四川省彭州中学2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学试卷

**基本信息** 按零诊规格设计，以基础题为主，覆盖函数、几何、代数、统计模块，结合新高考二卷趋势，注重数学思维与应用能力，如统计利润计算体现数学语言表达现实世界。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量等|基础巩固，如复数实虚部计算| |多选题|3/18|函数性质、概率互斥事件|逻辑推理，如函数奇偶性判断| |填空题|3/15|基本不等式、棱台体积|运算能力，如基本不等式求最值| |解答题|5/77|数列综合、立体几何折叠等|综合应用，如立体几何折叠（数学眼光观察空间形式）、圆锥曲线面积最值（数学思维分析问题）|

2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二下期末模拟考试 数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：张义凌 注意事项：开考后，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的对应位置上。考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回。 考前寄语： 祝福你们考试成功，本试卷基本按照往届零诊规格设计，主要以基础题为主。也希望同学们在备考的时候以基础题为主，如果你们看最近几年新高考二卷，发现题目都不会很难，所以请放平心态！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.设的实部与虚部相等，其中为实数，则等于(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 4.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则(    ) A. ，的最小值为 B. ，的最小值为 C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 5.在四面体中，，，，且，，则等于(    ) A. B. C. D. 6.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点直线与交于另一点，若，，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 7.设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知函数若函数有三个极值点，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则(    ) A. 当时， B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 有个零点 10.一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出支一等品和支二等品”互斥的事件有(    ) A. 取出的支笔中，至少支一等品 B. 取出的支笔中，至多支二等品 C. 取出的支笔中，既有一等品也有二等品 D. 取出的支笔中，没有二等品 11.小明同学利用软件生成了一段形状优美的曲线，其方程为，形状酷似数学符号“”如图，对于此曲线，下列说法正确的是(    ) A. 曲线与直线有个公共点 B. 曲线与圆有个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 若点在曲线上，点，线段的长度可能为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，均为正实数且，则的最小值为          ． 13.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为            ． 14.一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 已知等差数列前项和为，满足． 求数列的通项公式； 若等比数列前项和为，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，设，求数列的前项和． 条件：； 条件：； 条件：． 16.本小题分 已知函数，，函数在处有极值． 求函数的解析式； 求函数在上的最值． 17.本小题分 如图，梯形中，，过、分别作，，垂足分别为，，，已知，将梯形沿、同侧折起，得空间几何体，如图． Ⅰ若，证明：平面； Ⅱ若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长． 18.本小题7分 某企业准备购进新型机器以提高生产效益．根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表． 图表 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表所示的频率分布直方图． 用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取件，再从这件中任取件作进一步研究，求这件产品都取自区间的概率； 根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表 图表 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 元 元 元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： 质量指标值的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表不低于． 单件产品平均利润不低于元． 已知该新型机器生产的产品的成本为元件，月产量为件，根据图表、图表、图表信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件． 19.本小题7分 设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线． 求曲线的标准方程； 若直线过点，与曲线交于，两点，在轴上方，直线，交于点，直线，交于点记，到直线的距离分别为，． (ⅰ)证明：  (ⅱ)求的面积最小值． 高二下期末模拟考试数学答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由已知得：， 又， 故A． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复数的概念及复数的乘法的运算法则，考查计算能力，属于基础题． 利用复数的乘法运算法则，根据复数的概念求解即可． 【解答】 解：的实部与虚部相等， 可得：， 解得． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：向量，，则， 若，则，解得． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的知识点是函数的图象和性质，属于中档题． 将代入得：，进而求出平移后的坐标，进而得到的最小值． 【解答】 解：将代入得：， 将函数图象上的点向左平移个单位， 得到， 若位于函数的图象上， 则， 则，， 则，， 由得的最小值为， 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的线性运算，属于基础题． 直接利用向量线性运算法则进行运算求解即可． 【解答】 解：在四面体中，，，，且，， 则， 故选B． 6.【答案】  【解析】解：设，则，，， 因为，所以， 则在中，， 解得，所以，， 在中，，所以离心率． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的判定，充分、必要条件的判断，为基础题． 【解答】 解：由，得，且，则， 所以是公差为的等差数列，反之不成立． 故“”是“是等差数列”的充分不必要条件． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的极值，属于综合题． 根据极值点的条件，先可推出  的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出  的范围，最后利用韦达定理求解． 【解答】 解：  ，则  ， 由题意  ，得到  ，从而  ， 而  ， 故  ，令  ， 由  ， 于是  有两个根  ，满足  ， 注意到二次函数  开口向上，对称轴为  ，故  ， 解得  ，于是  有两个根  ，满足  ，根据韦达定理，  ． 故选： 9.【答案】  【解析】解：定义在上的奇函数，，当时，， 对于，当时，，则，A错误； 对于，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有个零点，D正确． 故选： 10.【答案】  【解析】提示：对于，事件“取出的支笔中，至少支一等品”包括支一等品和支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故 A正确 对于，事件“取出的支笔中，至多支二等品”包括支一等品和支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故B正确 对于，事件“取出的支笔中，既有一等品也有二等品”包括支一等品和支二等品，支一等品和支二等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”可能同时发生，它们不是互斥事件，故C不正确 对于，事件“取出的支笔中，没有二等品”指支一等品，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故D正确． 11.【答案】  【解析】思路导引对于，联立根据解的个数即可判断 对于，联立可得，再代入，得，由判别式及根与系数的关系，可得此方程有个不同的根，即可判断 对于，求出个弓形的面积，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断 对于，取点的坐标为或，即可判断． 对于，由可得，所以，即，解得或，所以或或，所以曲线与直线有个公共点，故A正确 对于，由可得，则有，平方得，代入，得，即，因为，，，所以关于的方程有个不同的正根，从而得有个不同的解，所以曲线与圆有个公共点，故B正确 对于， 作出曲线如图所示： 曲线所围成的图形的面积为个全等弓形的面积之和，设弓形的面积为， 因为所在圆的圆心为，半径为，连接，，则，，在中，，又，所以，所以扇形的面积，，所以，所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误 对于，当点的坐标为或时，，故D正确故选ABD． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 利用基本不等式“”的妙用求解． 【解答】 解：由于，均为正实数且， 可得， 由于， 当且仅当时取得等号，即， 联立，解得， 所以， 即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查棱台体积公式的应用，是基础题． 先根据题意求出正四棱台的高，再代入棱台的体积公式即可求解． 【解答】 解：如图，设正四棱台的上下底面中心分别为，， 过作，垂足点为， 在正四棱台中， ， ， 又，， 易知四边形是平行四边形， ，， 又， ， 又， 在中， ， 该四棱台的体积为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：因为，， 所以，， 则在点处的切线方程为， 即， 在点处的切线方程为：， 即， 由已知 由，得， 故， 故，解得， 所以， 因此． 故答案为：． 15.【答案】解：设等差数列首项和公差分别为  ， 由  得  ， 所以  ； 设等比数列首项和公比分别为  ， 若选，由  得  ； 由  得  ， 所以公比为  ，故  ， 故  ， 故  ； 若选， 由  可知公比不为，所以  ， 由  得  ， 所以  ， 故  ， 故  ； 若选，由  可知公比不为，所以  ， 由  得  ； 所以  ， 故  ， 故  ．   【解析】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，分组求和法，属于中档题． 根据等差数列基本量的计算即可求解； 根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解． 16.【答案】解： 由在处有极值可得 ，所以， 此时，令得， 列表如下 递增 递减 递增 验证得函数在处有极值，故函数解析式为； 由上表可知在处有极大值． 在处有极小值， 又因为，， 所以函数最小值为，最大值为．  【解析】本题考查已知极值或极值点求参，利用导数求函数的最值，属于中档题． 根据求出，然后验证单调性即可求出函数的解析式； 比较中的极值与区间端点的函数值即可求出函数在上的最值． 17.【答案】证明：Ⅰ由已知得四边形是正方形，且边长为，在图中，， 由已知得，，，平面， 平面， 又平面，， 又，，，平面， 平面． 解：Ⅱ在图中，，，，，平面， 即平面， 在梯形中，过点作交于点，连接， 由题意得，，则，则，， 过作交于点，可知，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 由得，取得， 设，则，，得， 设与平面所成的角为， ． 所以．  【解析】本题考查直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，考查运算求解能力，是拔高题． Ⅰ推导出，，从而平面，进而，再由，能证明平面． Ⅱ过点作交于点，连接，过作交于点，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 18.【答案】解：设“所取件产品都取自区间”为事件， 因为区间和上的频数之比为， 所以应从区间上抽取件，记为，， 从区间上抽取件，记为，，，， 则从中任取两件的情况有，，，，，，，，， ，，，，，共种，即样本空间中样本点的总数为， 事件所含的基本事件共有，，，，，种 所以所求事件概率为． 先分析该产品质量标准值的平均数， 由题意得， 故满足认购条件， 再分析该产品的单价平均利润值： 由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为，，， 故件产品中，一、二、三等品的件数估计值为：，，件， 设一、二、三等品利润分别为，，， 元， 元， 元， 则件产品的总利润为：元， 故件产品的单件品平均利润估计值为， 故不满足认购条件， 综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件．  【解析】本题考查频率分布直方图、古典概型和样本数字特征，属于较难题． 利用古典概型的概率公式即可求解； 利用平均数检验条件，再分析该产品的单价平均利润值，检验条件，即可作出判断． 19.【答案】解：设，则，所以，， 所以，即，， 所以的方程，； 证明：设，，依题意知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 所以，， 所以，， 所以，当且仅当时取等号； 由知：， ， 设，， 由题意知，，， ， 由题意知，，， ， 即，所以，， ，所以，即在直线上， 同理可证：在直线上，故AB， 因为直线的方程为，直线的方程为， 由，得，， 所以， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为， 所以的面积最小值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $