第二十三章 一次函数【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十三章 一次函数【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练 共60题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 根据一次函数的定义求参数 题型十四 求一次函数解析式 题型二 求一次函数自变量或函数值 题型十五 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型三 列一次函数解析式并求值 题型十六 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十七 两直线的交点与二元次方程组的解 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 题型十八 图象法解二元一次方程组 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十九 求直线围成的图形面积 题型七 一次函数图象平移问题 题型二十 分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型八 一次函数图象与对称问题 题型二十一 最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型九 一次函数图象与旋转问题 题型二十二 行程问题（一次函数的实际应用） 题型十 根据一次函数增减性求参数 题型二十三 梯度计价问题 题型十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型二十四 其他问题（一次函数的实际应用） 题型十二 比较一次函数值的大小 题型二十五 一次函数与几何综合 题型十三 一次函数的规律探究问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三 函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点四 正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点五 正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点六 待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点七 一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点八 一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点九 一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 3. 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点十 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点十一 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点（0，） , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点十二 一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线的在直线的上方对应的点的横坐标范围． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 根据一次函数的定义求参数 【例1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 题型讲练二 求一次函数自变量或函数值 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若点在函数的图象上，则a的值是________． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 题型讲练三 列一次函数解析式并求值 【例3】如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【变式】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 题型讲练四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例4】（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 【变式】．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知函数的图象经过点，，则下列说法正确的是 ________．（填所有正确说法的序号） ①函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位长度得到； ②函数的图象经过第一、二、三象限； ③函数的图象经过点； ④函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 题型讲练五 已知函数经过的象限求参数范围 【例5】（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）已知函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求的取值范围． 题型讲练六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例6】（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 题型讲练七 一次函数图象平移问题 【例7】（25-26八年级下·北京·期中）已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 题型讲练八 一次函数图象与对称问题 【例8】（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 【变式】（25-26九年级上·河南·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 题型讲练九 一次函数图象与旋转问题 【例9】如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________．. 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 题型讲练十 根据一次函数增减性求参数 【例10】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 【变式】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 题型讲练十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【例11】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）研究一次函数时，发现和的取值变化，会带来函数性质的变化． (1)若，且这个一次函数的图像过点． 求和的值； 若，求的取值范围； (2)设函数，（为常数，）． 若函数和同时满足以下三个条件： 条件：随的增大而增大； 条件：当时，； 条件：当时，的最大值为．求的值． 【变式】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 题型讲练十二 比较一次函数值的大小 【例12】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式】对于函数的图象，回答以下问题： (1)该函数经过哪几个象限？ (2)当取何值时，？ (3)若图象上有两点和，且，试比较和的大小． 题型讲练十三 一次函数的规律探究问题 【例13】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______． 【变式】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是_______． 题型讲练十四 求一次函数解析式 【例14】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 题型讲练十五 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例15】（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 题型讲练十六 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例16】（25-26八年级下·重庆·期中）学习函数知识后，小明对新函数的性质及图象进行如下探究． (1)下表是该函数与自变量的几组对应值． x … 0 1 2 … y … m 0 0 n … 其中___________，___________． (2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)结合图象分析，当时，的取值范围为___________． 【变式】（25-26八年级下·河南郑州·期中）某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）． 题型讲练十七 两直线的交点与二元次方程组的解 【例17】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 题型讲练十八 图象法解二元一次方程组 【例18】（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 【变式】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 题型讲练十九 求直线围成的图形面积 【例19】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)这个一次函数的图象与x轴交于点C． ①求点C的坐标； ②若点P是x轴上一点，且的面积是3，直接写出点P的坐标． 题型讲练二十 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例20】（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 【变式】（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 题型讲练二十一 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例21】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． (1)求关于函数关系式． (2)若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 【变式】（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 题型讲练二十二 行程问题（一次函数的实际应用） 【例22】（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与实践：壮美广西·绿色出行 【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况． 【实验数据】 实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2； 表1： 表2： 【建立模型】 (1)表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________ 【解决问题】 (2)五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示： ①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%． ②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？ ③若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？ 【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程与所经过的时间（分钟）之间的函数关系． 根据图象回答问题： (1)学校与图书馆的距离是_____；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟； (2)相遇前，二人之间的距离的最大值是_____； (3)当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？ 题型讲练二十三 梯度计价问题 【例23】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【变式】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 题型讲练二十四 其他问题（一次函数的实际应用） 【例24】（25-26八年级下·广西南宁·期中）某文创店计划采购一批东盟特色文创礼盒供应市场，现有A、B两家供货厂家可选，两家对单价相同的文创礼盒给出不同优惠方案： A厂家：一律打8折出售． B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，则超过的部分打7折． 已知每盒文创礼盒的进价为40元，若该商家计划购买文创礼盒x盒，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元，其函数图象如图所示： (1)分别求出，关于x的函数解析式； (2)如果该商家只在一个厂家购买文创礼盒，那么怎样购买划算？ 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）某校初级为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折：乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折． (1)设所购图书的原价为元，选择甲书店时，所需的费用为元，选择乙书店时，所需的费用为元，则，关于的一次函数关系式分别为：_________，_________． (2)你认为年级选择哪个书店购书更合算？ 题型讲练二十五 一次函数与几何综合 【例25】（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，且点C始终在直线上运动，设点A的横坐标为m，正方形的边长为a ①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系； ②求点B所在直线的正比例函数解析式； 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海普陀·期中）若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 5．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标___________溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 7．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知一次函数的图象是一条直线． (1)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象； ①列表，下表列出了部分对应值，则________，________； ②描点、连线，画出函数的图象． (2)若点，点分别在的图象上且，试比较和的大小并说明理由． 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） … 0 1 2 3 4 5 … 气温 … 20 14 8 2 … (1)由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低_____________摄氏度． (2)当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度？ (3)某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？ 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点，点在轴正半轴上，的面积为． (1)求点的坐标； (2)点，点，连接并延长，使．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在上，点在的延长线上，且，连接交于点，连接、，若的面积是．求点的坐标． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3变函数为． (1)关于的一次函数的2变函数为，则当时，________________． (2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的-1变函数为，求函数和函数的交点坐标． (3)关于的一次函数的1变函数为，当时，求函数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十三章 一次函数【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练 共60题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 根据一次函数的定义求参数 题型十四 求一次函数解析式 题型二 求一次函数自变量或函数值 题型十五 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型三 列一次函数解析式并求值 题型十六 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十七 两直线的交点与二元次方程组的解 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 题型十八 图象法解二元一次方程组 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十九 求直线围成的图形面积 题型七 一次函数图象平移问题 题型二十 分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型八 一次函数图象与对称问题 题型二十一 最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型九 一次函数图象与旋转问题 题型二十二 行程问题（一次函数的实际应用） 题型十 根据一次函数增减性求参数 题型二十三 梯度计价问题 题型十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型二十四 其他问题（一次函数的实际应用） 题型十二 比较一次函数值的大小 题型二十五 一次函数与几何综合 题型十三 一次函数的规律探究问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点二 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点三 函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点四 正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点五 正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点六 待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点七 一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点八 一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点九 一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 3. 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点十 求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点十一 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点（0，） , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点十二 一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线的在直线的上方对应的点的横坐标范围． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 根据一次函数的定义求参数 【例1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【规范解答】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【思路引导】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时， 叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【规范解答】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 题型讲练二 求一次函数自变量或函数值 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若点在函数的图象上，则a的值是________． 【答案】2 【思路引导】将点代入计算即可． 【规范解答】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【答案】(1)表格见解析 (2)，是 (3)不可能，理由见解析 【思路引导】（1）根据题意，每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，计算即可得出答案； （2）根据（1）中的结论每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，那么张长方形白纸黏合后会减少，由此可得到解析式，再判断是不是的一次函数即可； （3）把代入（2）中的关系式，若为整数，即可达到总长度为，反之则不能． 【规范解答】（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 【考点剖析】本题主要考查了函数关系式，规律型图形变化类，根据题意找出图形变化的规律列出函数关系式是解决本题的关键． 题型讲练三 列一次函数解析式并求值 【例3】如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上． (1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______； (2)若点M在y轴上，求的最小值； (3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标． 【答案】(1)1，2 (2)的最小值为． (3) 【思路引导】（1）根据点到y轴的距离为即可得出答案； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时达到最小，且最小为，过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点，然后利用勾股定理求得答案即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后再求出直线与轴的交点即可． 【规范解答】（1）解：已知点，， 到y轴的距离为，到y轴的距离为2； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： 关于轴对称，， ，， ， 取得最小值，且最小值为， 过点作轴的平行线，过点作轴的垂直线，两线相交于点， ， ，， ，， ， 的最小值为． （3）解： 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时，那么达到最大，且最大值为， 关于轴对称，， ， 设直线为，代入， ， ， 直线为， 当时，，解得， 故． 【考点剖析】本题考查了点到坐标轴的距离，轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 题型讲练四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 【例4】（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的图象与性质，先得出它的图象与轴交于点，结合，， 随的增大而增大，它的图象经过第一、三、四象限，且结合当时，则，故，即可作答． 【规范解答】解：∵一次函数解析式为， ∴令，则，解得， ∴它的图象与轴交于点， 故A选项不正确，不符合题意； ∵一次函数解析式为，其中， ∴随的增大而增大， 故B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴它的图象经过第一、三、四象限， 故D选项正确，符合题意； ∵， ∴当时，则， ∴， 即， 故C选项不正确，不符合题意； 【变式】．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知函数的图象经过点，，则下列说法正确的是 ________．（填所有正确说法的序号） ①函数的图象可由函数的图象向上平移3个单位长度得到； ②函数的图象经过第一、二、三象限； ③函数的图象经过点； ④函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 【答案】①②④ 【思路引导】先利用待定系数法求出一次函数解析式，再结合一次函数的性质依次进行判断即可． 【规范解答】解：由题知， 将A，B两点坐标代入得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． 将函数的图象向上平移3个单位长度得到的函数图象， 故①正确． 因为与y轴交点为，且y随x的增大而增大， 所以函数的图象经过第一、二、三象限． 故②正确． 将代入得， ， 所以函数的图象不经过点． 故③错误． 因为与坐标轴的交点坐标分别为和， 所以， 即函数的图象与坐标轴围成图形的面积为4.5． 故④正确． 综上正确的有：①②④． 题型讲练五 已知函数经过的象限求参数范围 【例5】（2026·陕西商洛·一模）已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【思路引导】先根据已知一次函数的位置判断和的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 【规范解答】解：∵一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第二象限． 【变式】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）已知函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）函数图象经过原点，说明原点满足该函数解析式，将点代入解析式求解即可； （2）根据一次函数的性质，图象不经过第二象限时，一次项系数大于0，常数项小于等于0，列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【规范解答】（1）解：将原点代入函数得： ， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的取值范围为． 题型讲练六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【例6】（25-26八年级下·山西临汾·期中）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【思路引导】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【规范解答】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【考点剖析】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 【变式】（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 【答案】 【思路引导】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当时，的值最小，利用等积法，求出的长即可． 【规范解答】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，；当时，； ∴， ∴， ∴， ∵直线与直线交于点C，P在直线上运动， ∴直线即为直线， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 过点作，交于点， ∵， ∴， ∴； 即的最小值为． 题型讲练七 一次函数图象平移问题 【例7】（25-26八年级下·北京·期中）已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【思路引导】先设直线的解析式为，将、两点坐标代入解析式联立方程组，两式相减消去含的项，求出；再依据直线向右平移的特点，得到平移后直线倾斜度保持不变，设出平移后的直线解析式；最后将、两点坐标代入平移后的函数关系式，把两个等式再次作差，消去参数与常数项，即可算出的值． 【规范解答】解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 两式相减得，解得． ∵将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线， ∴可设直线的解析式为． ∵点，在直线上， ∴， 两式相减，得． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围或． 【思路引导】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意求得，分三种情况讨论，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，，其中， ∴， 情况1：当即， 此时随的增大而增大， 在时取得最小值，最小值为， 由，得， 解得； 情况2：当即，此时， 不满足，舍去； 情况3：当即， 此时随的增大而减小， 在时取得最大值， 最大值为， 由，得，解得； 综上，的取值范围或． 题型讲练八 一次函数图象与对称问题 【例8】（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)7或1或 【思路引导】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据点P的横纵坐标解答即可； （3）分别求出直线过点B，A是函数解析式，即可； （4）求出直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，，然后分三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵动点P的横坐标，纵坐标， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：设直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； ∴a的取值范围为； （4）解：由（1），（2）得：直线的函数表达式为，直线l的解析式为， ∴直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，， 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 综上所述，t的值为7或1或． 【变式】（25-26九年级上·河南·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 【答案】②③ 【思路引导】本题主要考查了新定义下的函数关系，解题的关键是掌握新定义． 根据“对偶关系”的定义，通过设点坐标，列方程求解，判断各结论是否正确． 【规范解答】解：①设点P在函数上，横坐标为m，则纵坐标为，点Q在函数上，横坐标为n，则纵坐标为， 若P与Q关于y轴对称，则Q的横坐标为，； 则， 解得， 故具有“对偶关系”，结论①错误； ②由①可知，点的坐标为 则函数与函数的“对偶值”为，结论②正确； ③当时，， 解得， ∴当，时，， 解得，结论③正确； 综上，正确的选项为：②③， 故答案为：②③． 题型讲练九 一次函数图象与旋转问题 【例9】如图，在平面直角坐标系中，的正方形网格的每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出直线． (2)将直线向下平移4个单位得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (3)若直线与直线关于轴成轴对称，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． (4)若直线与轴的交点为，则点的坐标为___________，将直线绕点逆时针旋转得到直线，画出直线，它所对应的函数表达式为___________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)作图见解析， (4)，作图见解析， 【思路引导】（1）利用描点法作图即可； （2）根据一次函数的平移即可解答； （3）先求得直线与轴，轴的交点，利用轴对称的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答； （4）先利用旋转的性质，求得直线的对应点，利用待定系数法即可解答． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，可得， 解得， ∴直线经过，， 作图如下： ； （2）解：将直线向下平移4个单位得到直线，作图如下： 可得直线所对应的函数表达式为； （3）解：当时，可得， 解得， 当时，， 是直线上的点， 直线与直线关于轴成轴对称， 是直线上的点， 设直线的表达式为， 把代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： ； （4）解：根据（3）中可得，且直线经过点， 将直线绕点逆时针旋转得到直线， 点绕点逆时针旋转的对应点为点 直线经过，， 设直线的表达式为， 把，代入可得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 作图如下： . 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【规范解答】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 题型讲练十 根据一次函数增减性求参数 【例10】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）令，求出值即可； （2）根据互相平行的两条直线相等求出的值即可； （3）根据一次函数的性质求出的取值范围． 【规范解答】（1）函数图象经过原点， 令，， 代入得：， ； （2）函数的图象平行于直线， ， ； （3）这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大， 且， 且， ． 【变式】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【规范解答】（1）解： 为正比例函数， ， ． （2）解： 不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 题型讲练十一 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【例11】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）研究一次函数时，发现和的取值变化，会带来函数性质的变化． (1)若，且这个一次函数的图像过点． 求和的值； 若，求的取值范围； (2)设函数，（为常数，）． 若函数和同时满足以下三个条件： 条件：随的增大而增大； 条件：当时，； 条件：当时，的最大值为．求的值． 【答案】(1) ，； ； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （）根据，则，把代入直线，从而求解； 由得当，；当，，然后通过一次函数的性质即可求解； （）由题意得，当，；当，；可得：，所以，随的增大而减小，所以，；可得，，从而求出的值． 【规范解答】（1）解：若，则， 把代入直线， 可得， 所以， 所以， 由得，当，；当，； 因为，随的增大而增大， 所以； （2）解：由题意得：， 当，；当，；可得：， 所以，随的增大而减小， 所以，； 可得：，， 所以． 【变式】（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）已知与成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知点在该函数的图象上，且，求m的取值范围； (3)当时， y的最小值为5， 求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查正比例函数的概念，一次函数的图象与性质，掌握好一次函数的性质是解题关键． （1）根据正比例函数的定义，使用待定系数法解题； （2）将点坐标代入（1）中的解析式，求出与关系后，代入不等式，得到m的取值范围； （3）利用一次函数的增减性可知，当时，y取最小值，代入解析式求出m即可． 【规范解答】（1）解：设， 将，代入解析式，得： ， 解得，， ∴，即； （2）解：将，代入解析式，得： ， ∵， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y取最小值5， ∴，解得，． 题型讲练十二 比较一次函数值的大小 【例12】（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【思路引导】将三个点的横坐标代入直线解析式，得到三个关于参数的表达式，再结合给定条件分析乘积的符号，即可判断选项． 【规范解答】∵ 点，，在直线上 将分别代入解析式得 分情况讨论： ①. 若，即 解得 ∵ ， ∴ ，故A正确，B错误 ②. 若，即 解得 或 当或时，与同号， 当时，与异号， 因此的符号不确定，故C，D错误 综上，答案选A． 【变式】对于函数的图象，回答以下问题： (1)该函数经过哪几个象限？ (2)当取何值时，？ (3)若图象上有两点和，且，试比较和的大小． 【答案】(1)第一，二，三象限 (2) (3) 【思路引导】（1）一次项系数和常数项的符号可判断该函数经过的象限； （2）求出时，x的值即可得到答案； （3）根据解析式可得增减性，由增减性即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴函数的图象经过第一，二，三象限； （2）解：当时，，解得， ∴当时，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 题型讲练十三 一次函数的规律探究问题 【例13】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______． 【答案】 【思路引导】根据一次函数性质求出，，即，同理，，即；；进而得出，即可求出结论． 【规范解答】解：当时，， ； ∵四边形为正方形， ∴， 当时，， ，即； 同理，，即； ； ； ∴点的坐标是． 【变式】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是_______． 【答案】10 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质，一次函数上的点，掌握相关知识是解题的关键． 过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点设点的横坐标为n，根据点，的坐标，结合等腰直角三角形的性质求出，得到点的坐标为，代入直线，即可求解． 【规范解答】解：过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点 ∵ ∴，，，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， 设点的横坐标为n，则，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的横坐标为10． 故答案为：10． 题型讲练十四 求一次函数解析式 【例14】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据菱形的性质得到、、，进而求出的度数，根据含角的直角三角形的性质得到，设、，则，在中，得到，进而得到，利用勾股定理求出长，再次利用勾股定理得到关于的表达式，利用，结合二次根式的非负性求出变量的取值范围； （2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画出函数的图象，再写出该函数的性质即可； （3）结合函数图象，找出临界点，当直线的图象在直线和之间时，与函数有两个交点，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：四边形是菱形， 、、、， ， 在中，， ， ， ， ， ， 设、，则， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （2）解：由（1）知， 函数图象如下： 由图象可得：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （3）解：如图，由图象可知，直线的图象在直线和之间时，与（2）中的函数图象有两个交点， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 的取值范围为． 【考点剖析】本题考查菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数的图象和性质，两直线交点问题等，熟练掌握相关性质定理，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【变式】（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的长，由折叠的性质可得，则可证明，据此可证明结论； （3）分三种情况：点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点P的坐标即可． 【规范解答】（1）解：∵点为正比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴正比例函数的表达式； （2）证明：∵， ∴； ∵点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：①如图，当点为直角顶点时，   ，， 过作轴于点，过作轴于点， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ，， 四边形是菱形， ，即轴， ∴点C的横坐标为4， ∵， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， ， ， ， ； ②如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴，， ， ； ③如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴， 设，则，， 又∵， ∴， ∴， ； 综上所述：点坐标为或或． 题型讲练十五 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例15】（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（1）先根据直线过点，得出的值，再将点代入即可得出的值； （2）先求出两函数与轴的交点坐标，然后根据图象即可求得． 【规范解答】（1） 解：函数的图象过点， ， 解得， 将点代入得：， 解得， （2）解：由（1）知，，； 对于，当时，； 对于，当时，； 如图所示，当时，的函数图象位于上方且位于的下方时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，，． 【变式】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 题型讲练十六 根据两条直线的交点求不等式的解集 【例16】（25-26八年级下·重庆·期中）学习函数知识后，小明对新函数的性质及图象进行如下探究． (1)下表是该函数与自变量的几组对应值． x … 0 1 2 … y … m 0 0 n … 其中___________，___________． (2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)结合图象分析，当时，的取值范围为___________． 【答案】(1)3，1 (2)图象见解析，一条性质为：函数的最小值为（答案不唯一） (3)或 【思路引导】（1）把，代入函数解析式即可求解函数值； （2）描点、连线即可作出函数图象；可根据增减性，最值方面分析函数的性质； （3）时，的取值范围即函数图象在直线上方时对应的的取值范围． 【规范解答】（1）解：对于， 当时，； 当时， （2）解：描点连线可得函数图象如图： 一条性质为：函数的最小值为（答案不唯一） （3）解：由函数图象可得，时，的取值范围为或． 【变式】（25-26八年级下·河南郑州·期中）某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）． 【答案】3 【思路引导】先求出，再根据游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准即可得到答案． 【规范解答】解：当时，，解得， ∴ ∵当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时， ∵根据题意，结果取最大整数， ∴游泳池最多可连续开放天． 题型讲练十七 两直线的交点与二元次方程组的解 【例17】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【思路引导】（1）先将点代入直线的解析式求出的值，得到点的坐标；再利用待定系数法，将点和点的坐标代入直线的一般式，求出直线的解析式． （2）先求出直线、与轴的交点、的坐标，得到的长度；再以为底，点到轴的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． （3）根据与的面积关系，先求出的面积；设点的坐标，结合直线的解析式表示出点的横纵坐标关系，再利用三角形面积公式列方程求解点的坐标． 【规范解答】（1）解：点在直线上， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线经过点和， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， ， 点到轴的距离为， ； （3）解：的面积是面积的， ， 设点的坐标为， 直线与轴交于点， （或）， ∴，即， ∴， 当时，解得， 此时 当时，解得， 此时 点的坐标为或． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)交点坐标为 (3)的最小值为，的取值范围为 【思路引导】（1）将点代入一次函数解析式即可解决问题； （2）联立两个直线进行求解即可； （3）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【规范解答】（1）解：将点代入， 得 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为， 联立， 解得， ∴两直线的交点坐标为； （3）解：如图， 当时，， 把代入， 解得， 当时，， 把代入， 解得， 当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， 的最小值为，的取值范围是． 题型讲练十八 图象法解二元一次方程组 【例18】（25-26八年级上·山西运城·月考）综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 【答案】（1）5，2，在（2）①，②图见解析，， 【思路引导】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，即可求出的值，然后画图发现这些点在同一条直线上； （2）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案； ②根据题意可得直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，根据点在轴正半轴上，且，求出点和点的坐标，进而即可求出，的值． 【规范解答】解：（1）当时，代入，得， ∴； 当时，代入，得， ∴； 经过画图发现，这些点在同一条直线上； 故答案为：5，2，在； （2）①在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； ②关于，的二元一次方程组无解， 直线和直线 没有交点，即这两条直线互相平行， 点在轴正半轴上，且，， ， ，即， 将点的坐标代入得， ， 解得， ， ，， ， ，即， 将点的坐标代入 得， ， 解得， 如图所示即为所求： 【变式】（24-25七年级下·江西上饶·期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． （2）请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （3）观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】（）；（）画图见解析；（），；（）的值为，的值为． 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （）观察图象即可求解； （）把两点和代入，然后解方程组即可． 【规范解答】解：（）∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； 故答案为：； （）由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； 画图如图， （）观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （）∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为，的值为． 题型讲练十九 求直线围成的图形面积 【例19】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】 【思路引导】先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：∵直线l是一次函数的图像经过和， ∴， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成的三角形的面积． 【变式】（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)这个一次函数的图象与x轴交于点C． ①求点C的坐标； ②若点P是x轴上一点，且的面积是3，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)①；②点P的坐标为或 【思路引导】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）①由（1）可令，进而问题可求解；②设点，则有，然后根据的面积是3可列方程进行求解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：①由（1）可令，则有， 解得：， ∴； ②设点，则有， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 题型讲练二十 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【例20】（25-26八年级下·山西晋中·期中）《晋中市中小学生课间活动设计指南》要求统筹衔接课间活动、各学段体育课程与课后体育项目，纳入日常综合体育活动体系，助力学生练就运动技能、养成长效锻炼习惯．某校积极响应《指南》号召，准备购置40副羽毛球拍和个羽毛球来丰富学生的课间生活．某品牌直营店标价，一副羽毛球拍36元，一个羽毛球3元，店内有两种促销活动：活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款；活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折． (1)设采用活动一所需费用为元，采用活动二所需费用为元，请分别表示，与之间的函数关系式； (2)请帮学校选择最省钱的方案． 【答案】(1)， (2)当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算 【思路引导】（1）根据两种活动方案分别表示出，与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵活动方案一：买一副羽毛球拍送两个羽毛球，超出的羽毛球按标价付款； ∴购买副羽毛球拍的费用为：（元），赠送的羽毛球数量为（个）， 当时，， 当时，， ∴； ∵活动方案二：羽毛球拍和羽毛球都打9折， ∴； （2）解：当时，令，则， 解得：， 当，即（羽毛球数量通常为整数）时，，选择活动二划算，当时，，选择活动一划算； 当时，令，则， 解得：， 当时，，选择活动一划算；当时，两种活动费用相同；当时，，选择活动二划算； 综上所述，当或，选择活动二划算；当时，两种活动费用相同；当，选择活动一划算． 【变式】（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 【答案】当时，选方案一费用较少；当时，选方案一和方案二费用一样多；当时，选方案二费用较少 【思路引导】设方案一的费用为元，方案二的费用为元，根据方案一和方案二分别列出所需的费用，然后求出，和时对应x的取值范围，进而可求解． 【规范解答】解：设方案一的费用为元，方案二的费用为元， ， ， 若，则解得：， 若，则解得：， 若，则解得：， 所以， 当时，选方案一费用较少； 当时，选方案一和方案二费用一样多； 当时，选方案二费用较少． 题型讲练二十一 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【例21】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． (1)求关于函数关系式． (2)若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 【答案】(1)(，且为整数) (2)购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 【思路引导】（1）先分别计算单个A、B配件的利润，再根据A配件的数量，表示出B配件的数量，最后根据总利润=单个利润×数量列出函数关系式，并注明自变量的取值范围． （2）先根据B配件购进件数不低于A配件的2倍列出不等式，求出的取值范围，再结合一次函数的增减性，确定利润最大时的值及最大利润． 【规范解答】（1）解：配件单件利润：(元) 配件单件利润： (元)． 配件数量： ， ∴ (，且x为整数)． （2）解：， ， ， 中，， 随的增大而增大． 当时，取得最大值．． ∴购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 【变式】（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【答案】(1) (2)种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元 (3)当时，总费用最少，最少费用元 【思路引导】（1）利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式； （2）依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案； （3）依据题意，求出，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案． 【规范解答】（1）解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为， 根据函数图象可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为． （2）解：根据题意得：， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为（元）， ∴种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元． （3）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W最小，最小值为：， ∴当时，总费用最少，最少费用元． 题型讲练二十二 行程问题（一次函数的实际应用） 【例22】（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与实践：壮美广西·绿色出行 【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况． 【实验数据】 实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2； 表1： 表2： 【建立模型】 (1)表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________ 【解决问题】 (2)五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示： ①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%． ②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？ ③若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？ 【答案】(1)， (2)①15，40；②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点110或或200千米；③该车在服务区至少需要充电27.5分钟 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据图象可得出时，e的值，再将代入即可； ②分情况讨论：当汽车离开服务区前，当汽车离开服务区后，当汽车在服务区充电时，三种情况求解即可； ③设该车在服务区充电y分钟，根据题意列出电量与时间和行驶路程的关系式，由保证仪表盘不亮起黄灯得出，从而列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，两个函数都为一次函数， 设，， 将，代入得： ，解得， ∴函数解析式为：； 将，代入得： ，解得， ∴函数解析式为：． （2）解：①由图可知，该车到达贺州黄姚古镇时，，显示剩余电量e为； 该车进入服务区充电前，， 将代入，得：， ∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e为； ②由题意知，汽车每千米耗电量为：， 设该车距离出发点x千米， （i）当汽车到达服务区前， ， 解得：； （ii）当汽车离开服务区后，走完剩余路程的耗电量为， ∴， 解得：； （iii）当汽车在服务区充电时，汽车最终达到的电量为：， 汽车显示剩余电量e的值为从40变为90， ∴当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点200千米， 综上所述，当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点110或或200千米； ③设该车在服务区充电y分钟， 由题意知，， ∴， ∴该车在服务区至少需要充电27.5分钟． 【变式】（25-26八年级下·北京西城·期中）王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程与所经过的时间（分钟）之间的函数关系． 根据图象回答问题： (1)学校与图书馆的距离是_____；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟； (2)相遇前，二人之间的距离的最大值是_____； (3)当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？ 【答案】(1)4；15 (2) (3)3千米 【思路引导】（1）根据函数图象直接求解即可； （2）根据待定系数法分别得出所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为，同理：所在直线的函数解析式为，同理：所在直线的函数解析式为，分别作差求解即可； （3）由（2）得所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为，求出交点坐标，代入函数解析式即可求解． 【规范解答】（1）解：学校与图书馆的距离是4；王鹏在图书馆停留的时间为分钟； （2）由图象可知，线段所在直线，是的正比例函数， 设所在直线的函数解析式为， 代入，得：， 解得：， 所在直线的函数解析式为， 所在直线的函数解析式为， 同理：所在直线的函数解析式为， 同理：所在直线的函数解析式为， 当时，， 当时，取得最大值为：； 当时，二人之间的距离为：， 当时，取得最大值为：； 当时，王鹏查完资料，从原路往回返，与李明的距离一直缩小， ∴二人之间的距离的最大值是 ； （3）由（2）得所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴． 题型讲练二十三 梯度计价问题 【例23】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【规范解答】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 【变式】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键； 水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可． 【规范解答】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元， 故； ②当时，使用费为元，污水处理费为元， 故， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：． 题型讲练二十四 其他问题（一次函数的实际应用） 【例24】（25-26八年级下·广西南宁·期中）某文创店计划采购一批东盟特色文创礼盒供应市场，现有A、B两家供货厂家可选，两家对单价相同的文创礼盒给出不同优惠方案： A厂家：一律打8折出售． B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，则超过的部分打7折． 已知每盒文创礼盒的进价为40元，若该商家计划购买文创礼盒x盒，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元，其函数图象如图所示： (1)分别求出，关于x的函数解析式； (2)如果该商家只在一个厂家购买文创礼盒，那么怎样购买划算？ 【答案】(1)； (2)购买文创礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买文创礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买文创礼盒多于75盒，去厂家购买划算 【思路引导】（1）根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数求解． （2）由得，解得，结合图象即可得解． 【规范解答】（1）解：依题意，； 当，； 当，； ∴； （2）当，时，； 解得：， 由图象可知：购买文创礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买文创礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买文创礼盒多于75盒，去厂家购买划算． 【变式】（25-26八年级下·重庆·期中）某校初级为打造“书香校园”，准备购买一批图书．甲书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折：乙书店的付款方式为：花元办一张会员卡，所购图书的总价可打折． (1)设所购图书的原价为元，选择甲书店时，所需的费用为元，选择乙书店时，所需的费用为元，则，关于的一次函数关系式分别为：_________，_________． (2)你认为年级选择哪个书店购书更合算？ 【答案】(1) ， (2) 当所购图书原价小于元时，选择甲书店购书更合算；当所购图书原价等于元时，两家书店购书费用相同；当所购图书原价大于元时，选择乙书店购书更合算 【思路引导】（1）根据两个书店的优惠规则，列出总费用关于图书原价的一次函数关系式； （2）通过比较两个函数值的大小，分情况讨论得到不同原价下更合算的购书方案． 【规范解答】（1）解：根据题意得，， ； （2）解：分三种情况讨论： 令，即，解得，此时选择甲书店购书更合算； 令，即，解得，此时两家书店费用相同； 令，即，解得，此时选择乙书店购书更合算． 答：当所购图书原价小于元时，选择甲书店购书更合算；当所购图书原价等于元时，两家书店购书费用相同；当所购图书原价大于元时，选择乙书店购书更合算． 题型讲练二十五 一次函数与几何综合 【例25】（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上． (1)如果点A的横坐标为8，点C的纵坐标为6，求点D的坐标； (2)如果点A在直线上运动，且点C始终在直线上运动，设点A的横坐标为m，正方形的边长为a ①请用含m、a的代数式表示点C的坐标，并求出a与m的数量关系； ②求点B所在直线的正比例函数解析式； 【答案】(1) (2)①，；② 【思路引导】（1）分别求出，，即可求解点D的坐标； （2）①可得，而由正方形得到，故，，即可求解点坐标，再将点坐标代入，求解a与m的数量关系； ②可得，，则，再由待定系数法求解正比例函数解析式． 【规范解答】（1）解：将代入得，， 将代入，则， ∴， ∵正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴； （2）解：①∵点A在直线上运动，设点A的横坐标为m， ∴， ∵正方形的边长为a，正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点C始终在直线上运动， ∴， ∴； ②∵正方形的边长为a，正方形的各边都平行于坐标轴， ∴，， ∴， 设点B所在直线的正比例函数解析式为， 则， ∵正方形的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内， ∴， 解得， ∴点B所在直线的正比例函数解析式为． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【思路引导】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】掌握由函数图象求不等式解集的方法求解即可． 【规范解答】解：求不等式的解集就是找直线在轴及其下方部分对应的自变量的取值范围， ， 当时，直线在轴及其下方， 即不等式的解集是． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限即可． 【规范解答】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴一次函数中，，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，观察选项，只有B选项符合题意． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【规范解答】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 4．（25-26八年级下·上海普陀·期中）若直线：与直线平行，且与y轴交于点，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【思路引导】由直线：与直线平行，可设直线的函数解析式为，将代入，即可得出答案． 【规范解答】解：∵直线：与直线平行， ∴设直线的函数解析式为， ∵直线与轴交于点， ∴， ∴直线的函数解析式是． 5．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【思路引导】根据图象读出交点的横坐标，代入已知函数解析式求出纵坐标，即可得到方程组的解． 【规范解答】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为 1， 将代入，得， ∴两直线的交点坐标为， ∵方程组可变形为， ∴该方程组的解即为直线与直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在深圳湿地公园保护项目中，研究人员需监测两种关键水质指标___________溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线：描述，污染物浓度由直线：描述．如图，当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围___________． 【答案】 【思路引导】先将交点P的坐标代入直线：的解析式求出 m 的值，确定交点坐标，然后观察函数图像，找出直线 在直线 上方（包括交点）部分对应的自变量 x的取值范围即可． 【规范解答】解：∵点在直线：上， ∴，解得， ∴ 交点 P的坐标为由函数图像可知，当 时，直线 的图像在直线 的图像上方或重合，即溶解氧浓度不低于污染物浓度 ∴ x的范围是 ． 7．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知一次函数的图象是一条直线． (1)如图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象； ①列表，下表列出了部分对应值，则________，________； ②描点、连线，画出函数的图象． (2)若点，点分别在的图象上且，试比较和的大小并说明理由． 【答案】(1)①，；②见解析 (2) 【思路引导】（1）①根据题意分别求得和的值，即可求解； ②根据描点，连线，画出函数的图象 （2）根据一次函数的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：①列表，下表列出了部分对应值，则 ， ； ②函数的图象如图 （2）解：∵中，一次项系数， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 8．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） … 0 1 2 3 4 5 … 气温 … 20 14 8 2 … (1)由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低_____________摄氏度． (2)当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度？ (3)某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？ 【答案】(1)6 (2)气温t为摄氏度 (3) 【思路引导】根据表格数据探究气温随海拔的变化规律，首先计算得到海拔每升高1千米的温度降低值，再结合初始气温推导气温t与海拔h的关系式，最后统一单位后代入关系式计算得到对应海拔的气温即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∴海拔高度每上升1千米，温度降低． （2）解：由题意得，当海拔高度为h（千米）时，气温， ∴气温t为摄氏度． （3）解：由（2）可得，当海拔高度为h（千米）时，气温t为摄氏度， ∵， ∴当千米时， ， ∴该海拔高度的气温是． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点，点在轴正半轴上，的面积为． (1)求点的坐标； (2)点，点，连接并延长，使．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在上，点在的延长线上，且，连接交于点，连接、，若的面积是．求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）由点，可得，代入的面积，可得，即可得点的坐标； （2）连接，证明，可得，，可得点的坐标； （3）连接，，，证明，可得，可得，，用待定系数法可得直线、的解析式，联立，解方程组，即可得点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵的面积为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， 又∵点在轴正半轴上， ∴． （2）解：∵点，点， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）解：连接，，， ∵，，， ∴，轴，轴， ∴， ∴四边形是正方形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， 设，，则，， ∴，， 解得， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由得， ∴． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的变函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3变函数为． (1)关于的一次函数的2变函数为，则当时，________________． (2)关于的一次函数的1变函数为，关于的一次函数的-1变函数为，求函数和函数的交点坐标． (3)关于的一次函数的1变函数为，当时，求函数的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或，见详解 (3)，见详解 【思路引导】（1）根据定义求出函数解析式，把代入它所满足的函数解析式求解即可； （2）根据定义先求出函数解析式，然后转化为方程组求交点即可； （3）先求出函数解析式，然后结合图象，根据增减性即可确定范围． 【规范解答】（1）解：根据定义，一次函数的2变函数为把代入 ，得； （2）根据定义，一次函数的1变函数为 一次函数的－1变函数为 这两个函数的图象如图1所示（红色为，蓝色为），所以它们的交点坐标为 解得 或解得 所以函数和函数的交点坐标为或； （3）根据定义，一次函数的1变函数为 它的函数图象如图2所示， 分别把，代入，得 ，， 所以当时，函数的取值范围为． 代入，得，且x接近1时，的函数值趋近于－4但小于－4， 所以当时，函数的取值范围为， 综上可知，当时，函数的取值范围为． 【考点剖析】本题考查了一次函数求值、增减性及如何求交点坐标．能够准确理解新的概念，并在此基础上把问题转化成所学的知识进行求解是解决问题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $