验是否满足原方程。如2x+3y=12的正整数解：(3,2)。 【变式5-1】写出二元一次方程的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．由，可得出，再进行枚举即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴是方程的一组正整数解； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】二元一次方程的所有正整数解为 ． 【答案】或 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 先用x表示y，再根据x与y为正整数可得x为偶数，从而得到x的取值，即可求得． 【详解】解：根据题意得，， ∵ x和y为正整数， ∴ x为2的倍数， ∴或4， ∴或． 故答案为：或． 题型6 利用二元一次方程的定义求参数 【例11】若方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的概列出方程求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：，． 【例12】如果方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 化为标准式ax+by=c，确保a、b不同时为0，且x、y次数为1。若含参数，列方程使x、y项次数为1，且系数满足条件。如(m-1)x+(m+2)y=3是二元一次，则m-1≠0且m+2≠0得m≠1且m≠-2。若缺项，相应系数为0但不影响二元条件。注意分母含未知数则不是。 【变式6-1】已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【变式6-2】已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 9 0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．根据未知数的次数是1列式求解即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：9，0． 题型7 已知二元一次方程的解求参数的值 【例13】已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，直接把x，y的值代入进而计算得出答案，正确代入计算是解题关键． 【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例14】已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故答案为：1． 【技巧归纳】 将已知解代入方程，得到关于参数的等式，解出参数。如(2,1)是方程ax+3y=7的解，则2a+3=7得a=2。若有多个参数，需多个解代入列方程组。注意检验参数是否使方程仍为二元一次（保证x、y系数不为0）。代入时细心。 【变式7-1】若是二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：是使二元一次方程两边值相等的一对未知数的值；把解代入二元一次方程中，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：因为是二元一次方程的一组解， 所以， 解得：； 故答案为：4． 【变式7-2】如果关于x，y的二元一次方程的一组解为，那么m的值为 ． 【答案】/ 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， 解得， 故答案为：． 题型8 已知二元一次方程的解求代数式的值 【例15】已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 【例16】已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题要求二元一次方程的解及代数式求值，将代入方程，得到，由整体代入，即可解答． 【详解】解：将代入方程，得到， ， 故答案为：3． 【技巧归纳】 若知道解满足方程，可将解代入方程得关系式（如2x+y=3），再整体代入所求代数式。若求x+y等，可能由方程变形直接得。也可联立多个方程求参数。如由2a+b=5求a+b，还需其他条件。常用整体思想，无需单独求x、y。 【变式8-1】若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的运用，根据题意，把解代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故答案为：2024 ． 【变式8-2】已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和运用平方差公式进行计算．利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型9 与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题 【例17】把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将代入方程，然后解关于x的方程即可． （2）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将y=x=2代入“雅系二元一次方程” 中，即可求得m的值． 【详解】（1）根据“雅系二元一次方程”的定义，当时的x值称为“完美值”， ∴化为：． 解得：． 即“雅系二元一次方程”的“完美值”是． （2）根据题意，将代入“雅系二元一次方程”中得， ． ∴． 【例18】对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由题意可得，求出m即可； （3）由，得，由，得，再由，即可求n的值，进而求出完美值． 【详解】（1）∵有“完美值”， ∴， 解得， ∴二元一次方程的“完美值”为； （2）∵是二元一次方程的“完美值”， ∴， 解得； （3）存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同，理由如下： 由，得， 由，得， ∴， 解得， ∴， ∴“完美值”为． 【技巧归纳】 先理解新定义（如“友好方程”），将其转化为常规二元一次方程或解的条件。根据定义建立方程或不等式，利用解的概念、参数条件求解。注意新定义可能涉及系数约束或解的特殊性（如整数解）。常需分类讨论，多角度验证。 【变式9-1】阅读理解． 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，然后得出，，然后代入式子求值即可． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， 故答案为：． （2）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． （3）∵矩阵对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：， 则， ∴． 【变式9-2】我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程__________“友好”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“友好”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2)3 (3)3 【分析】 本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）根据“友好方程”的定义，进行求解即可； （3）先根据“友好”方程组的定义求出的值，再根据方程组的解的定义，得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中， ∴方程是友好方程； 故答案为：是； （2）因为关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，所以， 解得，所以k的值是3； （3）因为方程组是“友好”方程组， 所以，， 所以，， 所以原方程组为， 因为是方程组的解， 所以，①+②得，； ∴的值为3． 一、单选题 1．下列方程中：①；②；③；④；⑤；二元一次方程有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数都是1，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义逐个判断： ①，只含有1个未知数，不是二元一次方程； ②，满足二元一次方程的定义，是二元一次方程； ③，分母含有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程； ④，的次数为2，不满足一次的要求，不是二元一次方程； ⑤，满足二元一次方程的定义，是二元一次方程； 综上，共有2个二元一次方程． 2．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将选项中的值代入方程，验证等式是否成立即可，成立的即为方程的解． 【详解】解：选项A：， ∴左边右边， 该组是方程的解，故本选项符合题意； 选项B： 左边 右边 该组不是方程的解，故本选项不符合题意； 选项C：， ∴左边右边， 该组不是方程的解，故本选项不符合题意； 选项D：， ∴左边右边， 该组不是方程的解，故本选项不符合题意． 3．已知是方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是方程的一个解， ， 解得， 故选：B． 4．老师给小芳以下几个方程组： ①②③④⑤下列方程组是二元一次方程组的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：∵二元一次方程组需同时满足：方程组共含两个未知数，所有方程均为整式方程，所有未知数的最高次数为1， ① 符合所有条件，是二元一次方程组； ② 方程中的次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组； ③ 方程组含三个未知数，不符合要求，不是二元一次方程组； ④ 符合所有条件，是二元一次方程组； ⑤ 符合所有条件，是二元一次方程组； ∴符合条件的二元一次方程组共3个. 5．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 二、填空题 6．若关于，的方程是二元一次方程，则的值是_______ 【答案】 【详解】解：∵关于，的方程是二元一次方程， ∴且， 解得． 7．如果是方程的一组解，那么代数式_____. 【答案】 【分析】根据方程解的定义，得，将变形为，代入求解即可． 【详解】解：是方程的一组解， ， ． 8．已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 【答案】2 【分析】把代入方程组，求出的值，即可得出结果. 【详解】解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， ∴， ∴. 9．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如从左到右列出的算筹数依次表示方程中未知数x，y的系数和相应的常数项，即表示方程，则表示的方程是____________． 【答案】 【分析】根据算筹的表示方法，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解：从左到右，第一列1根竖筹表示x的系数为1， 第二列4根竖筹表示y的系数为4，第三列2根横筹和3根竖筹表示常数项为23，所以表示的方程是． 10．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】将已知解代入原方程组得到系数的关系，再将待求方程组与该关系对比，得到对应未知数的值． 【详解】解：把代入已知方程组， 得 ， ∵题目中方程组为， ∴其解为． 三、解答题 11．苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 【答案】(1)苹果的价格，梨的价格 (2)，． 【分析】（1）根据所列方程组，写出未知数表示的意义即可； （2）根据题意列方程组，求解即可． 【详解】（1）解：表示苹果的价格，表示梨的价格． （2）解：设苹果的单价为元，梨的单价为元， 根据题意可得， 解得． 12．已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 【答案】 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴. 13．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由二元一次方程的定义可得，，且，，计算即可得出结果； （2）由（1）可得原方程为，把代入得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，且，， 解得，； （2）解：由（1）可得原方程为， 把代入得， 解得：． 14．在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接按规则将二元一次方程组的系数和常数项按顺序填入矩阵即可； （2）先根据矩阵写出对应的二元一次方程组，再将已知的解代入方程组，即可求出和的值． 【详解】（1）解： 根据题目给出的矩阵定义，二元一次方程组写成矩阵形式为； （2）解：矩阵对应的二元一次方程组为， 将代入方程组得： ， 解得： ． 15．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第16讲认识二元一次方程组 辽内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断是否是二元一次方程 题型2判断是否是二元一次方程组 题型3判断是否是二元一次方程的解 题型4判断是否是二元一次方程组的解 题型5写出二元一次方程的正整数解 题型6利用二元一次方程的定义求参数 题型7已知二元一次方程的解求参数的值 题型8已知二元一次方程的解求代数式的值 题型9与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解二元一次方程的概念，能识别并举例说明，知道其一般形式为+ 二元一次方程、二元y=c(a0,b0)。 一次方程组、解、检2.理解二元一次方程组的概慨念，能判断一组方程是否为二元一次方程组。 验、x+by=c、 建3.理解二元一次方程（组）的解的概念，能检验一组数是否为方程（组）的 模。 解。 4.经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程组的工具价 值，培养建模意识。 学习重点：二元一次方程（组）的概念，以及解的概念，能判断和检验一组数是否为方程（组）的 解。 学习难点：理解二元一次方程（组）的解的“公共解”含义（即同时满足两个方程），以及从实际问 题中抽象出二元一次方程组。 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识|框引架 方程次数判断错误 高频易错点 含两个未知数 未注意整式条件 定义 未知数次数为 二元一次方程判氏 二元一次方程 两边都是整式 方程组解验证 高频考点 一般形式 ax+by=c(a,b#0) 解的情况分析 由两个二元一次方程组成 定义 未知数个数不同 方程组共有两个未知数 与一元一次方程关系 认识二元一次方程组 二元一次方程组 解的形式不同 alx+bly=cl 一般形式 a2x+b2y=c2 二元转化为一元 消元思想 解方程组的基本思路 定义 使方程左右两边相等的未知数值 同时满足两个方程的解定义 二元一次方程的解 一般有无数个解 唯一解常用有序数对(x,y) 解的形式 解的特点 二元一次方程组的解 用一个未知数表示另一个 唯一解 无解 解的情况 无数解 知 I识I精I讲 知识点01二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 【易错提醒】 二元一次方程概念易错警示：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程。注意：分母中含 未知数（如=1）不是；y1次数为2，也不是。化简后判断。 即时即练1.下列方程是二元一次方程的是() A. B.2x-1-2 2x+3=0 C.3x-5y=1 D.y=3 知识点02二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组， 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成， 方程个数也不一定是两个 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数；②含未知数的项的次数是否都是1；③是否含 2/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有多个方程组成 【易错提醒】 二元一次方程组易错警示：由两个一次方程组成，含两个未知数。