江苏省镇江市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷

**基本信息** 本试卷聚焦高中数学核心知识，通过海上救援、立体几何翻折等情境设计，考查向量、三角、立体几何等内容，体现几何直观与空间观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量垂直、复数共轭、三角恒等变换|基础概念辨析，如向量垂直条件应用| |多选题|3题|解三角形、正方体线面关系|多角度考查，如三角形中线与角平分线计算| |填空题|3题|复数模、三角函数值域、向量与解三角形综合|小综合应用，如向量条件下三角形面积最值| |解答题|6题|向量运算、三角求值、立体几何证明与体积、解三角形综合|分层设计，如立体几何翻折证明（空间观念）、解三角形面积范围（推理能力）|

2025~2026学年第二学期期末测试题 姓名：___________ 班级：___________ 一、单选题 1．已知向量，，且，则实数（    ） A． B． C． D． 2．设，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 6．如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 8．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，．以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各式中，化简结果为1的是（   ） A． B． C． D． 10．在中，，，，则（    ） A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 11．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ） A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 三、填空题 12．复数，则__________． 13．已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 14．在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量，且，为边上一点，满足，.则_______，面积的最大值为________. 四、解答题 15．已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 16．已知. (1)求的值； (2)若为锐角，求的值. 17．如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 18．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 19．如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D【详解】已知，，故，根据两非零向量垂直的充要条件可得：，则， 整理得，解得. 2．A【详解】，则，所以的虚部为 3．B【详解】设，则，. 4．D【详解】，由正弦定理得， 故，又， ， 所以， 所以，即，所以或， 由得或（舍去），由得，故这个三角形一定是等腰或直角三角形 5．C【详解】A：直线可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定. B：平行平面，与垂直的直线可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少相交的条件，若，可平行于平面或在平面内，不能推出. 6．D【详解】解：由点是线段上的动点（端点除外），且，所以，且，， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立，此时取最小值为. 7．A【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 8．A【详解】作 ，如图，，所以， 则几何体为圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为4，如图： 所以该几何体的体积为. 9．ABD【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确. 10．BC【详解】选项A：向量与的夹角为，所以，A错误.选项B：设中点为，则，则 ， 故边上的中线长，B正确. 选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以外接圆的面积，D错误. 11．ACD【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确； 因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 12．【详解】，. 13．【详解】， 当时，，，故的值域为. 14． 【详解】（1）因为，所以所以， 所以,由正弦定理得, 所以，所以，因为，所以, 所以. （2）设,因为， 所以， 由得 所以.（当且仅当时等号成立） 所以面积的最大值. 故答案为： ；. 15．【详解】（1）由题意可得，化简得 ，解得 ，或 . （2）由题意可得 ，解得 ，故，因此， 故. 16．【详解】（1）因为，可得，又因为，所以， 所以，，所以. （2）因为，且为锐角，可得， 又因为，可得， 所以. 17．(1)证明：连接，因为，，为线段的中点， 所以四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 又为线段的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2)证明：因为是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 所以，又，，平面，所以平面． 18．【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以.（2）因为，所以， 由余弦定理可得即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，，所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以，即面积的取值范围为. 19．【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且，则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故.同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面，所以平面.又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下：如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线，所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面.又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $