山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末数学备考复习----随机变量及其分布通关检测卷

**基本信息** 以随机变量为核心，系统整合概率计算、分布列、数字特征及常见分布，通过分层题型构建“概念-方法-应用”逻辑链，强化数学建模与数据分析素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概率|单选1-2、多选11|条件概率公式、对立事件转化、独立性判定|从事件关系到概率计算，构建逻辑推理基础| |分布列与数字特征|单选3-5、填空12-14|分布列性质、期望方差公式及性质|由分布列定义到数字特征计算，形成概念应用链| |常见分布|单选6-8、多选9-10|二项分布期望方差、正态分布对称性|从具体分布模型到参数计算，强化模型意识| |综合应用|解答15-19|全概率公式、二项分布建模、实际问题转化|整合概率与分布知识，提升复杂情境下的数学应用能力|

山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末数学备考复习----随机变量及其分布通关检测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）甲、乙两人独立解一道数学题，甲独立解出的概率为，乙独立解出的概率为，则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 4．（本题5分）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（    ） 0 1 2 0.36 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．（本题5分）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 6．（本题5分）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）袋中有质地、大小均相同的3个红球，2个白球.现从中任取3个球，其中所含红球的个数为，则（   ） A．1.2 B．1.8 C．2 D．3 8．（本题5分）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若X服从0～1分布，且，则 D．从5名学生（含学生甲）中随机选出2名学生代表，则学生甲被选中的概率为 10．（本题6分）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则事件相互独立 C． D．若，，，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）现有3箱酸奶，里面都装有水果味和原味两种口味，第一箱内装有10袋，其中有2袋是水果味；第二箱内装有15袋，其中有3袋是水果味；第三箱内装有20袋，其中有5袋是水果味．现从三箱中任意选择一箱，然后从该箱中随机取1袋酸奶．取出的酸奶是水果味的概率为______． 13．（本题5分）已知，，，则______． 14．（本题5分）设随机变量X服从正态分布，若，则______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 16．（本题15分）某电视台举办知识竞赛活动，其中决赛在甲、乙两人之间进行.比赛规则如下：两人轮流答题，答对积1分，答错不得分，甲、乙两人各完成一次答题记为一轮比赛.比赛过程中，每一轮结束时有人领先2分则比赛立即结束，且领先者获得比赛的胜利.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，答对与否相互独立，已知第一轮答题后甲、乙两人积分相同的概率为.记比赛结束时甲、乙两人的答题轮数为. (1)求； (2)求在的情况下，乙获胜的概率； (3)求甲在4轮比赛之内（含4轮）获胜的概率. 17．（本题15分）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 18．（本题17分）甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列和数学期望. 19．（本题17分）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末数学备考复习----随机变量及其分布通关检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B D D B C AB AC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】 由独立事件同时发生的概率乘法公式和条件概率公式，计算可得所求值． 【详解】这道题被解出的概率为, 甲、乙同时解出这道题的概率为， 则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为． 2．C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 3．A 【分析】由题意得计算求解即可. 【详解】由题可得. 故选：A 4．B 【分析】直接根据分布列的概率和为1列方程计算即可. 【详解】由已知得，解得或（舍去）. 故选：B. 5．D 【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【详解】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 6．D 【分析】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【详解】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D 7．B 【分析】由题意可得的所有取值为，进而求出对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】由题意，的所有取值为， 则，，， 所以. 故选：B. 8．C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 9．AB 【分析】根据二项分布、正态分布、0-1分布、古典概型的概念逐一进行判断即可. 【详解】对A，由，则，正确； 对B，由，， 则，正确； 对C，若X服从0～1分布，且，所以， 所以，错误； 对D，从5名学生（含学生甲）中随机选出2名学生代表，则学生甲被选中的概率为，错误. 故选：AB 10．AC 【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再利用二项分布列及期望公式、方差公式求解即可. 【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等， 又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数， 又每次摸到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得，A正确； ，B错误； 由二项分布期望公式得，C正确； 由二项分布方差公式得，D错误. 故选：AC 11．ABD 【分析】对于A，根据条件概率公式可验证；对于B，利用条件概率公式及独立性检验即可判断；对于C，利用条件概率公式可证即可判断；对于D，由条件概率即全概率公式即可求解. 【详解】，，， A正确； ，，，B正确； ，C错误； ，，又，， .D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求解. 【详解】设任取1袋酸奶来自第一箱为事件、来自第二箱为事件、来自第二箱为事件， 则彼此互斥，且，. 设随机取1袋酸奶，取出的酸奶是水果味为事件，则. 故答案为：. 13． 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 14．2 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】由题意，， 故答案为：2. 15．(1) (2) 【分析】（1）由独立乘法公式、对立事件的概率即可求解； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率为； （2）令事件“从乙箱中取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”， 事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”， 则两两互斥，且， 则，，， 则 . 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意列出方程计算即可； （2）当时，设乙获胜为事件，时比赛结束为事件，求出则和，通过条件概率公式求即可； （3）甲在4轮比赛之内（含4轮）获胜，若，则比分为；若，则比分为或；若，则比分为或或，再由题意计算即可. 【详解】（1）由题意第一轮答题后甲、乙两人积分相同的概率为， 可得，解得. （2）当时，设乙获胜为事件，时比赛结束为事件， 则， ， 则. （3）甲在4轮比赛之内（含4轮）获胜，则甲答题的次数可能有2，3，4， 设这三个事件分别为，，， 若，则比分为，， 若，则比分为或，， 若，则比分为或或， ， 故甲在4轮比赛之内获胜的概率. 17．(1) (2)丙选择方案一更划算 【分析】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 18．(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件， 由题设可知，所以. （2）由题设可知，，，，， 又，所以， 故. （3）根据题意，， 分析可得，1，2，3， ，， ，， 可得的分布列为 0 1 2 3 0.08 0.36 0.44 0.12 数学期望. 19．(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $