第01讲 函数的概念和图像（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第01讲 函数的概念和图像 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1函数的概念 题型2同一函数的判断 题型3给出解析式求函数的定义域 题型4抽象函数求定义域 题型5给出函数定义域求参数范围 题型6函数图象的画法与识别 题型7求函数的值域 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数的概念、函数的三要素、函数的图像 1.了解构成函数的要素,会判断两个函数是否为同一函数 2.会求一些简单函数的定义域与值域. 3.会识图、画图 学习重点：会判断两个函数是否为同一函数、会求一些简单函数的定义域与值域 学习难点：会求抽象函数的定义域值域，已知值域或定义域求参数 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 4．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 5．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 6．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 7．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 知识点02 函数的图像 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 题型1 函数的概念 【例1】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以A不符合题意； 对于B，当时，对于函数， 任意一个，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，所以B符合题意； 对于C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以C不符合题意； 对于D，令，由对应关系，可得，不符合函数的定义，所以不是的函数，所以D不符合题意. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 利用函数的定义判断即可 【变式1-1】集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【解题思路】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解答过程】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C. 【变式1-2】已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 【变式1-3】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 对于A，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A不符合题意； 对于B，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B不符合题意； 对于C，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故C不符合题意； 对于D，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象有两个交点，故D符合题意； 故选：D． 题型2同一函数的判断 【例2】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解答过程】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确．故选：D. 【易错提醒】/【方法总结】 函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同 【变式2-1】下列函数中，与函数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为R， 对于A，，定义域为R，与不是相等函数，故A错误； 对于B，，定义域为R，与是相等函数，故B正确； 对于C，，定义域为，与不是相等函数，故C错误； 对于D，的定义域为，与不是相等函数，故D错误. 故选：B. 【变式2-2】下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数定义域是，而定义域是，A不是； 对于B，函数定义域是，而定义域是，B不是； 对于C，函数定义域是，定义域是，，即对应法则也相同，C是； 对于D，函数定义域是，定义域是，而对应法则不同，D不是. 故选：C 【变式2-3】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 题型3给出解析式求函数的定义域 【例3】函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解题思路】由函数特征得到不等式，求出定义域. 【解答过程】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 根据函数解析式求函数定义域的常用方法 （1）若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；（2）若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零 （3）若出现有零次幂的，则底数不能为零；（4）若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义，即求各个式子有意义的交集 【变式3-1】）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解题思路】根据具体函数定义域的求法列不等式，解不等式组即可. 【解答过程】由已知， 则，解得且， 即函数的定义域为且，故选：D. 【变式3-2】）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由分式和根式有意义列不等式组求解即可. 【解答过程】由题意可得. 故选：C. 【变式3-3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据根式和分式的意义列式求解即可. 【解答过程】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 题型4抽象函数求定义域 【例4】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抽象函数定义域以及分式有意义求解即可. 【解答过程】因为函数的定义域为， 令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 已知的定义域为[a,b],求的定义域时即解不等式ag(x)b 【变式4-1】若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4-2】已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【解答过程】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 【变式4-3】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意知. 故答案为：. 题型5给出函数的定义域求参数的范围 【例5】函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【解题思路】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【解答过程】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【易错提醒】/【方法总结】 根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根即可求得参数 【变式5-1】已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 【答案】 【解析】由题意得，从而函数的定义域为，即，故．要使函数有意义．则需，从而，故，所以，解得． 【变式5-2】若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式5-3】已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 题型6函数图象的画法与识别 【例6】函数的部分图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】利用函数的性质及特殊值可以判断. 【解答过程】由题意，时，，排除C,D选项； ，可以排除B选项. 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 利用函数的性质及特殊值可以判断即可 【变式6-1】我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【解答过程】，所以BD选项错误. ，所以C选项错误. 故选：A. 【变式6-2】如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【解答过程】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 【变式6-3】作出下列函数图象： (1)且； (2)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）分析函数特征，再描点作出图象. （2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象. 【解答过程】（1）由于且，则， 所以函数且的图象为直线上的5个孤立点，如图： （2）函数，则当时，；当时，；当时，， 所以函数的图象是抛物线在的部分，如图： 题型7 求函数的值域 【例7】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 【易错提醒】/【方法总结】 求函数值域的方法 (1)观察法:有的函数的结构并不复杂,可以通过几种常见函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域. (2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.解题过程中,要特别关注自变量的取值范围. (3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域. (4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域. 【变式7-1】(1)； (2)； 【解析】（1）由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，， 所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （2）由函数， 可得其定义域为，则，即， 所以函数的值域为且 【变式7-2】求下列函数的值域 (1) (2) 【解析】（1），因为， 所以函数的值域是； （2）设，， 所以 ， 当时，函数取得最小值1，所以函数是值域是 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）， 因为，所以，即， 得，即函数的值域为； （2），由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为． 一、单选题 1．设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解题思路】由函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【解答过程】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D. 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知，可得出，利用基本不等式可求得函数的值域. 【解答过程】对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为， 因为， 且， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，当且仅当或时，等号成立， 所以，又因为，故，故原函数的值域为. 故选：C. 4．已知函数，则（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】根据分段函数的解析式，求函数值即可. 【解答过程】因为函数， 所以可得，则. 故选：B. 5．已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可. 【解答过程】对于，且，， 令，可得，解得， 因为，所以，解得， 令，可得，得到， 则，故D正确. 故选：D. 二、多选题 6．已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【解答过程】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 7．下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】对AB化简解析式，再结合其定义域即可判断，对CD，求出函数定义域即可判断. 【解答过程】对于A，函数，其定义域为， 函数的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，则它们为同一个函数，故选项A正确； 对于B，和的定义域都是，，则其对应关系也相同，是同一个函数，故选项B正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误； 对于D，对函数，有，解得， 则函数的定义域为， 对函数，有，解得或， 则其定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误， 故选：AB. 8．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【解题思路】A：根据自变量所对应范围直接计算出函数值；B：分类讨论求解出自变量的值；C：分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果；D：分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果. 【解答过程】对于A：因为，故正确； 对于B：当时，，解得(舍去)； 当时，，解得或(舍去)， 所以的值是，故错误； 对于C：当时，；当时，， 且，所以的值域为，故正确； 对于D：当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集是，故正确； 故选：ACD. 三、填空题 9．已知，函数的定义域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【解答过程】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 10．定义在R上的函数满足，且，则 ． 【答案】 【解题思路】运用赋值法求解即可. 【解答过程】令，则，得， 再令，，则， 即， 所以， 故答案为：. 四、解答题 11．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 【答案】(1) (2)， (3)， 【解题思路】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【解答过程】（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是. 所以，这个函数的定义域是， （2）； . （3）因为，所以，有意义. ； . 12．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 函数的概念和图像 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1函数的概念 题型2同一函数的判断 题型3给出解析式求函数的定义域 题型4抽象函数求定义域 题型5给出函数定义域求参数范围 题型6函数图象的画法与识别 题型7求函数的值域 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数的概念、函数的三要素、函数的图像 1.了解构成函数的要素,会判断两个函数是否为同一函数 2.会求一些简单函数的定义域与值域. 3.会识图、画图 学习重点：会判断两个函数是否为同一函数、会求一些简单函数的定义域与值域 学习难点：会求抽象函数的定义域值域，已知值域或定义域求参数 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 4．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 5．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 6．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 7．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 知识点02 函数的图像 1．函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)). 当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,y)|y=f(x),x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x的图象. 2．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 题型1 函数的概念 【例1】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以A不符合题意； 对于B，当时，对于函数， 任意一个，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，所以B符合题意； 对于C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以C不符合题意； 对于D，令，由对应关系，可得，不符合函数的定义，所以不是的函数，所以D不符合题意. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 利用函数的定义判断即可 【变式1-1】集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【解题思路】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解答过程】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C. 【变式1-2】已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据题意，利用函数的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意； 对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意； 对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意； 对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意. 故选：A. 