甘肃庆阳市宁县第一中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（四）湘教版

**基本信息** 湘教版高中数学必修二期末复习卷，以立体几何（如《九章算术》“羡除”模型）、概率统计（青团礼盒排列、阶梯电价调查）为载体，覆盖向量、函数、解三角形等核心知识，融合数学抽象与数据分析，体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、圆锥体积与侧面展开图|基础概念辨析，如向量垂直条件转化| |多选题|3/18|函数性质（奇偶性、周期）、统计术语|多选项设计考查逻辑推理，如函数单调性判断| |填空题|3/15|古典概型（青团排列）、球表面积计算|结合生活情境，如礼盒中青团相邻概率| |解答题|5/77|统计图表分析、解三角形、立体几何体积|综合应用，如阶梯电价频率分布直方图计算，体现数学语言表达现实问题|

期末复习卷细目表 湘教版高中数学必修二期末复习卷（四）细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 平面向量垂直的坐标运算、平面向量的数量积 0.90 2 单选题 5 圆锥的侧面展开图性质、圆锥的体积计算公式 0.90 3 单选题 5 圆锥的侧面积计算、侧面展开图的圆心角求解 0.85 4 单选题 5 同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式、三角恒等变换 0.85 5 单选题 5 异面直线所成角的计算、空间直角坐标系的应用、向量的数量积求夹角 0.80 6 单选题 5 三棱锥的外接球问题、二面角的计算、球的表面积与体积公式 0.80 7 单选题 5 空间几何体的结构特征、线面垂直的性质、等腰梯形的面积计算 0.75 8 单选题 5 四面体的外接球半径求解、基本不等式求最值、线面垂直的判定与性质 0.75 9 多选题 6 正弦型函数的图象与性质、函数的奇偶性、单调性、周期性的判定 0.80 10 多选题 6 互斥事件的判定、分层抽样的计算、百分位数的求解、方差的运算性质 0.75 11 多选题 6 正弦型函数的周期、值域、对称性、单调性的综合应用 0.70 12 填空题 5 古典概型的概率计算、排列组合的基础应用 0.90 13 填空题 5 正方体的内切球性质、球的表面积计算、两球相切的位置关系 0.85 14 填空题 5 辅助角公式的应用、正弦型函数的最值求解 0.75 15 解答题 13 三角恒等变换、同角三角函数的基本关系、两角和与差的正余弦公式综合应用 0.90 16 解答题 15 频率分布直方图的应用、分层抽样、古典概型的概率计算综合问题 0.80 17 解答题 15 正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、三角形形状的判定综合应用 0.75 18 解答题 17 独立事件的概率计算、互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率综合应用 0.70 19 解答题 17 正弦定理、余弦定理、三角形中线长公式、角平分线的性质综合应用 0.70 $ 湘教版高中数学必修二期末复习卷（四） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题5分） 1．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知四面体的四个面均为直角三角形（如图所示），则该四面体中异面直线AB与CD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，， 二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 7．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，在如图所示的“羡除”中，；四边形为等腰梯形.若平面，四边形为正方形，，，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知体积为的四面体中，平面ABC，，其外接球半径的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 二、多选题（每小题6分） 9．若函数对任意的，都有，则（    ） A． B．在上单调递减 C．为奇函数 D．的最小正周期为 10．下列说法正确的是（   ） A．某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9 C．数据，，，，，，，的分位数是8 D．数据，，，…，的方差为，则数据，，，…，的方差为 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．关于对称 D．在上单调递减 三、填空题（每小题5分） 12．青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示．若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为______． 13．若正方体内部有两个球，其中球与正方体的三个面相切，球与正方体的六个面均相切，球与球也相切，设球、球的表面积分别为，则___________． 14．当函数取最大值时，的值为________． 四、解答题 15．（本题13分）计算求值： (1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 16．（本题15分）为形成节能减排的社会共识，促进资源节约型．环境友好型社会的建设，某市计划实行阶梯电价．调查发现确定阶梯电价的临界点是市民关注的热点问题．现从关注此问题的市民中随机选出200人，将这200人按年龄分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．作出频率分布直方图，如图所示． (1)求图中a的值； (2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估计全市关注此问题的市民年龄的平均数； (3)现在要从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求从第二组中恰好抽到2人的概率． 17．（本题15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为，且． (1)证明：： (2)若的面积为，求角A的值并判断的形状． 18．（本题17分）在一次猜灯谜的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. (1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； (2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 19．（本题17分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，E是边的中点，，. (1)求的值； (2)的平分线交于点，求的长. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修二期末复习卷（四） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D C B B B AD ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接列方程，解方程即可. 【详解】由已知，，且， 则， 解得， 故选：B. 2．A 【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面周长，求得底面半径，进而求得圆锥的高，即可求解； 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则， 由题意可得：，即， 所以， 故， 故选：A 3．D 【分析】设圆锥母线长为，利用侧面面积求得圆锥的母线长，进而可求圆锥的侧面展开图的圆心角. 【详解】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为， 由题意可得，解得， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：D. 4．D 【分析】由复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解． 【详解】因为，所以. 故选：D． 5．C 【分析】根据条件，得到平面，将四面体补成直三棱柱，再根据异面直线所成角的知识，求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】根据已知条件可知，平面， 所以四面体中AD⊥平面BCD， 将四面体补成直三棱柱（如图）， 因为，所以∠MAB为异面直线与所成角（或其补角）． 在△MAB中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 6．B 【分析】根据球心到三棱锥各顶点的距离相等， 作出辅助线，找到球心，求出外接球半径，结合二面角的平面角的定义，求出三棱锥的高、底面积，得到三棱锥的体积. 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以到的距离相等， 故即为球心． 由球的表面积等于，设外接球半径为，故， 解得，过作垂直于于点， 因为，，所以，同理， 过点作，且，则，是二面角的平面角，，过点作，垂足为点. 因为，，且两直线在平面内，所以平面， 又平面，所以，,且两直线在平面内，所以平面， 则为三棱锥的高， 故三棱锥的高为， 其中， 所以三棱锥的体积． 故选：B. 7．B 【分析】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、，推导出，求出的长，再利用梯形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】分别过点、在平面内作，，垂足分别为、， 在等腰梯形中，，，， 所以四边形为矩形，故，，， 因为，，，所以， 所以， 因为，由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，故四边形的面积为. 故选：B. 8．B 【分析】将四面体ABCD补形为长方体，设，由已知可得，确定四面体ABCD的外接球的球心及半径，结合数量积的性质求外接球半径的最小值. 【详解】将四面体补成长方体， 因为，所以四边形为平行四边形， 设，则分别为的中点， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以， 取的中点为，因为 所以，同理可得， 所以点为四面体的外接球的球心， 设，则， 因为四面体的体积为，平面ABC，， 所以，故， 所以，故， 当时取到最值． 故选：B. 9．AD 【分析】根据最小值求得，判定A；利用两角和余弦公式和余弦函数的单调性研究，从而判定B；利用余弦函数的奇偶性判定C；利用二倍角余弦公式化简，利用余弦函数的周期性分析，得到周期，从而判定D. 【详解】依题意知，是的最小值，故，解得，故A正确； 由，得. 由，得在[上单调递增， 在上单调递增，故B错误； 为偶函数，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10．ABD 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用分层抽样列式求解判断B；求出分位数判断C；利用方差的性质计算判断D. 【详解】对于A，由 “掷出5”与“掷出6”不可能同时发生，得它们为互斥事件，A正确； 对于B，设抽取的丙个体数为，由，解得，B正确； 对于C，数据,,,,,,,从小到大排列为：,,,,,,,， 由，得该组数据的分位数是，C错误； 对于D，数据,,,…,的方差为，则数据,,,…,的方差为，D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，求出函数的值域，可判断BD，求出函数的周期，可判断A，利用特殊点的函数值，可判断C. 【详解】对， 因为， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称. 又， 所以函数为周期函数，且最小正周期为.故A正确； 当时，， 易得在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以； 当时，根据函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且. 根据函数的周期性，所以函数的值域为，故B正确. 因为，， 所以， 所以的图象并不关于对称，故C错误； 因为函数在上单调递减，且周期为， 所以函数在上也是单调递减，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】列举出所有情况以及满足题意的情况，再利用古典概型求解. 【详解】分别假设豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅为， 则有，共6种情况， 其中相邻的有，共4种情况， 故豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为. 故答案为： 13． 【分析】利用正方体的性质，作出辅助线，可利用三角形相似来求球的半径，从而可求面积比. 【详解】 设正方体的边长为，由球与正方体的六个面均相切，可知球的半径为1， 由球与正方体的三个面相切且与球也相切，设球的半径为， 如图可知，，，所以， 根据，则有，解得：， 所以， 故答案为：. 14． 【详解】，其中，， 当，，所以取最大值， 此时，，所以， 所以 15．(1) (2) 【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可. （2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可. 【详解】（1） （2）∵、都为锐角，∴， 又， ∴， ， ∴ . 16．(1)0.035 (2)41.5岁 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图即可求出a的值 （2）由图得出同组中的每个数据所在组区间的中点值，即可求出全市关注此问题的市民年龄的平均数. （3）求出第一组和第二组分层抽样的人数，再列出从这5人中随机抽取2人进行问卷调查的所有可能方法，得出第二组中恰好抽到2人的方法总数，即可求出从第二组中恰好抽到2人的概率. 【详解】（1）由题意及图得，组距=10， ， 解得：. （2）由题意，（1）及图得，组距=10， 平均数为：， ∴全市关注此问题的市民年龄的平均数为41.5岁. （3）由题意，（1）（2）及图得，组距=10，， 第一组人数：， 第二组人数：， 从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人， ∴第一组抽取：， 第二组抽取：， 从这5人中随机抽取2人进行问卷调查， 设这五人分别为：， 则共有下列10种抽取方法： ， 其中从第二组中恰好抽到2人的为3种，， ∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：， ∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：. 17．(1)证明见解析 (2)，等边三角形 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式与诱导公式化简，最后利用正弦定理角化边即可得结论； （2）利用三角形面积公式求出，结合（1）利用余弦定理可得，从而可判断三角形形状. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以， 所以， 因为 所以， 由正弦定理得． （2）因为，所以， 因为，所以A为锐角，所以． 由余弦定理得， 又，代入化简得， 所以， 所以为等边三角形． 18．(1)甲猜对概率为，乙猜对概率为 (2) 【分析】（1）根据古典概型的知识求得正确答案. （2）利用对立事件的知识求得正确答案. 【详解】（1）甲猜对的概率为，乙猜对的概率为. （2）甲乙都没有猜对的概率为， 所以甲和乙至少一人猜对的概率为. 19．(1) (2) 【分析】(1)利用相邻的两邻补角的余弦定理来求中线长； (2)利用等面积法来求角平分线长即可. 【详解】（1） 由余弦定理得：，， 因为,且， 所以有：，解得； （2） 由余弦定理是：， 因为，所以， 又因为是的平分线，所以， 再由面积公式可得：， 代入，可得. 学科网（北京）股份有限公司 $