注意：方程组中方程不必都是二元（可 x+y=1 含一元)，但整体需含两个未知数。如 、X=2 是方程组。慨念要满足整式与次数。 即时即练1.下列方程组中，属于二元一次方程组的是() 2x+y=3 3x-y=1 2x+y=3 x2+y=3 B C D x=-2 y+z=2 y=-2 3x-9y=-2 知识点03二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 【易错提醒】 二元一次方程的解易错警示：使方程左右相等的一对未知数的值（记作x=a,=b或（α，b)。一个二元一次 方程有无数个解（在实数范围内）。注意：解是一对有序数值，顺序与未知数对应，不可颠倒。检验需同 时代入。 即时即练1. 二元一次方程2x-y=3的一个解是() x=1 x=2 x=0.5 x=5 A B C y=-2 y=1 y=-7 D y=-2 知识点04二元一次方程组的解的概念 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解 2检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程 不成立，则不是方程的解 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解 【易错提醒】 二元一次方程组的解易错警示：方程组中两个方程的公共解（即一对未知数同时满足两个方程）。注意： 解必须是一对有序数，且要代入两个方程均成立。方程组可能有唯一解、无解或无数解，检验需同时验 3/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证。 x=0 X=2 x=1 即时即练1.已知下面三对数值： y=-2;y=-3 y=-5 (1)哪几对能使方程2x-y=7左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程x+2y=-4左、右两边的值相等？ 2x-y=7 (3)二元一次方程组x+2y=-4的解是什么？ 03 题型突破 题型1判断是否是二元一次方程 【例1】下列是二元一次方程的是() A. 1+2=3 5x+4=9 B.x C.x2+2+y=0 D.3x+2=y 【例2】下列方程中，是二元一次方程的是（) 1 A.x2+y=4 B.二+y=2 C.xy+y=1 D.x=y-2 【技巧归纳】 二元一次方程：含两个未知数，且含未知数项的次数均为1，整式方程。可化为ax+y=c(,D不同时为 0)。判断时，看未知数个数、次数，分母有无未知数，如2x+3y=5是，x2+y=0不是（次数2）。注意系 数不为零。 4 【变式1山】观察下列方程：9=10,5x-7=35,-14=0:4z-3z+2)=1,2x-y=3,其中二元 一次方程有() A.1 B.2 C.3 D.4 =2 变式1-2】下列方程：02x=3:②X-,:③x2=4m； 年=3y-1:⑥x+y+2=0:其中是= 元一次方程的是() A.④⑤ B.①④ c.①②③ D.①④⑤ 4/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型2判断是否是二元一次方程组 【例3】下列各项中，属于二元一次方程组的是() [x2=3 [x+y=2 x-y=7 2x-3y=8 A. B (y=2x 3x+y=5 x-y2=4 D. 5y-4z=6 【例4】下列方程组中，是二元一次方程组的是() x+y=5 A 1,15 B x2+y=10 C x+y=8 D 「x=1 x y6 x+y=-2 xy=15 x+y=3 【技巧归纳】 二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程组成。判断标准：每个方程都是一次方程，共两个未知 数，且未知数项次数为1，分母无未知数。如2x+y=5,xy=1}是；x+y=3,灯y=2不是(y次数2)。注意 两个方程可独立，但须共同含两个未知数： 【变式21】在方程组y=1 x=1 x=2 [x+y=5中，是二元一次方程组的 x+2y=3 y=1` x+y=13y-x=1 y=7+z 有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式2-2】下列方程组是二元一次方程组的有() 5x=y 5x-6y=5 [3x+y=51x=4 「xy=6 ①1x+y=4:②12x-7=8:③12-6=41：④y=-3:⑤y-x=2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型3判断是否是二元一次方程的解 3 【例5】下列各组x、y的值中不是二元一次方程4+y=6的解的是() x=-2 4 A.x=4 X= B 15 C.x=8 D 3 y=3 y= 2 y=0 y=6 【例6)下列各对数是二元一次方程x+3y=2的解的是() 5/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=-4 x=2 x=1 [x=0 y=2 B y=-2 C y=-1 D y=3 【技巧归纳】 将数对代入方程组中的每个方程，若同时满足所有方程，则是解：否则不是。注意代入时要对应x、y。如 1,2)代入2x+y=4得4仁4，再代入xy=1得1=1，满足。可先代入较简单的方程验证。解是成对出现的， 需同时成立。 