【变式1-3】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 对于A，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故A不符合题意； 对于B，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故B不符合题意； 对于C，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，故C不符合题意； 对于D，作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象有两个交点，故D符合题意； 故选：D． 题型2同一函数的判断 【例2】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解答过程】对于A，由函数可得，解得， 则其定义域为； 由函数可得，解得，则其定义域为． 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确．故选：D. 【易错提醒】/【方法总结】 函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同 【变式2-1】下列函数中，与函数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为R， 对于A，，定义域为R，与不是相等函数，故A错误； 对于B，，定义域为R，与是相等函数，故B正确； 对于C，，定义域为，与不是相等函数，故C错误； 对于D，的定义域为，与不是相等函数，故D错误. 故选：B. 【变式2-2】下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数定义域是，而定义域是，A不是； 对于B，函数定义域是，而定义域是，B不是； 对于C，函数定义域是，定义域是，，即对应法则也相同，C是； 对于D，函数定义域是，定义域是，而对应法则不同，D不是. 故选：C 【变式2-3】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 题型3给出解析式求函数的定义域 【例3】函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解题思路】由函数特征得到不等式，求出定义域. 【解答过程】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 根据函数解析式求函数定义域的常用方法 （1）若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；（2）若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零 （3）若出现有零次幂的，则底数不能为零；（4）若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义，即求各个式子有意义的交集 【变式3-1】）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解题思路】根据具体函数定义域的求法列不等式，解不等式组即可. 【解答过程】由已知， 则，解得且， 即函数的定义域为且，故选：D. 【变式3-2】）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由分式和根式有意义列不等式组求解即可. 【解答过程】由题意可得. 故选：C. 【变式3-3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据根式和分式的意义列式求解即可. 【解答过程】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 题型4抽象函数求定义域 【例4】若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抽象函数定义域以及分式有意义求解即可. 【解答过程】因为函数的定义域为， 令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 已知的定义域为[a,b],求的定义域时即解不等式ag(x)b 【变式4-1】若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4-2】已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【解答过程】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 【变式4-3】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意知. 故答案为：. 题型5给出函数的定义域求参数的范围 【例5】函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【解题思路】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【解答过程】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【易错提醒】/【方法总结】 根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根即可求得参数 【变式5-1】已知函数的定义域为，则实数m的值构成的集合是 ；若函数在上有意义，则实数m的值构成的集合是 ． 【答案】 【解析】由题意得，从而函数的定义域为，即，故．要使函数有意义．则需，从而，故，所以，解得． 【变式5-2】若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式5-3】已知函数的定义域是，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知在上恒成立. 当时，，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 题型6函数图象的画法与识别 【例6】函数的部分图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】利用函数的性质及特殊值可以判断. 【解答过程】由题意，时，，排除C,D选项； ，可以排除B选项. 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 利用函数的性质及特殊值可以判断即可 【变式6-1】我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【解答过程】，所以BD选项错误. ，所以C选项错误. 故选：A. 【变式6-2】如图为函数的图象，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【解答过程】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 【变式6-3】作出下列函数图象： (1)且； (2)． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）分析函数特征，再描点作出图象. （2）分析函数特征，描出几何特殊点，借助二次函数作出图象. 【解答过程】（1）由于且，则， 所以函数且的图象为直线上的5个孤立点，如图： （2）函数，则当时，；当时，；当时，， 所以函数的图象是抛物线在的部分，如图： 题型7 求函数的值域 【例7】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 【易错提醒】/【方法总结】 求函数值域的方法 (1)观察法:有的函数的结构并不复杂,可以通过几种常见函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域. (2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.解题过程中,要特别关注自变量的取值范围. (3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域. (4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域. 【变式7-1】(1)； (2)； 【解析】（1）由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，， 所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （2）由函数， 可得其定义域为，则，即， 所以函数的值域为且 【变式7-2】求下列函数的值域 (1) (2) 【解析】（1），因为， 所以函数的值域是； （2）设，， 所以 ， 当时，函数取得最小值1，所以函数是值域是 【变式7-3】求下列函数的值域： (1)； (2)． 【解析】（1）， 因为，所以，即， 得，即函数的值域为； （2），由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为． 一、单选题 1．设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． . 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．4 B． C． D．1 5．已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 6．已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 7．下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 三、填空题 9．已知，函数的定义域为，则k的取值范围是 ． 10．定义在R上的函数满足，且，则 ． 四、解答题 11．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 12．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $