江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末综合练习7

**基本信息** 以复数、向量、三角函数、立体几何等核心知识为载体，通过基础辨析、综合应用与创新情境题，系统考查数学眼光中的空间观念、数学思维中的推理运算及数学语言的模型表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、多选9|概念辨析与简单运算|复数几何意义→向量数量积→函数性质→三角恒等变换，层层递进| |综合应用|单选6-8、多选10-11、解答15-18|跨知识模块整合|立体几何线面关系与空间角→解三角形与面积最值→向量与三角函数综合，体现知识网络构建| |创新拓展|填空13、解答19|传统文化与实际应用|祖暅原理推导体积→仰角差模型构建，培养数学应用意识与创新思维|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习7 1、 单选题 1．复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 3.与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 8.已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（    ） A． B． C．或 D．或 2、 多选题 9.设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10.已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11.正方体的棱长为2，点是四边形内部及边界上一动点，点是棱上靠近点的三等分点，下列结论正确的有（    ） A． B．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 C．若，则点的运动轨迹长度为 D．直线被正方体的外接球所截得的线段的长度为 3、 填空题 12.已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________． 13.我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为______． 14.在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 4、 解答题 15.已知向量，，函数. (1)求的解析式； 2)求的最小正周期及单调递增区间； (3)若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 16.如图，是中点，是的直径，点为该圆上的点，，所在的平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若，，点D，E在边AC上，且BD是的角平分线，BE是的角平分线，求的面积. 18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）． (1)证明：； (2)若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； (3)设点Q是边上的点（含端点），求的最小值． 19.我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度第二学期高一数学冲刺期末综合练习7 解析版 5、 单选题 1．复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由题意得， 则在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第四象限. 2.设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【详解】由于，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 3.与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，令，得， 令，得，令，得，令，得， 令，得，结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线， 即直线与函数的图象不相交．故选：C． 4．已知向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知向量， 若与的夹角为钝角，则，解得且， 故“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件．故选：A． 5.已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ，所以，故选：A． 6.在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接、，则也为的中点，如下图所示： 在直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体， 又因为，且，则， 因为，，所以， 故，因为四边形为矩形，则， 所以异面直线与所成角为或其补角， 且，因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 7．在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以，因为，所以. 又由，得， 所以，所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形，又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 8.已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】易知正四棱台上下底面为正方形，则外接圆的半径分别为，， 设外接球的半径为，正四棱台的高为，可得，解得， 易知或.故选：D. 6、 多选题 9.设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，若若，，则、平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可知，因为，，则，故，B对； 对于C选项，若，，，设， 在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得， 因为，故，因为，，故，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，，， 设，在平面内作异于直线的直线，使得， 由面面垂直的性质定理得，由C选项可知， 因为，，则，故，D对. 故选：BCD. 10.已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由余弦定理知，， ，， ，即，， ，，， A选项正确； 对于B，， B选项错误； 对于D，为的外心，为中点，则，如图所示， 所以，同理 ， ①， ②， 由①②得，，，，D选项错误； 对于C，，C选项正确. 11.正方体的棱长为2，点是四边形内部及边界上一动点，点是棱上靠近点的三等分点，下列结论正确的有（    ） A． B．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 C．若，则点的运动轨迹长度为 D．直线被正方体的外接球所截得的线段的长度为 【答案】ABD 【详解】对于A，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，因为直线与平面所成的角为， 而平面与平面平行， 所以直线与平面所成的角为， 连接，因为平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 则，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心的圆与四边形的公共部分， 所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，分别在取靠近点的三等分点， 在上取靠近点的三等分点，连接， 则，因为点是棱上靠近点的三等分点， 所以，所以，所以四点共面， 有正方体的结构特征可得， 因为平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，又平面， 所以平面， 又因，点是四边形内部及边界上一动点， 所以点的轨迹即为，，故C错误； 直线被正方体的外接球所截得的线段， 即为被正方形外接圆所截得的线段， 如图，点为正方形外接圆的圆心，则点为的中点， 过点作于点，则所求线段即为， ， 则， 所以， 所以， 所以所截得的线段的长度为，故D正确. 故选：ABD. 7、 填空题 12.已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为________． 【答案】3 【详解】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得，故答案为：3． 13.我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为______． 【答案】 【详解】因为半球台下底面半径，上底面半径， 所以半球台高度. 由祖暅原理得，半球台的体积等于底面半径为、高为的圆柱的体积减去底面半径为、高为的圆锥的体积， 所以半球台的体积. 故答案为：. 14.在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 【答案】8 【详解】 设在中，角所对的边分别为. 因为，所以， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为为的角平分线，所以. 由得， 整理得，即. 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，故面积的最小值为8. 故答案为：8. 8、 解答题 15.已知向量，，函数. (1)求的解析式； (2)求的最小正周期及单调递增区间； (3)若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【详解】（1）由向量，得 ； （2）函数的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为. （3）由（1）知，， 当时，，由在上的值域为， 得，解得，所以实数的取值范围是. 16.如图，是中点，是的直径，点为该圆上的点，，所在的平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）因为是的直径，点为该圆上的点，所以， 因为所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）取的中点为，连接， 因为是中点，，所以异面直线与所成角即为或其补角， 设，所以， 因为所在的平面，是中点，所以，则所在的平面， 因为所在的平面，所以，则， 因为，所以， 又因为所在的平面，所以，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若，，点D，E在边AC上，且BD是的角平分线，BE是的角平分线，求的面积. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即. 因为，展开式子得 移项可得，即. 因为，所以，则. 解得，又，所以. （2）已知，，，因为BD是的角平分线， 则， ， 所以. 又因为BE是的角平分线， 则， ， 所以.所以. 18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）． (1)证明：； (2)若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； (3)设点Q是边上的点（含端点），求的最小值． 【详解】（1）连接， 在中，由余弦定理得，， 所以，所以， 又因为四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面， 所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． （2）在平面中，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，平面， 所以，又平面，所以， 又平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 则在中，， 因为底面，平面，所以， 在中，， 又N为棱的中点，所以， 所以，则，所以， 在中，， 所以，设， 在中，由余弦定理得，， 所以． （3）将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得， 则，当且仅当在同一直线上时，取得最小值， 所以， 当在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示， 则，故的最小值为． 19.我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 【详解】（1）在中，，所以， 在中，， 因为，所以， 所以壁画最高点与点的距离为7． （2）①设，， 在中，，则， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 解得，即． ②设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当距离点处观察壁画，才能使得仰角差最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $