甘肃庆阳市宁县第一中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（三）湘教版

**基本信息** 以沙漏计时（文化传承）、手机管理调查（社会热点）、企业学徒制培训（产教融合）为情境，综合考查立体几何、复数、向量、解三角形及统计等知识，注重数学眼光、思维与语言的应用，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数（纯虚数）、立体几何（线面关系）、圆锥与球|基础概念辨析，如第2题线面关系充要条件判断| |多选题|3/18|向量运算、三角函数性质、沙漏几何|跨情境综合，如第10题沙漏结合文化与空间体积计算| |填空题|3/15|向量垂直、解三角形最值、三棱锥外接球|空间想象与运算，如第14题三棱锥外接球体积| |解答题|5/77|解三角形、统计（手机管理/企业培训）、立体几何证明|现实应用与逻辑推理，如16题手机使用时间统计分析体现数据意识，17题正方体线面证明考查推理能力|

湘教版高中数学必修二期末复习卷（三） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题5分） 1．已知是纯虚数，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，则（     ） A．1 B． C．2 D． 5．在中，已知，则（   ） A．3 B．2 C． D．1 6．已知函数，若函数的图象关于原点对称，则实数的最大负值为（    ） A． B． C． D． 7．已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知一个圆锥的高是3，在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2，现将圆锥倒置，则此时圆锥内的水面高度为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分） 9．下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（    ） A．沙漏的侧面积是 B．沙漏中的细沙体积为 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm D．该沙漏的一个沙时大约是837秒 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 三、填空题（每小题5分） 12．已知向量，且，则______． 13．已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为__________. 14．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，是边长为的等边三角形，的面积为，则球的体积为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 16．（本题15分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了名学生，得到如下统计表： 时间 人数 (1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)用分层抽样的方法从使用手机时间在和的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人来自不同组的概率． 17．（本题15分）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 18．（本题17分）根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知，我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养目标以符合企业岗位需要的中、高级技术工人．2024年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核后取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表： 岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 人数 20 60 60 40 20 (1)现从这200人中采用分层抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，求交流团中取得技师类（包含技师和高级技师）岗位证书的人数． (2)为了鼓励企业员工参加培训，该企业在2025年出台了如下培训奖励措施． 取得岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 奖励金额（元/人） 0 500 600 800 1000 以2024年度培训取得各岗位证书的频率来估计2025年的培训考核结果，若该企业在2025年度培训共400人，请估计该企业2025年度共需支付多少奖金？ 19．（本题17分）如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点，，，. (1)若，求的值； (2)若，求BE的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修二期末复习卷（三） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D A C C D AC BD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】先化简复数，应用复数是纯虚数得出，再应用模长公式计算求解. 【详解】因为是纯虚数， 所以且不等于3，所以， 则. 故选：C. 2．A 【分析】根据空间中直线与平面的关系，结合充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，，所以，又，所以成立， 当时，若与相交，则与异面，不能推导出， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3．B 【分析】易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的，再计算即可. 【详解】当球是圆锥的内切球时球半径最大， 此时截面大圆为等边三角形的内切圆， 根据正三角形三心合一，可知内心即为重心， 所以圆半径为正三角形高的，即． 故选：B． 4．D 【分析】根据虚数单位幂运算，求出复数，结合模长公式即可求解. 【详解】虚数单位的幂次周期为，即（）， 因为，所以，因此分母为： ， 所以 ， 因此： . 5．A 【分析】根据条件，利用降幂升角公式得到，由，得到，再利用余弦的和差角公式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 得到， 整理得，所以， 故选：A. 6．C 【分析】先利用三角恒等变换化简，从而得到的解析式，再利用三角函数的奇偶性求得，从而得解. 【详解】因为 ， 所以， 因为函数的图象关于原点对称，所以是奇函数， 所以，所以， 当时，，即实数的最大负值为，故C正确. 故选：C. 7．C 【分析】根据向量线性运算法则进行计算. 【详解】依题意得， 因为， 所以. 故选：C. 8．D 【分析】根据倒置前后水的体积不变，利用圆锥体积公式和三角形相似比可得. 【详解】如图，设圆锥底面半径为，由相似比可知，即， 所以水的体积为， 将圆锥倒置后，水的体积不变，所以（*）， 又，即，代入（*）可得： ，解得. 故选：D 9．AC 【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 10．BD 【分析】A选项，求出圆锥的母线长，从而利用锥体体积公式求出沙漏的侧面积；B选项，根据细沙形成的圆锥的高度得到此圆锥的底面半径，得到细沙的体积；C选项，由B选项求出的体积公式得到细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度；D选项，利用细沙的体积和沙漏漏下的速度求出时间. 【详解】A选项，设下面圆锥的母线长为，则cm， 故下面圆锥的侧面积为，故沙漏的侧面积为，故A错误； B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的， 所以细沙形成的圆锥底面半径为cm，高为cm， 故底面积为，所以沙漏中的细沙体积为，B正确； C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为，其中此锥体的底面积为，故高度为cm，C错误； D选项，秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确. 故选：BD 11．ABD 【详解】由 ， 选项A：因为， 所以直线是函数的图象的一条对称轴，故A正确； 选项B：将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 要使为奇函数，则，解得， 而，则的最小值为，故B正确； 选项C：令，则，解得， 当时，或， 所以函数在区间上只有2个零点，故C错误； 选项D：当时，令， 因为在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D正确． 12．0 【分析】确定，再根据向量的垂直关系计算得到答案. 【详解】， 因为，所以，解得． 故答案为：0 13．/ 【分析】由余弦定理可得，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可得， 由余弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以根据基本不等式， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 14． 【分析】取的中点，连接，，根据题干所给条件求出，再由勾股定理求出、，即可得到，从而得到平面， 将三棱锥补成正三棱柱，三棱锥的外接球即正三棱柱的外接球，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的体积. 【详解】解：取的中点，连接，，，，的面积为， 则，解得，，， 又，， 所以，即，又，，平面， 可得平面， 将三棱锥补成正三棱柱，三棱锥的外接球即正三棱柱的外接球， 外接球的球心为上、下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接，， 设外接球的半径为，下底面外接圆的半径为，，则，所以， 所求外接球的体积为； 故答案为： 15．【小题1】 【小题2】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【详解】（1），可得 又 （2）由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 16．(1)平均数为 (2) 【分析】（1）将每个区间的中点值乘以对应组的频率，再将所得结果全部相加可得出该校学生每日使用手机的时间的平均数； （2）分析可知抽取的人在组的有人，记为、、，在组的有人，记为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）解：由题意得，随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为 ． 所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为． （2）解：由分层抽样的方法知，抽取的人在组的有人，记为、、， 在组的有人，记为、， 从人中抽取人的所有基本事件：、、、、、、、、、，共个， 来自不同组的基本事件：、、、、、，共个， 故所求概率． 17．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）通过证明AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【详解】（1）由题，四边形为正方形，则AB. 又平面，面，则平面； （2）由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则上平面 18．(1)3 (2)236000元 【分析】（1）依题意可以求出分层抽样的抽样比例，进而可求得技师类岗位证书的人数. （2）分类讨论，将取得各岗位证书的奖金分别算出来，相加即可求解. 【详解】（1）技师和高级技师占比为， 所以交流团中取得技师类（包含技师和高级技师）岗位证书的人数为（人）. （2）初级工频率，支付：（元）， 中级工频率，支付：（元） 高级工频率，支付：（元）， 技师频率，支付：（元）， 高级技师频率：，支付：（元）， 加起来需支付费用（元）， 所以估计该企业需支付236000元. 19．(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到，利用正弦的诱导公式进行求解；（2）由余弦定理得到和，利用互补的两个角余弦值和为0，列出方程，求出答案. 【详解】（1）过B作于F. ∵，， ∴，在直角中，， ∴， ∴. （2）连接BD.在中，，，，由余弦定理，得 在中，，，由余弦定理，得. 在中，，，由余弦定理，得. ∵，得 ∴，得，（负值舍去）. ∴. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习卷细目表 湘教版高中数学必修二期末复习卷（三）细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 复数的概念、纯虚数的定义、复数的实部与虚部 0.9 2 单选题 5 空间中直线与平面的位置关系、充分必要条件的判断 0.8 3 单选题 5 圆锥的轴截面、圆锥的内切球半径计算、空间几何体 0.75 4 单选题 5 复数的模长运算、复数的代数形式 0.9 5 单选题 5 解三角形、正弦定理的应用 0.85 6 单选题 5 三角函数的奇偶性、三角函数图象的对称性、图象平移变换 0.8 7 单选题 5 平面向量的线性运算、正六边形的向量性质、向量的分解 0.75 8 单选题 5 圆锥的体积公式、相似体的体积比、圆锥倒置问题 0.7 9 多选题 6 三角恒等变换、同角三角函数基本关系、诱导公式 0.85 10 多选题 6 圆锥的体积与侧面积计算、实际应用问题、数学建模 0.8 11 多选题 6 三角函数的图象与性质、对称轴、零点、单调性 0.75 12 填空题 5 平面向量的垂直条件、向量的数量积运算 0.9 13 填空题 5 解三角形、余弦定理、基本不等式求最值 0.75 14 填空题 5 空间几何体的外接球、三棱锥的外接球半径、球的体积公式 0.7 15 解答题 13 解三角形、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式 0.85 16 解答题 15 统计与概率、平均数计算、分层抽样、古典概型的概率计算 0.8 17 解答题 15 空间立体几何、直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定 0.8 18 解答题 17 统计与概率、分层抽样、用频率估计概率、数学期望与实际应用 0.75 19 解答题 17 解三角形、平面四边形中的三角计算、正弦定理与余弦定理的综合应用 0.7 $