精品解析：江苏省如皋中学2024-2025学年高一下学期综合练习（四）（6月）数学试题

江苏省如皋中学2024-2025学年度第二学期综合练习（四） 高一数学 命题人：曹春茂 命题中心审核人：钱如美 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 60°或120° 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为，，，由正弦定理得， 所以，所以或， 则或. 故选：C. 2. 若是纯虚数，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义来确定实数的值. 【详解】已知复数是纯虚数，那么其实部. 可得，则或，解得或.  因为纯虚数的虚部不为，所以，解得. 所以. 实数的值是1. 故选：A. 3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可． 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，所以，所以. 故选：A. 4. 在中，点在边上，．记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解. 【详解】根据题意， 在中，， 故， 又在中，， 故选：A． 5. 已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 5或9 D. 7或11 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的计算及中位数的定义，分类讨论，列出方程即可求解． 【详解】平均数为， 将这组数据排序，若，7，9，9，则中位数为， 所以，符合题意； 将这组数据排序，若7，，9，9，则中位数为， 所以，符合题意； 若7，9，9，，则中位数为， 所以，符合题意； 综上所述，的值为7或11， 故选：D． 6. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 7. 已知为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出，再由角的变换及两角和的正余弦公式求解即可. 【详解】已知为锐角，， 根据，可算出， 因为为锐角，且， 又， ， ， 所以． 故选：C． 8. 在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 49π B. 36π C. 32π D. 28π 【答案】A 【解析】 【分析】设侧棱长为x，由求得和的余弦值，利用二倍角公式可求得，从而求得棱锥的高，设球心为M，球半径为，表示出，然后由勾股定理可求得，得球表面积． 【详解】设侧棱长为x，且易知 则， 因为，则,所以，解得， 所以， 设球心为M，则MP=MA=R，， 因为，所，解得，所以表面积， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，由复数的模长公式即可判断BC，举出反例即可判断D. 【详解】，如，，此时与无大小关系，A错． ，，，，，B对． ，，， 即， 则，，C对． 设，，此时但，D错， 故选：BC． 10. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面积为 B. 棱台的高为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意作正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，从而得到侧面的高与棱台的高，从而求得． 【详解】由题意作右图正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为， 取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接， 在等腰梯形中，，，， 则，， 故棱台的侧面积为，故正确， 又三棱台为正三棱台， 所以为棱台的高，在中，，， 在△中，，故错误， 棱台的侧棱与底面所成角为，，故正确， 棱台的侧面与底面所成锐二面角为，，故错误， 故选：． 11. 记是的外接圆，且，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 圆O的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据向量的减法运算求解即可；对于B，由数量积定义计算即可；对于C，对等式两边同时点乘，可求，进而得到，利用面积公式即可求解；对于D，由余弦定理可得，由正弦定理可求圆的半径，再结合周长公式得到周长即可. 【详解】对于A，因为，所以 即，即，故A错误； 对于B，因为是的外心，所以在的中垂线上， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 解得，故，， 所以的面积为，故C正确； 对于D，由余弦定理可得，解得， 由正弦定理，， 所以圆的半径为，其周长为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于的方程的一个根，则的模为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，即，再根据复数相等求解即可. 【详解】知是关于的方程的一个根， 所以，即， 所以，解得. 的模为. 故答案为：. 13. 已知向量，与的夹角为，且，则在上的投影向量的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由得出，再由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果． 【详解】因为且，所以，则， 又， 所以在上的投影向量的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为________，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由平行线确定一个平面，利用中位线找到截面并求周长；构造面面平行，找到点F的轨迹并求长度. 【详解】取CD中点G，连接BG、EG， 正方体中，，，四边形为平行四边形，则， E是中点，G是CD中点，，则等腰梯形为截面， 而，， 故梯形的周长为； 取中点M，中点N，连接， 则，故四边形为平行四边形， 则得，而平面，平面， 故平面，同理平面， 而，平面，故平面平面， ∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求的最大值和最小值； （2）设为锐角，且，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行恒等变换，再根据定义域，求出值域，求出最大值和最小值. （2）根据同角三角函数的平方关系，和两角和的余弦公式，求出的余弦值，判断角的值. 【小问1详解】 由题意得， 当时，， 所以的最大值是2，最小值是. 【小问2详解】 则，同理， 由，得， 因为为锐角，所以，则. 16. 多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项． （1）求该同学第10题得6分的概率； （2）求该同学两个题总共得分不小于10分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先列出第10题选两个选项的所有情况，求出选两个选项正确的概率，再利用独立事件的概率公式计算即可； （2）由总得分不低于10分共2种情况：第10题得6分且第11题得4分和第10题得6分且第11题得6分，设出基本事件求出概率，用基本事件分别表示这2种情况，利用独立事件的概率乘法公式和加法原理计算即可. 【小问1详解】 根据题意，第10题得6分需满足选两个选项且选对， 选两个选项共有6种情况，，，，， 所以； 【小问2详解】 总得分不低于10分共2种情况，它们分别是：第10题得6分且第11题得4分；第10题得6分且第11题得6分， 记事件：第10题得6分，满足选了两个选项且选对； 事件：第11题得4分，满足三个选项选了两个选项且选对； 事件：第11题得6分，满足选了三个选项且选对. 则；；； . 17. 如图，在六面体中，，平面菱形ABCD. 证明： （1）B，，，D四点共面； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，得出线线平行，进而得到四点共面； （2）利用面面垂直得出线面垂直，从而得到线线垂直. 【小问1详解】 证明：由，平面，平面， 所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. 同理：，所以， 所以B，，，D四点共面. 【小问2详解】 证明：菱形ABCD中，又因为平面平面ABCD， 且平面平面，平面ABCD， 所以平面. 因为平面，所以， 由（1）有，所以. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． 【小问2详解】 ① ， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ② 为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 19. 如图，三棱柱中，在底面内的射影为的外心，且，，三棱柱的侧面积为. （1）求证：； （2）求三棱柱的体积； （3）分别求二面角和二面角的大小. 【答案】（1）证明见详解. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于，由在底面内的射影为的外心得平面，，再通过证明平面即可； （2）由（1）可知，证明，，根据侧面积为得，再由余弦定理计算底面外接圆半径即可； （3）取中点，连接,证明为等边三角形，即二面角即为,同理可得二面角为. 【小问1详解】 连接并延长交于.如图①所示， 因为在底面内的射影为的外心， 且，即为等腰三角形， 所以平面，,为的中点， 因为平面， 所以， 因为平面，且， 所以平面, 因为， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，，， 在三棱柱中，,，， 所以四边形与四边形全等， 所以，， 设， 因为三棱柱的侧面积为， 所以，解得. 即， 在中，由余弦定理得， 所以, 由正弦定理得，即， 所以三棱柱的高， 所以三棱柱的体积为. 【小问3详解】 取中点，连接,如图②所示， 由（2）可知，，， 所以均为等边三角形， 所以，, 即， 所以为等边三角形， 所以二面角即为, 延长至点，过作，延长至，使得，连接,即四边形为矩形，， 因为, 所以,即， 故为等边三角形, 所以二面角为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了线面垂直、棱柱的体积及二面角，解题的关键在于通过侧面积求侧棱的长度，由正弦定理求三角形外接圆半径以及作二面角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2024-2025学年度第二学期综合练习（四） 高一数学 命题人：曹春茂 命题中心审核人：钱如美 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，角，，对边分别为，，，若，，，则（ ） A. 30° B. C. 或 D. 60°或120° 2. 若是纯虚数，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点在边上，．记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数据，9，7，9的中位数和平均数相等，那么的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 5或9 D. 7或11 6. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 7. 已知为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 49π B. 36π C. 32π D. 28π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面积为 B. 棱台的高为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 11. 记是的外接圆，且，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 圆O的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于的方程的一个根，则的模为_____． 13. 已知向量，与的夹角为，且，则在上的投影向量的坐标为______________． 14. 如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为________，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求的最大值和最小值； （2）设为锐角，且，求的值． 16. 多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项． （1）求该同学第10题得6分的概率； （2）求该同学两个题总共得分不小于10分的概率． 17. 如图，在六面体中，，平面菱形ABCD. 证明： （1）B，，，D四点共面； （2）. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19. 如图，三棱柱中，在底面内的射影为的外心，且，，三棱柱的侧面积为. （1）求证：； （2）求三棱柱的体积； （3）分别求二面角和二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $