4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 训练-2027届高考数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 以题载法系统整合同角三角函数关系与诱导公式，通过分层题型构建“公式应用-技巧迁移-综合建模”的解题体系，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|4题|诱导公式符号判断、弦切互化、终边位置分类讨论|以同角关系为基础，诱导公式为工具，实现角的转化与函数值计算| |多选|3题|公式逆用与变形、三角函数值符号辨析|通过多选项辨析深化公式成立条件，构建知识网络| |填空|3题|化简求值、周期数列结合三角函数|强化公式化简功能，拓展至数列周期性应用| |解答|2题|综合方程与三角函数、韦达定理应用|提升知识整合能力，培养数学抽象与逻辑推理|

4.2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 一、 单选题 1 已知sin ＝， 则cos 的值为(　　) A. － B. － C. D. 2 已知＝，则的值为(　　) A. B. － C. D. － 3 如果角α的终边在直线y＝2x上，那么5sin2α＋3sinαcos α－2的值为(　　) A. － B. C. － D. 或－ 4 人们把最能引起美感的比例称为黄金分割. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin 162° 的值为(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 若sin α＝，则下列计算结果中正确的是(　　) A. cos ＝ B. sin ＝ C. sin (π＋α)＝ D. sin (π－α)＝ 6 下列计算或化简结果中，正确的是(　　) A. ＝2 B. 若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2 C. 若tan x＝，则＝1 D. 若sin α＝，则tan α＝2 7 已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则下列结论中正确的是(　　) A. <α<π B. sin αcos α＝－ C. cos α＝ D. cos α－sin α＝－ 三、 填空题 8 化简sin (α－π)cos (2π－α)的结果为________． 9 若＝，则sin2α－sinαcos α－3cos2α＝________． 10[2025武汉五校联合体期末]记数列{an}的前n项和为Sn，且an＝cos ，则S2 025＝________． 四、 解答题 11 若sin (180°＋α)＝－(0°<α<90°)，求的值． 12 已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R). (1) 求sin3θ＋cos3θ的值； (2)求tan θ＋ 的值． 4．2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1. B　解析：cos ＝cos ＝－sin (θ－)＝－. 2. A　解析：由sin2x＋cos2x＝1，得cos2x＝1－sin2x＝(1＋sinx)·(1－sin x)，故＝＝. 3. B　解析：方法一：因为角α的终边在直线y＝2x上，所以设直线y＝2x上一点为(m，2m)(m≠0)，所以tan α＝＝2，所以5sin2α＋3sinαcos α－2＝5sin2α＋3sinαcos α－2(sin2α＋cos2α)＝3sinαcos α＋3sin2α－2cos2α＝＝＝＝. 方法二：易知直线y＝2x过第一象限和第三象限．若α的终边在第一象限，可取终边上一点(1，2)，则sinα＝＝，cos α＝＝，所以5sin2α＋3sinαcos α－2＝5×＋3××－2＝；若α的终边在第三象限，可取终边上一点(－1，－2)，则sin α＝＝－，cos α＝＝－，所以5sin2α＋3sinαcos α－2＝5×＋3××－2＝.综上，5sin2α＋3sinαcos α－2＝. 4. A　解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，D为BC的中点．因为△ABC为最美三角形，所以∠BAD＝18°，＝，所以sin ∠BAD＝＝＝·＝＝sin 18°，所以sin 162°＝sin (180°－18°)＝sin 18°＝. 5. AD　解析：cos ＝sin α＝，故A正确；由sin α＝，得sin ＝cos α＝±，故B错误；sin (π＋α)＝－sin α＝－，故C错误；sin (π－α)＝sin α＝，故D正确．故选AD. 6. AB　解析：对于A，＝·＝2，故A正确；对于B，若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝＋＝＝2，故B正确；对于C，若tan x＝，则＝＝＝2，故C错误；对于D，因为α的范围不确定，所以tan α的符号不确定，故D错误．故选AB. 7. ABD　解析：因为α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，等式两边平方，得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，故B正确；因为α∈(0，π)，sin αcos α＝－<0，所以<α<π，cos α<0，故A正确，C错误；由<α<π可知cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－，故D正确．故选ABD. 8. －sin2α　解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 9.　解析：由＝可知cos α≠0，所以＝＝，所以tan α＝－3，所以sin2α－sinαcos α－3cos2α＝＝＝＝. 10.　解析：当n＝1时，a1＝cos ＝；当n＝2时，a2＝cos ＝0；当n＝3时，a3＝cos ＝－；当n＝4时，a4＝cos π＝－1；当n＝5时，a5＝cos ＝－；当n＝6时，a6＝cos ＝0；当n＝7时，a7＝cos ＝；当n＝8时，a8＝cos 2π＝1；当n＝9时，a9＝cos ＝；当n＝10时，a10＝cos ＝0，所以数列{an}是周期为8的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝0.因为2 025＝8×253＋1，所以S2 025＝a2 025＝cos ＝. 11. 由sin (180°＋α)＝－(0°<α<90°)， 得sin α＝，cos α＝， 所以原式＝ ＝＝＝2. 12. 由题意，得sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a. 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 所以a2＝1＋2a，解得a＝1－或a＝1＋. 因为|sin θ|≤1，|cos θ|≤1，所以|sin θcos θ|≤1， 即|a|≤1，所以a＝1－. (1) sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cos θ)(sin2θ－sinθcos θ＋cos2θ) ＝(sinθ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a) ＝(1－)×(1－1＋)＝－2. (2) tan θ＋＝＋＝＝＝＝＝－1－. 学科网（北京）股份有限公司 $