第01讲 集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第01讲 集合的概念与表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断能否构成集合 题型2常用数集符号之元素与集合关系 题型3用列举法或描述法表示集合 题型4集合中元素的特性 题型5空集 题型6判断元素与集合的关系 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 集合的概念、集合的表示法、元素与集合的关系、集合中元素的特性 1. 了解集合的概念，理解元素与集合的关系; 2. 理解集合的三要素：互异性、确定性和无序性； 3. 掌握常见数集的表示； 4. 掌握集合的表示方法：列举法、描述法. 学习重点：集合的概念、元素与集合的关系、集合的三要素、常见数集的表示 学习难点：集合三要素的应用、元素与集合的关系 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 集合的概念与表示 【知识清单1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识清单2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x |x2+x+1=0,x∈R}就是空集. 【知识清单3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 题型1 判断能否构成集合 【例1】下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于的正整数 C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数 【答案】C 【详解】对于A中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于B中，小于的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于C中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合； 对于D中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选C. 故选：C. 【易错提醒】/【方法总结】 判断是否能构成集合的依据是这个元素是不是确定的或明确的。 【变式1-1】下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C. 【变式1-2】（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者 【答案】BCD 【详解】A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合； B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合． 故选：BCD 【变式1-3】下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 题型2 常用数集符号之元素与集合关系 【例2】给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 判断元素与集合的关系需熟悉常用的数集符号包含的元素。 【变式2-1】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 【变式2-2】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 【变式2-3】下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 题型3用列举法或描述法表示集合 【例3】选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【答案】(1)或； (2)； (3)或； (4) 【详解】（1）列举法，描述法. （2）描述法. （3）列举法，描述法． （4）描述法. 【易错提醒】/【方法总结】 要注意数集与点集的区别。例如：数集，点集 【变式3-1】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2) 函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 【变式3-2】选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 【变式3-3】）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 题型4集合中元素的特性 【例4】已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 【易错提醒】/【方法总结】 利用元素与集合关系建立等式关系，解出参数后要检验集合中的元素是否符合互异性。 【变式4-1】已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【变式4-2】）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 【变式4-3】已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； 题型5 空集 【例5】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，方程无解，. 选:D. 【易错提醒】/【方法总结】 空集表示集合中没有元素，即所研究的0方程或不等式无解。 【变式5-1】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【变式5-2】方程的实数解集为 ． 【答案】 【详解】,则，则方程无实数解.故方程的实数解集为. 故答案为：． 【变式5-3】集合 ． 【答案】 【详解】因为的＜0，所以方程无实数解，所以A＝﹒ 故答案为： 题型6判断元素与集合的关系 【例6】（多选）设，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 【易错提醒】/【方法总结】 此类题目的方法是把要判断的元素的表式形式改写成已知集合的表示形式，如 【变式6-1】（多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 【变式6-2】已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则； ③、中有两个为负数时，则为正数，则； ④、全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得符合． 故选：A. 【变式6-3】非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（    ） ①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A． A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：对于①：假设，则令，则 ，， 令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故①对； 对于②：由题意知，，则 ，，故②正确； 对于③：，，故③正确； 对于④：，若，则，故④错误， 所以一定成立的是①②③， 故选：C. 一、单选题 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 2．已知集合{且}，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，所以，，故A错误，D正确； ，故B、C错误. 故选：D. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系. 故选:A 4．设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】因为集合，集合， 所以， 所以， 即集合中有个元素. 故选：C. 5．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 二、多选题 6．给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误； 对于C，解集应为，原表示错误，故C错误； 对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误； 故选：BCD. 7．下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 【答案】AB 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素的集合，故D错误． 故选：AB． 8．已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 9．已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【详解】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 10．已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：若A中只有一个元素， 即方程有一个根，或两个相等实根， 当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程有两个相等实根， 所以，即， 所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误； 对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中有两个元素时，方程有两个不等实根， 所以即且， 所以若A中至少有一个元素，则，故B正确； 对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素， 当A中有一个元素时，由前面可知，或； 当A中没有元素时，即方程无实根， 所以即， 所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误； 对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误； 故选：ACD 三、填空题 11．用列举法表示集合为 ． 【答案】 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 12．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【详解】因为，且，所以， 则有， 所以，且，得， 所以， 故答案为：0 四、解答题 13．用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）因为第二象限中所有点具有的特征是且， 而第四象限中所有点具有的特征是且， 所以第二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为， 故用描述法：. 14．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 15．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 10 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念与表示 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断能否构成集合 题型2常用数集符号之元素与集合关系 题型3用列举法或描述法表示集合 题型4集合中元素的特性 题型5空集 题型6判断元素与集合的关系 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 集合的概念、集合的表示法、元素与集合的关系、集合中元素的特性 1. 了解集合的概念，理解元素与集合的关系; 2. 理解集合的三要素：互异性、确定性和无序性； 3. 掌握常见数集的表示； 4. 掌握集合的表示方法：列举法、描述法. 学习重点：集合的概念、元素与集合的关系、集合的三要素、常见数集的表示 学习难点：集合三要素的应用、元素与集合的关系 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 集合的概念与表示 【知识清单1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识清单2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 3．集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.例如，集合{x |x2+x+1=0,x∈R}就是空集. 【知识清单3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 题型1 判断能否构成集合 【例1】下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于的正整数 C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【变式1-2】（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者 【变式1-3】下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 题型2 常用数集符号之元素与集合关系 【例2】给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【变式2-2】下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3用列举法或描述法表示集合 【例3】选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2) 函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【变式3-2】选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【变式3-3】）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 题型4集合中元素的特性 【例4】已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式4-2】）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【变式4-3】已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值. 题型5 空集 【例5】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【变式5-2】方程的实数解集为 ． 【变式5-3】集合 ． 题型6判断元素与集合的关系 【例6】（多选）设，则（      ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】（多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（    ） ①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A． A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 一、单选题 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 2．已知集合{且}，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 5．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．给出下列说法，其中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数}或 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 7．下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 8．已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 10．已知集合，则下列说法中错误的是（    ） A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则 C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则 三、填空题 11．用列举法表示集合为 ． 12．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 四、解答题 13．用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 14．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 15．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $