精品解析：四川省宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末冲刺（模拟考）（二）数学试卷

宜宾市一中2024级高二下期期末冲刺（二） 数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，再代值计算即可. 【详解】由求导得， 则. 故选：A. 2. 已知一组数据为，若 为这组数据的中位数，则的展开式中的系数为（ ） A. -80 B. -24 C. 24 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据样本数据求中位数，再根据二项式定理的通项法求的系数. 【详解】这8个数据的中位数为， 中，含的项为，所以的系数为. 故选：A 3. 某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ） A. 240种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 【答案】A 【解析】 【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解. 【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有种，再把5个节目排列且满足舞蹈在前、小品在后， 有，总共有种. 故选：A. 4. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（ ） A. x与y负相关 B. C. 回归直线过点 D. 时的残差为0.05 【答案】C 【解析】 【分析】由经验回归方程系数为 可对A判断求解；分别求出，然后求出，从而可对B、C判断求解；利用残差知识可对D求解判断. 【详解】A：由经验回归方程为，线性系数为，则与 正相关，故A错误； B、C：由，所以，所以回归直线过点，故C正确； 又，解得，故B错误； D：时，，则残差为：，故D错误. 故选：C. 5. 新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ） A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C. 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 D. 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 【答案】C 【解析】 【分析】由等高堆积条形图，可以分别求出高一、高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比，从而根据分层抽样求出人数，即可判断选项 和；根据，对照临界指表，即可判断选项和. 【详解】由等高堆积条形图可知，高一学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以按比例分层随机抽样抽取人，则参加科技类的学生有人， 错误； 由等高堆积条形图可知，高二学生中参加科技类活动人数与参加文艺类活动人数之比为， 所以参加科技类活动人数为人，参加文艺类活动人数为人， 所以调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多人，错误； 已知，根据临界值表可得， 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于， 所以正确； 因为，不满足，因此不能依据的独立性检验得出结论， 所以错误. 6. 若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 7. 若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设 ，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 曲线的切线方程为， 即 ， 代入，得  ，该方程有三个不同的解，，． 令 ，， 令，则或 ， 当和时，，当时，， 知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和 处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则 ． 所以 的取值范围是. 8. 生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如 ）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为，子二代的基因型为，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取2颗踠豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式求解即可. 【详解】子二代基因配型有6种情况，分别记为事件, “子三代基因型为高茎”记为事件，则 事件 配型 , 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中第1014项的二项式系数最大 B. C. D. 被16除的余数是15 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项式定理中二项式系数的特点：中间项的二项式系数最大，求解选项A，对二项式展开式进行赋值，赋值 求解选项B，对二项式展开式的左右两边进行求导再赋值求解即可求解选项C，对二项式展开式赋值 并观察各项系数特点是否含有16的因数求解选项D. 【详解】因为为偶数，故展开式中二项式系数最大为第 项，故选项A正确， 所以， 又因为 所以令 则 故选项B正确. 对函数左右两边求导得： 令，则 ， 故选项C正确. ， 令 ，则， ， 除第一项外，其余项均可以被16整除， 所以被16除的余数是1，故选项D错误. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若有两个不同的实根，则a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数的正负得出函数单调性进而得出极值判断A，根据单调性判断C，应用对数运算判断B，应用单调性结合函数值域即可判断D. 【详解】由已知得， 令得，令得， 故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，A正确； 又令得，即，所以只有1个零点，B不正确； 函数在上单调递减，因为，所以，故C正确； 若有两个不同的实根，由在上单调递增，在单调递减， 所以的最大值为， 当时，，当时，， 当有两个不同的实根，则，故D不正确． 故选：AC 11. 一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（ ） A. 最多需要检测4次可确定患病者 B. 第2次检测后就可确定患病者的概率为 C. 第3次检测后就可确定患病者的概率为 D. 检测次数的期望为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，运用相互独立事件的概念及概率乘法公式，结合随机变量分布列的期望公式，逐项计算判断即可. 【详解】对于A项，①当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都没有检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，若第4次还是阴性，则剩下没有检测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者； ②若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患病者. 综述：最多需要检测4次可确定患病者.故A项正确； 对于B项，第2次检测后就可确定患病者有两种情况： ①患病者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他， ②患病者不在混检中，并在逐个检测时第1次抽到他， 则其概率为：，故B项错误； 对于C项，第3次检测后就可确定患病者有两种情况： ①患病者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他， ②患病者不在混检中，并在逐个检测时第1次没有抽到他， 则其概率为：，故C项正确； 对于D项，设检测次数为随机变量X，则其分布列为： X 2 3 4 P 所以，故D项正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 正八边形的对角线条数为____________.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】根据两点确定一条直线，从8个顶点中任取两个的取法，再去掉边的条数即可. 【详解】正八边形8个顶点中的任意两个的连线的条数，排除边数即为对角线条数， 故正八边形的对角线的条数是条. 故答案为：20 13. 我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱底面直径为 ，高为，由题意得，将容积表示为单变量函数，利用导数法找极值点，再判断极值是否为最值. 【详解】设圆柱底面直径为 ，高为，由题意得，即， 圆柱容积：， 求导得：， 令，在内得临界点： 当时，单调递增； 当时，单调递减； 因此时 取得最大值，代入得：. 14. 已知函数， ，若 ，其中，的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件得到 ，构造函数，利用单调性可得，从而可得，构造函数，再利用的单调性，求出的最大值，即可求解. 【详解】由题知 ， ，易知， 令，则 在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 又 ，且，即 ，故得， 则 ，所以， 令，则， 当时， ，当时， ， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，故的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 数列中，，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由题意，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解. 【小问1详解】 由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得（，. 所以 . 16. 如图，三棱锥 中， 底面 ，，，，点满足，是 的中点． （1）请写出 的一个值使得平面，并给予证明； （2）若二面角 大小为，且，求点到平面 的距离． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质可得时，，结合线面平行判定定理可得结论； （2）方法一：利用作 ，根据线面垂直判定可知平面 ，由可知所求距离，由长度关系可求得结果； 方法二：根据二面角平面角定义可作出平面角，由此可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 当时，平面，证明如下： ，为 中点，又为 中点，， 平面， 平面， 平面. 【小问2详解】 方法一：过作 于， 平面 ， 平面 ，， 又 ，平面 ，平面 ， ，点到平面 的距离， ，点到平面 的距离 方法二： ，，，； 平面 ， 平面 ，， 又，，平面 ， 平面 ， 又平面 ，， 是二面角 的平面角，即， 以为坐标原点，正方向为 轴正方向，作轴平行于，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ， 设平面 的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面 的距离. 17. 调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答. （1）共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数； （2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题. （i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率； （ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？ 【答案】（1），375人 （2）（i）；（ii）至少要访谈48位业主 【解析】 【分析】（1）根据红球与白球的个数比例以及问卷调查的情况，通过比例求解即可； （2）（i）由每位代表投赞同票的概率均为，且方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，根据二项分布的概率公式运算求解即可； （ii）由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为，要使满意度提高到80%，可设设至少要访谈 位业主，列出关于 的不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 记：事件“业主对物业工作表示满意”，则， 所以，（人）， 故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人； 【小问2详解】 （i）由已知得，每位代表投赞同票的概率均为， 方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以， 故某个问题能够被解决的概率； （ii）设至少要访谈 位业主，由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为， 要使业主满意的比例提高到80%，则有 ， 故至少要访谈48位业主． 18. 已知点， 是平面上一动点，点 到点的距离比它到轴的距离大1，设动点 的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知点，，为不过点的直线 与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线 过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） 或； （2）证明：由不过点的动直线 与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线 相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得 ， 所以，即． 因为，所以 ， 代入得： ，整理得：， 即或 ． 当 时，直线的方程： 过定点，舍去； 当时，直线的方程： 过定点． 所以直线 过定点． 【解析】 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【小问1详解】 设，由点 到点的距离比它到轴的距离大 可得， ，平方得：， 当 时，上式化简可得： ， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是 或； 【小问2详解】 略 19. 已知函数， . （1）当 时，求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，） 【答案】（1）最小值为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，找到唯一极小值点，从而确定函数的最小值； （2）通过参变分离，将恒成立问题转化为求函数的最大值问题，再利用导数研究的单调性，得到其最大值，进而求出的取值范围。 （3）利用第 (2) 问得到的不等式结论，构造可放缩的不等式，再通过累加法对个不等式求和，最终得到数列不等式的证明. 【小问1详解】 当 时，函数 ，定义域为，， 所以当时 ，当时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且最小值为. 【小问2详解】 当 时，恒成立等价于恒成立， 令，求导得， 令，则， 当时， ，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即恒成立， 所以当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以a的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，（ ），即（ ），所以， 则，当且仅当时取等号， 所以，，…，， 将以上个不等式左右两边分别相加得 ， 即（，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市一中2024级高二下期期末冲刺（二） 数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知一组数据为，若 为这组数据的中位数，则的展开式中的系数为（ ） A. -80 B. -24 C. 24 D. 80 3. 某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出顺序种数有（ ） A. 240种 B. 480种 C. 540种 D. 720种 4. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（ ） A. x与y负相关 B. C. 回归直线过点 D. 时的残差为0.05 5. 新泰中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ） A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C. 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 D. 依据的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于 6. 若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如 ）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如 ）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为，子二代的基因型为，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取2颗踠豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中第1014项的二项式系数最大 B. C. D. 被16除的余数是15 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若有两个不同的实根，则a的取值范围是 11. 一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（ ） A. 最多需要检测4次可确定患病者 B. 第2次检测后就可确定患病者的概率为 C. 第3次检测后就可确定患病者的概率为 D. 检测次数的期望为3 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 正八边形的对角线条数为____________.（用数字作答） 13. 我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____． 14. 已知函数， ，若 ，其中，的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 数列中，，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 16. 如图，三棱锥 中， 底面 ，，，，点 满足， 是 的中点． （1）请写出 的一个值使得平面，并给予证明； （2）若二面角 大小为，且，求点 到平面 的距离． 17. 调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答. （1）共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数； （2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题. （i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率； （ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？ 18. 已知点， 是平面上一动点，点 到点的距离比它到轴的距离大1，设动点 的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知点，，为不过点 的直线 与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线 过定点，并求出定点坐标． 19. 已知函数， . （1）当 时，求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $