第二十三章 一次函数【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十三章 一次函数【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练 共60题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 根据一次函数的定义求参数 题型十四 求一次函数解析式 题型二 求一次函数自变量或函数值 题型十五 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型三 列一次函数解析式并求值 题型十六 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十七 两直线的交点与二元次方程组的解 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 题型十八 图象法解二元一次方程组 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十九 求直线围成的图形面积 题型七 一次函数图象平移问题 题型二十 分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型八 一次函数图象与对称问题 题型二十一 最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型九 一次函数图象与旋转问题 题型二十二 行程问题（一次函数的实际应用） 题型十 根据一次函数增减性求参数 题型二十三 梯度计价问题 题型十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型二十四 其他问题（一次函数的实际应用） 题型十二 比较一次函数值的大小 题型二十五 一次函数与几何综合 题型十三 一次函数的规律探究问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三 函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点四 正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点五 正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点六 待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点七 一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点八 一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点九 一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 3. 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点十 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点十一 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点（0，） , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点十二 一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线的在直线的上方对应的点的横坐标范围． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 根据一次函数的定义求参数 【例1】已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【规范解答】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【答案】D 【思路引导】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【规范解答】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 题型讲练二 求一次函数自变量或函数值 【例2】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． (1)点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； (2)若点的美好点在直线上，求的值； (3)点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点，点______直线（填“在”或“不在”），请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)在，理由见解析 【思路引导】（1）根据“美好点”的定义进行求解即可； （2）若点的“美好点”在直线上，可得方程，解之可得； （3）先根据点Q为点P的“美好点”，求得点Q的坐标，再代入，求解即可． 【规范解答】（1）解： 根据题意可得：，， ∴点的“美好点”坐标是； 若点P的“美好点”为， 则， 解得，， 点P的坐标是； （2）解：点的“美好点”为，即， 若点的“美好点”在直线上， 得， 解得：， 所以的值为； （3）解：点在直线上且点的横坐标为， ， 点Q为点P的“美好点”， ， 将代入中，得， 与点的纵坐标相等， 在直线上． 【变式】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律，___________． 【答案】 【思路引导】分别过点，，作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【规范解答】解：如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为点、、， ∵，且是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∴， 将点的坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得，， ∴， ， ， …… ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查规律型，点的坐标，一次函数图象上的点的坐标特征，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题． 题型讲练三 列一次函数解析式并求值 【例3】（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标． 【规范解答】解：∵点，， ∴． 又∵， ， ∴， 过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∴， ∴ 则点C的坐标为 令直线的函数解析式为， 则， 解得： ∴直线的函数解析式为， 同理可求出的函数解析式为：， 将代入，则， ∴点， 将代入， 解得：， ∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上， ∴， 则平移后点B对应的点的坐标为， 故答案为： 【变式】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据题意用表示出，然后求出t的值，再根据勾股定理即可求解即可； （2）分点在边上、点在边上两种情况，根据题意列出方程求解即可； （3）分点在边上、点在边上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，当点P在线段上时，， 当点P到达边的中点时，，即，解得∶， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：当点P在边上时，由题意得，， 即，解得， 当点P在边上时，， ∴， 由题意得，， 即，解得：． 综上，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则或． 故答案为：或． （3）解：当点P在边上时，即时， ， 当点P在边上时，即时，， ∴， ∴． 综上所述，． 题型讲练四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例4】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知函数的图象经过点，，则下列说法正确的是 ________．（填所有正确说法的序号） ①函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位长度得到； ②函数的图象经过第一、二、三象限； ③函数的图象经过点； ④函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 【答案】①②④ 【思路引导】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再结合一次函数的性质依次进行判断即可． 【规范解答】解：由题知， 将A，B两点坐标代入得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． 将函数的图象向上平移3个单位长度得到的函数图象， 故①正确． 因为与y轴交点为，且y随x的增大而增大， 所以函数的图象经过第一、二、三象限． 故②正确． 将代入得， ， 所以函数的图象不经过点． 故③错误． 因为与坐标轴的交点坐标分别为和， 所以， 即函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 故④正确． 综上正确的有：①②④． 【变式】（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 【答案】(1) (2)8 (3)①；②图见解析；N 【思路引导】本题考查一次函数的图象和性质的应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． （1）把点M的坐标代入一次函数求出b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （3）①把代入得：，即可得出答案； ②求出当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【规范解答】（1）解：把代入一次函数得： ， 解得：， ∵， ∴； （2）解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限， ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点， ∴， ∴； 答：b的最大值为8； （3）解：①把代入得：， ∴直线一定过定点； ②当时，， 把代入得：， 解得：， ∴图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线扫过的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N． 题型讲练五 已知函数经过的象限求参数范围 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【规范解答】解：图象经过第一、二、三象限， ，， ，故①③正确； ②由图象知，y随x增大而增大．点与都在直线上， ， ∴，故②错误； 综上，正确的说法是①③． 【变式】（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“逆和差变化”点的坐标为，则关于的“逆和差变化”点的坐标为_____；若点关于点的“逆和差变化”点在直线上，其中，则k的取值范围为_______． 【答案】 或 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中的新定义坐标变换，以及一次函数与不等式组的综合应用． （1）根据“逆和差变化”的定义，代入坐标计算即可得到变换后的点坐标； （2）先求出点的“逆和差变化”点坐标，代入直线方程后，通过方程变形得到关于的表达式，再结合的取值范围分情况解不等式，从而推导的取值范围． 【规范解答】解：根据“逆和差变化”定义，将与代入， 得，，故变化点坐标为； 点关于的“逆和差变化”点坐标为，化简得， 代入直线得：， 整理得到：，∴，且． ∵，∴， ∴当，即时，不等式组为，解得； 当，即时，不等式组为，解得． 综上，的取值范围为或． 故答案为：；或． 题型讲练六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例6】（25-26八年级下·福建福州·期中）一次函数的图象过点，，，则下列判断正确的为（  ） A． B．的值与有关 C． D．若，则点在轴的左侧 【答案】A 【思路引导】先将A，B两点坐标代入一次函数解析式求出的值，再结合各选项要求逐一计算判断即可. 【规范解答】∵ 点，在上， ∴ ， 两式相减得 ，因此选项C 错误； ∵ 点在上， ∴ ， 又， 因此，即为定值，与无关，选项B错误； 计算的长度，横坐标差为，纵坐标差为， 由勾股定理得，因此选项A正确； 对于选项D，若，则，得，的横坐标为，，无法推出， 例如时，，点在轴右侧，因此选项D错误. 【变式】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． (1)求C、D两点的坐标． (2)将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． (3)如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，最小值为 【思路引导】（1）分别令和求得对应的y和x的值即可解答； （2）根据题意先判断线段的平移方向，然后写出平移后对应点的横坐标，然后根据平后要与y轴相交，可知平移后的点的横坐标大于等于0，且点的横坐标小于等于0时，满足题意，据此列出不等式解答即可； （3）过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接，则四边形是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质推出直线l垂直平分，从而得到，进而可知当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小，最后利用勾股定理求得，即可解答． 【规范解答】（1）解：在中， 令，得， ∴； 令，得， ∴； （2）解：由题意可知，直线l与x轴正方向夹角为，平移距离为t（）， ∵点，， ∴当线段沿直线l的反向（左下方）平移时，才可能与y轴相交， ∴此时点A平移后的对应点的横坐标为；点B平移后的对应点的横坐标为， ∵线段与y轴有交点， ∴， 解得； ∴平移后的线段与y轴有交点时，t的取值范围是； （3）解：存在，最小值为； 如图，过点O作，过点N作，交于点，过点E作于点，作轴于点G，延长交y轴于点F，连接， 则四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵，l与x轴正方向夹角为，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即直线l垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∵和为定值， ∴当F、N、A三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小， ∵，， ∴， ∴四边形的周长最小值为． 题型讲练七 一次函数图象平移问题 【例7】（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【思路引导】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【规范解答】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【考点剖析】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点（不与原点重合），通过点和的直线上的任意一点称为的控制点．设． (1)点是中_________的控制点（填入所有满足要求的点）； (2)若点是线段上一点，点是的控制点，则线段长度的最小值是_________； (3)设，将线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到线段．若存在点在正方形内（含边界），点在线段上，使得是的控制点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)B、D (2) (3) 【思路引导】（1）因为点的控制点是在过点和的直线上，所以先分别求出A、B、C、D四点对应的直线方程；如果给定的点满足某条直线方程，那么该点就是对应点的控制点． （2）因为P是线段上的点，所以先设出P点坐标，再根据控制点定义写出Q点所在直线的方程；要求长度的最小值，可利用面积法求直角三角形斜边上的高，结合P点坐标的范围，求出距离的最小值． （3）先根据平移规则求出、的坐标；因为Q是P的控制点，所以Q点满足P对应的直线方程，结合P在正方形内（含边界）的条件，分类讨论点P在四个顶点处的解析式逐一验证，确定t的取值范围． 【规范解答】（1）解：对于点，其控制点在直线为过和的直线上， 设直线解析式为： 把代入得， 解得， ∴直线解析式为 ∴对：过的直线为， 点代入得，不满足； 对：过的直线为， 点代入得，满足； 对：过的直线为， 点代入得，不满足； 对：过的直线为， 点代入得，满足． 故点的控制点是B、D． （2）解：∵线段上的点满足，， 对应直线解析式为，设交x轴于点M，交y轴于N， 令，则； 令，则； ∴， ∴， ∴， ∵原点到直线的距离就是的最小值，设为d， ∴， ​​∴， 平方得​， ∵随增大而减小， ∴随增大而增大，即随增大而增大， ∴当时最小： ． （3）解：∵线段向左平移个单位、向上平移个单位，得到线段， ∴，， 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴． 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴； 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得；∴． 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴． 综上，的范围是． 题型讲练八 一次函数图象与对称问题 【例8】如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【思路引导】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交直线于点A，点B． (1)若与平行，且． ①直接写出直线的表达式： ； ②若，则直线、直线、直线与y轴围成的图形面积为 ； (2)若与相交，且点A的纵坐标与点B的纵坐标的差随着m的增加而增大．求k的取值范围； (3)若，且当时，线段的长总不小于1，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①或；②2 (2) (3) 【思路引导】（1）①根据题意可设直线 ，然后表示出A、B的坐标，结合，即可解出b的值； ②根据题意可知直线、直线、直线与y轴围成的图形为平行四边形，据此即可解答； （2）先表示出A、B的坐标，进而表示出，然后根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意可知，，然后表示出，然后分，三种情况分类讨论，当时，可得，符合题意；当时，不妨设，可知直线一定过，结合的图象即可解答． 【规范解答】（1）解：①∵与 平行，且直线与直线分别交直线于点A，点B， ∴设直线 ，则当时， ， 对于 ，当时，， ∴，， ∵， ∴ ，即， ∴， ∴直线的表达式为或； ②∵，轴， ∴直线、直线、直线与y轴围成的图形为平行四边形， ∵，， ∴该图形的面积为； （2）解：∵直线与直线分别交直线于点A，点B， ∴对于，当时，， 对于 ，当时，， ∴，， ∴ ， ∵直线与直线相交， ∴， ∵与的差随着m的增加而增大， ∴， ∴； 故； （3）解：∵， ∴， 由（2）可知，，， ∴， ∴要使时，线段的长总不小于1，即 ， 当时，，符合题意； 当时，不妨设，当时，， ∴直线一定过， ①当时，即时，当时，，直线过， 直线过第一，三象限，图象如下图所示： 此时，的图象如下： 从图象可知，当时，不能保证，故不符合题意； ②当时，即时，当时，，直线过， 直线过第二，四象限，图象如下图所示： 此时，的图象如下： 从图象可知，当时，，故符合题意； 综上所述，． 题型讲练九 一次函数图象与旋转问题 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【规范解答】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 【答案】 1 【思路引导】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【规范解答】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 题型讲练十 根据一次函数增减性求参数 【例10】（25-26八年级下·重庆万州·月考）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【规范解答】（1）解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； （2）解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 【变式】（25-26八年级下·重庆·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法： ①若点P为“整点”且在第二象限，则点P的个数为5个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为2个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数，结合新定义“整点”“超整点”，考查象限内点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，分式整除性质，只需逐个判断三个说法的正确性即可． 