【变式3-1】方程2x-y=3的解不可能是（) x=-1 x=0 x=2 =3 A. y=-4 B y=-3 c y=1 D y=3 x=2 【变式3-2】下列二元一次方程组的解是 y=1的是() x+y=3 2x-y=0 A x-y=2 B x+y=3 2x-y=3 3x-4y=2 C D x+3y=5 4x-3y=6 题型4判断是否是二元一次方程组的解 x=2 【例刀下列方程中，解为y=1的是() x-y=-2 x-y=1 2x-y=4 「x+y=3 B D x+y=1 2x+y=3 x+2y=3 13x-2y=4 x=-1 【例8)解为1y=-3 的方程组可以是( ) x-y=2 x+y=-2 x-y=2 x+y=-2 2x-y=5 B 2x+y=5 2x-y=1 D 2x-y=5 【技巧归纳】 将给出的x、y值分别代入方程组中的每一个方程，检验等式是否都成立。若全部成立，则是方程组的解： 若有一个不满足，则不是。注意解为有序数对：)。有时需要先化简方程再代入。常见于选择题，用代入 法快速验证。 6/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+y=2 【变式41】下列各组数中，是二元一次方程组2x-y=4的解的是（) x=0 x=2 x=3 x=1 y=1 B y=0 y=-1 y=1 x=-1x=1 x=3 x=-1x=1 x=3 【变式42】已知 y=3,y=2,y=1是二元一次方程x+2y=5的三个解，1 y=-2y=2,y=6 x+2y=5 是二元一次方程2x-y=0的三个解，则二元一次方程组2x-y=0的解是() =-1 x=3 x=1 y=3 1y=-2 C 1y=6 D.1y=2 题型5写出二元一次方程的正整数解 【例9】二元一次方程2x+3y=16的正整数解为 【例10】二元一次方程4x+y=10共有 组正整数解， 【技巧归纳】 将一个未知数用另一个表示，如=(C-)/,然后令y为正整数，使x也为正整数。逐个代入y=1,2,…直到 x≤0或非整数。注意系数限制。也可从较小系数入手枚举。写出所有可能的解，通常有限个。检验是否满 足原方程。如2x+3y=12的正整数解：(6,2)。 【变式5-1】写出二元一次方程2x-y=5的一个正整数解 【变式5-2】二元一次方程3x+2y=18的所有正整数解为 题型6利用二元一次方程的定义求参数 【例11】若方程+5y4=4是二元一次方程，则m=】 n= 【例12】如果方程2x-3ym”=1是关于x、y的二元一次方程，则m+n= 【技巧归纳】 化为标准式+=C,确保ab不同时为0，且x、y次数为1。若含参数，列方程使x、y项次数为1，且 系数满足条件。如6m-1)x+(m+2y=3是二元一次，则-1≠0且+2≠0得m≠1且m≠-2。若缺项，相应系数 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为0但不影响二元条件。注意分母含未知数则不是。 【变式61】已知方程(m-3)x+2y”=10是关于水、y的二元一次方程.则m+n= 【变式62】已知关于x,y的方程6x1+5y-$=0是二元一次方程，则m= n= 题型7已知二元一次方程的解求参数的值 x=3 【例13】已知 y=-2是关于x,y的二元一次方程ax+4y=7的解，则a的值为， x=2 【例14】已知y=1是方程+y=3的一个解，那么k的值是 【技巧归纳】 将已知解代入方程，得到关于参数的等式，解出参数。如2,1)是方程心+3y=7的解，则2什3=7得=2。若 有多个参数，需多个解代入列方程组。注意检验参数是否使方程仍为二元一次（保证x、y系数不为0）。 代入时细心。 x=a 【变式7)】若y=-3是二元一次方程3x+2y=6的一组解，则。的值为 x=1 【变式7-2】如果关于x,y的二元一次方程x-3m=-my的一组解为y=-2,那么m的值为一 题型8已知二元一次方程的解求代数式的值 X= 【例15】己知 y=2是关于x’y的方程mr-y=15的一组解，则7-(m-2n) x=2 【例16】已知 y=3是方程mx+=5的解，则代数式4m+6m-7的值为 【技巧归纳】 若知道解满足方程，可将解代入方程得关系式（如2x+=3),再整体代入所求代数式。若求x+y等，可能 由方程变形直接得。也可联立多个方程求参数。如由2叶=5求什b,还需其他条件。常用整体思想，无需 单独求x、y。 8/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=3 【变式8-1】若y=-2是二元一次方程m+by=-2的一个解，则3a-2b+2026的值为 a-3b=-2 【变式82】已知a、b是二元一次方程组 a+3b=8的解，则代数式a2-96=— 题型9与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题 【例17】把y=r+b(其中a、b是常数，xy是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当 y=x时，“雅系二元一次方程y=r+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.例如：当 y=x时，“雅系二元一次方程”y=3x-4化为x=3x-4,其“完美值”为x=2. ()求“雅系二元一次方程”y=6x+5的“完美值”： (②)x=2是“雅系二元一次方程”y=2x+m的“完美值”，求m的值， 【例18】对于二元一次方程y=x+b(其中a,b是常数，x,y是未知数)当y=x时，x的值称为二元一 次方程y=r+b的“完美值”，例如：当y=x时，二元一次方程y=3x-4化为x=3x-4,其“完美值” 为x=2. ()求二元一次方程y=5x-6的“完美值”： (2)x=-3是二元一次方程y=x+m的“完美值”，求m的值； 3 3)是否存在”，使得二元一次方程少=2+n与y=3x-m+1(n是常数)的“完美值”相同？若存在，请 求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由， 【技巧归纳】 先理解新定义（如“友好方程”），将其转化为常规二元一次方程或解的条件。根据定义建立方程或不等 式，利用解的概念、参数条件求解。注意新定义可能涉及系数约束或解的特殊性（如整数解）。常需分类 讨论，多角度验证。 【变式91】阅读理解。 ax+by=c 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组 ax+bay=c, 的系数排成一个表 x.V a b c 这种由数排成的表叫做矩阵。 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3x+4y=16 3416 例如：二元一次方程组 5x-6y=33可以写成矩阵5-633的形式. 【知识应用】 4x-y=-5 (1)将二元一次方程组 3x-2y=35写成矩阵形式为： a -5-3 x=1 (2)若矩阵 -4b-3 所对应的二元一次方程组的解为y=1,求。与6的值： a b 2 x=1 3)若矩阵c-】3对应的二元一次方程组的解为=-2：求出3a-6+的值. 【变式9-2】我们规定，关于x,y的二元一次方程r+y=C,若满足a+b=c,则称这个方程为“友好” 方程.例如：方程2x+3y=5,其中a=2,b=3,c=5,满足a+b=c,则方程2x+3y=5是“友好”方 程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组.根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程3x+5y=8“友好”方程（填“是”或“不是”）： (2)若关于x,y的二元一次方程+(2k-少=8是“友好”方程，求k的值； x=p mx+(m-3)y=-1 3)若 是关于X,y的“友好”方程组r+(+)y=m+6的解，求2p+g的值. y=g 04 过关检测 一、单选题 中①3x8:②2+2y=4:图3x+:④y=5y+1:回= y () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下列各组数中，是方程2x-y=1的解的是() 「x=1 x=1 x=0 A.y= B y=0 c. y=1 D.y=3 x=3 3.已知=2a是方程2x-=5的一个解，则。的值为《) 10112 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 A.-1 B.1 C.2 D.2 4.老师给小芳以下几个方程组： x-y+l=x ①1 2 ②x-y=y③2x+y=1④x=0⑤x=3下列方程组是二元一次方程组的有 3(x-y)=y-2x+y=21y+z=2y=2y=2+x () A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.定义一种新运算：a☆b=2a-b,若a☆b-0,且关于，y的二元一次方程(a-l)x+y+6-2a=0,当 a,b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为() x=-6 x=6 x=-5 x=5 A.1y=2 B y=-2 C y=1.5 1y=-1.5 D 二、填空题 6.若关于x,y的方程3x中+(m-2)y=4是二元一次方程，则m的值是 x=a 7.如果y=b是方程x-3y=-3的一组解，那么代数式2026-2a+66= x=-1 [ax+3y=1 8.已知y=2是关于x,y的方程组2x-y=4的解，则a+b= 9.“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如 从左到右列出的算筹数 依次表示方程中未知数x,y的系数和相应的常数项，即表示方程x+3y=32, 号训表示的方 程是 a,(x+1)+b(y-2)=G 10.已知方程组 46x+1)+60-2)=6的解是： ax+by=5c y=4,则方程组 a,x+by=5c,的解为 三、解答题 11.苹果的单价比梨的单价贵2元g,买5kg的苹果和4kg梨共花去100元. x+y=100 (1)小红根据题意，列出方程组 -上=2，分别指出未知数，表示的意义：表示 表 54 x V 示 (2)小亮“设苹果的单价为m元g,梨的单价为n元kg”,按照小亮的思路列出方程组，并求出m,n的 11/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值. ax+4y=2 x=1 12.已知关于x'y的二元一次方程组7x-y=3的解是y=2:求a+b的值 13.已知方程(m-2)x1+(n+3)y$=6是关于x,y的二元一次方程. (I)求，n的值； 3 ②当X=时，求y的值. ax+biy=c 14.在现代高等代数领域中，可以将关于x,'的二元一次方程组 azx+b2y=C2 的系数排成一个表 a b [3x+4y=16 这种由数排成的表叫做矩阵。例如：二元一次方程组 5r-6y=33可以写成矩阵 3 4 16 -633 的形式 【知识应用】 4x-y=-5 (1)将二元一次方程组 13x-2y=35写成矩阵形式为： -5-3 x=1 (2)若矩阵 4b-3所对应的二元一次方程组的解为y=1,求。与6的值： 15. 【观察思考】 2x+y=4 「x=1 第1个方程组为 x-y=-1解为y=2 3x+y=7 x=1 第2个方程组为 2x-y=-2解为y=4 4x+y=10 x=1 第3个方程组为 3x-y=-3解为y=6 【发现规律】 (1)按照以上规律，写出第4个方程组为一，解为 (2)写出你猜想的第n个方程组和它的解 一（用含n的式子表示） 【应用规律】 mx+y=43 (3)已知方程组(m-)x-y=-k,且存在上面这样的方程组规律，求m和k的值。 m 12112