第03讲 函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第03讲 函数的单调性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1函数单调性的判断与证明 题型2求函数单调区间 题型3利用函数的单调性求参数 题型4利用函数的单调性比较大小 题型5利用函数的单调性解不等式 题型6求函数的最值或值域 题型7根据函数的最值求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数单调性、单调区间 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 4.在函数单调性的应用过程中，培养逻辑推理和数学运算素养 学习重点：函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间； 学习难点：函数单调性的应用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 知识点02 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 题型1函数单调性的判断与证明 【例1】已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1)；(2)在上的单调递减，证明见解析 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）根据函数单调性的定义证明单调性. 【解析】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 【易错提醒】/【方法总结】 利用定义证明函数单调性的步骤： (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性. 【变式1-1】给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【解题思路】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【解答过程】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 【变式1-2】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【解析】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 【变式1-3】已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【解析】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 题型2求函数单调区间 【例2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【解答过程】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 利用分段函数以及二次函数的单调性 【变式2-1】下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【解答过程】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 【变式2-2】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【解答过程】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B. 【变式2-3】设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 题型3根据函数的单调性求参数值 【例3】若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】要考虑函数有意义，即根号下的式子恒大于等于0.然后根据复合函数单调性的判断方法来确定实数的取值范围. 【解答过程】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增. 且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为. 所以在上单调递增. 要使有意义，则在上恒成立. 当时，，因为，所以，满足，所以符合题意. 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为. 那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意. 综合以上三种情况，实数的取值范围是. 故选:C. 【易错提醒】/【方法总结】 根号下的式子恒大于等于0.再根据复合函数单调性的判断方法来确定实数的取值范围. 【变式3-1】（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）利用二次函数的图象与开口方向可求的范围； （2）任取且，利用单调性的定义可得，可求的范围. 【解答过程】（1）根据题意得函数图像开口向下，对称轴为． 函数在区间上是严格增函数，所以，∴． （2）任取且，则恒成立， 所以，即， 整理得． ∵，∴，∴．∵，，∴． 【变式3-2】若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【解答过程】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A. 【变式3-3】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【解答过程】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 题型4利用函数的单调性比较大小 【例4】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据增函数的定义求解即可. 【解答过程】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 【易错提醒】/【方法总结】 根据增函数的定义求解即可 【变式4-1】设则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，利用函数单调性比较大小. 【解答过程】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B. 【变式4-2】已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【解答过程】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D. 【变式4-3】已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可. 【解答过程】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 题型5利用函数的单调性解不等式 【例5】已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的单调性，再求解不等式. 【解答过程】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为， 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 解抽象函数不等式问题是将不等式两边化为两函数值的形式再利用单调性脱掉符号即可构造不等式 【变式5-1】定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，构造函数，变形给定不等式确定函数在上的单调性，进而求解不等式. 【解答过程】令，则，， 对，且，都有， 则，整理得， 所以函数在上单调递减， 不等式，因此， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式5-2】函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【解答过程】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B. 【变式5-3】已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【解题思路】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 题型6求函数的最值或值域 【例6】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】将变形为，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】函数在区间上变形为：， ，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 求函数最值的方法：1.利用函数单调性2.利用基本不等式法 【变式6-1】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合对勾函数的单调性即可求解. 【解答过程】化简可得：， 设,则. 由对勾函数的性值可知： 函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增， 当时，在处取得最小值，当或时，， 所以的值域为， 所以函数值域为， 故选：C. 【变式6-2】若，则（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为6 【解题思路】先用定义法证明函数在单调递增，在单调递减，从而即可求出函数最大值. 【解答过程】任取， 则 ， 因为，所以，，故， 所以即， 所以在单调递增；同理可证在单调递减， 所以. 【变式6-3】已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【解题思路】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【解答过程】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 题型7根据函数的最值求参数 【例7】若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解答过程】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选：. 【易错提醒】/【方法总结】 分式函数先分离变量化成分子不含变量的形式，再判断函数的单调性，分类讨论即可 【变式7-1】已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对反比例型函数分离常数，由时的最小值为得到n，求出m范围. 【解答过程】由， 因为在上的最小值为， 所以时，， 所以， 易知反比例型函数在单调递减. 所以在处取到的最小值为， 即 ， 所以. 故选：D. 【变式7-2】若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【解答过程】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得 ，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得 ，与矛盾，不符合题意； 综上所述， . 故选：D. 【变式7-3】已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【解答过程】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 一、单选题 1．已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【解题思路】利用函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为在上单调递减， 所以当时取得最小值，， 故选：B. 2．设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在本题中先求出函数的对称轴，再根据函数在区间上具有单调性，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系来求解的取值范围. 【解答过程】对于函数，可得对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以对称轴不在区间内. 当时，即，函数在区间上单调递增. 当时，即，函数在区间上单调递减. 所以的取值范围是或. 故选：D. 3．若函数与在上都单调递减，则在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减再增 D．先增再减 【解题思路】根据常见函数的性质，先判断出的符号，然后由二次函数的开口方向，对称轴范围进行判断. 【解答过程】根据正比例函数，反比例函数性质，若函数与在上都单调递减， 则，于是二次函数开口向下，对称轴， 于是在上单调递减. 故选：B. 4．当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式可得选项A、B错误；利用函数的单调性可得选项C正确、选项D错误. 【解答过程】A．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； B．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； C．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增， 所以函数最小值为：，故符合题意； D．因为在为单调增函数，所以函数的最小值为，故不符合题意. 故选：C． 5．已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知函数关于直线对称，进而分析单调性和符号，根据符号解不等式即可. 【解答过程】因为，可知函数关于直线对称， 又因为在上单调递减，， 则在上单调递增，， 可知当时，；当时，； 若，可得或，解得或， 所以的解集是. 故选：D. 6．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出函数的图象，由图象得到的单调递增区间，根据条件列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围. 【解答过程】作出函数的图象，如下图， 要使函数在上单调递增， 则或，解得或， ∴实数的取值范围为． 故选：A． 8．定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【解题思路】不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】由题意，不妨设， 则由，可得， 则， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 由，得， 由，得， 因为函数的定义域为，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题 9．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【解题思路】根据函数的定义判断. 【解答过程】由已知，因此，A错； 不是单调增函数，例如且，B错； 定义域是，C错； 值域是，D正确 故选：ABC． 10．定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【解题思路】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【解答过程】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 11．函数的最大值为 . 【解题思路】先求得题设函数的定义域，再分析得其单调性，从而得解. 【解答过程】对于，有，解得， 所以的定义域为， 又在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为. 故答案为：. 12．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【解题思路】由分段函数在上单调递增可得函数在每一段为增函数，且左侧的最大值小于等于右侧的最小值. 【解答过程】由题意得，在上单调递增，∴. 当时，，对称轴为直线， 要使在上单调递增，则， ∵在上单调递增，∴，解得， ∴实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【解题思路】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【解答过程】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 14．已知函数与在区间上都是增函数． (1)若求k的值； (2)求实数k的取值范围． 【解题思路】（1）由已知可得，进而可得，求解即可； （2）利用二次函数的单调性和反例函数的单调性可求得实数k的取值范围. 【解答过程】（1）因为，所以， 又，所以， 又所以，所以， 解得或（舍去），所以； （2）对于函数，它是二次函数，开口向下，对称轴为， 因为在区间上是增函数，所以， 对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的， 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增； 由在区间上是增函数，所以， 综上所述：实数k的取值范围为． 15．已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【解题思路】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【解答过程】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 函数的单调性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1函数单调性的判断与证明 题型2求函数单调区间 题型3利用函数的单调性求参数 题型4利用函数的单调性比较大小 题型5利用函数的单调性解不等式 题型6求函数的最值或值域 题型7根据函数的最值求参数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数单调性、单调区间 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用和实际意义. 3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 4.在函数单调性的应用过程中，培养逻辑推理和数学运算素养 学习重点：函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间； 学习难点：函数单调性的应用 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 知识点02 函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 题型1函数单调性的判断与证明 【例1】已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【变式1-2】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【变式1-3】已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 题型2求函数单调区间 【例2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 题型3根据函数的单调性求参数值 【例3】若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】（1）函数在区间上是严格增函数，求实数的范围； （2）已知函数在区间上是严格增函数，求实数的范围． 【变式3-2】若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型4利用函数的单调性比较大小 【例4】若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】设则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 题型5利用函数的单调性解不等式 【例5】已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 题型6求函数的最值或值域 【例6】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【易错提醒】/【方法总结】 【变式6-1】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，则（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为6 D．最小值为6 【变式6-3】已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型7根据函数的最值求参数 【例7】若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【易错提醒】/【方法总结】 【变式7-1】已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式7-3】已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 一、单选题 1．已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数与在上都单调递减，则在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减再增 D．先增再减 4．当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 5．已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 10．定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 三、填空题 11．函数的最大值为 . 12．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 四、解答题 13．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 14．已知函数与在区间上都是增函数． (1)若求k的值； (2)求实数k的取值范围． 15．已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $