【鼎成·原创模考】2026年中考原创模考数学试卷（四）

鼎成⊙原创模考 九年级阶段性评价（四) 数学 注意事项： le 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟 如 2.不要在本试卷上答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷 上的答案无效 题号 二 三 总分 分 数 得分 评卷人 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个 是正确的)〉 1.我国是最早使用负数的国家，早在西汉初年，人们就用红色算筹来记收入金额，黑色算筹来 记支出金额.如果收人15元记作+15元，那么支出20元记作 ( ) 製 A.+20元 B.-20元 C.+15元 D.-15元 尽 2.2026年马年春晚被广泛称为“目前含AI量最高”的一届春晚.除夕当天，豆包AI互动总数达19亿 次，其中帮助用户生成超5000万张新春主题头像.数据“19亿”用科学记数法表示为( A.19×108 B.1.9×10 C.1.9×109 D.0.19×1010 3.如图为放置在水平实验台上的锥形瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是 A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同 龄 正面 D 第3题图 第5题图 第7题图 4.下列运算结果正确的是 躲 A.a3+a3=a6 B.(a+b)2=a2+b2 C.(3a3)2=9a D.a2·a3=a6 5.已知直线L1∥L2,将正六边形ABCDEF按如图所示的位置摆放，直线L1,2分别经过B,C两 点.若∠1=80°，则∠2的度数为 A.16° B.18° C.20° D.30° 6.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以为 A.-2 B.0 C.1 D.2 7.如图，已知AB∥CD,AD与BC相交于点E.若CE=2BE,AD=6,则AE的长为 新 A.1 B.2 c D.3 数学第1页（共6页） 8.2026年春节档电影题材丰富，满足观众多样化观影需求，其中以《飞驰人生3》《惊蛰无声》 《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》最受欢迎（如图）.小鼎和小成分别从这四部电影中 随机选择一部观看，两人恰好选中同一部电影观看的概率是 过3 B c 9.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，动点P从点A出发，沿A→B→C的路线运动到点C停止， 过点P作PM⊥AC于点M.设点P运动的路程为x,PM-AM=y,y与x之间的函数关系图象 如图2所示，则a+b的值为 () A.9 B.10 C.11 D.12 D 图1 图2 0 B 第9题图 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA,OB分别在y轴、x轴上，D为边AC上 点，且点D的横坐标为4，连接OD,将矩形AOBC沿OD折叠，点A的对应点为E,DE交对角 线OC于点F.若F为DE的中点，OE平分∠BOC,则点E的坐标为 A. 164 1642 3’3 D.3,3 得分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.写出一个使x-2在实数范围内有意义的x的值： 12.《全民阅读促进条例》于2026年2月1日正式施行，全民阅读首次有了国家立法保障.为了解某 社区居民每月的阅读量情况，社区人员随机抽取了100名居民进行调查，并将调查数据绘制成如 图所示的统计图.若该社区有2000名居民，则每月阅读量不低于3本的人数约为 人数 4 ≤1本2本3本4本阅读量 第12题图 第14题图 第15题图 13.若实数2m+1,2,4-m在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围为 14.如图，在□ABCD中，0为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的半圆经过点A,D,交 BC的延长线于点E.若AD=6,AB=25,则图中阴影部分的面积为 15.如图，在正方形ABCD中，AB=6.E为平面内一点，且CE=2,连接DE,将线段DE绕点E逆时针 旋转90得到线段EF,连接DF,AF,则线段AF的最小值为 最大值为 数学第2页（共6页） 得分 评卷人 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16(10分)(1)计算：(-2)'+5-1-31 (2)化简24+2 17.(9分)为促进学生健康成长，提高身体素质，某校开展了“1分钟跳绳”打卡活动.为了解该 校七、八年级学生“1分钟跳绳”的情况，老师从七、八年级学生中各随机抽取了8名学生进 行“1分钟跳绳”比赛，并将测试成绩(1分钟跳绳个数)进行整理，绘制成如下统计图表 跳绳测试成绩统计图 个数 185 、一八年级…七年级 180 180 180 180 180 175 175 175175 175 170 170 170 165 165 160 160160 160 155 155 01 23 4 5678学生序号 跳绳测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 170 172.5 50 八年级 170 180 93.75 根据以上信息，回答下列问题 (1)表中a= ,b= (2)结合表中数据分析，哪个年级的“1分钟跳绳”情况较好？请说明理由. 数学第3页（共6页） 18.(9分)如图，在△ABC中，∠ABC=120°，0为AC上一点，以点0为圆心，OA长为半径的圆 与BC相切于点B. (1)尺规作图：在直线AC的右侧作∠DAC=∠C,AD交⊙O于点D.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接BD,试判断△ABD的形状，并说明理由. 19.(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点B,C分别在x轴、y轴的正半轴上，AC= BC,AB1x轴，D为AB的中点，双曲线=(x>0)经过点D,双曲线=(x>0)经过 点A,连接CD并延长交双曲线2=k(x>0)于点E. (1)求k的值. (2)连接AE,BE,求证：四边形ACBE为菱形 20.(9分)宇树科技机器人从去年的《秧B0T》到今年的《武B0T》,在舞台上“舞”出了新高度， 是前沿科技和中国功夫的完美融合.某公司计划购买A,B两种型号的机器人用于分拣货 物.已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣20kg的货物，且A型机器人分拣500kg 货物所用的时间与B型机器人分拣300kg货物所用的时间相同. (1)求A,B两种型号的机器人每小时分别分拣多少货物. (2)该公司计划购买A,B两种型号的机器人共10台，且购进一台A型机器人花费25万元， 购进一台B型机器人花费20万元.若要求这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少 于360kg,则该公司如何购进这两种型号的机器人才能使花费最低？最低花费是多少？ 数学第4页（共6页） 21.(9分)某数学兴趣小组开展主题为“测量校园树木的高度”的综合与实践活动， 活动主题 测量校园树木的高度 M 实物与测量 示意图 图1 图2 (1)图1为小组成员制作的两个完全相同的简易测高仪，两根小木条钉在一起，使它们互 相垂直，其中为了便于校正竖直位置，在点B,B,处各悬挂一个相同的铅锤 实践操作 (2)图2为测量示意图，小组成员甲手持测高仪将C端朝上，D端朝下，调整他到树的距 离，使得A,C和树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为E. (3)小组成员乙将另一个测高仪C,端朝下，D1端朝上，调整他到树的距离，使得A1,D1和 树顶M恰在一条直线上，铅锤下端刚好接触地面，接触点记为F AB=A1B1=40cm,CD=C,D1=50cm,DB=D,B1=20cm(接头处及木条宽度忽略不计)， 测量数据 BE=B F=50 cm,EF =210 cm 备注 图中所有点在同一平面内 解决问题 求树木MW的高 22.(10分)如图，抛物线y=-ax2+4ax+5a与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,5), P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为(m,n),过点P作PM⊥y轴于点M,作PN⊥ x轴于点N (1)求抛物线的函数表达式. (2)当0<m<5时，是否存在一点P,使得PM+PN的长度最大？若存在，求出m的值及 PM+PN的最大值；若不存在，请说明理由. (3)若在矩形PMON内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的 取值范围。 数学第5页（共6页） 23.(10分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，F是边BC上一动点（不与点B,C重 合)，连接OF,过点O作OE⊥OF交直线AC于点E,连接EF. 【问题初探】 (1)如图1，若AC=BC,则线段0E,0F之间的数量关系为 【类比探究】 (2)如图2，若BC=2AC,试探究线段OE,OF之间的数量关系，并说明理由. 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，BC=4,点F在运动的过程中，若△ABC的某一条边恰好平分△EOF的 面积时，请直接写出CF的长 0 图1 图2 备用图 数学第6页（共6页）鼎成⊙原创模考 九年级阶段 数学参 一、选择题 1.【答案】B 【解析】根据正负数表示具有相反意义的量，可知 支出20元记作-20元.故选B. 2.【答案】C 【解析】19亿=19×108=1.9×10.故选C. 3.【答案】A 【解析】由三视图的定义，知该锥形瓶的主视图与 左视图相同.故选A, 4.【答案】C 【解析】 逐项分析如下 选项 分析 正误 A a3+a3=2a B (a+b2=a2+2ab+b2 + (3a3=9a D a2·a2=d 故选C. 5.【答案】 【解析】 如解图，标记∠3.1∥l2,∠1+∠3= 180°..∠3=180°-80°=100°.在正六边形 ABCDEF中，∠BCD=120°..∠2=∠BCD-∠3= 120°-100°=20°.故选C. 6.【答案】 D 【解析】由题意，得(-2)2-4×1×m<0,解得m>1. m的值可以为2.故选D. 7.【答案】B 【解析】：B/c0瓷器-子A极=号0 2.故选B. 8.【答案】B 【解析】记四部电影从左到右依次为A,B,C,D.由 题意，画树状图如下： 性评价（四） 考答案 开始 ABCDABCDABCDABCD 由树状图，知共有16种等可能的结果，其中符合题 意的结果有4种，则P(两人恰好选中同一部电影观 看)=总=行散选以 9.【答案】D 【解析】由题意，知当点P运动到点B时，x=a,y= b,即AB=a,BC-AC=b.由题图2，知当x=12时， PM-AM=0,即PM=AM,此时点P在BC边上，记 此时点P的位置为P',如解图，此时点M与点C重合 ∴.AB+BP'=12,CP'=AC.∴.BP'=BC-CP'=BC- AC=b.,AB+BP'=12,.a+b=12.故选D. A B< C(M) 10.【答案】D 【解析】解法一：如解图1，延长FE交OB于点G,过 点E作EH⊥OB于点H.由折叠的性质，知DE=AD= 4,∠AD0=∠ED0,∠DE0=∠OAD=90°.，F为DE 的中点，.DF=EF=2.OE平分∠BOC,∴.∠FOE= ∠GE.易证△OEF≌△OEG(ASA).∴.OF=OG,EG= EF=2..DG=6.AC∥OB,.∠AD0=∠DOG .∠0DG=∠D0G..0G=DG=6..∴.0F=0G=6.在 △0EF中，0E=VOF-EF=45.:Sc=20E· BG=2ǖ·0G,Bm=OEEC=4g2 OG OE-m-5点E的坐标为6,4）故选D 33 Y 、4 D 2 AE 2 HG Bx 0 图1 图2 解法二：如解图2，过点E作EM∥AC交OC于点M, 过点M作MN⊥OB于点N.由F为DE的中点，EM∥ AC,易证△CDF≌△MEF..CF=MF.设CF=MF=x. .OE平分∠BOC,.∠MOE=∠BOE.EM∥AC, ∴.∠ME0=∠BOE..∠MOE=∠MEO.∴.OM=EM. 由折叠的性质，知∠DE0=90°，OE=OA,DE=AD=4, 易得M为OF的中点，ME=OM=MF=CD=x.∴.AC= 4+x,0C=3x..0A2=0C2-AC2=(3x)2-(4+x)2, 0E2=0F2-EF2=(2x)2-22..(3x)2-(4+x)2= (2x)2-22,解得x=3(负值已舍去)..AC=7,0M= ME=3,0C=9.∴cosLAC0=cs∠M0N=OW=7 3=9’ 解得ON=子MN=VOm-0m=42:点E的 二、填空题 11.【答案】3（答案不唯一） 【解析】要使√x-2在实数范围内有意义，则x 2≥0，即x≥2..x的值可取3（答案不唯一） 12.【答案】620 【解析】由题意，得每月阅读量不低于3本的人数 约为2000× 23+8 100 =620. 13.【答案】m<2 【解析】 由题意，得 2m+1<2,解不等式组，得 (4-m>2, m<子m的取值范图为m<分 14.【答案】2-24 【解析】如解图，过点O作OM⊥ AD于点M,过点D作DN⊥CE于 点N,连接OD,则四边形OMDN为B OC N E 施形易得DM=0N=分4D=3设0B=0D=r:四 边形ABCD为平行四边形，∴.AD=BC=6,CD=AB= 2w5.∴.0C=BC-0B=6-m.∴.CN=ON-0C=r-3. 在Rt△ODN中，DW2=OD-ON2=2-32.在Rt△DCN 中，DW=CD2-CN=(25)2-(r-3).∴2-32= (25)2-(r-3)2,解得r=5(负值已舍去).∴.0M= OD-DW=4..m-SGuC=180mx5 360 4x6=25π-24. 2 15.【答案】6-2√26+2√2 【解析】如解图，连接BF,BD.四边形ABCD为 正方形，.∠BDC=45°，BD=√2CD.由旋转的性 质，知∠DEF=90°，DE=EF.∴.∠FDE=45°，DF= 2 DE.:LBDF LCDE 450 4CDF,D= =E.△BDPn△cmE5-E-2 DF .BF=2CE=2√2.∴.点F在以点B为圆心，2W2 为半径的圆上运动，如解图.当点F在边AB上，即 点F位于点F1处时，AF的长最小，最小值为6- 2√2.当点F在AB的延长线上，即点F位于点F2 处时，AF的长最大，最大值为6+22.综上所述， 线段AF的最小值为6-2√2，最大值为6+22. 三、解答题 16.解：(1)原式=-2+3-3 =-2. (5分) a2 (2)原式=a+2ia-2*,22 a2 .a-2 =(a+2)(a-2)a = a a+2 (5分) 17.解：(1)175172.5 (6分) (2)七年级的“1分钟跳绳”情况较好. (7分) 理由：因为七、八年级跳绳比赛成绩的平均数相同， 七年级跳绳比赛成绩的方差比八年级的小，所以七 年级的跳绳比赛成绩较稳定，“1分钟跳绳”情况较 好.（答案不唯一，合理即可) (9分) 18.解：(1)如解图所示，∠DAC即为所求作， A (4分) (2)△ABD为等边三角形， (5分) 理由：如解图，连接OB. ·⊙0与BC相切于点B,∴.∠OBC=90°. .∠ABC=120°，OA=OB,∴.∠BA0=∠AB0=30°. ∴.∠A0B=120°，∠C=∠A0B-∠0BC=30. ∠ADB=2∠A0B=60 .∠DAC=∠C=30°， ..∠BAD=∠BAO+∠DAC=60°. .·.△ABD为等边三角形 (9分) 19.解：(1)设点D的坐标为(a,b) AC=BC,D为AB的中点， ..CD⊥AB :MB上x轴，双曲线=（✉>0）经过点D, ∴.ab=3,点A(a,2b) ~双曲线，=(x>0)经过点A, .k=2ab=6. (4分) (2)证明：由(1)，得点E的纵坐标为b. :点E在双曲线2=(x>0)上， ∴.E(2a,b). ∴.CD=DE. AD =BD, .四边形ACBE为平行四边形. AC=BC, .四边形ACBE为菱形 (9分) 20.解：(1)设A型机器人每小时分拣xkg货物，则B型 机器人每小时分拣(x-20)kg货物. 由题意，得00=300 xx-20 解得x=50. 经检验，x=50是原分式方程的解且符合题意， .x-20=50-20=30(kg) 答：A型机器人每小时分拣50kg货物，B型机器人 每小时分拣30kg货物. (4分) (2)设购进A型机器人a台，则购进B型机器人 (10-a)台. 由题意，得50a+30(10-a)≥360，解得a≥3. (6分) 设总花费为W元，则W=25a+20(10-a)=5a+200. :5>0,∴.W随a的增大而增大 ∴.当a取最小值，即a=3时，W最小，最小值为5× 3+200=215(万元). 10-3=7(台). 答：该公司购进3台A型机器人，7台B型机器人 才能使花费最低，最低花费为215万元.(9分) 21.解：如解图，延长BB交MN于点H,则BH⊥MN. 设BH=xcm,则AH=(x+40)cm BC⊥AB,∴.BC∥MH ∴.△ABC∽△AHM. (3分) 小粉-器即9-02 .4MH=120+3x. BB1=EF=210, .A1H=40+210+x=250+x BD1⊥AB1,∴.B1D1∥MH. ∴.△AB,D1∽△AHM. (6 48脚20品 ·AHMH, ∴.4MH=500+2x. ∴.120+3x=500+2x,解得x=380. ∴.4MH=120+3×380=1260. .MH=315. 易知HN=BE=50. .MN=MH+HN=315+50=365(cm). 答：树木MN的高为365cm (9分) 22.解：(1)点C(0,5)在抛物线y=-ax2+4ax+ 5a上， ∴.5a=5,獬得a=1. .抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+5.(3分) (2)存在. ,点P(m,n)为抛物线上任意一点， ∴.n=-m2+4m+5. 令-x2+4x+5=0,解得x=-1或x=5. .A(-1,0),B(5,0) ∴.当0<m<5时，n>0. pu+p-mtn--n5m+5=-m .-1<0, 当m=弓时，PM+PN有最大值，最大值为空 (8分) (3)m<-1或0<m<4. (10分) 【提示】小：y=-x2+4x+5,.抛物线的对称轴为直 线x=2.设点C关于对称轴对称的点为D,则D(4, 5).如解图，分情况讨论：①当m<-1时，此时y随 x的增大而增大.②当-1<m<0时，抛物线不在矩 形PM0WN内部，不符合题意.③当0<m<4时，此时 y随x的增大而增大.④当4≤m<5时，抛物线不在 矩形PMON内部，不符合题意.⑤当m>5时，y随x 的增大而减小，不符合题意.综上所述，m的取值范 围为m<-1或0<m<4. y 23.解：(1)0E=0F (2分) (2)0E=20F. (3分) 理由：解法一：如解图1，过点O分别作OM⊥BC, ON⊥AC,垂足分别为M,N. 0 MF 图1 .∠ACB=90°，0为AB的中点，OM⊥BC,ON⊥AC, .ON,OM均为△ABC的中位线 0N=2Bc,0M=24C .OE⊥0F,∴.∠E0F=90° ∴.∠0EC+∠0FC=180°. .∠OEC+∠OEN=180°，.∠OFM=∠OEN. sin L OFM=OM ΓOF 如L0EN-8院 (6分) .OF_OM 1AC 2 AC 1 一三 OE-ON 1BC BC=2 .0E=20F (8分) 解法二：∠ACB=90°，OE⊥OF, ..∠ACB+∠EOF=180°. ∴.0，E,C,F四点共圆，如解图2. 0 图2 连接OC,:∠ACB=90°，O为AB的中点， .OB=OC=OA. .∴.∠B=∠OCB. ·∠OCF=∠OEF,∴.∠OEF=∠B. 六an∠OEF=OE Op=tan B= C,即OF=AC=1 C 即OE=BC=2 .0E=20F. (8分) (3)3或号 (10分) 【提示】分两种情况讨论：①当边BC平分△EOF的面 积，即BC平分OE时，记BC交OE于点G,过点O作 OM1BC于点M,如解图3.易得0M=2AC=1 由(2)，知0E=20F,∴.OF=0G=EG.∠E0F=90°， ∴.△GOF是等腰直角三角形.∴.GM=MF=OM=1. '∠OMG=∠ECG=90°，∠OGM=∠EGC,∴.△OGM≌ △EGC(AAS).∴.CG=MG=1.∴.CF=CG+GM+MF= 3.②当边AB平分△EOF的面积，即AB平分EF时，记 EF交AB于点G,过点F作FH∥AC交AB于点H,过 点O作OM⊥BC于点M,过点E作EN⊥OM交MO的 延长线于点N,如解图4，则四边形CMWE为矩形. BC=4,.AC=2.易得OM=1.设CF=x,则BF=4- xFM-2-HF=BF tan B=7BF-2-2G 为EF的中点，FH∥AC,易证△AEG≌△HFG.∴AE= HF=2-2由∠E0F=0°，易得△0FM~△E0N由 (2),OE =20F,..ON =2FM=4-2x..CE MN, 2+2-2=1+4-2x,解得x=子综上所述，CF的 长为3或2 N 2-* 4-2x AH M 2 1 Ch x F2-xM 图3 图4