专项6第二十三章一次函数压轴题型 期末复习专项｜易错题型 +压轴题型+ 期末满分讲义 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专项6 第二十三章 一次函数压轴题型 目录 题型1 求一次函数自变量或函数值 1 题型2 列一次函数解析式并求值 10 题型3 一次函数图象与坐标轴的交点问题 18 题型5 一次函数图象与对称问题 30 题型4 一次函数图象平移问题 40 题型6 根据一次函数的增减性求参数 54 题型7 一次函数的规律探究问题 62 题型8 直线与坐标轴交点和方程的解问题 73 题型9 一次函数与不等式的解集 83 题型10 一次函数与二元一次方程组 92 题型11 求直线围成的图形面积 103 题型12 分配方案问题 111 题型13 最大利润问题 118 题型14 行程问题 124 题型15 阶梯计价问题 132 题型16 一次函数与几何综合 137 题型1 求一次函数自变量或函数值 1．2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … (1)求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 【答案】(1) (2) 千米 【分析】（1）设一次函数的一般形式为，因为表格中给出了、时对应的值，所以可将两组对应值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，求解方程组即可得到函数关系式； （2）因为已经求得与的函数关系式，所以将代入该关系式，计算即可得到对应的值，即为行驶3小时时距离目的地的路程 【详解】（1）解：设与之间的一次函数关系式为， 将，和，分别代入， 得    解得 ∴与之间的函数关系式为； （2）当时，，    ∴当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有千米的路程． 2．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，．点P从点A出发，沿运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t秒，的面积为S． (1)写出S关于t的函数解析式：当时，函数解析式为__________；当时，函数解析式为；当时，函数解析式为__________； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出______， ______． (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当______时，． 【答案】(1)； (2)2；4 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据三角形面积公式，写出函数解析式即可； （2）根据函数解析式，得出m、n的值即可； （3）根据表格中的数据先描点，再连线即可； （4）把分别代入和，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴， ∵E为的中点， ∴， 当时，点P在上，，则： ； 当时，点P在上，，则： ； （2）解：把代入得：，即； ∵时，函数解析式为， ∴时，，即； （3）解：函数图象，如图所示： （4）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； 综上，当或时，． 3．小明在学习一次函数之后，对学习过程进行反思：在学习一个新函数的时候，我们从“数”和“形”两方面研究函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 问题一：认识函数 （1）函数中自变量x的取值范围是__________； A．    B．任意实数   C．        D． （2）如表是y与x的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 2 3 4 … 直接写出表格中的值是_______； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ①方程有几个解； ②当时，的取值范围是_______； 问题三：反思延伸 （4）若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是____． 【答案】（1）B；（2）2；（3）画图见解析，①2，②；（4） 【分析】（1）由被开方数大于等于零得是任意实数； （2）将代入求值即可； （3）描点，连线画图即可； ①直接根据图象可得方程的解； ②根据图象求解即可； （4）由题意得函数图象的对称轴是直线，当时，随的增大而减小，而时，随的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小，当，，都有，故在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则，由于，，则，得． 【详解】（1）解：∵， ∴自变量x的取值范围是任意实数； （2）解：将代入， ∴； （3）解：函数图象如图所示： ①∵， 由图象可得：，， ∴方程有2个解； ②当时， 由图象得，时，最小值是，当时，最大是3， ∴的取值范围是； （4）解：由题意可得，函数图象的对称轴是直线， 当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大， ∵函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小， ∵当，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则， ∵当，， ∴， ∴的取值范围是． 4．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【答案】(1)表格见解析 (2)，是 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）根据题意，每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，计算即可得出答案； （2）根据（1）中的结论每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，那么张长方形白纸黏合后会减少，由此可得到解析式，再判断是不是的一次函数即可； （3）把代入（2）中的关系式，若为整数，即可达到总长度为，反之则不能． 【详解】（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，规律型图形变化类，根据题意找出图形变化的规律列出函数关系式是解决本题的关键． 5．在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函 数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)点与点_____是一对“对偶点”． (2)判断：点的对偶点__________函数的图象上（填写“在”或“不在”）； (3)当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系； (4)若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件． 【答案】(1) (2)不在 (3)点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3 (4) 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据对偶点的定义求解即可； （2）求出点的对偶点坐标，再看该点是否在对应的函数图象即可得到答案； （3）设，则，据此求出点B的横纵坐标的关系即可得到答案； （4）设点是一次函数的图象上一对“对偶点”，则点是一次函数的图象上一点，利用待定系数法推出，再根据对偶点不重合得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得点与点是一对“对偶点”， 故答案为：； （2）解：由题意得，点的对偶点为， 在中，当时，， ∴点不在直线上， 故答案为：不在； （3）解：∵点在直线上运动， ∴设， ∴的对偶点的坐标为， ∴点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系为点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3； （4）解：设点在一次函数的图象， ∵关于的一次函数是“对偶函数”， ∴点的对偶点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点和点不重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2 列一次函数解析式并求值 6．某公司拟采购一辆运输车，现面临传统燃油（汽油）车与电车两种选型方案．一辆传统燃油车的购买成本是13万元，每千米的燃油费用为元；一辆电车的购买成本为20万元，每千米的电费为元．设车辆行驶路程为（单位：万千米），传统燃油车总费用为（单位：万元），电车的总费用为（单位：万元）． (1)请写出，关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (2)若公司预算不超过25万，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？ (3)在平面直角坐标系中，分别画出两个函数的图像．观察图像，根据运输业务，当车辆的总路程达到50万千米，你认为购买哪种车更合算？ 【答案】(1)， (2)传统燃油车最多行驶8万千米，电车最多行驶6.25万千米，选择传统燃油车 (3)图见解析，选择购买电车 【分析】（1）直接根据题意列函数关系式即可； （2）分别求得、两种情况下x的取值范围，然后比较即可解答； （3）先根据题意画出函数图像，然后根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，． （2）解：令，即，解得． 令，即时，解得． ∵，所以即在预算范围内，传统燃油车行驶的总路程更长，所以选择传统燃油车． （3）解：根据题意画函数图像如下： 由图像可知，当行驶总路程为50万千米时，电车的总费用明显低于传统燃油车，所以选择购买电车． 7．如图，在平面直角坐标系中，，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，C． (1)直接写出点A，C的坐标； (2)点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着路线运动一周（点P不与点O重合）．设点P的运动时间为t秒． ①当时；求点P到x轴、y轴的距离； ②当点P在折线上时，连接，，，当与均存在，且时，求t的值； ③原点O关于的对称点为E，点F的坐标为，连接，，当最小时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2； ②或； ③点P的坐标为或 【分析】（1）轴，轴，故，，直接写出坐标即可； （2）①求出点P的运动路程，判断点P的位置，再计算即可； ②分类讨论点P在和上的情况，用含t的式子表示三角形的面积，列方程求解即可； ③由两点之间线段最短判断点P在线段上，根据点的对称的坐标规律得到E的坐标，求出直线的解析式，代入对应的横坐标和纵坐标，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，可知轴，轴， ∴，； （2）解：①由题意，可知，， 当时，点P的运动路程为3， ∵， ∴点P在上，， ∴点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2； ②分两种情况， 第一种，当点P在上时，，如图， 此时，， ， 令，则； 第二种，当点P在上时，，如图， 此时， ， 令，则； 综上，或； ③由点的对称的坐标规律可知，， 如图，当点P在线段上时，最小， 设直线：， 代入，，得，解得， ∴， 当时，； ∴； 当时，，解得， ∴． 8．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 【答案】(1)，（，且为整数） (2)当为整数，且时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当为整数，且时，选择甲商场划算 【分析】本题考查的是列函数关系式，一元一次不等式的应用. （1）根据两种不同的优惠方式列函数关系式即可. （2）当时，，，则，当时，且为整数，再分三种情况求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：当时，且为整数， ，. （2）解：当时，，，则， 当时，且为整数， 分三种情况，①，即， 解得时， 当时，选择乙商场划算； ②当，即， 解得时，选择两家商场一样划算； ③当，即， 解得时，选择甲商场划算； 综上：当，为整数时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当，为整数时，选择甲商场划算． 9．乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 【答案】问题1：选择套餐A的员工40人，选择套餐B的员工40人；问题2：． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键． 问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； 问题2：分和列出函数关系式即可． 【详解】解：问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人． 根据题意，列方程组：，解得：． 答：选择套餐的员工40人，选择套餐的员工40人； 问题2，当时， ； 当时， ． 综上所述． 10．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，列一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：． （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 题型3 一次函数图象与坐标轴的交点问题 11．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）先把点纵坐标代入正比例函数解析式求出，确定点横坐标，再将、两点坐标代入一次函数用待定系数法求解析式； （2）求出点的坐标后以为底，点横坐标为高，套用面积公式算面积； （3）设点的坐标为，然后表示出，，，分、、三种情况分类讨论，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：在上， 将点坐标代入可得，， 解得， 点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：如图，过点作轴， 已知一次函数的解析式为， 当，可得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 故． （3）解：设点的坐标为， ，， ，，， 当时，， 可得， 解得或， 若，点与点重合，舍去， 此时点的坐标为； 当时，， ， 解得或， 此时点的坐标为或； 当时，， 可得， 解得， 此时点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或． 13．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且，且点D的纵坐标为． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请直接写出坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，， 【分析】（1） 利用证明，得到，，再根据直线的解析式求出、坐标，进而得到坐标；然后利用待定系数法求直线的解析式．   （2）以为底、为高计算的面积．   （3）利用三角形三边关系，当点在直线与轴的交点处时，取最大值，由勾股定理求的长． 【详解】（1）解：作轴于点，   ，，，   ∴（），   ，．   由，令得 ， ，；   令得， 解得， ，．   ，，，   点的坐标为．   设直线的解析式为，   代入和得：      解得，，   直线的解析式为． （2）解：由，得 ，   由得，且，   ． （3）解：存在．   延长交轴于点， 则的最大值为线段的长．   令代入得 ， ．   在中，，，   由勾股定理得 ．   点的坐标为时，的最大值为． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，且四边形是菱形． (1)使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形． (2)根据（1）中的作法，完成下面的证明； 证明： ， ， 四边形是平行四边形．（ ）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（ ）（填推理的依据） (3)若直线的表达式为，直接写出菱形的面积和直线的表达式． 【答案】(1)解：所求图形如图所示； (2)；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (3)菱形的面积为24，直线的表达式为 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据题意的证明思路，结合菱形的判定方法解答即可； （3）对于直线，分别令，令，求出点A，B的坐标，得到菱形两条对角线的长，根据菱形的面积计算方法求解即可．运用待定系数法即可求出直线的表达式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：对于直线， 令，则，解得， 令，则， ∴，， ∴，， ∴在菱形中，，， ∴． ∵， ∴， 设过点，的直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 15．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②存在， 【分析】(1) 由直线分别令、求出、坐标；在中，利用和，由勾股定理求，从而确定坐标． (2) 沿翻折得到，则，．过作轴于点，在中用勾股定理求、，从而确定坐标． (3) ①由在轴上且，可证四边形为矩形，则对角线，要使最小只需最小，当时垂线段最短，由为等腰直角三角形得为中点，从而求坐标． ②由得，即射线平分，故在的平分线上．设平分线交轴于点，用等面积法求，再求直线解析式，令求坐标． 【详解】（1）解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． （2）解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． （3）①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 题型5 一次函数图象与对称问题 21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别令求解即可； （2）先求出点关于y轴的对称点坐标为，再根据待定系数法求解即可 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， 所以，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：点关于y轴的对称点坐标为， 设直线关于轴对称的直线解析式为， 把和代入上式得，解得：， ∴． 22．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 23．问题：探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中a的值为________； ②若为该函数图象上的点，则________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质： (4) 【答案】(1)①0；②或12 (2)如图所示： (3)①4；②函数的图象关于y轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想，正确画出函数图象是解题的关键． （1）①代入x的值即可求出a；②把代入求值，即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：①把代入，得， 故答案为：0； ②把代入，得， 解得或12， （2）解：略； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 24．如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)7或1或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据点P的横纵坐标解答即可； （3）分别求出直线过点B，A是函数解析式，即可； （4）求出直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，，然后分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵动点P的横坐标，纵坐标， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：设直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； ∴a的取值范围为； （4）解：由（1），（2）得：直线的函数表达式为，直线l的解析式为， ∴直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，， 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 综上所述，t的值为7或1或． 25．（1）【知识结论】 我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________； （2）【拓展探究】 我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________； ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________； （3）【学以致用】 将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．    【答案】（1）；（2）①，，；②；（3） 【分析】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，平移、对称的性质，熟练掌握相关知识是解本题的关键． （1）根据平移的规律求解即可； （2）①根据坐标的平移规律求出，的坐标，进而根据待定系数法求解即可；②同①在一次函数的图象上任取两点，，求出关于轴对称的点，进而根据待定系数法求解即可； （3）同（2）方法求出，可知，分三种情况求出的值，可知，，求出在的取值范围，进而可知中的取值范围，进而可知的范围． 【详解】解：（1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为， 故答案为：； （2）①，两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 解得， 直线对应的函数表达式为， 故答案为：，，； ②在一次函数的图象上任取两点，，则，两点关于轴的对称点为，， 设直线的解析式为，将，代入得， 解得， 直线的解析式为，即一次函数的图象关于轴对称的函数表达式为， 故答案为：； （3）， 函数与轴交点为，与轴交于点． 这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，． 将其向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点的坐标分别为， 函数的解析式为． ， 当时， ， 随的增大而减小． 当时，， 当时，代入，得到， ， ，矛盾，不合题意，舍去； 当，即时， ， 随的增大而增大， 当时，， ， ，不合题意，舍去； 当，即时， 由图象知函数最小值为． ， ， ，， ， 当时，， 当时，， 当时，，则， 当时，，则， ， ．    题型4 一次函数图象平移问题 16．按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数平移规律以及用待定系数法求函数解析式． （1）根据函数平移规律“上加下减，左加右减”，可以求得平移后的解析式； （2）设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B．先求出点A，点B的坐标，再按照坐标平移规律求出平移后的对应点坐标，最后运用待定系数法，求出平移后的函数解析式． 【详解】（1）解：； （2）解：设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B． 令，解得：， 即点； 令，解得：， 即点； ∵一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度， ∴，． 设直线对应的函数表达式为：， 将点，点代入中， 得：， 解得，， ∴直线对应的函数表达式为． 17．如图，已知直线分别与轴和轴交于，两点，点C在线段上，将沿直线翻折，点的对应点落在轴上． (1)求直线的解析式； (2)将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，点，，的对应点分别是点，，．在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点．当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，，从而可得，，由勾股定理可得，再由折叠的性质并结合勾股定理求出，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，，直线的解析式为，则，求出直线的解析式为，则平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，从而可得，，直线的解析式为，结合题意可得，则，求出，得到，由，得出，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴由勾股定理可得， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可得，，直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，直线的解析式为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，，直线的解析式为， ∵在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或 综上所述，当时，的值为或． 18．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． (1)函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． (2)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． (3)探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． (4)拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 【答案】(1)全体实数， (2)①；②；③ (3)函数向下平移个单位长度得，函数向左平移个单位长度得； (4) 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）根据函数图象进行解答即可； （4）先推导出函数，当时，随的增大而减小，得到当时，，进而推导出函数当时，，需满足对称轴，解得，即可解答． 【详解】（1）解：由图象，可知，函数的自变量的取值范围全体实数； 对于函数，当时，． （2）解：由图像，可知 ①图象与图象的交点坐标为； ②图象关于对称 ③对于函数，当时，的取值范围． （3）解：由图象，可知 函数向下平移个单位长度得， 函数向左平移个单位长度得； （4）解：如图， 函数， 当时，随的增大而减小， 即当时，， 函数的对称轴为， 且当时，， ∴函数需满足对称轴， 解得． 19．在第章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值． 【类比发现】 (1)当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，写出此函数的一条性质： ③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是 ； 【深入探究】 (2)观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？ (3)根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)①见解析；②此函数的对称轴为直线（符合要求的一条性质即可）；③ (2)若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 (3)的值为或 【分析】（1）①列表，描点，连线画出函数图象；②根据图象写出一条性质即可；③直接通过图象即可得出结果； （2）根据平移规则即可得出结果； （3）分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：列表得， … … … … 描点连线得，如图即为的图象． ②由图可知：此函数的对称轴为直线；（符合要求的一条性质即可） ③由图可知：当时，的取值范围是； （2）解：若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到． （3）解：当时， 在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∴， ∴． 当时， 在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∴， ∴． 当时， 在对称轴最小值为，与题意不符，舍去． 综上所述，的值为或． 20．如图1，直线交轴，轴于点和点，直线过点，交轴负半轴于点，直线和直线交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知直线，点是直线上一动点，且点在直线的下方，连接，，点是轴上一动点，将点向上平移2个单位长度至点，接，．当的面积为时，求的最大值； (3)如图3，令直线交直线于点，交轴于点，将直线向下平移3个单位长度得到直线，直线交直线于点，交直线于点．点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意，求得,结合直线过点，待定系数法求解即可； （2）根据面积求得，将向上平移2个单位长度，得到，连接，则四边形是矩形，得到，的最大值就转化为，连接，并延长交x轴于点T，，当S，P，E三点共线时，取得最大值，且最大值为，求解即可； （3）根据题意，得一种情况是直线的解析式为，令，得，；另一种情况，作线段的垂直平分线，交于点X，得直线的解析式为，令，得，故； 【详解】（1）解：∵直线交轴，轴于点和点， 当时，，解得， ∴； 当时，， ∴；， ∵， ∴， 解得， ∵点C在x轴的负半轴， 故, ∵直线过点，交轴负半轴于点， ∴，，解得， ∴直线． （2）解：根据题意，得， 解得， 故， ∵点P在直线上， 不妨设，过点P作轴，交于点W， 则， ∴， ∵的面积为， ∴ ∴， 解得， 故， 将向上平移2个单位长度，得到，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴的最大值就转化为， 连接，并延长交x轴于点T， ∵， ∴当S，P，E三点共线时，取得最大值，且最大值为， 故当点E与点T重合时，取得最大值， 故； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设与x轴的交点为U， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 且， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， 根据题意，得， 故， 解得， 故， 故， 解得 故直线的解析式为， 令，得， 故； 根据题意，得， 解得， 故， 作线段的垂直平分线，交于点X， 则， 设， 故 故， 解得， 故， 故， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 令，得， 故； 综上所述，或； 题型6 根据一次函数的增减性求参数 26．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)2或 【分析】（1）根据一次函数中，时，函数是正比例函数，可得答案． （2）根据一次函数图象平行时，的值相等列方程求解即可； （3）根据一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，可得答案． （4）①根据一次函数中，时，y随x的增大而增大，则当时，最大值是4，②根据一次函数中，时，y随x的增大而减小，则当时，最大值是4，可得答案． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数与直线平行， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象不经过第一象限， ∴， 解得； （4）解：①当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得； ②当时，即时，y随x的增大而减小， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得． 综上，m的值为2或． 27．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标； (3)若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)定点 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把函数化为，进一步可得答案； （3）当轴时，，当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则，可得，如图，当轴时，，可得：，进一步可得． 【详解】（1）解：∵直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为， ∴， 解得：， ∴直线：， （2）解：∵直线：（为常数且） ∴， ∴当时，， ∴直线：过定点． （3）解：如图，直线：过定点， 当轴时，， 当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则， ∴， 如图，当轴时， ∴， ∴， 解得：， ∴当直线上的点，满足当随的增大而减小时，则， ∴， 综上：或． 28．在函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象，根据图象研究函数的性质，运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们探究函数（为常数）图象及部分性质． (1)【特例研究】当时，即函数的图像在图①的平面直角坐标系中已画出，图像为轴对称图形，对称轴是轴． 当时，即函数，通过列表、描点、连线，探究函数的图像和性质． … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 0 1 … ①通过上表中的数据请你在图②的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察函数图象，函数的对称轴与轴的交点是________； ③观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到：函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； (2)【深入探究】 ①根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是_________； ②探究函数的图象与性质，当时，函数的最小值为4，求的值________． 【答案】(1)①见解析； ②；③右；2 (2)①；②或8 【分析】（1）①先描点、再连线即可画出函数图象；②观察函数图象即可得出结果；③观察函数图象，并结合一次函数图象平移的法则即可得出结果； （2）①观察函数图象即可得出结果；②分三种情况：当时，函数在上，随着的增大而减小；当时，函数在上，随着的增大而增大；当时，函数的最小值为，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①画出函数的图象如图所示： ②观察函数图象，函数的对称轴与轴的交点是； ③观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到：函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位长度得到； （2）解：①根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是； ②当时，函数在上，随着的增大而减小，故当时，取得最小值，即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，函数在上，随着的增大而增大，故当时，取得最小值，即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，函数的最小值为，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或8． 29．综合与探究 【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点Q的纵坐标满足： 则称点Q为点P的“关联点”． 例如：点“关联点”的坐标是，点“关联点”的坐标是． 【特殊感知】 (1)点“关联点”的坐标为______； 【问题解决】 (2)已知点在函数的图象上，点是点P的“关联点”： ①求关于x的函数解析式； ②若点Q的纵坐标为5，求点Q的横坐标； ③当时，的取值范围是，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②7或 ；③ 【分析】（1）根据“关联点”的含义即可完成； （2）①根据“关联点”的含义分与，即可求解； ②根据①所求即可求解； ③分及，根据的表达式及取值范围即可确定m的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴点“关联点”的坐标为； （2）解：①∵点在函数的图象上， ∴， 当时，； 当时，； 综上，； ②当时，，解得； 当时，，解得； 综上，点Q的横坐标为7或； ③当时， 此时，则函数值随自变量的增大而减小， ∴， 当时， 若，此时，则函数值随自变量的增大而增大， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∵当时，的取值范围是， ∴，解得：． 30．如图1，若一次函数图象经过，，则有．例如：一次函数的图象经过和，则有． (1)若点，在一次函数图象上，则______； (2)若一次函数在范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值； (3)如图2，点A，B在直线上，点C，D在直线上，已知轴，轴，且，求与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，坐标和图形，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据一次函数的增减性，进行求解即可； （3）根据轴，轴，得出，，，根据题意得出，，求出，最后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，在一次函数图象上， ∴； （2）解：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，当时，函数有最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴； 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴； 综上，； （3）解：；理由如下 ∵轴，轴， ∴，，， 根据题意可得：， ， ∴， ∵， ∴，即． 题型7 一次函数的规律探究问题 31．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 32．含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，， 【探究】 (1)点的坐标是______； (2)点的坐标是______； (3)点的坐标是______（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过作轴于，由菱形的性质可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标； （2）过作轴于，四边形是菱形可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标； （3）由（1）（2）的证明，同理可得，，进而可得． 【详解】（1）过作轴于，则， 四边形是含的菱形， ， 是等边三角形， ， ，， ，， ，， ， 在中，， ． 故答案为：． （2）过作轴于，则， 四边形是含的菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， 在中，， ； 故答案为：． （3）由（1）（2）同理可得，，，，则点， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，得到的坐标规律； 33．某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有，根据题意列式即可； （2）设裁完这些纸板共需，根据题意写出函数，再利用函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解：设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有张， 由题意得 ∴， ∴按C种裁法裁剪的纸板有（张）， 故答案为：；； （2）解：设裁完这些纸板共需， 根据题意，得．         ∵， ∴z随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，z取最小值，最小值为． 答：裁完这些纸板的时间的和至少为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意写出一次函数的解析式是解题的关键． 34．在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值； (2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　． 【答案】(1)8 (2)图见解析，N 【分析】（1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （2）求的当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【详解】（1）解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限． ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点． ∴． ∴ 答：b的最大值为8； （2）当时，图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线运动的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． 35．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【详解】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 题型8 直线与坐标轴交点和方程的解问题 36．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于的不等式组的解集； (3)若点，直接写出关于的不等式的解集； (4)在（3）的条件下，求出的面积． 【答案】(1)， (2) (3) (4)18 【分析】（1）关于的方程的解是直线与轴交点的横坐标；关于的不等式的解集是直线 在轴下方的部分对应的自变量的取值范围； （2）由图可分别得出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集； （3）关于的不等式的解集是直线 在直线上方的部分对应的自变量的取值范围； （4）直接利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的方程的解是． 由图可得，关于的不等式的解集是． （2）解：由图可得，不等式的解集为， 由图可得，不等式的解集为， ∴不等式组的解集为． （3）解：由图可得，关于的不等式的解集是． （4）解：． 37．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析． 【分析】（1）方程的解为函数的图象与的交点横坐标； （2）不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的取值范围； （3）根据题意可得，即可得的取值范围； （4）从形式、图象、本质关系进行分析说明即可． 【详解】（1）解：根据图象可得方程的解为． （2）解：根据图象可得不等式的解集为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系： 形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到； 图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集； 本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式． 38．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”：令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为__________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”． ①求出点和点的坐标． ②若点为轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)①，；②或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ②先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； （3）解：①∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴当时，；当时，， ∴，； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 39．研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 【答案】(1)， (2)10 (3)轴对称的性质；两点之间，线段最短 (4) (5) 证明：如图， ∵点、点关于轴对称， ∴， 又， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特征求出的坐标，待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求解即可； （3）根据轴对称的性质和线段公理解答即可； （4）待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （5）根据轴对称的性质得出，然后根据余角的性质即可得证． 【详解】（1）解：∵，A、关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵A、关于x轴对称， ∴； 由（2）知：， ∴轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是两点之间，线段最短； （4）解：作点关于轴对称的点，则，连接交x轴于D， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （5）略 40．一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）先求出点B和点C的坐标，然后分三种情况求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为； （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是； （3）解：对于，当时，， ∴， ∴． 对于，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，    ∴， ∴． 当时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当时，如图，    设， 则 解得 ∴． 综上可知，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 题型9 一次函数与不等式的解集 41．已知一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出一次函数的图象； (3)点在直线上，那么m_____n（填“＞”或“＜”号）； (4)结合图象回答：当时，x的取值范围是________________． 【答案】(1) (2)解：如图所示，直线即为所求； (3) (4) 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再连接成直线即可； （3）根据一次函数的图象与性质进行求解即可； （4）根据一次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）略 （3）解：∵， ∴一次函数的y随着x的增大而减小， ∵点在直线上，且， ∴； （4）解：由图象，可得 当时，． 42．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】(1)当时，，当时， (2)图象见解析；性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； (3)或 【分析】（1）先求出，再直接利用三角形面积公式即可求解； （2）直接画出图象并观察图象特征即可求解； （3）直接观察图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴ 当时，， 当时，， （2）解：图象如图所示： 性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ； （3）由图象可知， 当时，或， 解得：或， 当时，自变量x的取值范围是或． 43．已知一次函数的图象经过点和． (1)在平面直角坐标系中画出该一次函数的图像； (2)直接写出不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用描点法画出一次函数图象即可； （2）利用待定系数法求出一次函数解析式，求出与轴的交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）求出该一次函数图象与直线的交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵，， ∴一次函数的图象如图所示： （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴该一次函数与轴的交点坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集为． （3）解：联立该一次函数解析式与得，， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集为． 44．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 45．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． 列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为 ；在直角坐标系中画出该函数图像 (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当 时，函数有最大值，最大值为 ； ②以下是关于该函数图像的一些性质，其中正确的为   （只填写序号）； A．函数图象关于直线对称； B．当时，随的增大而减小； C．当时，； D．函数y没有最小值； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为 ． 【答案】(1)； (2)①；2；②ABD (3)或 【分析】（1）根据表格，得出当时，，再代入解析式求值；②在图中描出对应的点，③在图中画出函数图象，注意点为转折点； （2）①找到图中最高点，可得结果；②根据图象，逐项判断即可； （3）先将点关于直线对称，得对称点，再根据点与直线的位置关系分类讨论，由，结合函数增减性，列不等式求解，最后综合得出的取值范围． 【详解】（1）由表可知，当时，，代入解析式， 可得， 描点，连线如下图所示： （2）解：由图知，当时，函数有最大值，最大值为2； 函数图象关于直线对称，A正确，符合题意； 当时，随的增大而减小，B正确，符合题意； 当时，或，故C错误，不符合题意； 函数y没有最小值，D正确，符合题意； （3）解：由图知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 又函数图象关于直线对称， 点关于直线的对称点也在函数图象上， 当点在直线左侧时，点在直线右侧， ，， 由得，或 ，解得或， 或； 当点在直线右侧时，点在直线左侧， ，， 由得，或，解得或， ； 当点在直线上时，，，， ，，有，符合题意； 综上可知，当或时，总有. 题型10 一次函数与二元一次方程组 46．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)的面积是__________； (3)直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的值：__________ 【答案】(1)； (2)3 (3)或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点和两个一次函数的交点坐标求法，即可求解； （2）先求得点的坐标，再结合（1）的点的坐标，即可求解； （3）由题意可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴； ∵直线与直线相交于点， 联立，得， 解得， ∴． （2）解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵直线与直线、直线分别交于点、点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得，或， 解得或， ∴的值为或． 47．已知直线：与分别相交于两点，直线：与分别相交于两点，与相交于点． (1)求点的坐标； (2)求证：； (3)已知点，点分别是直线和轴上的动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）联立两个一次函数即可求出点的坐标； （2）根据题意得出，，，然后利用勾股定理及其逆定理得出，即可证明； （3）作点P关于直线的对称点，作点P关于x轴的对称点，得出当且仅当四点共线时，的周长最小为，结合一次函数的性质得出所在直线的函数解析式为：，设点，得出即，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：联立两个函数解析式：， 解得：， ∴； （2）略 （3）解：作点P关于直线的对称点，作点P关于x轴的对称点， ∴，， ∴的周长为：， 当且仅当四点共线时，的周长最小为， 由（2）得， ∴， ∴所在直线的函数解析式为：， 设点， ∴即， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 48．二元一次方程有无数组解，每组解记为，被称为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，这条直线是亮点的隐线，回答下列问题： (1)已知，，，则是隐线亮点的是点___________； (2)设，是隐线的两个亮点，求关于，的方程中，的最小正整数解； (3)已知，是实数，且，若是隐线的一个亮点，求隐线表达式中的最大值与最小值的和． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）将点，，分别代入隐线方程，检验左右两边是否相等即可； （2）由点，在隐线上，代入得方程组解得，．将结果代入目标方程化简得，变形为，再求最小正整数解即可； （3）由在隐线上得，结合已知消去得．由得，再分别求出最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：由题意， 将代入隐线得，， 不是隐线的亮点， 将代入隐线得，， 是隐线的亮点， 将代入隐线得，， 不是隐线的亮点． （2）解：，是隐线的两个亮点， 可得，． 把代入，得， ， ，都为正整数， 最小正整数解为． （3）解：是隐线的一个亮点， ， ，， ， ，， ， 当时，有最大值，最大值为14， 当时，有最小值，最小值为， 的最大值与最小值的和为． 49．【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】 某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】 (2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】 (3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 【答案】(1)描点见解析 (2) (3)①无解；②， 【分析】（）在平面直角坐标系中描点即可； （）根据二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标求解即可； （）①根据图象解答即可； ②把点的坐标代入方程，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：描点如图所示： （2）解：∵二元一次方程组的解是， 那么直线与的交点坐标是； （3）解：①由图象可知，图象和图象平行， ∴方程组无解； ②把和代入方程， 得， 解得， 即，． 50．在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 【答案】(1)上方，下方 (2) (3)①；② 【分析】（1）理解题意并结合图象即可解答； （2）根据图象即可得阴影部分在直线的上方，直线的下方，即可得对应的不等式组； （3）①在平面直角坐标系中，画出和的图象，再求出两直线的交点，结合图象，根据三角形的面积公式即可求解； ②由图可知，当过点时，b取最小值；当过点时，b取最大值；分别求出对应的b值，即可得b的取值范围． 【详解】（1）解：不等式可以表示为直线及其上方的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其下方的所有点组成的平面区域； 故答案为：上方，下方； （2）解：由图象可知，阴影部分在直线的上方，直线的下方， ∴图2阴影部分（含边界）是（填写不等式组）表示的平面区域； （3）解：①不等式组， 在平面直角坐标系中，画出和的图象，如图， 由图得，即为不等式组的解集所在的区域G， 区域G的面积， 解，得， ∴， ∴区域G的面积； ②由图可知，当过点时，b取最小值，； 当过点时，b取最大值， 将代入得，， 解得． ∴与区域G有交点时b的取值范围为． 题型11 求直线围成的图形面积 51．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点与点． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）把代入解析式，求出k的值，把点B的坐标求出m的值即可； （2）根据三角形面积公式，求结果即可； （3）求出直线的解析式，然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， ∴， 将代入，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴， ； （3）解：设直线的解析式为， 将点A的坐标代入得，， 解得， ∴， 则，即为直线在x轴上方，且在直线下方， ∴不等式的解集为：． 52．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由“亮点”直接求解即可； （2）由“亮点”定义得到是方程组的解，从而得到关于，的方程组求解即可； （3）由题意先求出直线的表达式，作出图形，再由及三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组：，解得， 则的“亮点”为； （2）解：一次函数的“亮点”为， 是方程组的解， 则，解得； （3）解：当时，；当时，； 直线与轴交点，与轴交点， 直线上没有“亮点”， 一次函数与正比例函数没有交点， 即一次函数图象与正比例函数图象平行， ，即直线的表达式为， 直线与轴交点，与轴交点， 设，如图所示： ，， ， ，即， 则或， 解得或， 满足条件的点的坐标为或． 53．如图，已知函数和的图象相交于点P，点P的横坐标为1． (1)关于x，y的方程组的解是 ． (2)a的值为 ． (3)求出函数和的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）先求出两条直线的交点坐标，进而得出答案； （2）将点代入可解答； （3）先求出两条直线与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点． ∵函数和的图象相交于点， ∴方程组的解是； （2）解：将点代入，得， 解得； （3）解：由（2）知， 当时，解得，可知直线与x轴交点坐标为； 当时，解得，可知直线与x轴交点坐标为， ∴两条直线与x轴围成的三角形的面积是． 54．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）把代入解析式，求出的值，把点的坐标代入求出的值即可； （2）根据函数图象求出不等式的解集即可； （3）设直线于轴的交点为，先求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可. 【详解】（1）解：将代入，得： ， ， 将代入，得： ， 解得：． （2）解：根据函数图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为：． （3）解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为，如图， ． 55．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． (4)在平面内找一点M，使以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M点坐标 【答案】(1)直线为，直线； (2)6； (3)； (4)M点坐标为或或． 【分析】（1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解； （4）设M点坐标为，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线； （2）解：连接， ∵直线与轴相交于点， 当时，得，解得，即点，， 当时，得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴； （3）解：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵，， ∴结合函数图象可得，； （4）解：设M点坐标为， ∵，，， 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴M点坐标为； 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴M点坐标为； 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴M点坐标为； 综上，M点坐标为或或． 题型12 分配方案问题 56．八年级学生在数学实践课上进行了项目式学习研究． 停车场充电桩采购 素材1 某停车场为加快充电基础设施建设，计划采购、两种型号的充电桩．市场调研发现：型号充电桩的单价比型号充电桩的单价少0.2万元，且用12万元购买型号充电桩的数量与用15万元购买型号充电桩的数量相同． 素材2 根据停车场实际布局规划，需购买、两种型号的充电桩共20台，且型号充电桩的数量不多于型号充电桩数量的． 解决问题 (1)求、两种型号充电桩的单价（单位：万元）． (2)若该停车场购买这批、两种型号充电桩所需的总费用为y（单位：万元），求的最小值． 【答案】(1)型号充电桩的单价为0.8万元，型号充电桩的单价为1万元 (2)18.4万元 【分析】（1）设型号充电桩的单价为万元，则型号充电桩的单价为万元，根据数量相等列出分式方程求解； （2）设购买型号充电桩台，则购买型号充电桩台，根据“型号充电桩的数量不多于型号充电桩数量的”列出不等式，求出的值，可得型号充电桩的数量，再结合（1）的单价可求总费用． 【详解】（1）解：设型号充电桩的单价为万元，则型号充电桩的单价为万元， 由题意得， 解得 ， 经检验， 是所列方程的解且符合题意， ， 答：型号充电桩的单价为0.8万元，型号充电桩的单价为1万元． （2）解：设购买型号充电桩台，则购买型号充电桩台， 根据题意得，解得 ， 由题意可得 ， ， 随的增大而减小， 当 时，有最小值，为 ． 57．综合与实践 背景 第十五届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景． 图片 素材一 某中学准备举行“第十五届全运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 (1)甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 (2)如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)甲规格每套吉祥物70元，乙规格每套吉祥物90元 (2)购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，根据已知条件列出分式方程和不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设甲规格每套吉祥物x元，则乙规格每套吉祥物元，根据题意列出分式方程，解方程即可，注意检验是否为分式方程的解； （2）设甲规格购买了y套，乙规格购买了套，购买的总费用，根据题意列出不等式，求出购买的总费用，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲规格每套吉祥物x元，则乙规格每套吉祥物元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根， 则， 答：甲规格每套吉祥物70元，乙规格每套吉祥物90元； （2）解：设甲规格购买了y套，乙规格购买了套，购买的总费用， 根据题意可得：， 解得：， 则购买的总费用是， ， 随着y的增大而减小， 当时，最少费用是（元）， 此时（套）， 答：购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少． 58．学校安排192名学生外出研学一天，旅游公司有两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 1 1 37 2 3 96 (1)求两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； (2)为了将每位学生安全送往研学地，学校向旅游公司租用型和型中巴车共10辆， ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②已知每辆型中巴车每天的租金500元，每辆型中巴车每天的租金800元．要使总租金最少，应该选择哪种租车方案？ 【答案】(1)种型号中巴车满载时可乘载15人，种型号中巴车满载时可乘载22人； (2)①4种； ②租4辆型中巴车和6辆型中巴车时，总租车费用最少． 【分析】（1）设种型号中巴车满载时可乘载人，种型号中巴车满载时可乘载人，根据题意建立二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设租用辆型中巴车，则租用辆型中巴车，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解； ②设租了辆型中巴车，总租车费用元，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号中巴车满载时可乘载人， 种型号中巴车满载时可乘载人． 根据题意得，， 解得， 答：种型号中巴车满载时可乘载15人，种型号中巴车满载时可乘载22人． （2）①设租用辆型中巴车，则租用辆型中巴车， 由题意得，， 解得，， 两种车都要租，，且为正整数， ， 学校共有4种租车方案； ②设租了辆型中巴车，总租车费用元， 由题意得，， ， 越大，越小， 由①可知，最大为4， 租4辆型中巴车和6辆型中巴车时，总租车费用最少． 59．综合与实践 2026年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元；5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次；每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决： (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【分析】（1）先设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，，再根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （2）先设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，再根据题意列出不等式，进而得出，再设每日总服务人次为，得出，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得，， 解得，． 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元． （2）解：设采购四足机器人台，（且为整数），则采购人形机器人台， 根据题意得，， 解得，． 设每日总服务人次为， ． ， 随的增大而减小， 当取最小值时，有最大值， ， 此时，， 故采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 60．健康中国，营养先行．年月日-日是第十一届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐的菜品如图所示． (1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为克、克，求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克． 清蒸鱼块(每克) 滑炒鸡丁(每克) 蛋白质/克 脂肪/克 (2)已知每份素炒时蔬克（只含有芹菜和西兰花，其他调料忽略不计），每克芹菜与每克西兰花分别含有克、克的膳食纤维和千卡、千卡的热量，按配餐健康要求，需使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于克且热量最低，则每份素炒时蔬应该如何搭配？ 【答案】(1)每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克 (2)每份素炒时蔬中应搭配有克西兰花，克芹菜 【分析】（1）设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克，根据每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪含量列二元一次方程组，解方程即可得到答案. （2）设每份素炒时蔬中西兰花有克，则芹菜有克，根据每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于克列关于的一元一次不等式，解得，设每份素炒时蔬的总热量为千卡，得出关于的一次函数，根据一次函数的图象和性质，得出当时，有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克， 根据题意可列方程，解得， 答：每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克； （2）解：设每份素炒时蔬中西兰花有克，则芹菜有克， 根据题意可列方程 ，解得， 设每份素炒时蔬的总热量为千卡， 则． ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值，此时． 答：每份素炒时蔬中应搭配有克西兰花，克芹菜． 题型13 最大利润问题 61．烩面是河南特色传统面食，是一种荤、素、汤、菜、饭兼而有之的豫菜．其以优质高筋面粉为原料，辅以高汤，搭配多种配菜，以味道鲜美、汤好面筋、经济实惠、营养丰富的特点享誉中原．某烩面馆推出A，B两种套餐，A套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；B套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元． (1)一碗烩面和一小份凉菜的价格分别为多少元？ (2)每碗烩面的利润为5元，每小份凉菜的利润为2元．根据市场需求，烩面馆每天准备的B套餐数量比A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐的总份数不超过95份，假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该烩面馆每天应准备多少份A套餐？最大利润为多少？ 【答案】(1)一碗烩面的价格为16元，一小份凉菜的价格为7元 (2)为使利润最大，烩面馆每天应准备25份A套餐，最大利润为1625元 【分析】（1）设一碗烩面的价格为元，一小份凉菜的价格为元，根据两种套餐价格列出方程组，通过代入消元法求解； （2）设这两种套餐全部售出后的利润为W元，每天准备A 套餐份，则准备B套餐份．根据条件列出不等式确定 的取值范围，再根据利润关系列出函数关系式，根据函数性质求出最大值． 【详解】（1）解：设一碗烩面的价格为元，一小份凉菜的价格为元． 根据题意，得， 解得， 答：一碗烩面的价格为16元，一小份凉菜的价格为7元． （2）解：设这两种套餐全部售出后的利润为W元，每天准备 A套餐份，则准备B套餐份． 根据题意，得． 解得． ， ， ∴W随的增大而增大． 当时，W有最大值，最大值为1625． 为使利润最大，烩面馆每天应准备25份A套餐，最大利润为1625元． 62．兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【答案】(1)一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元 (2)面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元 【分析】（1）设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，根据题意，列出不等式求出的范围，设当日总利润为，列出一次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）解：设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元． 根据题意可得，解得，． 答：一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元． （2）解：设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，设当日总利润为． 根据题意可得， 解得：； 同时，A、B套餐数量为非负整数数，需满足，解得（m为整数）． 故（m为整数）； 则当日总利润：． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， ∴面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元． 63．某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售．A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完．两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式； (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 【答案】(1)y=30x+17000 (20≤x≤80) (2)分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元 【分析】（1）设分配给甲电商专卖店A型产品x件，再表示出分配给甲电商专卖店B型产品数量，以及分配给乙电商专卖店A、B型产品的数量，结合利润售价成本，即可求出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设分配给甲电商专卖店A型产品x件，则分配给甲电商专卖店B型产品件，分配给乙电商专卖店A型产品件，B型产品件， 由题意得： ， 又， ， y关于x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时（件），（件），（件）， 即分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元． 64．某童装店到厂家选购、两种服装 若购进种服装件，种服装件，需要资金 元，若购进种服装件，种服装件，需要资金 元． (1)求、 两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件种服装可获利元，销售一件 种服装可获利元 根据市场需求，购进种服装的数量要比购进 种服装的数量的 倍还多件，设购进 种服装件，全部售出后获得的总利润为，试用含的代数式表示总利润？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：种服装购进数量不超过件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于 元请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【答案】(1)种服装的进价是元，种服装的进价是元 (2) (3)有三种进货方案：方案一：购进种服装件，购进 种服装件；方案二：购进种服装件，购进 种服装件；方案三：购进种服装件，购进 种服装件；应该选择方案三利润最大 【分析】（1）设种服装的进价是元，种服装的进价是元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购进种服装件，则购进A种服饰件，根据题意即可建立函数关系式； （3）先列出关于的不等式组求出的整数解，继而确定几种方案，再由一次函数的性质求解最大利润． 【详解】（1）解：设种服装的进价是元，种服装的进价是元， 列二元一次方程组得：， 解得， 答： 种服装的进价是元，种服装的进价是元； （2）解：设购进种服装件， 由题意得 ； （3）解：购进种服装件，则购进种服装 件， 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得 ． 因为应该为正整数， 所以，，，则 ，，， 所以有三种进货方案： 方案一：购进种服装件，购进种服装件； 方案二：购进种服装件，购进种服装件； 方案三：购进种服装件，购进种服装件； 由于，其中 ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大，为（元）． 65．某校为筹备学校体艺节的“美食步行街节”活动，学生会需采购一批特色甜品作为奖品．已知原味双皮奶的单价为15元/份，传统姜撞奶和水牛奶的价格满足如下条件： ①购买一份姜撞奶、一份水牛奶、一份双皮奶的总价为50元； ②购买2份水牛奶的花费，比购买1份姜撞奶多10元； ③购买3份姜撞奶的花费，与购买4份水牛奶的花费相同． (1)请你从以上三个条件中任选两个作为已知条件，求出姜撞奶和水牛奶的单价； (2)考虑到预算和口味搭配，最终决定购买姜撞奶和水牛奶共10份，且要求水牛奶的份数不超过姜撞奶份数的2倍．请问购买多少份姜撞奶时，总花费最少?并求出最少费用． 【答案】(1)姜撞奶单价为20元，水牛奶的单价为15元 (2)购买4份姜撞奶时，总花费最少，最少费用为170元 【分析】（1）选②、③作为已知条件，设姜撞奶单价为x元，水牛奶的单价为y元，列出二元一次方程组，进行求解即可； （2）设购买a份姜撞奶，花费记为w，根据题意，列出不等式和一次函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可. 【详解】（1）解：选②、③作为已知条件． 设姜撞奶单价为x元，水牛奶的单价为y元，得， 解得 答：姜撞奶单价为20元，水牛奶的单价为15元． （2）解：设购买a份姜撞奶，花费记为w，得 ， 随a的增大而增大． 水牛奶的份数不超过姜撞奶份数的2倍， ．解得． 当时，． 所以，购买4份姜撞奶时，总花费最少，最少费用为170元． 题型14 行程问题 66．已知A，B两地相距，甲由A地出发匀速骑自行车前往B地，其与B地之间的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：）之间的关系如图所示．乙由A地出发以的速度匀速驾车前往B地． (1)甲的速度为_________； (2)求乙与B地之间的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：）之间的函数关系式． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据图中数据，利用路程、时间、速度之间的关系可得答案； （2）先计算出乙的行驶时间，分和两段，利用待定系数法求出解析式即可． 【详解】（1）解：甲的速度为； （2）解：由题意知，乙的行驶时间为：， ， 当时，乙与B地的距离， 当时，设， 将，代入，得：， 解得， 当时， 综上可知，， 67．快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．甲、乙两地之间的距离为．快车到达乙地后休息一段时间，再原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离为．快车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． (1)快车行驶的时间为_________h，慢车行驶的速度为_________； (2)在图中画出慢车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，并写出慢车离甲地的距离y与行驶时间x之间的表达式； (3)当慢车行驶_________h时，慢车与快车相遇． 【答案】(1)5； (2)函数图象如图；； (3)或6 【分析】（1）根据函数图象求解即可； （2）运用待定系数法求解函数解析式，即可作出函数图象； （3）分两种情况讨论，利用函数图象以及路程除以甲乙速度和即可求得相遇时间． 【详解】（1）解：由函数图象可得，快车行驶的时间为； ， ∴慢车的速度为 （2）解： 设慢车离甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的表达式为， 在图象上， ∴， 解得， ∴表达式为， 函数图象见答案； （3）解：第一次相遇：快车从甲地到乙地的速度为， ∴慢车出发与快车相遇； 第二次在终点相遇，则由函数图象可得慢车行驶时，慢车与快车相遇， 综上：当慢车行驶2或6时，慢车与快车相遇． 68．已知学生宿舍、书店、体育场依次在同一条直线上，书店离宿舍，体育场离宿舍，李明从宿舍出发，匀速骑行到书店买书，在书店停留了后，又匀速步行到体育场，在体育场锻炼了后，用了匀速步行返回宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 1.2 ②填空：李明从体育场返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式． (2)同宿舍的张华与李明同时从宿舍出发，张华以的速度步行直接到体育场，在从宿舍到体育场的过程中，对于同一个x的值，李明离宿舍的距离为，张华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】(1)①；；；②；③ (2) 【分析】（1）①先计算到分钟的骑行速度，再根据不同时间段的运动状态，分别求出对应时间点离宿舍的距离，完成表格填写；②用体育场到宿舍的路程除以返回所用的时间，即可求出李明从体育场返回宿舍的速度；③先确定时函数分为三段，分别设出每段的函数解析式，代入对应已知点的坐标求解系数，最后写出完整的分段函数解析式即可； （2）先写出张华离宿舍的距离关于时间的函数解析式，再分李明运动的三个时间段，分别列出的不等式并求解，结合每个时间段的取值范围舍去不符合实际的解，最后合并所有符合条件的的取值，即可得到最终的的取值范围． 【详解】（1）解：①：骑行速度为，故当时，； ：在书店停留，距离不变，故当时，； ：在体育场锻炼，距离不变，故当时，； 填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 0.6 1.2 1.2 2 ②体育场到宿舍距离为，返回用时，故速度为； ③由图像可知，当时，函数分为三段： ：函数图像为直线，经过原点和点， 设函数解析式为，代入点得 ，解得， ∴函数解析式为； ：停留阶段，； ：函数图像为直线，经过点和点， 设函数解析式为，代入点和点得 ，解得， ∴函数解析式为； 综上，当时，李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式为； （2）解：的取值范围为； 张华离宿舍的距离， 李明离宿舍的距离， 当时，分三段讨论： ：，解得，不符合题意； ：，解得； ：，解得； 综上，的取值范围为． 69．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 【答案】(1)，，， (2)当秒时，乙追上了甲 【分析】（1）由图可知，乙比甲晚出发，由乙提速前的路程除以其时间即可得到乙提速前的速度，进而求出乙提速后的速度，得到乙提速后的所用的时间，即可得到，从而可求出甲的速度，最后根据路程除以速度可求出； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，乙比甲晚出发，乙提速前的速度是， 乙提速后的速度是， 乙提速后的所用的时间为， ， 甲的速度为， ， 故答案为：，，，； （2）设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ． 设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ， 由乙追上了甲得， 解得． 答：当秒时，乙追上了甲． 70．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求“全速模式”下乙的速度； (2)求图中m的值以及线段所在直线和线段所在直线的解析式； (3)两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？ 【答案】(1)60米/分钟 (2)；； (3)两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米 【分析】（1）根据“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）分三种情况，即乙在段，乙在段，乙在段，分别计算即可解答． 【详解】（1）解：∵“基础模式”下乙机器人运动1分钟的距离为20米， ∴“基础模式”下乙机器人的速度为20米/分钟， ∵“全速模式”下乙机器人的速度是“基础模式”下乙机器人的速度的3倍， ∴“全速模式”下乙的速度为（米/分钟）； （2）解：∵乙机器人5分钟运动的距离为（米）， ∴； 设线段所在直线的解析式为，将代入得，解得， ∴线段所在直线的解析式为； 由（1）知， ∴点， 设线段所在直线的解析式为，将点，点代入， 得， 解得， ∴线段所在直线的解析式为； （3）解：设线段所在直线的解析式为，将代入得， ∴线段所在直线的解析式为， 当时，由题意得，解得（舍）， 当时，由题意得，解得， 当时，由题意得， 解得或， 综上，两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米． 题型15 阶梯计价问题 71．【情境】某城市为鼓励市民节约用水，对居民生活用水实行阶梯水价．具体收费标准如下表： 月用水量（单位：立方米） 水价（元/立方米） 不超过15立方米的部分 3 超过15立方米但不超过25立方米的部分 5 超过25立方米的部分 7 【问题】 (1)当时，写出每月水费（元）与月用水量（立方米）之间的函数关系式； (2)小海家上个月的水费为130元，请问小海家上个月的用水量是多少立方米？ 【答案】(1) (2) 30立方米 【分析】（1）根据每月的水费等于15立方米的水费加上立方米的水费，再加上超过25立方米的水费，然后整理得出关系式； （2）将代入关系式得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴当时， 即， 解得， 所以小海家上个月用水量是30立方米． 72．西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 【答案】(1) (2)2400立方米 【分析】（1）根据收费标准可直接进行求解； （2）根据题意可知在第二阶梯，然后代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数表达式； （2）解：由题意得：当时，由第一阶梯的收费标准可得：（元）， （元）， ∵， ∴此费用在第二阶梯， ∴， 解得：； 答：该户用了2400立方米的燃气． 73．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)， (2)当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 74．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)选择B方式上网学习合算，理由见解析 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间70小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，； （2）解：当时，； （3）解：每月上网时间为70小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间70小时，选择B方式上网学习合算． 75．盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】（1）根据阶梯累计计费规则，整理得到对应区间的配送费与重量的函数关系式； （2）先计算第二档的最高配送费，判断32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克 总配送费 化简得 即当时， 函数关系式为． （2）把代入， 得(元) 该包裹重量，属于第三档当时， 总配送费为 化简得 令， 得方程 ∴ 解得 答∶该包裹重量是26千克． 题型16 一次函数与几何综合 76．如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）对于，分别令，，可求出点A，B的坐标，对于，令，可求出点C的坐标，即可； （2）根据题意可得，，设点，则，可得，再由，即可求解； （3）分两种情况，结合等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点， 对于， 当时，， ∴点； （2）解：由（1）得：，， ∴，，， ∴，， 设点，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：由（1）得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点P在点C的左侧时，如图，过点A作交的延长线于点G，过点A作轴，分别过点B，G作，垂足分别为点M，N，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 当点P在点C的右侧时，如图，在线段上取点H，使，过点C作交y轴于点K，则点，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 77．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，轴于A，两点．分别过A、B两点作轴与x轴的平行线相交于点C，动点P在线段上运动（不与点O、A重合），为线段的中点，连接，并延长交于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若点P的坐标为，的面积记为S，求S关于的函数关系式； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：根据题意得， ∴， ∵为线段的中点 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）证明，得到，然后结合即可证明； （2）首先求出，，然后表示出，，然后利用平行四边形的性质得到； （3）首先表示出，得到，然后分两种情况讨论，分别根据勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵直线分别交x，轴于A，两点 ∴当时， ∴，即 当时， 解得 ∴，即 ∵点P的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴的面积； （3）解：∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ 当时， ∴ 解得 ∴； 当时，过点P作于点F ∴ 根据题意得， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点P的坐标为或． 78．在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． (1)如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． (2)如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①6；②或5 (2)或 【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5； （2）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点的坐标为，如图． ∵， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为； ②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：； 当点B在点A右侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：． 综上可知的值为或5； （2）解：∵点M的坐标为， ∴点M在直线上． ∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2， 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或． 综上可知的取值范围是或． 79．在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【分析】（1）根据“极美菱形”的定义，验证的长度即可判断； （2）①先求出两点的中点坐标，再求的长度，最后由四边形的面积计算即可； ②由四边形的面积求出的长度，进而求出的坐标，代入直线，结合图象求解b的取值范围即可； ③由四边形的面积求出的长度，再求出的长度，可得为等边三角形，即可求较小内角的度数即可． 【详解】（1）解：点M的坐标为，点P的坐标为， 点在直线上， 点，，， ， ， ，， ，， 能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点． （2）解：①如图，四边形是点M，P的“极美菱形”，连接与交于， 四边形是菱形， ，为中点， 点M的坐标为，点P的坐标为，点N的坐标为， 的中点的坐标为，即， ，， 四边形的面积． ②如图： 当四边形的面积为15， 由①得，解得， ， ，且， 为等腰直角三角形，， 在直线上，直线平分第一、三象限， 与轴正方向的夹角为， 点在轴上， ， 点的坐标为，同理可得点坐标为， 将，代入，分别解得，， 如图，当四边形与直线有公共点时，b的取值范围为． ③如图： 当四边形的面积为， 由①得，解得， ， ， 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ，即该“极美菱形”中较小内角的度数为． 80．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为、点坐标为 (1)求直线的表达式； (2)如图1，若点为线段的中点，分别是线段上的动点，，连接，以为邻边作平行四边形．当其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，求点的坐标． (3)如图2，若点的坐标为，点的坐标为连接，连接交轴于点，过作，交y轴于点，试探究的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)的面积是定值，为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据中点坐标公式求出点坐标，设，则，表示出的坐标，平行四边形的性质，推出点坐标，再根据题意，分轴将平行四边形的面积分成的两部分和轴将平行四边形的面积分成的两部分，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出直线的解析式，进而求出直线的解析式，再求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：∵点为线段的中点，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴的中点坐标为， ∵以为邻边作平行四边形， ∴的中点坐标也为， ∴点坐标为， ∵其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，分两种情况： ①当轴将平行四边形的面积分成的两部分时，如图：的面积与四边形的面积比为，即的面积为平行四边形的面积的， ∴的面积是的面积的， ∴，即点为的中点， ∵点在轴上，故点的横坐标为0， ∴，解得， ∴点坐标为，即； ②当轴将平行四边形的面积分成的两部分时，如图，则的中点在轴上， ∴，解得， ∴点坐标为，即； 综上：点坐标为或； （3）解：的面积是定值，为； 设直线的解析式为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴当时，， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴的面积，为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项6 第二十三章 一次函数压轴题型 目录 题型1 求一次函数自变量或函数值 1 题型2 列一次函数解析式并求值 4 题型3 一次函数图象与坐标轴的交点问题 7 题型4 一次函数图象平移问题 9 题型5 一次函数图象与对称问题 13 题型6 根据一次函数的增减性求参数 16 题型7 一次函数的规律探究问题 18 题型8 直线与坐标轴交点和方程的解问题 21 题型9 一次函数与不等式的解集 24 题型10 一次函数与二元一次方程组 27 题型11 求直线围成的图形面积 30 题型12 分配方案问题 32 题型13 最大利润问题 35 题型14 行程问题 37 题型15 阶梯计价问题 39 题型16 一次函数与几何综合 42 题型1 求一次函数自变量或函数值 1．2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … (1)求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 2．如图，在正方形中，E为的中点，以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，．点P从点A出发，沿运动，点P的速度是每秒2个单位长度，设点P运动的时间为t秒，的面积为S． (1)写出S关于t的函数解析式：当时，函数解析式为__________；当时，函数解析式为；当时，函数解析式为__________； (2)通过取点、画图、测量，得到了s与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 S 0 m 4 n 4 2 0 请直接写出______， ______． (3)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象： (4)当______时，． 3．小明在学习一次函数之后，对学习过程进行反思：在学习一个新函数的时候，我们从“数”和“形”两方面研究函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 问题一：认识函数 （1）函数中自变量x的取值范围是__________； A．    B．任意实数   C．        D． （2）如表是y与x的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 2 3 4 … 直接写出表格中的值是_______； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ①方程有几个解； ②当时，的取值范围是_______； 问题三：反思延伸 （4）若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是____． 4．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函 数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)点与点_____是一对“对偶点”． (2)判断：点的对偶点__________函数的图象上（填写“在”或“不在”）； (3)当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系； (4)若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件． 题型2 列一次函数解析式并求值 6．某公司拟采购一辆运输车，现面临传统燃油（汽油）车与电车两种选型方案．一辆传统燃油车的购买成本是13万元，每千米的燃油费用为元；一辆电车的购买成本为20万元，每千米的电费为元．设车辆行驶路程为（单位：万千米），传统燃油车总费用为（单位：万元），电车的总费用为（单位：万元）． (1)请写出，关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； (2)若公司预算不超过25万，在不考虑其他因素的情况下，分别计算两种车辆最多能行驶多少万千米？在预算范围内，你认为购买哪种车更合算？ (3)在平面直角坐标系中，分别画出两个函数的图像．观察图像，根据运输业务，当车辆的总路程达到50万千米，你认为购买哪种车更合算？ 7．如图，在平面直角坐标系中，，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，C． (1)直接写出点A，C的坐标； (2)点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着路线运动一周（点P不与点O重合）．设点P的运动时间为t秒． ①当时；求点P到x轴、y轴的距离； ②当点P在折线上时，连接，，，当与均存在，且时，求t的值； ③原点O关于的对称点为E，点F的坐标为，连接，，当最小时，直接写出点P的坐标． 8．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 9．乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 10．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 题型3 一次函数图象与坐标轴的交点问题 11．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 13．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且，且点D的纵坐标为． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请直接写出坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，且四边形是菱形． (1)使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）； 作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形． (2)根据（1）中的作法，完成下面的证明； 证明： ， ， 四边形是平行四边形．（ ）（填推理的依据） ， ， 四边形是菱形．（ ）（填推理的依据） (3)若直线的表达式为，直接写出菱形的面积和直线的表达式． 15．如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4 一次函数图象平移问题 16．按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 17．如图，已知直线分别与轴和轴交于，两点，点C在线段上，将沿直线翻折，点的对应点落在轴上． (1)求直线的解析式； (2)将沿射线方向平移，速度为单位长度/秒，运动时间为秒，点，，的对应点分别是点，，．在平移过程中射线和射线分别交轴于点和点．当时，求的值． 18．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． (1)函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． (2)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． (3)探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． (4)拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 19．在第章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值． 【类比发现】 (1)当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，写出此函数的一条性质： ③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是 ； 【深入探究】 (2)观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？ (3)根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值． 20．如图1，直线交轴，轴于点和点，直线过点，交轴负半轴于点，直线和直线交于点，已知． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知直线，点是直线上一动点，且点在直线的下方，连接，，点是轴上一动点，将点向上平移2个单位长度至点，接，．当的面积为时，求的最大值； (3)如图3，令直线交直线于点，交轴于点，将直线向下平移3个单位长度得到直线，直线交直线于点，交直线于点．点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5 一次函数图象与对称问题 21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 22．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 23．问题：探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … ①表格中a的值为________； ②若为该函数图象上的点，则________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质： (4) 24．如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 25．（1）【知识结论】 我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到． 那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________； （2）【拓展探究】 我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动． ①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________； ②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________； （3）【学以致用】 将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．    题型6 根据一次函数的增减性求参数 26．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 27．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，，．直线：（，为常数且）经过点，并与边的交点为，直线：（为常数且）与交于点，设点的纵坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)嘉嘉通过探究发现：“无论取何值，直线总过某个定点”．求这个定点的坐标； (3)若对于直线上的点，满足当随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 28．在函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象，根据图象研究函数的性质，运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们探究函数（为常数）图象及部分性质． (1)【特例研究】当时，即函数的图像在图①的平面直角坐标系中已画出，图像为轴对称图形，对称轴是轴． 当时，即函数，通过列表、描点、连线，探究函数的图像和性质． … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 0 1 … ①通过上表中的数据请你在图②的平面直角坐标系中画出函数的图象； ②观察函数图象，函数的对称轴与轴的交点是________； ③观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到：函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； (2)【深入探究】 ①根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是_________； ②探究函数的图象与性质，当时，函数的最小值为4，求的值________． 29．综合与探究 【材料阅读】在平面直角坐标系中，对于点和点，若点Q的纵坐标满足： 则称点Q为点P的“关联点”． 例如：点“关联点”的坐标是，点“关联点”的坐标是． 【特殊感知】 (1)点“关联点”的坐标为______； 【问题解决】 (2)已知点在函数的图象上，点是点P的“关联点”： ①求关于x的函数解析式； ②若点Q的纵坐标为5，求点Q的横坐标； ③当时，的取值范围是，请直接写出m的取值范围． 30．如图1，若一次函数图象经过，，则有．例如：一次函数的图象经过和，则有． (1)若点，在一次函数图象上，则______； (2)若一次函数在范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值； (3)如图2，点A，B在直线上，点C，D在直线上，已知轴，轴，且，求与满足的数量关系，并说明理由． 题型7 一次函数的规律探究问题 31．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 32．含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，， 【探究】 (1)点的坐标是______； (2)点的坐标是______； (3)点的坐标是______（为正整数）． 33．某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 34．在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值； (2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　． 35．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 题型8 直线与坐标轴交点和方程的解问题 36．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是 ；关于的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于的不等式组的解集； (3)若点，直接写出关于的不等式的解集； (4)在（3）的条件下，求出的面积． 37．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 38．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”：令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为__________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”． ①求出点和点的坐标． ②若点为轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件的点的坐标． 39．研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 40．一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 题型9 一次函数与不等式的解集 41．已知一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出一次函数的图象； (3)点在直线上，那么m_____n（填“＞”或“＜”号）； (4)结合图象回答：当时，x的取值范围是________________． 42．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)请直接写出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围（误差不超过0.2）． 43．已知一次函数的图象经过点和． (1)在平面直角坐标系中画出该一次函数的图像； (2)直接写出不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 44．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 45．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． 列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为 ；在直角坐标系中画出该函数图像 (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当 时，函数有最大值，最大值为 ； ②以下是关于该函数图像的一些性质，其中正确的为   （只填写序号）； A．函数图象关于直线对称； B．当时，随的增大而减小； C．当时，； D．函数y没有最小值； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为 ． 题型10 一次函数与二元一次方程组 46．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)的面积是__________； (3)直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的值：__________ 47．已知直线：与分别相交于两点，直线：与分别相交于两点，与相交于点． (1)求点的坐标； (2)求证：； (3)已知点，点分别是直线和轴上的动点，请直接写出周长的最小值． 48．二元一次方程有无数组解，每组解记为，被称为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，这条直线是亮点的隐线，回答下列问题： (1)已知，，，则是隐线亮点的是点___________； (2)设，是隐线的两个亮点，求关于，的方程中，的最小正整数解； (3)已知，是实数，且，若是隐线的一个亮点，求隐线表达式中的最大值与最小值的和． 49．【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】 某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】 (2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】 (3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 50．在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 题型11 求直线围成的图形面积 51．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点与点． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 52．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 53．如图，已知函数和的图象相交于点P，点P的横坐标为1． (1)关于x，y的方程组的解是 ． (2)a的值为 ． (3)求出函数和的图象与x轴围成的几何图形的面积． 54．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 55．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． (4)在平面内找一点M，使以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M点坐标 题型12 分配方案问题 56．八年级学生在数学实践课上进行了项目式学习研究． 停车场充电桩采购 素材1 某停车场为加快充电基础设施建设，计划采购、两种型号的充电桩．市场调研发现：型号充电桩的单价比型号充电桩的单价少0.2万元，且用12万元购买型号充电桩的数量与用15万元购买型号充电桩的数量相同． 素材2 根据停车场实际布局规划，需购买、两种型号的充电桩共20台，且型号充电桩的数量不多于型号充电桩数量的． 解决问题 (1)求、两种型号充电桩的单价（单位：万元）． (2)若该停车场购买这批、两种型号充电桩所需的总费用为y（单位：万元），求的最小值． 57．综合与实践 背景 第十五届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景． 图片 素材一 某中学准备举行“第十五届全运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 (1)甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 (2)如何购买才能使总费用最少？ 58．学校安排192名学生外出研学一天，旅游公司有两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 1 1 37 2 3 96 (1)求两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； (2)为了将每位学生安全送往研学地，学校向旅游公司租用型和型中巴车共10辆， ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②已知每辆型中巴车每天的租金500元，每辆型中巴车每天的租金800元．要使总租金最少，应该选择哪种租车方案？ 59．综合与实践 2026年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元；5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次；每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决： (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 60．健康中国，营养先行．年月日-日是第十一届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐的菜品如图所示． (1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为克、克，求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克． 清蒸鱼块(每克) 滑炒鸡丁(每克) 蛋白质/克 脂肪/克 (2)已知每份素炒时蔬克（只含有芹菜和西兰花，其他调料忽略不计），每克芹菜与每克西兰花分别含有克、克的膳食纤维和千卡、千卡的热量，按配餐健康要求，需使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于克且热量最低，则每份素炒时蔬应该如何搭配？ 题型13 最大利润问题 61．烩面是河南特色传统面食，是一种荤、素、汤、菜、饭兼而有之的豫菜．其以优质高筋面粉为原料，辅以高汤，搭配多种配菜，以味道鲜美、汤好面筋、经济实惠、营养丰富的特点享誉中原．某烩面馆推出A，B两种套餐，A套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；B套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元． (1)一碗烩面和一小份凉菜的价格分别为多少元？ (2)每碗烩面的利润为5元，每小份凉菜的利润为2元．根据市场需求，烩面馆每天准备的B套餐数量比A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐的总份数不超过95份，假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该烩面馆每天应准备多少份A套餐？最大利润为多少？ 62．兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 63．某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售．A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完．两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式； (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 64．某童装店到厂家选购、两种服装 若购进种服装件，种服装件，需要资金 元，若购进种服装件，种服装件，需要资金 元． (1)求、 两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件种服装可获利元，销售一件 种服装可获利元 根据市场需求，购进种服装的数量要比购进 种服装的数量的 倍还多件，设购进 种服装件，全部售出后获得的总利润为，试用含的代数式表示总利润？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：种服装购进数量不超过件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于 元请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 65．某校为筹备学校体艺节的“美食步行街节”活动，学生会需采购一批特色甜品作为奖品．已知原味双皮奶的单价为15元/份，传统姜撞奶和水牛奶的价格满足如下条件： ①购买一份姜撞奶、一份水牛奶、一份双皮奶的总价为50元； ②购买2份水牛奶的花费，比购买1份姜撞奶多10元； ③购买3份姜撞奶的花费，与购买4份水牛奶的花费相同． (1)请你从以上三个条件中任选两个作为已知条件，求出姜撞奶和水牛奶的单价； (2)考虑到预算和口味搭配，最终决定购买姜撞奶和水牛奶共10份，且要求水牛奶的份数不超过姜撞奶份数的2倍．请问购买多少份姜撞奶时，总花费最少?并求出最少费用． 题型14 行程问题 66．已知A，B两地相距，甲由A地出发匀速骑自行车前往B地，其与B地之间的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：）之间的关系如图所示．乙由A地出发以的速度匀速驾车前往B地． (1)甲的速度为_________； (2)求乙与B地之间的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：）之间的函数关系式． 67．快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．甲、乙两地之间的距离为．快车到达乙地后休息一段时间，再原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离为．快车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． (1)快车行驶的时间为_________h，慢车行驶的速度为_________； (2)在图中画出慢车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，并写出慢车离甲地的距离y与行驶时间x之间的表达式； (3)当慢车行驶_________h时，慢车与快车相遇． 68．已知学生宿舍、书店、体育场依次在同一条直线上，书店离宿舍，体育场离宿舍，李明从宿舍出发，匀速骑行到书店买书，在书店停留了后，又匀速步行到体育场，在体育场锻炼了后，用了匀速步行返回宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 1.2 ②填空：李明从体育场返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式． (2)同宿舍的张华与李明同时从宿舍出发，张华以的速度步行直接到体育场，在从宿舍到体育场的过程中，对于同一个x的值，李明离宿舍的距离为，张华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围(直接写出结果即可)． 69．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 70．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求“全速模式”下乙的速度； (2)求图中m的值以及线段所在直线和线段所在直线的解析式； (3)两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？ 题型15 阶梯计价问题 71．【情境】某城市为鼓励市民节约用水，对居民生活用水实行阶梯水价．具体收费标准如下表： 月用水量（单位：立方米） 水价（元/立方米） 不超过15立方米的部分 3 超过15立方米但不超过25立方米的部分 5 超过25立方米的部分 7 【问题】 (1)当时，写出每月水费（元）与月用水量（立方米）之间的函数关系式； (2)小海家上个月的水费为130元，请问小海家上个月的用水量是多少立方米？ 72．西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 73．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 74．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 75．盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 题型16 一次函数与几何综合 76．如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 77．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x，轴于A，两点．分别过A、B两点作轴与x轴的平行线相交于点C，动点P在线段上运动（不与点O、A重合），为线段的中点，连接，并延长交于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若点P的坐标为，的面积记为S，求S关于的函数关系式； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 78．在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． (1)如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． (2)如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 79．在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 80．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为、点坐标为 (1)求直线的表达式； (2)如图1，若点为线段的中点，分别是线段上的动点，，连接，以为邻边作平行四边形．当其中一条坐标轴将平行四边形的面积分成的两部分时，求点的坐标． (3)如图2，若点的坐标为，点的坐标为连接，连接交轴于点，过作，交y轴于点，试探究的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $