第11讲 用一元二次方程解决问题（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第11讲 用一元二次方程解决问题（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 用一元二次方程解决问题 同学们，在前面的学习中，我们掌握了解一元二次方程的各种“神兵利器”.但是，数学绝不仅仅是纸上冰冷的符号和枯燥的计算，它更是解决现实生活难题、预测未来趋势的超级工具. 大家想象一下这个场景：咱们学校最近成立了一个“校园创客社团”，专门研发并销售一款智能书签.社团刚起步时，第一个月卖出了100个.经过大家的努力优化和口碑传播，到了第三个月，销量竟然达到了144个！ 现在，指导老师想根据这个数据，预测一下第四个月能卖多少个，以便提前准备原材料.但在这之前，我们需要先算出一个关键数据：第二个月和第三个月，销量的月平均增长率是多少？ 面对这个问题，如果我们用算术方法去凑，会非常困难.这就需要我们将实际问题转化为数学模型.假设每个月的平均增长率为，那么第一个月是100个，第二个月就是在第一个月的基础上增长了，即100(1+)个；到了第三个月，则是在第二个月的基础上再增长，即100(1+)(1+)=个. 根据已知条件，第三个月的销量是144个，我们就能列出一个方程：=144.像这样，将生活中的成本利润、人口增长、甚至物价变化等动态问题，通过寻找等量关系转化为数学方程来寻找答案的过程，就是我们今天要探索的用一元二次方程解决问题. 【知识点 实际问题中常见的数量关系及表示方法】 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 5. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 6. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 7. 存款利息问题 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8. 工程（行程）问题 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 9. 动点问题 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 【知识点2 列一元二次方程解应用题的一般步骤】 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【题型1 平均增长（降低）率问题】 【例1】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【答案】进馆人次的月平均增长率是 【分析】设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率是x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率是． 【变式1-1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）某学习平板厂商推广新品时，统计了其销量数据：9月份销售400台，11月份销售576台，且9月到11月销量的月增长率保持相同，则该学习平板销量的月增长率为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该学习平板销量的月增长率为x，依题意正确列出方程即可． 【详解】解：设该学习平板销量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：该学习平板销量的月增长率为， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·期末）某服装厂生产一批晚礼服，2024年该晚礼服的出厂价是300元/件，2025年、2026年连续两年改进技术降低成本，2026年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】解题思路为设出年平均下降率，根据初始价格和两年后的价格列方程，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设年平均下降率为，由题意得： ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴年平均下降率为． 【变式1-3】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 【答案】该商场对释迦果两次调价的平均降价率为 【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用； 根据两次降价后的价格建立方程求解，需注意降价率的取值范围在0到1之间． 【详解】解：设该商场对释迦果两次调价的平均降价率为x， 根据题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该商场对释迦果两次调价的平均降价率为． 【题型2 销售利润问题】 【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低元时，月销售量可增加件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？ 【答案】定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元 【分析】设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件，根据每个月的利润达到元列方程解决即可． 【详解】解：设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵能够让顾客得到更大的实惠， ∴， 元． 答：定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元． 【变式2-1】一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【答案】B 【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每件工艺品需降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要使顾客尽量得到优惠， ， 要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2-2】一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 【答案】15 【分析】等量关系式：总收入成本支付各种费用，据此列方程，即可求解． 【详解】解：设储藏个星期再出售这批农产品可获利122000元，由题意得 农产品的成本：(元/吨)， ， 整理得：， 解得：； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）项目化学习 项目主题探究东湾驴肉销售利润 项目背景：东湾驴肉是甘肃靖远县传统名吃，历史可追溯至西汉，以其独特的制作方法，色鲜味美和滋补价值而闻名．某校学习小组以探究东湾驴肉销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售东湾驴肉，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每月可售出斤，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每月的销售量可增加斤． 解决问题： (1)若每月的销售量为斤，则每斤东湾驴肉的售价为_________元； (2)若专卖店销售东湾驴肉想要平均每月获利元，求东湾驴肉的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元或元 【分析】（1）先计算销售量增加的数量，再根据每降低5元销量增加50斤的规律，求出降价金额，最后用原售价减去降价金额得到售价． （2）设每斤降价元，分别表示出每斤的利润和每月的销售量，根据总利润=每斤利润×销售量列出一元二次方程，解方程求出的值，再计算对应的售价． 【详解】（1）解：销量增加量斤， 降价次数， 总降价金额为元， 所以每斤东湾驴肉的售价为元； （2）解：设每斤东湾驴肉应降价元，则可列方程：， 解得：， 元，元， 答：东湾驴肉的售价应定为每斤元或每斤元． 【题型3 几何问题】 【例3】一张长方形的会议桌，长3米，宽2米，有一块台布的面积是桌面面积的1.5倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，则台布各边垂下的长度是________米， (结果保留根号） 【答案】 【分析】设台布下垂的长度为,运用台布面积是桌面面积的倍可列出一元二次方程为，求解即可． 【详解】解：设台布下垂的长度为， 根据题意得： 化简得： 解得：， (舍去) 故答案为 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和解一元二次方程，通过面积建立出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-1】如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则的值为_________． 【答案】10 【分析】本题中小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80−2x）（60−2x）＝×80×60，解方程从而求解． 【详解】因为小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，则其面积为（80−2x）（60−2x）cm2 根据题意得：（80−2x）（60−2x）＝×80×60 整理得：x2−70x＋600＝0 解之得：x1＝10，x2＝60 因x＝60不合题意，应舍去 所以x＝10． 故答案为：10. 【点睛】此题解答时应结合图形，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍． 【变式3-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形．若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弦图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 故选：B． 【变式3-3】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)填空：________； (2)区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 【答案】(1)； (2)区的面积能达到，的长为，理由见解析； (3)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 【分析】本题考查矩形的性质和一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，具有良好的应用意识是解题的关键． （1）根据矩形的性质，推出，结合区面积是区面积的一半，运用矩形面积公式即可求解； （2）先根据设，则，得出，根据面积公式结合题意建立一元二次方程组，即可求解； （3）先根据（2）得：，，，设矩形实验田面积为，根据矩形面积公式关于的二次函数关系式，再根据配方求出最值即可解题． 【详解】（1）解：∵矩形和， ∴，， ∵区面积是区面积的一半， ∴， 即：， ， ∴． （2）解：可以，理由如下： ∵由（1）得：， ∴设，则， ∴， ∵墙长为， ∴，解得： ∵栅栏总长为， ∴， ∴据题意得：， 解得：，（舍）， ∴当，区的面积为； （3）解：∵由（2）得：，，， ∵设矩形实验田面积为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴， ∴当时，矩形实验田ABCD的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 【题型4 传播问题】 【例4】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【变式4-1】现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （    ）人 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 【变式4-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【答案】每个支干长出8个小分支 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． 由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有个分支,即可列方程求得x的值． 【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）， ∴ 答：每支支干长出8个小分支． 【题型5 计数问题】 【例5】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 【变式5-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 【变式5-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【答案】13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 【变式5-3】元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？ 【答案】40个 【分析】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物， 根据题意得：x（x﹣1）＝1560， 解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）． 答：九（2）班有40个同学． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型6 数字问题】 【例6】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 【变式6-1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 本题可通过设中间的奇数为未知数，利用连续奇数的差为2表示出另外两个奇数，再根据平方和为371列一元二次方程求解． 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为； 当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9， 故选：C． 【变式6-2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【答案】1 【分析】设这个数是，根据题意建立一元二次方程，求解即可得． 【详解】解：设这个数是， 由题意得：， 整理得：， 解得， 即这个数是1． 【变式6-3】读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 【答案】周瑜去世的年龄为36岁． 【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论． 【详解】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．由题意得； 10（x﹣3）+x＝x2， 解得：x1＝5，x2＝6 当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意． 答：周瑜去世的年龄为36岁． 【点睛】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键． 【题型7 工程（行程）问题】 【例7】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【变式7-1】甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了______米． 【答案】24 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 【变式7-2】匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式7-3】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【题型8 存款利息问题】 【例8】某商业银行为提高存款额，经过最近的两次提高利息，使一年期存款的年利率由1.96%提高至2.25%，平均每次增加利息的百分率是多少？（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位） 【答案】平均每次增加利息的百分率约为7.14% 【分析】设平均每增加利息的百分率为x，则两次增加利息后，利率为1．96%（1+x）2，由题意可列出方程，求解x即可． 【详解】解：设平均每增加利息的百分率为x，由题意，得 1.96%（1+x）2＝2.25% 解方程得x＝0.0714或-2.0714（舍去） 故平均每次增加利息的百分率7.14% 答：平均每次增加利息的百分率约为7.14%． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握增长率问题的公式是解决此题的关键． 【变式8-1】李先生存入银行4万元，先存一个一年定期，一年后将本息自动转存为一个一年定期，年利率不变，两年后共得本息4.1412万元． （1）一年定期存款的年利率为多少？（参考数值：） （2）若两年定期存款的年利率为2.25%，则李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少多少元？ 【答案】（1）1.75%；（2）所得利息少388元 【分析】（1）设一年定期存款的年利率为x，利用两年后的本息和=本金×（1+年利率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用利息=本金×年利率×存款年数，可求出按两年定期存款获得的利润，再将两种存款方式获得的利润做差后即可得出结论． 【详解】解：（1）设一年定期存款的年利率为x， 依题意得：4（1+x）2=4.1412， 解得：x1=0.0175=1.75%，x2=-2.0175（不合题意，舍去）． 答：一年定期存款的年利率为1.75%． （2）40000×2.25%×2=1800（元）， 1800-（41412-40000）=388（元）． 答：李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少388元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式8-2】小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，到期后全部取出，正好是550元，请问定期一年的利率是多少？ 【答案】10% 【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的利息和是1000（1+x）元，取600元后余[1000（1+x）-600]元，再存一年则有方程[1000（1+x）-600]•（1+x）=550，解这个方程即可求解． 【详解】设定期一年的利率是x，根据题意得： 一年时：1000+1000x＝1000（1+x）， 取出600后剩：1000（1+x）﹣600， 同理两年后是[1000（1+x）﹣600]（1+x）， 即方程为[1000（1+x）﹣600]•（1+x）＝550 解之得，x＝10%，﹣（不合题意，舍去） 答：定期一年的利率是10%． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期数），设未知数，列方程，解方程即可． 【变式8-3】假设,企业还贷款,应每年一还,还本息,若第一年没还,则第一年的本息作为第二年的贷款本金计算. 华泰公司和宜兴公司是分别拥有96名和100名工人的小型企业，为了缓解下岗人员再就业的社会问题， 两企业2017年1月都吸收了部分下岗人员，国家对吸收下岗人员的企业贷款给予优惠，同时按季度（一年四个季度）给予企业补助，每季度补助费为：贷款总数×（吸收再就业人数÷企业原有人数）÷25 ，按两年计．华泰公司吸收了12名下岗人员，得到两年期的贷款和补助费共62.4万元资金，宜兴公司也吸收了12名下岗人员，但因贷款少，得到的补助费比华泰公司的少20%，． （1）2017年1月华泰公司得到的贷款是多少万元？ （2）2017年1月宜兴公司得到的贷款是多少万元？ (3)假设两公司第一年都没还一分钱贷款和利息,而是两年后2019年1月才还, 宜兴公司归还贷款及利息比华泰公司少12.1万元,求国家对吸收下岗人员的企业贷款年利率. 【答案】(1) 60万元；(2) 50万元；(3) 10% 【分析】（1）设华泰公司得到的贷款是x万元，则两年内得到的补助为x×××8万元，依据贷款费+补助费=62.4万为等量关系列出方程，求出x的值即可． （2）设宜兴公司得到的贷款是y万元，则两年内得到的补助为y×××8万元，依据宜兴公司两年内得到的补助=华泰公司两年内得到的补助（1-20%）为等量关系列出方程求解． （3）设企业贷款年利率是a，则华泰公司和宜兴公司归还贷款及利息分别为：x（1+a）2万元、y（1+a）2万元，依据宜兴公司归还贷款及利息比华泰公司少12.1万元为等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设华泰公司得到的贷款是x万元，由题意，得： x+ x×××8=62.4， 解，得x=60（万元） 所以，华泰公司得到的贷款是60万元． （2）设宜兴公司得到的贷款是y万元，由题意，得： 华泰公司得到的补助是62.4-60=2.4万元， y×××8=2.4×（1-20%）， 解，得y=50（万元） 所以，宜兴公司得到的贷款是50万元． （3）设企业贷款年利率是a．由题意得： 60（1+a）2-50（1+a）2=12.1， 解得a=10%， 所以国家对吸收下岗人员的企业贷款年利率为10%． 【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程，并求出方程的解． 【题型9 动点问题】 【例9】（25-26九年级上·广西北海·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 【变式9-1】（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 【变式9-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 【变式9-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 模块五 课后作业 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次．设这两年客流量的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这两年客流量的年平均增长率为x， 由题意得：． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）有一人患流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．如果不及时控制，第三轮传染后的患病总人数为（    ） A．216人 B．226人 C．236人 D．246人 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均每人传染x人，根据两轮传染后总人数为36人，列出方程求解x，再计算第三轮新传染人数，加上原有人数得到总人数，即可作答． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人， ∵初始1人患流感， ∴第一轮后患病人数为人，第二轮后患病人数为人， 依题意，得， 解得或（舍去）， ∵两轮后患病人数为36人， ∴第三轮新传染人数为：（人）， 故选：A． 3．（25-26七年级下·广东梅州·期中）若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原正方形的边长为未知数，根据面积增加量列出方程，化简求解即可得到结果． 【详解】解：设这个正方形的边长为 ，依题意得 展开左边得 化简得 解得，即 ∴这个正方形的边长为． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 5．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个．根据利润公式列出利润方程并求解即可进一步得到售价． 【详解】解：设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个． ∵每个利润为元， ∴总利润为． 整理得：， 解得或， 则售价为元或元． 故售价应定为60元或80元． 故选：C． 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故甲走的步数是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． 每两支球队之间比赛一场，总比赛场数为从x支球队中选取2支的组合数，即，根据题意总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江西·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练登眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为，根据“两天不练丢一半”，可列一元二次方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 根据“两天不练丢一半”，可得． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 10．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为______． 【答案】19 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据日历表的特点，设最小的数为x，则最大的数为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为， ， ∴（舍去）， 故答案为：19． 11．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 12．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 【答案】每人每周能够号召10人加入“志愿服务团” 【分析】设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据每人每周能够号召相同人数加入列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得： ， 即， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 13．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 14．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 15．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 16．（25-26八年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【答案】 任务一： 任务二：条 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． 任务一：根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； 任务二：根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 用一元二次方程解决问题（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 用一元二次方程解决问题 同学们，在前面的学习中，我们掌握了解一元二次方程的各种“神兵利器”.但是，数学绝不仅仅是纸上冰冷的符号和枯燥的计算，它更是解决现实生活难题、预测未来趋势的超级工具. 大家想象一下这个场景：咱们学校最近成立了一个“校园创客社团”，专门研发并销售一款智能书签.社团刚起步时，第一个月卖出了100个.经过大家的努力优化和口碑传播，到了第三个月，销量竟然达到了144个！ 现在，指导老师想根据这个数据，预测一下第四个月能卖多少个，以便提前准备原材料.但在这之前，我们需要先算出一个关键数据：第二个月和第三个月，销量的月平均增长率是多少？ 面对这个问题，如果我们用算术方法去凑，会非常困难.这就需要我们将实际问题转化为数学模型.假设每个月的平均增长率为，那么第一个月是100个，第二个月就是在第一个月的基础上增长了，即100(1+)个；到了第三个月，则是在第二个月的基础上再增长，即100(1+)(1+)=个. 根据已知条件，第三个月的销量是144个，我们就能列出一个方程：=144.像这样，将生活中的成本利润、人口增长、甚至物价变化等动态问题，通过寻找等量关系转化为数学方程来寻找答案的过程，就是我们今天要探索的用一元二次方程解决问题. 【知识点 实际问题中常见的数量关系及表示方法】 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 3. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 4. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 5. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 6. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 7. 存款利息问题 本息和=本金+利息；利息=本金利率存期． 8. 工程（行程）问题 工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间． 9. 动点问题 解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股定理等列出一元二次方程解决． 【知识点2 列一元二次方程解应用题的一般步骤】 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【题型1 平均增长（降低）率问题】 【例1】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率． 【变式1-1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）某学习平板厂商推广新品时，统计了其销量数据：9月份销售400台，11月份销售576台，且9月到11月销量的月增长率保持相同，则该学习平板销量的月增长率为_______． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·期末）某服装厂生产一批晚礼服，2024年该晚礼服的出厂价是300元/件，2025年、2026年连续两年改进技术降低成本，2026年该晚礼服的出厂价调整为243元/件．若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是（     ） A． B． C．或 D． 【变式1-3】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 【题型2 销售利润问题】 【例2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低元时，月销售量可增加件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？ 【变式2-1】一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【变式2-2】一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）项目化学习 项目主题探究东湾驴肉销售利润 项目背景：东湾驴肉是甘肃靖远县传统名吃，历史可追溯至西汉，以其独特的制作方法，色鲜味美和滋补价值而闻名．某校学习小组以探究东湾驴肉销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售东湾驴肉，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每月可售出斤，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每月的销售量可增加斤． 解决问题： (1)若每月的销售量为斤，则每斤东湾驴肉的售价为_________元； (2)若专卖店销售东湾驴肉想要平均每月获利元，求东湾驴肉的售价应定为多少元？ 【题型3 几何问题】 【例3】一张长方形的会议桌，长3米，宽2米，有一块台布的面积是桌面面积的1.5倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，则台布各边垂下的长度是________米， (结果保留根号） 【变式3-1】如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则的值为_________． 【变式3-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形．若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)填空：________； (2)区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 【题型4 传播问题】 【例4】（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【变式4-1】现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （    ）人 A．8 B．9 C．10 D．11 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【变式4-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？ 【题型5 计数问题】 【例5】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【变式5-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【变式5-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【变式5-3】元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？ 【题型6 数字问题】 【例6】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【变式6-1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（   ） A． B．9 C．或9 D．或9 【变式6-2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图是嘉嘉和某AI软件的部分对话截图，则该AI软件最终给出的x的值为________ 【变式6-3】读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 【题型7 工程（行程）问题】 【例7】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【变式7-1】甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了______米． 【变式7-2】匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【变式7-3】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【题型8 存款利息问题】 【例8】某商业银行为提高存款额，经过最近的两次提高利息，使一年期存款的年利率由1.96%提高至2.25%，平均每次增加利息的百分率是多少？（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位） 【变式8-1】李先生存入银行4万元，先存一个一年定期，一年后将本息自动转存为一个一年定期，年利率不变，两年后共得本息4.1412万元． （1）一年定期存款的年利率为多少？（参考数值：） （2）若两年定期存款的年利率为2.25%，则李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少多少元？ 【变式8-2】小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，到期后全部取出，正好是550元，请问定期一年的利率是多少？ 【变式8-3】假设,企业还贷款,应每年一还,还本息,若第一年没还,则第一年的本息作为第二年的贷款本金计算. 华泰公司和宜兴公司是分别拥有96名和100名工人的小型企业，为了缓解下岗人员再就业的社会问题， 两企业2017年1月都吸收了部分下岗人员，国家对吸收下岗人员的企业贷款给予优惠，同时按季度（一年四个季度）给予企业补助，每季度补助费为：贷款总数×（吸收再就业人数÷企业原有人数）÷25 ，按两年计．华泰公司吸收了12名下岗人员，得到两年期的贷款和补助费共62.4万元资金，宜兴公司也吸收了12名下岗人员，但因贷款少，得到的补助费比华泰公司的少20%，． （1）2017年1月华泰公司得到的贷款是多少万元？ （2）2017年1月宜兴公司得到的贷款是多少万元？ (3)假设两公司第一年都没还一分钱贷款和利息,而是两年后2019年1月才还, 宜兴公司归还贷款及利息比华泰公司少12.1万元,求国家对吸收下岗人员的企业贷款年利率. 【题型9 动点问题】 【例9】（25-26九年级上·广西北海·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【变式9-1】（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【变式9-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【变式9-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 模块五 课后作业 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次．设这两年客流量的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）有一人患流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．如果不及时控制，第三轮传染后的患病总人数为（    ） A．216人 B．226人 C．236人 D．246人 3．（25-26七年级下·广东梅州·期中）若一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 5．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是________． 7．（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 8．（25-26九年级上·江西·期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练登眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比均为，根据“两天不练丢一半”，可列一元二次方程为_____． 9．（25-26八年级下·全国·期末）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 10．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为______． 11．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 12．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 13．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 14．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 15．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 16．（25-26八年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $