山东省滕州市第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

**基本信息** 高一月考数学试卷涵盖复数、向量、统计等模块，通过分层题型（单选至解答）考查数学眼光（如统计图表分析）、数学思维（如立体几何推理）与数学语言（如概率模型表达），适配高一阶段性学情。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|复数运算、向量共线、统计分位数等|基础概念辨析，如第3题分位数考查数据处理能力| |多选|4|复数性质、概率事件关系、向量命题判断|多维度辨析，如第10题结合骰子事件考查独立与互斥| |填空|4|投影向量、复数实部、外接球体积、概率计算|空间想象与运算结合，如第15题正三棱柱外接球| |解答|6|复数运算、解三角形、统计概率、立体几何|综合应用，如第19题频率分布直方图与分层抽样，第22题线面平行证明与线面角最值|

高一月考 命制：数学组 审核：数学组 一、单项选择题 1.设复数z满足，则复数(    ) A. B. C. D. 2.已知平面向量，，且，则等于(    ) A. B. C. D. 3.在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，阅这组数据的分位数是(    ) A. B. 8 C. D. 9 4.在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为   A. B. C. D. 5.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6.某次物理竞赛，得分在的有15人，他们的平均分为128，方差为得分在的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在的平均分与方差为(    ) A. 130， B. 131， C. 131， D. 130， 7.已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，x、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是    A. B. C. D. 8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB上的点，CD平分，且，，则面积的最小值为    A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题 9.已知复数z，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10.将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字.甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则(    ) A. 事件甲与事件丙是互斥事件 B. 事件甲与事件丁是相互独立事件 C. 事件乙包含于事件丙 D. 事件丙与事件丁是对立事件 11.下列命题中，正确的选项是(    ) A. 已知非零向量，，若，则 B. 对于任意的平面向量，，，若，且，则 C. 对于任意的平面向量，，，若且，则 D. 设点M是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的 12.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是                       A. E为PA的中点 B. PB与CD所成的角为 C. 平面平面PAC D. 点P与点A到平面BDE的距离相等 三、填空题 13.已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则_____结果用数值表示 14.已知，x、，i是虚数单位，若复数是实数，则的最小值为          . 15.已知正三棱柱的高与底面边长均为3，则该正三棱柱外接球的体积为          . 16.围棋是一种策略性两人棋类游戏．已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从盒子中取出2粒棋子， 2粒都是黑子的概率为，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，则2粒恰好都是白子的概率是______. 四、解答题 17.已知复数，， 求z； 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是原点，求的大小. 18.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 求角A的大小； 若，求面积的最大值. 19.某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. 求直方图中a的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； 现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 20.如图.在三棱锥中，底面ABC，，，，M是PB的中点. 求三棱锥的表面积； 求二面角的平面角的正弦值. 21.一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球. 从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率； 若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率. 22.已知直三棱柱，，D，E分别是边AB，的中点. 证明：平面； 若三棱锥体积为，且，设与平面形成的线面角为，求的最大值. 高一月考答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】D 6.【答案】C 7.【答案】D  8.【答案】B 9.【答案】BC 10.【答案】AB 11.【答案】AD 12.【答案】ACD  13.【答案】 14.【答案】  15.【答案】 16.【答案】  6.【解析】解：由题意代入数据，可得， 故选： 7.解：设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个， 由，即，故满足的基本事件有共6个， 所以所求概率为故选： 9.解：对于A，设，即，满足此式的x，y有无数组，z不只是，A错误． 对于B，设，，因，则虚部且实部，若，则，此时矛盾，故，，B正确． 对于C，，则z对应复平面上点在单位圆上，是单位圆上点到的距离． 单位圆圆心到距离为2，所以距离最小值为，最大值为，即，C正确． 对于D，设，，， 当时，是实数，有虚部，二者不相等，如，，，D错误．故选： 10.解：根据题意，一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，所有可能的情况有36种. 甲表示事件“第一次掷出的数字是1”所有可能为：，，，，， 乙表示事件“第二次掷出的数字是2”所有可能为：，，，，， 丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”所有可能为：，，，，， 丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”所有可能为，，，，，， 对于A，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，显然不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，甲，丁，甲事件和丁事件的积事件包含的所有可能：，则甲丁甲丁，即事件甲与事件丁是相互独立事件，故B正确； 对于C，事件乙发生，事件丙不一定发生，故C错误； 对于D，事件丙不发生不一定发生事件丁，事件丙与事件丁不是对立事件，故D错误；故选： 11.解：对于A，将两边平方，得，，即，故正确；对于B，向量，，满足，则，不正确，可能，不等，但；故错误； 对于C，对于任意的平面向量，当时，对于任意向量，都有且成立， 但显然不一定成立，故错误；对于D，因为，且，所以， 令，则B，N，C三点共线，且N点落在线段BC上，M为线段AN的中点，所以的面积是面积的，故正确.故选 12.解：对于A，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面平面， 平面BDE，平面BDE，平面PAC，， 四边形ABCD是正方形，，，选项A正确； 对于B，，或其补角为PB与CD所成角， 平面ABCD，平面ABCD，，在中，，，与CD所成角为，选项B错误；对于C，四边形ABCD为正方形，，平面ABCD，平面ABCD，，，PA，平面PAC，平面PAC，又平面BDE，平面平面PAC，选项C正确；对于D，则，所以点P与点A到平面BDE的距离相等，选项D正确．故选：A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，推导出，可得E为PA的中点；B中，由，得或其补角为PB与CD所成角，求出角的大小即可；C中，推导出平面PAC，得出平面平面PAC；D中，由，得出点P与点A到平面BDE的距离相等． 14.解：复数    是实数， ，得到     ，当且仅当，取等号， 的最小值为 故答案为 15.【答案】  设正三棱锥，取三棱锥的两底面中心为， 连接，取的中点D，连接BD，则BD为正三棱柱外接球的半径， 因为是边长为3的正三角形，O为的中心，所以，又因为，所以，所以正三棱柱外接球的体积为 16.解：设“2粒都是黑子”为事件A，“2粒都是白子”为事件B，“2粒恰好为同一色”为事件C，“2粒不同色”为事件B，则事件C与事件D是对立事件，，粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，，，，，且事件A与B互斥，， 故答案为： 17.【答案】解：由正弦定理知，，，，，，，， 由余弦定理知，，，，当且仅当时，等号成立， 的面积，故面积的最大值为  18.【答案】，中位数为108；   【解析】由频率分布直方图可得，解得，本次联考该校数学成绩在的频率为，在的频率为，在的频率为，因为，，所以中位数在之间，设为m，则，解得，所以本次联考该校数学成绩的中位数为108； 成绩在的人数与成绩在的频率的人数之比为1：2， 抽取的6人中成绩在的有2人，成绩在的频率的有4人， 假设成绩在的2人分别记为，，成绩在的4人分别记为，，，随机抽取两人的样本空间为： ，，，，，，共15个， 两人中恰好一人分数在内，另一人在内包含： 共8个，所以 19.【答案】；   【解析】因为平面ABC，平面ABC，，所以，又因为，，AC，面PAC，所以面又面PAC，所以，又因为平面ABC，平面ABC，故， 即，所以，所以，， 所以三棱锥的表面积； 取AC中点N，取AB中点E，连接MN，ME，由知，因为M是PB的中点， 所以在中，，又，在中，，所以， 所以，又因为，，所以，又因为面面， 所以为二面角的平面角．在中， ， 所以即二面角的平面角的正弦值为 20.【答案】，，又，所以 ，，于是有，，，因为为与的夹角，所以，因为，所以  21.【答案】；   【解析】根据题意，盒子中总共有6个球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球， 抽到红球或蓝球的情况数为种，则抽到红球或蓝球的概率 根据题意，盒子中总共有6个球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球，每次抽到白球的概率为， 因为是有放回抽取，两次抽取相互独立，所以两次都抽到白球的概率 22.【答案】证明见解析；   【解析】证明：取中点F，连接EF，FA，则EF为中位线，所以， 又，所以，且，所以四边形ADEF为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面； 由题可知，， 所以面，因为三棱锥即三棱锥，所以， 所以，即，连接，则为与平面所成的角，且， ，由均值不等式， 所以，当且仅当时等式成立， 故的最大值为 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $