第四章 整式的加减 综合素质评价 2026-2027学年冀教版数学七年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦整式运算核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合新题型与生活情境，适配初中数学第四章单元复习，有效培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题/36分|多项式识别、同类项、整式运算等|第12题数形结合，考查几何直观与空间观念| |填空题|4题/12分|单项式定义、恒等变形、整式无关性等|13题结论开放，培养创新意识与符号意识| |解答题|8题/72分|化简求值、情境应用、新定义运算等|21题窗框问题体现应用意识，24题新定义运算发展推理能力|

第四章 综合素质评价 一、选择题(每题3分，共36分) 1．下列式子：2a2b，3xy－2y2，，4，－m，，其中是多项式的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法中，错误的是(　　) A．5是单项式 B．2xy的次数为1 C．x＋y的次数为1 D．－2xy2的系数为－2 3．若－2xmyn＋2与3x2y是同类项，则nm的值为(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 4．下列运算正确的是(　　) A．2a＋3b＝5ab　 B．2a2b＋3b2a＝5a2b　 C．5ab－3ab＝2 D．3a2－a2＝2a2 5．若x|m－1|y2－(m－4)xy＋3x是关于x，y的五次三项式，则m的值为(　　) A．－2 B．4 C．－2或4 D．不存在 6．下列化简中，正确的是(　　) A．(3a－b)－(5c－b)＝3a－2b－5c B．(a＋b)－(3b－5a)＝－2b－4a C．(2a－3b＋c)－(2c－3b＋a)＝a＋3c D．2(a－b)－3(a＋b)＝－a－5b 7．若A和B都是六次多项式，则A＋B一定是(　　) A．12次整式 B．次数不高于6的整式 C．次数不低于6的整式 D．以上都不对 8．已知x－3y＝4，那么代数式x－y－2(y－x)－2(x－3)的值为(　　) A．8 B．10 C．12 D．16 9．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a＋b|＋|a＋c|－|b－c|的值等于(　　) A．2a＋2b B．2c C．2c－2b D．0 10．有一道题目是一个多项式A减去多项式2x2＋5x－3，小胡同学将2x2＋5x－3抄成了2x2＋5x＋3，计算结果是－x2＋3x－7，这道题目的正确结果是(　　) A．x2＋8x－4 B．－x2＋3x－1 C．－3x2－x－7 D．x2＋3x－7 11．某班20名男生按学号1，2，3，…，20按顺时针顺次围坐成一圈做游戏，规则如下：从其中A同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字20的同学退出游戏，剩下19人，第一轮结束；从第一轮退出游戏的同学的顺时针方向相邻的同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字20的同学退出游戏，剩下18人，第二轮结束；…如此下去．若第四轮结束时，学号为11的同学退出游戏，则A同学的学号是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 12.如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4，下列说法中错误的有(　　) ①每个小长方形的较长边为y－8； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x－y＋4； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值； ④当x＝20时，阴影A和阴影B的面积之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(每题3分，共12分) 13.请写出一个含有字母a和b，且系数为－2，次数为4的单项式：____________． 14．已知多项式(mx2＋2x－3)＋(2x2－nx＋5)与多项式3x2＋4x＋c恒等(其中m，n，c为常数)，则m＋n＋c的值为________． 15．已知A＝3x2＋4ax＋6y，B＝bx2－6x＋5y－6，若2A－B的值与x的取值无关，则12a＋b的值为________． 16．对于多项式：2x－6，3x－2，4x－1，5x＋3，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”，例如：2x－6－(4x－1)＝－2x－5，5x＋3－(3x－2)＝2x＋5，－2x－5－(2x＋5)＝－4x－10，给出下列说法：①x为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除；②所有的“双减操作”共有5种不同的结果；③至少存在一种“双减操作”，使其结果为2x－8.以上说法中正确的是________(填序号)． 三、解答题(共72分) 17．(6分)化简： (1)2a－(5a－3b)＋(4a－b); (2)3(m2n＋mn)－4(mn－2m2n)＋mn. 18．(6分)化简求值：3x2y－＋3xy2，其中x＝3，y＝－. 19．(8分)已知a＋b＝，ab＝－1，求多项式2－3的值． 20．(8分)嘉淇准备完成题目：化简：(□x2＋4x＋3)－2(2x＋x2－3)，发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，化简：(3x2＋4x＋3)－2(2x＋x2－3)； (2)老师对嘉淇说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能求出“□”的值吗？” 21．(10分)如图，窗框的上部分为半圆，下部分为4个大小一样的小长方形，小长方形的长和宽的比为32. (1)若小长方形的长为a米，求窗框(所有实线)的总长度(结果保留π)． (2)该窗框全部用铝合金材料制作，铝合金的价格为100元/米，当a＝0.6时，制作该窗框所需的费用是多少元？(要求精确到1元，π取3.14) 22．(10分)把任意一个三位数三个数位上的数字相加，如果和能被3整除，那么这个三位数就能被3整除． 【初步应用】设abc是一个三位数，若a＋b＋c可以被3整除，则abc能被3整除．请加以说明． 解：易知abc＝100a＋10b＋c＝A＋(a＋b＋c)＝3B＋(a＋b＋c)， 由于3B和a＋b＋c都可以被3整除，因此abc能被3整除． 上面的说明过程中，多项式A＝________，多项式B＝________. 【拓展迁移】设abcd是一个四位数，若a＋b＋c＋d可以被9整除，试说明：这个数可以被9整除． 23．(12分)爱读书是一种美德，某书店为促进孩子们阅读，特推出两种付费借阅方式(每借阅1本为1次)．方式一：先购买会员证，每张会员证50元，只限本人当年使用，凭证借阅每次再付费1元；方式二：不购买会员证，每次借阅付费3元．设小明一年内借阅x次，x为正整数． 借阅次数 10 20 … x 方式一的总费用(元) 60 70 … m 方式二的总费用(元) 30 60 … n (1)根据题意填空，表中：m＝________，n＝________. (2)当借阅次数为x时，求方式二比方式一的总费用多多少元？ (3)通过计算说明当x＝23和x＝27时，分别应选择哪种付费方式更合算？ 24．(12分)给定有理数a，b，对整式A，B，定义新运算“△”：A△B＝aA－bB；对正整数n(n≥2)和整式A，定义新运算“□”：n□A＝A△A△…△A,\s\do4(n个A)) (按从左到右的顺序依次做“△”运算)．例如：当a＝1，b＝2，n＝2时，对于A＝x，B＝y，则有A△B＝A－2B＝x－2y，2□A＝A△A＝x－2x＝－x. (1)当a＝2，b＝2时，若A＝x＋2y，B＝2x－3y，求A△B和3□A； (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n(n≥2)和任意一个整式M，都有n□M＝M成立； (3)当a＝1，b＝2，A＝4x2＋3xy＋5y2，B＝10x2－7xy＋6y2＋8时，若(p□A)△(q□B)(p，q为正整数，且p≥2，q≥2)中不含x2项，直接写出满足条件的一组p，q的值． 答案 一、1.A　2.B　3.C　4.D　5.A　6.D　7.B　8.B　9.D 10．B 【点拨】由题意可得A－(2x2＋5x＋3)＝－x2＋3x－7，则A＝－x2＋3x－7＋2x2＋5x＋3＝x2＋8x－4，故这道题目的正确结果是x2＋8x－4－(2x2＋5x－3)＝x2＋8x－4－2x2－5x＋3＝－x2＋3x－1.故选B. 11．C 【点拨】设第一轮第一位报数同学的学号是a，共20人，则第一轮这20位同学每人都报了一次数，所以第二轮第一个报数的同学学号仍为a，共19人，则第二轮报号20的同学学号为a＋19－19＝a，所以第三轮第一个报数的同学学号为a＋1，共18人，则第三轮报号20的同学学号为a＋1＋19－18＝a＋2，所以第四轮第一个报数的同学学号为a＋3，共17人，则第四轮报号20的同学学号为a＋3＋19－17＝a＋5，因为在第四轮中，恰好学号为11的同学退出游戏，所以a＋5＝11，所以a＝6，故选C. 12．B 【点拨】因为大长方形的长为y，小长方形较短的边为4，所以小长方形的较长边为y－3×4＝y－12，故说法①错误；因为大长方形的宽为x，小长方形的较长边为y－12，小长方形较短的边为4，所以阴影A的较短边为x－2×4＝x－8，阴影B的较短边为x－(y－12)＝x－y＋12，所以阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x－8＋x－y＋12＝2x－y＋4，故说法②错误；因为阴影A的较长边为y－12，较短边为x－8，阴影B的较长边为12，较短边为x－y＋12，所以阴影A的周长为2(y－12＋x－8)＝2(x＋y－20)，阴影B的周长为2(12＋x－y＋12)＝2(x－y＋24)，所以阴影A和阴影B的周长之和为2(x＋y－20)＋2(x－y＋24)＝2(2x＋4)，所以若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，故说法③正确；因为阴影A的较长边为y－12，较短边为x－8，阴影B的较长边为12，较短边为x－y＋12，所以阴影A的面积为(y－12)(x－8)＝xy－12x－8y＋96，阴影B的面积为12(x－y＋12)＝12x－12y＋144，所以阴影A和阴影B的面积之和为xy－12x－8y＋96＋12x－12y＋144＝xy－20y＋240，当x＝20时，xy－20y＋240＝240，故说法④正确，故选B. 二、13.－2a3b(答案不唯一)　14.1 15．－3 【点拨】已知A＝3x2＋4ax＋6y，B＝bx2－6x＋5y－6，则2A＝2×(3x2＋4ax＋6y)＝6x2＋8ax＋12y，所以2A－B＝(6x2＋8ax＋12y)－(bx2－6x＋5y－6)＝6x2＋8ax＋12y－bx2＋6x－5y＋6＝(6－b)x2＋(8a＋6)x＋7y＋6，因为2A－B的值与x的取值无关，所以含x的项系数为0，即6－b＝0且8a＋6＝0，解得b＝6，a＝－，代入12a＋b可得12a＋b＝12×＋6＝－9＋6＝－3. 16．①② 【点拨】令A＝2x－6，B＝3x－2，C＝4x－1，D＝5x＋3，所有“双减操作”的结果即为从 A、B、C、D 中选取两个分配给负号，其余两个分配给正号，然后求和，共有6种情况： ①－A－B＋C＋D＝－(2x－6)－(3x－2)＋(4x－1)＋(5x＋3)＝4x＋10； ② －A＋B－C＋D＝－(2x－6)＋(3x－2)－(4x－1)＋(5x＋3)＝2x＋8； ③－A＋B＋C－D＝－(2x－6)＋(3x－2)＋(4x－1)－(5x＋3)＝0； ④＋A－B－C＋D＝(2x－6)－(3x－2)－(4x－1)＋(5x＋3)＝0； ⑤＋A－B＋C－D＝(2x－6)－(3x－2)＋(4x－1)－(5x＋3)＝－2x－8； ⑥ ＋A＋B－C－D＝(2x－6)＋(3x－2)－(4x－1)－(5x＋3)＝－4x－10； 所以所有“双减操作”的结果有 5 种不同的值：4x＋10、2x＋8、0、－2x－8、－4x－10， 当x 为任意整数时，上述结果的值均为偶数，都能被 2 整除，故①正确；所有操作共有 5 种不同的结果，故②正确；所有结果中无 2x－8，故③错误；故正确的是①②. 三、17.【解】(1)原式＝2a－5a＋3b＋4a－b＝a＋2b. (2)原式＝3m2n＋3mn－4mn＋8m2n＋mn＝11m2n. 18．【解】原式＝3x2y－2xy2＋2xy－3x2y－xy＋3xy2＝xy2＋xy. 当x＝3，y＝－时，原式＝3×＋3×＝－. 19．【解】2(3a2－a＋2b－ab)－3(2a2－3a－b＋ab) ＝(6a2－a＋4b－2ab)－(6a2－9a－4b＋3ab) ＝6a2－a＋4b－2ab－6a2＋9a＋4b－3ab ＝8a＋8b－5ab. 因为a＋b＝，ab＝－1，所以原式＝8(a＋b)－5ab＝8×－5×(－1)＝12＋5＝17. 20．【解】(1)原式＝3x2＋4x＋3－4x－2x2＋6＝x2＋9. (2)设“□”为a，则原式＝(ax2＋4x＋3)－2(2x＋x2－3) ＝ax2＋4x＋3－4x－2x2＋6 ＝(a－2)x2＋9. 因为标准答案是常数， 所以a－2＝0，则a＝2，即“□”的值为2. 21．【解】(1)因为小长方形的长和宽的比为32，所以小长方形的宽为a米． 所以窗框(所有实线)的总长度＝9a＋6×a＋πa＝9a＋4a＋πa＝(13＋π)a(米)． (2)当a＝0.6时，100(13＋π)a≈100×(13＋3.14)×0.6＝968.4≈968(元)． 答：制作该窗框所需的费用约为968元． 22．【解】【初步应用】99a＋9b；33a＋3b 【拓展迁移】abcd＝1 000a＋100b＋10c＋d＝999a＋99b＋9c＋(a＋b＋c＋d)＝9(111a＋11b＋c)＋(a＋b＋c＋d)． 由于9(111a＋11b＋c)和a＋b＋c＋d都可以被9整除， 因此abcd可以被9整除． 23．【解】(1)x＋50；3x (2)当借阅次数为x时，方式二比方式一的总费用多3x－(50＋x)＝(2x－50)(元)． (3)当x＝23时， 方式一：50＋x＝50＋23＝73(元)， 方式二：3x＝3×23＝69(元)， 因为73>69，所以选择方式二更合算； 当x＝27时， 方式一：50＋x＝50＋27＝77(元)， 方式二：3x＝3×27＝81(元)， 因为77<81，所以选择方式一更合算． 24．【解】(1)当a＝2，b＝2时，A△B＝2A－2B. 因为A＝x＋2y，B＝2x－3y， 所以A△B＝2(x＋2y)－2(2x－3y)＝2x＋4y－4x＋6y＝－2x＋10y； 3□A＝A△A△A＝[2(x＋2y)－2(x＋2y)]△(x＋2y)＝0△(x＋2y)＝2×0－2(x＋2y)＝0－2x－4y＝－2x－4y. (2)a＝1，b＝0. 【点拨】当a＝1，b＝0时，A△B＝1×A－0×B＝A，所以n□M＝M△M△…△M,\s\do4(n个M))＝M. (3)p＝4，q＝2. 【点拨】当a＝1，b＝2时，A△B＝A－2B. 因为A＝4x2＋3xy＋5y2，B＝10x2－7xy＋6y2＋8，(p□A)△(q□B)(p，q为正整数，且p≥2，q≥2)中不含x2项，所以运算中只考虑x2项， 所以2□A＝A△A＝A－2A＝－A(－4x2)， 3□A＝A△A△A＝(－A)△A＝－3A(－12x2)， 4□A＝A△A△A△A＝(－3A)△A＝－5A(－20x2)； … 2□B＝B△B＝B－2B＝－B(－10x2)， … 所以当p＝4，q＝2时，(4□A)△(2□B)中含x2的项的运算结果为(－20x2)△(－10x2)＝－20x2－2×(－10x2)＝－20x2＋20x2＝0， 所以若(p□A)△(q□B)(p，q为正整数，且p≥2，q≥2)中不含x2项，满足条件的p，q的值可以是p＝4，q＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $