甘肃庆阳市宁县第一中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（五）湘教版

**基本信息** 立足湘教版高中数学必修二核心内容，通过高速公路测山高、手机使用调查等现实情境题，融合向量、立体几何、解三角形及概率统计知识，考查数学眼光、思维与语言，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量投影、圆锥侧面积|基础概念与空间想象结合| |多选题|3/18|正方体展开图、三棱台性质|空间观念与逻辑推理并重| |填空题|3/15|解三角形、向量垂直、四棱锥结论|几何直观与符号运算融合| |解答题|5/77|三角求值、手机使用统计、解三角形证明|数据意识与应用能力考查，如手机管理调查题体现用数学语言描述现实|

湘教版高中数学必修二期末复习卷（五） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题5分） 1．已知，则（    ） A．1 B． C．5 D． 2．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的侧面积为，高为，设圆锥的顶点为，点均在底面圆周上，则面积的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．在平行四边形中，与交于点，点是线段上靠近点的三等分点．点为线段的中点．设，，则（    ） A． B． C． D． 5．逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在三处测得道路一侧山顶的仰角分别为，其中，则此山的高度为（　　）    A． B． C． D． 6．已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A． B．且 C． D． 7．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分） 9．在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（    ） A．与为对立事件 B．与不是互斥事件 C． D． 10．下列正方体的平面展开图中，满足在该正方体中的是（    ） A． B． C． D． 11．在三棱台中，侧面是等腰梯形且与底面垂直，，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．三棱台的体积为 三、填空题（每小题5分） 12．在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则______． 13．已知向量，，若，则___________. 14．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； 其中正确结论的序号是__    四、解答题 15．（本题13分）计算求值： (1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 16．（本题15分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了名学生，得到如下统计表： 时间 人数 (1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)用分层抽样的方法从使用手机时间在和的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人来自不同组的概率． 17．（本题15分）记的内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)若，求的面积. 18．（本题17分）在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组．第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示， (1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数； (2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)从两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率． 19．（本题17分）记的内角的对边分别为、、.设. (1)若，求； (2)若，求的周长. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修二期末复习卷（五） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D B D C ABC AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据复数除法的运算法则求出复数，再根据复数模的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 2．D 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以有， 故选：D 3．B 【分析】求出圆锥的高和底面半径，得出圆锥的轴截面的边长，即可求出面积的最大值. 【详解】由题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的高， 又圆锥的侧面积为，所以，得， 易知该圆锥的轴截面为边长分别为的等腰三角形，且顶角为． 设等腰三角形的顶角为, ∵三角形的面积为 ∴当等腰三角形的顶角为时，其面积最大，为， 故选：B. 4．A 【分析】根据平面向量的线性运算结合基本定理求解即可. 【详解】由题意， . 故选：A. 5．D 【分析】根据锐角三角函数可得，进而根据余弦定理即可求解. 【详解】解：如图，设点在地面上的正投影为点，    则，, 设山高，则， 在中，， 由余弦定理可得：， 整理得， ∴． 故选：D． 6．B 【分析】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围，注意排除同向共线的情况即可. 【详解】由题意， 若，此时同向共线，非锐角， 所以且. 故选：B 7．D 【分析】先由求得，再利用正弦倍角公式及齐次分式求解即可. 【详解】，即， 整理得，. . 故选：D. 8．C 【分析】先求出圆锥的侧面展开图的圆心角，再由此求出圆锥的底面圆半径和高，然后可求外接球的半径，由此求得圆锥的外接球的面积. 【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由题意可知，，解得， 设圆锥的底面圆半径为，则，所以， 则该圆锥的高为， 设该圆锥的外接球的半径为，由球的性质可知，， 解得，所以该圆锥的外接球的面积为. 故选：C. 9．ABC 【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系. 【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品. 事件的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品， 事件的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品. 与为对立事件，故A正确； {2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则与不是互斥事件，故B正确； ，，故C正确； 由上知，故D错误. 故选：ABC 10．AC 【分析】将平面展开图还原为正方体，根据线线角的求法直接判断即可. 【详解】对于A，平面展开图还原成立体图后，如下图所示， ，，四边形为平行四边形，， 又四边形为正方形，，，A正确； 对于B，平面展开图还原成立体图后，如下图所示， ，，四边形为平行四边形，， 又，为等边三角形，， 与所成角为，B错误； 对于C，平面展开图还原成立体图后，如下图所示， 平面，平面，，C正确； 对于D，平面展开图还原成立体图后，如下图所示， ，，四边形为平行四边形，， ，与所成角为，D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC的真假；根据台体的体积公式求出台体体积，判断D的真假. 【详解】如图： 对于A：在中，,，所以，即. 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B：因为，，且∽，所以. 又三棱锥和 的高相同，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D：因为三棱台的高为1，所以三棱台的体积为：，故D正确. 故选：ABD 12．/ 【分析】直接利用余弦定理即可得到答案. 【详解】由，代入数据得， 化简得，解得（负舍）， 故答案为：. 13．/ 【分析】首先求出，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以， 又， 所以，解得. 故答案为： 14．③④ 【分析】利用向量的加减运算可判断①②③；根据向量的数量积的定义可判断④⑤. 【详解】连接交于O，则O为的中点，    对于①，； 对于②，； 对于③，； 对于④，, 由题意可知≌，则，故④； 对于⑤，由题意知，则， 故不是直角，故； 故正确结论的序号是③④， 故答案为：③④ 15．(1) (2) 【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可. （2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可. 【详解】（1） （2）∵、都为锐角，∴， 又， ∴， ， ∴ . 16．(1)平均数为 (2) 【分析】（1）将每个区间的中点值乘以对应组的频率，再将所得结果全部相加可得出该校学生每日使用手机的时间的平均数； （2）分析可知抽取的人在组的有人，记为、、，在组的有人，记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）解：由题意得，随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为 ． 所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为． （2）解：由分层抽样的方法知，抽取的人在组的有人，记为、、， 在组的有人，记为、， 从人中抽取人的所有基本事件：、、、、、、、、、，共个， 来自不同组的基本事件：、、、、、，共个， 故所求概率． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合诱导公式即可得证； （2）利用余弦定理求出，然后结合面积公式即可求解. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以. 由正､余弦定理得， 整理得. （2）由题得， 由余弦定理得 ，解得， 所以的面积. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据百分位的定义计算可得； （2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算可得； （3）分别求出、中抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）因为， ， 所以第百分位数为. （2）平均值； （3）因为的频率为，的频率为， 则中抽取名学生，分别记作、， 中抽取名学生，分别记作、、， 从这5名学生，随机抽取3名同学进行问卷测试，则可能结果有：，，，，，，，，，共个； 其中3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间有，，共个， 所以3名同学中恰好只有1名同学成绩在之间的概率； 19．(1) (2) 【分析】（1）由已知条件可用正弦定理的性质进行边化角方法，利用，经过化简后结合三角恒等变换的公式解出结果； （2）这个条件带入主干条件中，得到、等式关系，利用条件结合余弦定理，求出的值，最后可求出周长. 【详解】（1）， 由正弦定理得， . （2）， ， 由余弦定理得 ， ，即， 因此的周长为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习卷细目表 湘教版高中数学必修二期末复习卷（五）细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 平面向量的数量积运算、向量的模长计算 0.90 2 单选题 5 单位向量、投影向量的概念与计算 0.90 3 单选题 5 圆锥的侧面积公式、圆锥的结构特征、三角形面积最大值 0.85 4 单选题 5 平面向量的线性运算、平面向量基本定理 0.85 5 单选题 5 解三角形的实际应用、仰角问题、正弦定理与余弦定理 0.80 6 单选题 5 平面向量的夹角、向量数量积的坐标运算 0.80 7 单选题 5 三角恒等变换、同角三角函数的基本关系、两角和差公式 0.80 8 单选题 5 圆锥的侧面展开图、圆锥的结构特征、外接球的表面积计算 0.75 9 多选题 6 互斥事件、对立事件的概念与判断、事件的运算关系 0.85 10 多选题 6 正方体的平面展开图、空间几何体的结构特征 0.80 11 多选题 6 三棱台的结构特征、空间中的垂直关系、棱台的体积计算 0.75 12 填空题 5 解三角形、正弦定理、三角形内角和定理 0.90 13 填空题 5 平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件 0.90 14 填空题 5 四棱锥的结构特征、空间中的线线垂直、线面垂直关系 0.80 15 解答题 13 三角恒等变换、诱导公式、两角和差的正切公式 0.85 16 解答题 15 统计中的平均数计算、分层抽样、古典概型的概率计算 0.80 17 解答题 15 解三角形、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 0.80 18 解答题 17 频率分布直方图、百分位数计算、平均值计算、分层抽样、古典概型 0.75 19 解答题 17 解三角形、正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形周长计算 0.75 $