第三章 代数式 综合素质评价 2026-2027学年冀教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学第三章单元卷，涵盖代数式书写、规律探究、实际应用等核心内容，通过基础巩固与创新应用梯度设计，培养抽象能力、推理意识和模型意识，适配新授课综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|代数式规范、实际应用（促销/产值）、程序与图形规律|结合商场促销（第5题）、制药厂产值（第8题）等真实情境，渗透模型意识| |填空题|4/12|开放结论、行程问题、三角形数规律、分类讨论|含结论开放题（第13题）、分类讨论（第16题），培养创新与推理能力| |解答题|8/72|代数式求值、面积计算、图案规律、购买方案优化|生活应用（第23题购买方案）、数行规律探究（第24题），综合考查抽象与应用能力|

第三章 综合素质评价 一、选择题(每题3分，共36分) 1．下列各式最符合代数式书写规范的是(　　) A．2n B. C．－1ab D．a×3 2．下列各式中，代数式有(　　) ①；②26＋38；③ab＝ba；④；⑤2a－1；⑥a；⑦(a2－b2)；⑧5n＋2. A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3． 的结果可表示为(　　) A．3m＋2n B．m3＋2n C．3m＋2n D．3m＋2n 4．对于代数式－2的意义，表述不正确的是(　　) A．比m的倒数少2的数 B．比m的倒数大－2的数 C．m的倒数与－2的差 D．1除以m的商与2的差 5．某商场开展促销活动，促销方法是将原价为m元的商品以0.9(m－10)元的价格出售．下列说法中，能正确表达这次促销方法的是(　　) A．原价打九折后，再降价10元 B．原价降价10元后，再打九折 C．原价打一折后，再降价10元 D．原价降价10元后，再打一折 6．已知x是一个两位数，y也是一个两位数，将x放在y的左边构成一个四位数，则这个四位数可以表示为(　　) A．xy B．x＋10y C．10x＋y D．100x＋y 7．如图，将边长为5a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块长方形，根据图形的变化过程写出一个正确的等式是(　　) A．(5a－2b)2＝25a2－20ab＋4b2 B．(10a)2－(2b)2＝(10a＋2b)(10a－2b) C．(5a＋2b)2＝25a2＋20ab＋4b2 D．(5a)2－(2b)2＝(5a＋2b)(5a－2b) 8．某制药厂1月份产值为m，为让惠于民，产品单价下调，2月份产值下降20%，3月份制药厂加大推广，产品销售量有较大提高，3月份产值比2月份增加20%，则该制药厂2月份、3月份的总产值为(　　) A．3m　　　　　　　　　　　　　　　 B．(1－20%)m＋(1＋20%)m C．(1－20%)m＋(1－20%)(1＋20%)m　　　　 D．m＋(1－20%)m＋(1－20%)(1＋20%)m 9．当x＝1时，整式ax3－3bx－5的值为4，则当x＝－1时，整式2－ax5＋bx3的值为(　　) A．11 B．9 C．5 D．无法确定 10.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24，…，则第2 027次输出的结果为(　　) A．6 B．3 C. D．6 081 11.如图，下列图形是由同样大小的圆圈按一定规律排列组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆圈的个数是(　　) A．381 B．356 C．379 D．421 12．给出一列数，，，，，，…，，，，…，，…，在这列数中，第4 900个数是(　　) A. B. C. D. 二、填空题(每题3分，共12分) 13.试写出一个含a的代数式，使a不论取什么值，这个代数式的值总是正数：________. 14．甲、乙两地相距m千米，某人用a小时从甲地骑行到乙地，再开车回到甲地，总用时b小时，那么他开车的平均速度为________千米/时． 15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫作三角形数，它有一定的规律性．若把第1个三角形数记为a1，第2个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为an，则a100－a99＝________. 16.已知整数a，b，c满足100a＋10b3＋c2＝2 026，其中a>1，|b|≤3，|c|≤6，则abc的值是________． 三、解答题(共72分) 17．(6分)已知m＝3，n＝－.求下列式子的值： (1)mn2＋mn; (2)mn(n＋1)． 18．(6分)已知四个整数之积为9. (1)构成这四个整数的共有________组； (2)若这四个整数各不相同，记为a，b，c，d，求(a＋b)－(c＋d)的值． 19．(8分)如图所示的是一个数值转换机的示意图，请你用含x，y的式子表示输出结果，并求当输入x的值为，y的值为－2时的输出结果． 20．(8分)如图，某公园有一块长方形空地，园区管理人员计划在这块空地上的三个相同的四分之一圆形(阴影)区域种植草皮，两个相同的小正方形区域种植花卉，剩余空地铺上五彩石，相应的长度如图所示． (1)请用含x，y的代数式表示出铺五彩石的空地的面积(结果保留π)； (2)若每平方米的五彩石的价格是150元，当x＝10，y＝50时，求购买五彩石的总费用(π取3)． 21．(10分)用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第5个图案中，三角形有________个，六边形有________个． (2)第n(n为正整数)个图案中，三角形与六边形各有多少个？ (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 22．(10分)研究下列式子，你能发现什么规律？ 第1个式子：(x－1)(x＋1)＝x2－1；第2个式子：(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；第3个式子：(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；… (1)第4个式子是______________________； (2)请用含n(n为正整数)的式子表示你发现的规律； (3)请用你所发现的规律进行计算：220－219＋218－217＋…－23＋22－2＋1. 23．(12分)为了调动学生们体育锻炼的积极性，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A，B两种优惠方案．A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．已知要购买篮球50个，跳绳x条(x>50)． (1)若按A方案购买，一共需付款________元；若按B方案购买，一共需付款________元．(用含x的代数式表示) (2)当x＝150时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当x＝150时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 24．(12分)观察下面有规律排列的三行数： (1)①请直接写出每行的第9个数分别是________，________，________； ②第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则2a－b－c＝________. (2)用如图所示的“U”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住5个数，使得5个数的和为2 045，求圈住的这5个数． (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为p，最小的数记为q，若2p＋3q＝2 049，直接写出n的值． 答案 一、1.B　2.C　3.D　4.C　5.B　6.D　7.D　8.C　9.C 10．B 【点拨】第一次输出的结果为48，第二次输出的结果为24，第三次输出的结果为×24＝12，第四次输出的结果为×12＝6，第五次输出的结果为×6＝3，第六次输出的结果为3＋3＝6，第七次输出的结果为×6＝3，第八次输出的结果为3＋3＝6，…，依此类推，输出的结果从第四次开始以6，3两个数为一组循环．因为(2 027－3)÷2＝1 012，所以第2 027次输出的结果为3，故选B. 11．C 【点拨】因为第1个图形中圆圈的个数为1＝1×2－1，第2个图形中圆圈的个数为7＝2×3＋1，第3个图形中圆圈的个数为11＝3×4－1，第4个图形中圆圈的个数为21＝4×5＋1，第5个图形中圆圈的个数为29＝5×6－1，第6个图形中圆圈的个数为43＝6×7＋1，…，故第19个图形中圆圈的个数为19×20－1＝379，故选C. 12．B 【点拨】观察题干数列可得，该数列按分子与分母之和分组，分子与分母之和为k＋1的项在第k组，每组k个数，组内第i个数为.所以前n组数字总数为Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝98时，S98＝＝4 851；当n＝99时，S99＝＝4 950. 因为4 851<4 900<4 950，且4 900－4 851＝49， 所以第4 900个数在第99组序号49的位置，所以第4 900个数为＝.故选B. 二、13.a2＋1(答案不唯一)　14. 15．100 【点拨】根据题意，发现an＝1＋2＋3＋…＋n，所以a100－a99＝(1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100)－(1＋2＋3＋4＋…＋97＋98＋99)＝100. 16．±80或±120 【点拨】因为100a＋10b3＋c2＝2 026，|c|≤6，所以1 990≤100a＋10b3＝2 026－c2≤2 026， 而100a＋10b3的末位为0，所以c2的末位必须是6，所以c＝±4或±6，c2＝16或36. ①当c2＝16时，100a＋10b3＝2 010，因为100a的末两位为00，所以当10b3为负数时，b3的个位为9(不存在)，当10b3为正数时，b3的个位为1.因为|b|≤3且b为整数，所以b＝1，则100a＋10＋16＝2 026，解得a＝20(满足a>1)．此时abc＝20×1×(±4)＝±80. ②当c2＝36时，100a＋10b3＝1 990，因为100a的末两位为00，所以当10b3为正数时，b3的个位为9(不存在)，当10b3为负数时，b3的个位为1.因为|b|≤3且b为整数，所以b＝－1，则100a－10＋36＝2 026，解得a＝20(满足a>1)．此时abc＝20×(－1)×(±6)＝∓120. 综上，abc的值为±80或±120. 三、17.【解】当m＝3，n＝－时， (1)原式＝3×＋3×＝－1＝－. (2)原式＝3××＝－. 18．【解】(1)9 (2)当四个整数各不相同时，四个数分别为1，－1，3，－3. 当a＋b＝0时，则c＋d＝0， 所以(a＋b)－(c＋d)＝0； 当a＋b＝4时，则c＋d＝－4， 所以(a＋b)－(c＋d)＝4－(－4)＝8； 当a＋b＝2时，则c＋d＝－2， 所以(a＋b)－(c＋d)＝2－(－2)＝4； 当a＋b＝－4时，则c＋d＝4， 所以(a＋b)－(c＋d)＝－4－4＝－8； 当a＋b＝－2时，则c＋d＝2， 所以(a＋b)－(c＋d)＝－2－2＝－4. 综上，(a＋b)－(c＋d)的值为0或8或－8或4或－4. 19．【解】由数值转换机的示意图可得输出结果为(2x＋y2)． 当x＝，y＝－2时， (2x＋y2)＝×[2×＋(－2)2]＝. 20．【解】(1)铺五彩石的空地的面积为2x×y－3×π×x2－2×8×8＝(m2)． (2)由题意知购买五彩石的总费用为 150 ≈150× ＝150×(1 000－225－128) ＝97 050(元)． 所以购买五彩石的总费用约为97 050元． 21．【解】(1)12；5 (2)由题图总结规律可得，第n(n为正整数)个图案中三角形有(2n＋2)个，六边形有n个． (3)不存在，理由如下： 因为当六边形有40个时，n＝40， 三角形有40×2＋2＝82(个)，而82≠100， 所以不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形． 22．【解】(1)(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1 (2)由题易知，第n个式子：(x－1)(xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x2＋x＋1)＝xn＋1－1. (3)根据(2)的结论，令x＝－2，n＝20，得(－2－1)×[(－2)20＋(－2)19＋…＋(－2)3＋(－2)2＋(－2)＋1]＝(－2)21－1， 则220－219＋218－217＋…－23＋22－2＋1＝. 23．【解】(1)(5 000＋20x)；(5 400＋18x) (2)由(1)可知，当x＝150时， A方案付款金额＝5 000＋20×150＝8 000(元)， B方案付款金额＝5 400＋18×150＝8 100(元)． 因为8 000<8 100， 所以购买150条跳绳时，A方案较为合算． (3)能给出一种更为省钱的购买方案．按A方案购买50个篮球(送50条跳绳)，按B方案购买100条跳绳，合计需付款： 50×120＋20×100×90%＝6 000＋1 800＝7 800(元)． 因为7 800<8 000<8 100， 所以更为省钱的购买方案是：按A方案购买50个篮球(送50条跳绳)，剩下的100条跳绳按B方案购买，需付款7 800元． 24．(1)－512；－513；1 026 ②0 【点拨】设a对应的第二行的数为a＝(－2)n－1，可知b＝－2×(－2)n－1＝(－2)n＋1－1，c＝(－2)×(－2)×(－2)n－1＝(－2)n＋2－1，所以2a－b－c＝2[(－2)n－1]－[(－2)n＋1－1]－[(－2)n＋2－1]＝2×(－2)n－2－(－2)n＋1＋1－(－2)n＋2＋1＝2×(－2)n－(－2)×(－2)n－(－2)2×(－2)n＝4×(－2)n－4×(－2)n＝0. (2)【解】令被“U”形框框住的第二行的中间数为(－2)m－1， 则(－2)m－1＋(－2)m－1－1＋(－2)m－1＋(－2)m＋1＋(－2)m＋1－1＝2 045， 整理得，(－2)m＋1＝1 024＝210，所以m＝9， 所以这5个数为(－2)9－1＝256，(－2)9－1－1＝255，(－2)9－1＝－513，(－2)9＋1－1＝1 023，(－2)9＋1＝1 024， 所以被框住的这5个数为256，255，－513，1 023，1 024. (3)【解】n的值为11. 【点拨】因为每行数的第n个数分别为(－2)n，(－2)n－1，(－2)n＋1＋2， 当n为奇数时，(－2)n－1<(－2)n<0<(－2)n＋1＋2， 所以最大的数p＝(－2)n＋1＋2，最小的数q＝(－2)n－1， 由2p＋3q＝2 049可得2×(－2)n＋1＋4＋3×(－2)n－3＝2 049， 整理得，(－2)n＝－2 048＝(－2)11，所以n＝11. 当n为偶数时，(－2)n＋1＋2<0<(－2)n－1<(－2)n， 所以最大的数p＝(－2)n，最小的数q＝(－2)n＋1＋2， 由2p＋3q＝2 049可得2×(－2)n＋3×(－2)n＋1＋6＝2 049， 整理得，(－2)n＝－，此方程无解． 综上所述，n的值为11. 学科网（北京）股份有限公司 $