【规范解答】解：逐一判断三个说法： 对于①：∵点为整点且在第二象限， ∴， 解得 ∵为整点， ∴和均为整数，可得为整数， ∴的取值为，，，，，共个，即点的个数为个，故①正确； 对于②：把代入直线， 得：，与点的纵坐标相等， ∴所有满足条件的整点都在直线上，故②正确； 对于③：∵点为超整点， ∴， ∴， ∴， ∴为整数， ∵结果为整数， ∴为整数，点为整数 ∴为整数，即为整数 ∴是的整数因数 ∵的整数因数为，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，； ∴，共个符合条件的点，故③错误， 综上，正确的说法共个， 故选：B． 题型讲练十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【例11】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）研究一次函数时，发现和的取值变化，会带来函数性质的变化． (1)若，且这个一次函数的图像过点． 求和的值； 若，求的取值范围； (2)设函数，（为常数，）． 若函数和同时满足以下三个条件： 条件：随的增大而增大； 条件：当时，； 条件：当时，的最大值为．求的值． 【答案】(1) ，； ； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （）根据，则，把代入直线，从而求解； 由得当，；当，，然后通过一次函数的性质即可求解； （）由题意得，当，；当，；可得：，所以，随的增大而减小，所以，；可得，，从而求出的值． 【规范解答】（1）解：若，则， 把代入直线， 可得， 所以， 所以， 由得，当，；当，； 因为，随的增大而增大， 所以； （2）解：由题意得：， 当，；当，；可得：， 所以，随的增大而减小， 所以，； 可得：，， 所以． 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·月考）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点或 (3) 【思路引导】本题考查了新定义“关联点”的理解与应用，熟练掌握一次函数的性质和分类讨论是解答本题的关键． （1）根据“关联点”的定义可求出给定两点的“关联点”； （2）分别代入和求出与之对应的x值，结合“关联点”的定义可得出点M的坐标； （3）先根据“关联点”的定义分情况讨论的表达式，再结合的取值范围确定a的取值范围． 【规范解答】（1）解：根据题意得，点的“关联点”是，点的“关联点”是， 故答案为：； （2）解：当时，点， 则，解得：； 当时，点， ，解得：， ∴点或； （3）解： ∵点P在函数的图像上， ∴设点P的坐标为， 当时，其关联点的纵坐标， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴， 当时，其关联点的纵坐标， 此时， 综上，要使“关联点”的纵坐标的取值范围是， a须满足且， 解得． 题型讲练十二 比较一次函数值的大小 【例12】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数的解析式，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：将点和点代入得， 解得 ∴该一次函数的解析式为； （2）解：∵，且， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 【变式】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”． (1)已知点的坐标为， ①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）； ②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ； (2)若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值． 【答案】(1)①，；②或 (2)的值为或 【思路引导】本题是一次函数综合应用，点到坐标轴的距离，“同值点”的定义，一次函数图象的性质． （1）①找到x、y轴距离最大为的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“同值点”概念进行选择即可； （2）将代入，得，．由，依据“同值点”定义可得关于的不等式，即可解答本题． 【规范解答】（1）解∶ ①根据题意得：点到、轴的距离中最大值为， ∵点到、轴的距离中最大值为， ∴点是点的“同值点”； ∵点到、轴的距离中最大值为，， ∴点不是点的“同值点”； ∵点到、轴的距离中最大值为， ∴点是点的“同值点”； ∴与点是“同值点”的点是，； 故答案为：，； ②点在直线上，且，两点为同值点， 点坐标中到、轴距离其中至少有一个为， 当点到轴距离为时， 若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 当点到轴距离为时， 若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 这些点中与符合“同值点”的是或． 即点的坐标为或； 故答案为：或； （2） 是直线上的两点， ，， ， ，， 与为“同值点”， 当时，，解得， 当时，， ； 当时，，解得． 综上所述，的值为或． 题型讲练十三 一次函数的规律探究问题 【例13】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【思路引导】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【规范解答】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 【变式】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 题型讲练十四 求一次函数解析式 【例14】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据菱形的性质得到、、，进而求出的度数，根据含角的直角三角形的性质得到，设、，则，在中，得到，进而得到，利用勾股定理求出长，再次利用勾股定理得到关于的表达式，利用，结合二次根式的非负性求出变量的取值范围； （2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画出函数的图象，再写出该函数的性质即可； （3）结合函数图象，找出临界点，当直线的图象在直线和之间时，与函数有两个交点，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：四边形是菱形， 、、、， ， 在中，， ， ， ， ， ， 设、，则， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （2）解：由（1）知， 函数图象如下： 由图象可得：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （3）解：如图，由图象可知，直线的图象在直线和之间时，与（2）中的函数图象有两个交点， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 的取值范围为． 【考点剖析】本题考查菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数的图象和性质，两直线交点问题等，熟练掌握相关性质定理，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）已知变量是实数，取值范围是，是的函数，部分函数值如下表： 对于给定的条件，在以为自变量、满足条件的所有函数中，能使得函数图象（视为一条曲线）的长度最小的函数称为的“-短函数”． (1)当条件为“”时，直接写出的“-短函数”的表达式； (2)当条件为“，且存在（）使得当时的值为”时，是的“-短函数”，求此函数图象的长度； (3)当条件为“且”时，是的“-短函数”时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据两点之间线段最短，求连接的线段解析式即可； （2）作点关于直线对称，得到，连，求出其长度，进而利用“两点之间线段最短”即可得解； （3）令，当时，且线段时，总长度最短，根据两直线的斜率相等列出方程求得，利用待定系数法得到的解析式，把代入即可求得的值. 【规范解答】（1）解：要使函数图象长度最小，根据“两点之间线段最短”，直接连接点和即可， 设， ∵图象经过点， ∴， 解得：， 即：； （2）解：要满足条件：，且存在（）使得当时的值为，是的“-短函数” ，利用轴对称找最短路径：   把点关于直线对称，得到， 如图所示， ∴连接两点的线段长度为：， ∵要使总长度最小，到走水平线段，长度为最短， ∴函数图象的总长度； （3）解：令， 由题意得：当时，且线段时，总长度最短， ∴， 解得：， 设直线的解析式为：， ∵解得：， 即：， 当时，. 题型讲练十五 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例15】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【规范解答】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 【变式】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或或或 【思路引导】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数与一元一次方程，一元一次不等式（组）的关系，等腰直角三角形的性质及应用等． （1）依据题意，利用直线与x轴交点即为时，对应x的值，进而得出答案； （2）依据题意，利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用三角形面积公式求得即可； ②设，可得，，，分两种情况讨论：当为直角边时，，；当为直角边时，，．分别可得关于m、n的方程组，解方程组即可得D点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴关于x的方程的解是； ∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴观察图象可得关于x的不等式的解集是； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴观察图象可得关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②设， ∵，， ∴，，， 分以下两种情况讨论： 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 当为直角边时，，， ∴， 解得或， ∴D的坐标为或； 综上所述，D的坐标为或或或． 题型讲练十六 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例16】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，? (3)求的面积． 【答案】(1)：；： (2) (3)15 【思路引导】（1）利用待定系数法解题即可； （2）先求出点坐标，然后结合图形，可知时，； （3）先求出点，利用即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵直线：与y轴交于点， ∴， ∴直线的表达式为：； ∵直线：经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为：； （2）解：联立， 解得， ∵直线与相交于点D， ∴点， 结合图像可知时，； （3）解：将代入直线：，得到，解得， ∵直线与轴交于点； ∴点， ∵， ∴， ∴的面积． 【变式】（25-26八年级下·上海·月考）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【思路引导】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）先求出点B和点C的坐标，然后分三种情况求解． 【规范解答】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为； （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是； （3）解：对于，当时，， ∴， ∴． 对于，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，    ∴， ∴． 当时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当时，如图，    设， 则 解得 ∴． 综上可知，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 题型讲练十七 两直线的交点与二元次方程组的解 【例17】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)交点坐标为 (3)的最小值为，的取值范围为 【思路引导】（1）将点代入一次函数解析式即可解决问题； （2）联立两个直线进行求解即可； （3）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【规范解答】（1）解：将点代入， 得 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为， 联立， 解得， ∴两直线的交点坐标为； （3）解：如图， 当时，， 把代入， 解得， 当时，， 把代入， 解得， 当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， 的最小值为，的取值范围是． 【变式】．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线 直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为； ； ；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【规范解答】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线 直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 题型讲练十八 图象法解二元一次方程组 【例18】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【规范解答】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【思路引导】本题主要考查了一次函数图象的绘制以及一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的绘制方法和 “一次函数图象的交点坐标是对应的二元一次方程组的解” 是解题的关键． （1）通过找两个函数上的点来绘制图象； （2）依据一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系，利用图象交点求方程组的解． 【规范解答】解：（1）如图所示． （2）由图可知函数与交点为， 所以方程组的解为 题型讲练十九 求直线围成的图形面积 【例19】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)这个一次函数的图象与x轴交于点C． ①求点C的坐标； ②若点P是x轴上一点，且的面积是3，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)①；②点P的坐标为或 【思路引导】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）①由（1）可令，进而问题可求解；②设点，则有，然后根据的面积是3可列方程进行求解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：①由（1）可令，则有， 解得：， ∴； ②设点，则有， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【变式】（25-26八年级下·福建三明·月考）阅读以下材料：在平面直角坐标系中，表示一条直线，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．不仅如此，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图1；不等式也表示一个平面区域，即直线以及它上方的部分，如图2．而既不表示一条直线，也不表示一个区域，它表示一条折线，如图3． 根据以上材料，回答下列问题： (1)请直接写出图4表示的是 的平面区域； (2)如果，满足：①，②，③．在图5中用阴影表示出点所在的平面区域，并求出阴影部分的面积； (3)在平面直角坐标系中，若函数与的图象围成一个封闭平面区域，请直接用含的式子表示该平面区域的面积． 【答案】(1)直线以及它下方的部分 (2)图见解析， (3) 【思路引导】（1）求出图4中直线的解析式，即可求解； （2）根据题意得：表示直线以及它上方的部分，表示直线以及它下方的部分，表示直线以及它下方的部分，再求出三个交点坐标，即可求解； （3）根据题意可得与围成的封闭图形为一个三角形，画出图象，即可求解． 【规范解答】（1）解：设图4中直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴该直线的解析式为， ∴图4表示的是直线以及它下方的部分的平面区域； （2）解：根据题意得：表示直线以及它上方的部分，表示直线以及它下方的部分，表示直线以及它下方的部分， 如下图所示，阴影表示点所在的平面区域． 联立得：， 即直线与直线的交点为； 联立得：， 即直线与直线的交点为； 联立得：， 即直线与直线的交点为； ∴． （3）解：对于， 当时，，当时，， 因为， 所以与围成的封闭图形为一个三角形， 画出图象，如下图： 设直线与函数的图象交于点E，F，与x轴交于点D，过点D作轴交于点G，则点， ∴点， ∴， 当时，联立得：， ∴点， 当时，联立得：， ∴点， ∴． 题型讲练二十 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例20】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由见解析 【思路引导】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【规范解答】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）解：分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 【变式】拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人 (2)8 (3)最少租车费用是2720元． 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组和不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数，是解题的关键： （1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据题意列出方程组即可求解； （2）利用租车总辆数总人数，再结合每辆车上至少要有2名老师，即可求解； （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆，根据题意列出不等式组即可求解． 【规范解答】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，学生有人， 依题意，得：， 解得：． 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人． （2）（辆）（人），（辆）， 租车总辆数为8辆． 故答案为8． （3）设租35座客车辆，则需租30座的客车辆， 依题意，得：， 解得：． 为正整数， ， 共有4种租车方案． 设租车总费用为元，则， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为2720． 最少租车费用是2720元． 题型讲练二十一 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例21】（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1) A型台灯购进40盏，B型台灯购进60盏 (2) 当购进A型台灯25盏，B型台灯75盏时，销售完获利最多，此时利润为2875元 【思路引导】（1）设型台灯购进盏，则B型台灯购进盏，结合题意列出方程，求解即可获得答案； （2）根据“B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍”，列不等式并求解可得，设总利润为元，由题意可得，由一次函数的性质即可获得答案． 【规范解答】（1）解：设A型台灯购进盏，则B型台灯购进盏， 由题意，得， 解得 ， 则B型台灯购进盏． 答：A型台灯购进40盏，则B型台灯购进60盏； （2）解：∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴， 解得 ， 设总利润为元，由题意，得 ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴， ∴元． ∴A型台灯购进25盏，B型台灯购进75盏时获利最多，此时利润为2875元． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 【答案】(1)35件 (2)1630元 (3)当 时，小号数量35 个，利润最大．当时，小号数量可为 35∼40 个；当时，小号数量40 个时，利润最大． 【思路引导】（1）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，然后根据题意列不等式求解即可； （2）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，然后根据题意列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求最值即可； （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，易得则文创店所获得的利润，然后分、和三种情况解答即可． 【规范解答】（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个， 由题意可得：，解得：， 所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件． （2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元． （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大． 当时， ，小号数量可为 35∼40 个； 当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大． 题型讲练二十二 行程问题（一次函数的实际应用） 【例22】（25-26八年级下·河南南阳·期中）赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【答案】(1)①1000米；②乙 (2)开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【思路引导】（1）①根据函数图象，即可求解； ②根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解； （2）解法1：求出甲队和乙队当时的函数解析式，然后联立即可求解； 解法2：求出甲队和乙队当时的速度，设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，根据相遇时走的路程相等列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：①从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米； ②从图象可以看出，乙队先到达终点； （2）解：解法1．设甲队路程米与时间分钟之间的关系式是， 依题意，得， ， ∴， 当时，设乙队路程米与时间分钟之间的关系式， 依题意，得， 解得， ∴， 解，得， 所以开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 解法2．， 当时，， 设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，则依题意，得 ， 解这个方程，得． 答：开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【变式】（2026·天津和平·一模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①见解析；②20或65；③； (2)能，追上时兄妹俩离公园还有． 【思路引导】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【规范解答】（1）解：①小华去书店的速度为， 2分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 52分钟时，小华离家的距离为； 填表如下： 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/ 200 600 600 1800 ②小华去公园的过程中： ， 小华从公园返回的过程中： ， 综上，当小华离家的距离为时，他离开家的时间为20或65； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，， 综上，； （2）解：哥哥的速度：100，妹妹的速度：200 妹妹到达书店的时间：哥哥到书店的时间是6，妹妹迟2，即到达书店； 妹妹在书店停留15，离开书店的时间：． 哥哥在23时的位置：18离开书店，到23走了， 距离为． 设妹妹离开书店后经过追上哥哥： 解得， 此时总时间为， 小于哥哥到达公园的30，能追上． 此时离家距离：，离公园还有． 答：能，追上时兄妹俩离公园还有． 题型讲练二十三 梯度计价问题 【例23】（2026·陕西西安·一模）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单的部分 8 (1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式． (2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？ 【答案】(1) (2)外卖小哥5月份工资总额为6500元． 【思路引导】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）根据工资底薪加上不超过500单的部分的补贴和超过500单的部分的补贴表示即可； （2）判断送单量超过500单，代入第一问得到的函数关系式计算即可得到结果． 【规范解答】（1）解：， 即函数关系式为（）； （2）解：当时，（元） 答：外卖小哥5月份工资总额为6500元． 【变式】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【规范解答】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 题型讲练二十四 其他问题（一次函数的实际应用） 【例24】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． (1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ (2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． (3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【答案】(1)甲队每天修路200米，乙队每天修路160米 (2) (3)两队至少需要合作5天 【思路引导】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用及一元一次不等式的应用； （1）设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，根据题意列分式方程，求解并检验即可； （2）根据题意求解即可； （3）设两队需要合作t天，根据题意列出不等式，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，由题意得 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米）， 答：甲队每天修路200米，乙队每天修路160米； （2）解：由题意得：； （3）解：设两队需要合作t天，由题意得 解得， 答：两队至少需要合作5天． 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米． 请解答以下问题： (1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式； (2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)； ②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？ (3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？ 【答案】(1) (2)①；；② (3)制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元 【思路引导】（1）根据题意待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据题意得出单根膀条的长度为，进而求得的关系式，即可得出单根尾条的长度； ②由图2可得，则，根据要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过，建立不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据（2）得出的最小值为，分别求得门条、膀条、尾条的长度进而乘以单价，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵单根门条长y是胸腹高的一次函数，设函数表达式为 ∵当时，；当时，． ∴ 解得： ∴门条长度关于胸腹高的函数表达式为 （2）解：①∵单根门条比单根膀条短， ∴单根膀条的长度为 ∵头部高、胸腹高与尾部高的比是． ∴ ∵单根尾条的长度与总高满足 ∴， ②由图2可得，， ∴ ∵要求门条中的不小于的倍， ∴ ∴ 解得： ∵制作风筝的膀条单根长度不超过， ∴， 解得： ∴ （3）解：由（2）可得的最小值为 ∴门条长度 单根膀条的长度为 单根尾条的长度为 ∴制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为：（元） 答：制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元 题型讲练二十五 一次函数与几何综合 【例25】（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【思路引导】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·河北邢台·期中）在物理课上，老师为了更好地让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．其中点，点的坐标分别为，，在点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求反射光线与轴交点纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）待定系数法求解析式； （2）根据轴对称的性质确定对称点，待定系数法求解析式，确定直线与轴的交点坐标． 【规范解答】（1）解：∵点，点的坐标分别为，，且点为平面镜的中点， ∴， 设所在直线的解析式为， 将和代入解析式得， ， 解得， ∴所在直线的解析式为； （2）解：如图，取点关于轴的对称点， ∴， 根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为， 将代入解析式得， ∴， ∴， 当反射光线经过点时，代入解析式得，， 解得， ∴， 当时，， ∴此时，反射光线与轴交点纵坐标的取值为； 当反射光线经过点时，代入解析式得，， 解得， ∴， 当时，， ∴此时，反射光线与轴交点纵坐标的取值为； 综上，反射光线与轴交点纵坐标的取值为． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意可得，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到；设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 【规范解答】解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得，解得， ∴所在直线的解析式为． 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）某游泳馆的年收费有A，B两种方式：方式A的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系式为；方式B的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系如图所示．若王叔叔估计了一年去游泳馆游泳的次数后，选择了方式A，则他估计的这一年去游泳馆游泳的次数最多为（    ） A．35次 B．29次 C．10次 D．7次 【答案】B 【思路引导】先根据图象求出方式B的函数解析式，再根据王叔叔选择了方式A，列出不等式，解不等式即可求出的取值范围，进而确定最大整数解． 【规范解答】解：由图象可知，方式B的函数解析式为，直线经过点， ， 解得：， 方式B的函数解析式为， 王叔叔选择了方式A， 方式A的费用小于方式B的费用，即， 解得， 为游泳次数，应为整数， 的最大值为29 ． 3．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，与坐标原点构成的向x轴正方向平移4个单位长度得，边与直线交于点E，则图中阴影部分面积为（   ） A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【思路引导】根据一次函数解析式求出一次函数与坐标轴交点坐标，从而求得，再根据平移性质，得出，把代入，从而得出点E的坐标，即可得出，根据平移得出，由，即可求解． 【规范解答】解：令，则， ∴， ∴， 由平移知， 把代入得：， ∴点E的坐标为， ∴， 由平移得， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当线段扫过的面积为16时，点C落在直线上，则k的值为______． 【答案】2 【思路引导】根据题意得出，，再由题意得出，即向右平移4个单位长度，确定，代入函数解析式即可． 【规范解答】解：如图所示： ， ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵线段扫过的面积为16， ∴， ∴，即向右平移4个单位长度， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得． 5．（25-26八年级下·北京·期中）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查平移的性质，待定系数法求一次函数解析式；先求出原直线上两个点平移后的坐标，再利用待定系数法即可求解直线的解析式． 【规范解答】解：根据题意可得：平移后得到点，平移后得到点， 设直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得， 因此直线的解析式为． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知等腰直角的顶点分别在轴上，，点的坐标是，的坐标是，则直线的函数关系式为_____． 【答案】 【思路引导】过点A作轴于点D，先利用同角的余角相等证明，结合等腰直角三角形性质，由证明，求出点坐标，再利用待定系数法求解即可解答． 【规范解答】解：如图，过点A作轴于点D， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标是，的坐标是， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点，若都按乙方式，最终移动到点，若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】 点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次． （1）当，时，点的坐标是__________； （2）已知点，若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，若点关于直线的对称点落在坐标轴上，的值为________； 【答案】 或 【思路引导】（1）根据甲方式移动次数直接得纵坐标，用总次数减去甲方式次数得乙方式次数，进而得横坐标，即可确定点坐标； （2）先消去参数得到直线的方程，再分对称点在轴、轴两种情况，利用“中点在直线上对称点到直线上同一点距离相等”列方程求解即可得的值． 【规范解答】解：（1）甲方式移动次：每次，所以最终； 乙方式移动次数：次，每次，所以最终， ∴点坐标为； (2) 甲方式移动次：， 乙方式移动次：， 两式相加消去，得： ，即直线， 设点关于直线的对称点为，根据对称性质： 的中点在直线上； 直线上的点到、的距离相等（即对直线上任意一点，都有）， 我们分两种情况讨论： 情况1：在轴上，设为， 中点， 代入直线，得：， 整理得①， 取直线上的点（在轴上），由， 由距离公式得：， 两边平方，得：， 展开化简得：②， 把①代入②得：， 解得； 情况2：在轴上，设为， 中点，代入直线，得： ③ 取直线上的点（在轴上），由，由距离公式得： ​， 两边平方，得：， 展开化简得：④， 把③代入④得：， 解得； 综上，的值为或． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）中超联赛蓉城主场门票分为普通票和优选区票，已知优选区票单价比普通票贵100元；用1320元购买普通票的数量，与用2420元购买优选区票的数量相等． (1)普通票和优选区票的单价分别为多少元？ (2)某球迷协会计划购买这两种门票共40张，计划总费用不超过7000元，且优选区票数量不少于普通票数量的一半，有多少种购票方案？哪种方案总费用最少？最少是多少元？ 【答案】(1)普通票单价为120元，优选区票单价为220元； (2)共有9种购票方案，当购买普通票26张、优选区票14张时总费用最少，最少总费用为6200元 【思路引导】（1）设普通票单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买普通票张，根据题意列一元一次不等式组，得到的取值范围，再取整数解得到购票方案的数量；再设总费用为，得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可． 【规范解答】（1）解：设普通票单价为元，则优选区票单价为元， 则， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 答：普通票单价为120元，优选区票单价为220元； （2）解：设购买普通票张，则购买优选区票张， 则， 解得：， 为整数， 的可能取值为18、19、20、21、22、23、24、25、26， 共有9种购票方案， 设总费用为，则， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值为，此时， 即当购买普通票26张、优选区票14张时总费用最少，最少总费用为6200元． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【答案】(1)， (2)当时，选用方案一更优惠 【思路引导】（1）先计算总面积及厨房面积，再依据两种方案的优惠规则，分别建立总金额，与卫生间宽度的一次函数关系式并根据卫生间宽度的实际意义确定的取值范围； （2）根据“方案一更优惠”等价于列出一元一次不等式，求解后结合的实际意义，得出最终的取值范围． 【规范解答】（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于A，B两点，直线与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点为直线上的点，，求点的坐标； (3)在轴上存在点，在直线上存在点，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或 【思路引导】（1）利用解析式求出交点坐标，再利用待定系数法求解析式； （2）根据直线解析式求出点的坐标，假设点的坐标，根据三角形面积列出方程求解； （3）根据平行四边形的判定定理，求出相关点的坐标，利用相等的线段列出方程求解． 【规范解答】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴，代入得， ， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴， 假设， ∴， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：①如图所示，当时，满足平行四边形， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 由勾股定理得， 假设， ∴， 解得或， ∴或； ②如图所示，当时，满足平行四边形， 假设， ∴， 解得或（重复）， ∴． 综上，点的坐标为或或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十三章 一次函数【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练 共60题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 根据一次函数的定义求参数 题型十四 求一次函数解析式 题型二 求一次函数自变量或函数值 题型十五 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型三 列一次函数解析式并求值 题型十六 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十七 两直线的交点与二元次方程组的解 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 题型十八 图象法解二元一次方程组 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十九 求直线围成的图形面积 题型七 一次函数图象平移问题 题型二十 分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型八 一次函数图象与对称问题 题型二十一 最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型九 一次函数图象与旋转问题 题型二十二 行程问题（一次函数的实际应用） 题型十 根据一次函数增减性求参数 题型二十三 梯度计价问题 题型十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型二十四 其他问题（一次函数的实际应用） 题型十二 比较一次函数值的大小 题型二十五 一次函数与几何综合 题型十三 一次函数的规律探究问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三 函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点四 正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点五 正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点六 待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点七 一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点八 一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点九 一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 3. 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点十 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点十一 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点（0，） , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点十二 一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线的在直线的上方对应的点的横坐标范围． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 根据一次函数的定义求参数 【例1】已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 题型讲练二 求一次函数自变量或函数值 【例2】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． (1)点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； (2)若点的美好点在直线上，求的值； (3)点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点，点______直线（填“在”或“不在”），请说明理由． 【变式】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图，，，，，都是等腰直角三角，点，，，均在轴正半轴上，直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，，依据图形所反映的规律，___________． 题型讲练三 列一次函数解析式并求值 【例3】（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为______． 【变式】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 题型讲练四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例4】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知函数的图象经过点，，则下列说法正确的是 ________．（填所有正确说法的序号） ①函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位长度得到； ②函数的图象经过第一、二、三象限； ③函数的图象经过点； ④函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 【变式】（24-25八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)若一次函数的图象经过M点，则b_____0 (填“”或“”或“”)； (2)若一次函数的图象经过三个点中的某一点，求b的最大值； (3)①已知直线，则此直线一定过定点 ； ②当时，在图中用阴影表示直线扫过的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是 ． 题型讲练五 已知函数经过的象限求参数范围 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式】（25-26八年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“逆和差变化”点的坐标为，则关于的“逆和差变化”点的坐标为_____；若点关于点的“逆和差变化”点在直线上，其中，则k的取值范围为_______． 题型讲练六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例6】（25-26八年级下·福建福州·期中）一次函数的图象过点，，，则下列判断正确的为（  ） A． B．的值与有关 C． D．若，则点在轴的左侧 【变式】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，直线．直线l与坐标轴分别交于点C，D两点，在直线l上从左到右有两个动点M、N（点M在点N的左侧），且． (1)求C、D两点的坐标． (2)将直线l上的任意一点沿l方向平移1个单位，由于l与x轴正方向夹角为，根据勾股定理，平移1个单位时，该点横、纵坐标均增加个单位，如图2，点沿直线l向上平移1个单位得到E点坐标为，如图3，将线段沿直线l的方向平移（平移方向与直线l同向或反向），平移距离为t（），得到线段．若平移后的线段与y轴有交点，求t的取值范围． (3)如图4，当点M、N在直线l上滑动（保持）时，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 题型讲练七 一次函数图象平移问题 【例7】（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点（不与原点重合），通过点和的直线上的任意一点称为的控制点．设． (1)点是中_________的控制点（填入所有满足要求的点）； (2)若点是线段上一点，点是的控制点，则线段长度的最小值是_________； (3)设，将线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到线段．若存在点在正方形内（含边界），点在线段上，使得是的控制点，直接写出的取值范围． 题型讲练八 一次函数图象与对称问题 【例8】如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交直线于点A，点B． (1)若与平行，且． ①直接写出直线的表达式： ； ②若，则直线、直线、直线与y轴围成的图形面积为 ； (2)若与相交，且点A的纵坐标与点B的纵坐标的差随着m的增加而增大．求k的取值范围； (3)若，且当时，线段的长总不小于1，直接写出b的取值范围． 题型讲练九 一次函数图象与旋转问题 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1）____________． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为__________________． 题型讲练十 根据一次函数增减性求参数 【例10】（25-26八年级下·重庆万州·月考）一次函数（a为常数，且） (1)若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； (2)当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【变式】（25-26八年级下·重庆·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点，下列说法： ①若点P为“整点”且在第二象限，则点P的个数为5个； ②若点P为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在直线上； ③若点P为“超整点”，则点P的个数为2个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型讲练十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【例11】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）研究一次函数时，发现和的取值变化，会带来函数性质的变化． (1)若，且这个一次函数的图像过点． 求和的值； 若，求的取值范围； (2)设函数，（为常数，）． 若函数和同时满足以下三个条件： 条件：随的增大而增大； 条件：当时，； 条件：当时，的最大值为．求的值． 【变式】（25-26八年级上·安徽六安·月考）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 题型讲练十二 比较一次函数值的大小 【例12】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 【变式】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”． (1)已知点的坐标为， ①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）； ②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ； (2)若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值． 题型讲练十三 一次函数的规律探究问题 【例13】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【变式】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型讲练十四 求一次函数解析式 【例14】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）已知变量是实数，取值范围是，是的函数，部分函数值如下表： 对于给定的条件，在以为自变量、满足条件的所有函数中，能使得函数图象（视为一条曲线）的长度最小的函数称为的“-短函数”． (1)当条件为“”时，直接写出的“-短函数”的表达式； (2)当条件为“，且存在（）使得当时的值为”时，是的“-短函数”，求此函数图象的长度； (3)当条件为“且”时，是的“-短函数”时，直接写出的值． 题型讲练十五 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例15】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图像分别与轴交于点A，B，两直线交于点C．已知，，观察图像并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ；关于x的不等式的解集是 ； (2)直接写出关于x的不等式组的解集 ； (3)若点C的坐标为． ①的面积为 ；        ②在平面内找一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出D点的坐标． 题型讲练十六 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例16】（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，? (3)求的面积． 【变式】（25-26八年级下·上海·月考）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 题型讲练十七 两直线的交点与二元次方程组的解 【例17】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【变式】．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线 直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为； ； ；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型讲练十八 图象法解二元一次方程组 【例18】（25-26八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，作出函数与的图象； （2）利用图象法求方程组的解． 题型讲练十九 求直线围成的图形面积 【例19】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)这个一次函数的图象与x轴交于点C． ①求点C的坐标； ②若点P是x轴上一点，且的面积是3，直接写出点P的坐标． 【变式】（25-26八年级下·福建三明·月考）阅读以下材料：在平面直角坐标系中，表示一条直线，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线．不仅如此，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图1；不等式也表示一个平面区域，即直线以及它上方的部分，如图2．而既不表示一条直线，也不表示一个区域，它表示一条折线，如图3． 根据以上材料，回答下列问题： (1)请直接写出图4表示的是 的平面区域； (2)如果，满足：①，②，③．在图5中用阴影表示出点所在的平面区域，并求出阴影部分的面积； (3)在平面直角坐标系中，若函数与的图象围成一个封闭平面区域，请直接用含的式子表示该平面区域的面积． 题型讲练二十 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例20】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【变式】拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为______． (3)最省钱的租车方式的费用是多少？ 题型讲练二十一 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例21】（25-26八年级下·重庆·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型  价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 50 75 B型 70 100 (1)若商场预计进货款为6200元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 题型讲练二十二 行程问题（一次函数的实际应用） 【例22】（25-26八年级下·河南南阳·期中）赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 【变式】（2026·天津和平·一模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 题型讲练二十三 梯度计价问题 【例23】（2026·陕西西安·一模）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 5 超过500单的部分 8 (1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式． (2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？ 【变式】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型讲练二十四 其他问题（一次函数的实际应用） 【例24】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． (1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ (2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． (3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米． 请解答以下问题： (1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式； (2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)； ②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？ (3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？ 题型讲练二十五 一次函数与几何综合 【例25】（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标． 【变式】（25-26八年级下·河北邢台·期中）在物理课上，老师为了更好地让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．其中点，点的坐标分别为，，在点处放置一支激光笔，激光笔发射的光线是直线的一部分． (1)点为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点，求所在直线的解析式； (2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求反射光线与轴交点纵坐标的取值范围． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·河南南阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，则所在直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）某游泳馆的年收费有A，B两种方式：方式A的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系式为；方式B的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系如图所示．若王叔叔估计了一年去游泳馆游泳的次数后，选择了方式A，则他估计的这一年去游泳馆游泳的次数最多为（    ） A．35次 B．29次 C．10次 D．7次 3．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，与坐标原点构成的向x轴正方向平移4个单位长度得，边与直线交于点E，则图中阴影部分面积为（   ） A．8 B． C．9 D． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当线段扫过的面积为16时，点C落在直线上，则k的值为______． 5．（25-26八年级下·北京·期中）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到直线，则直线的解析式为_____． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知等腰直角的顶点分别在轴上，，点的坐标是，的坐标是，则直线的函数关系式为_____． 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点，若都按乙方式，最终移动到点，若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】 点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次． （1）当，时，点的坐标是__________； （2）已知点，若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，若点关于直线的对称点落在坐标轴上，的值为________； 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）中超联赛蓉城主场门票分为普通票和优选区票，已知优选区票单价比普通票贵100元；用1320元购买普通票的数量，与用2420元购买优选区票的数量相等． (1)普通票和优选区票的单价分别为多少元？ (2)某球迷协会计划购买这两种门票共40张，计划总费用不超过7000元，且优选区票数量不少于普通票数量的一半，有多少种购票方案？哪种方案总费用最少？最少是多少元？ 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于A，B两点，直线与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点为直线上的点，，求点的坐标； (3)在轴上存在点，在直线上存在点，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $