江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习8

**基本信息** 聚焦高一数学期末高频考点，以小题整合向量、三角函数、立体几何、解三角形等模块，通过详解提炼解题通法，强化知识逻辑与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与三角函数|3题|向量数量积运算、三角函数对称中心求法|从单位向量概念到三角函数图像性质，体现数形结合| |立体几何|3题|补形法求外接球、旋转法求最值、折叠问题外接球|空间几何体性质→体积与表面积计算→空间位置关系推理| |解三角形|4题|正弦定理、余弦定理、射影定理、多解判断|从边角关系到三角形形状判定，强化逻辑推理| |综合应用|3题|复数模几何意义、参数范围求解|跨模块知识融合，培养数学语言表达与应用意识|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习8 1.设是夹角为的两个单位向量，若，则（ ） A． B．2 C． D．3 2.已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 3.已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 4.的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 5.在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6.直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7.（多选）三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（     ） A． B．若，，则三角形为锐角三角形 C．若，，则 D．若，且三角形有两解，则 8.（多选）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（    ） A．的取值范围是 B．点经过的外心 C．点所在轨迹的长度为2 D．的取值范围是 9.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 10.若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________； 11.设是复数且，则的最小值为___________. 12.，则的取值范围是_____. 13.如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习7解析版 1.设是夹角为的两个单位向量，若，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】，则． 2.已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得， 时，，则是的一个对称中心． 3.已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 4.的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【详解】根据正弦定理，由得， 因为，所以， 又，所以，所以. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 5.在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】由正弦定理，余弦定理及得， ，即， 则，即 或为等腰三角形或直角三角形． 故选：D. 6.直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，将沿旋转至与在一个平面， 当共线时，取得最小值， 在中，，则， 在中，， 在中，， 由余弦定理得， 所以， 即的最小值为. 7.（多选）三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（     ） A． B．若，，则三角形为锐角三角形 C．若，，则 D．若，且三角形有两解，则 【答案】AC 【详解】对于A项，在中，由射影定理得：， 将其代入条件，可得： 因为，所以，故选项 A 正确； 对于B项，已知，该三角形最大边为c，则最大的角为角C， 由余弦定理： 所以角C为钝角，为钝角三角形，故选项 B 错误； 对于C项，已知 ， 由正弦定理​得：。 又，根据大边对大角，得 ，所以，故选项 C 正确； 对于D项，已知，，当三角形有两解时，满足条件：， 解得：，故，故选项 D 错误. 8.（多选）直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（    ） A．的取值范围是 B．点经过的外心 C．点所在轨迹的长度为2 D．的取值范围是 【答案】ABD 【详解】由，又斜边，则，则，A正确； 若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 9.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以，所以． 所以． 10.若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________； 【答案】/ 【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点， 上、下底面三角形的高分别为，， 所以，， 所以，又， 所以正三棱台的高为， 上底面积为，下底面积为， 所以正三棱台的体积为. 故答案为：. 11.设是复数且，则的最小值为___________. 【答案】/ 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 12.，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为，故设， 则 ，. 由，可得，得，又因为，故； 由，可得，得，又因为，故. 综上，取交集得的取值范围是， 故答案为：. 13.如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $