期末综合测试模拟卷2025-2026学年山东泰安市岱岳区八年级数学下学期

**基本信息** 涵盖代数几何核心知识，融入黄金分割、《周髀算经》等文化情境与实际问题，梯度设计合理，适配八年级期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|二次根式、一元二次方程、相似判定、四边形性质|基础概念辨析，如位似面积比计算| |填空题|5/20|函数自变量范围、根的判别式、黄金分割|结合《周髀算经》“偃矩以望高”考相似应用| |解答题|9/90|方程求解、菱形证明、实验田面积、新定义“美好数”|分层设计，如“路灯影长”探究考建模，正方形综合题考推理，体现抽象与应用意识|

山东省泰安市岱岳区2026年八年级下学期期末综合测试模拟卷 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列各式计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题4分）用配方法解方程，变形后结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为18，则的面积为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（本题4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，菱形的对角线、相交于O点，E、F分别是、边上的中点，连接．若，，则菱形的周长为（     ） A．5 B． C． D．20 8．（本题4分）如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（本题4分）某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为（     ）． A． B．或 C． D． 10．（本题4分）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（     ） A．20° B．25° C．30° D．35° 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）函数中，自变量的取值范围是__________． 12．（本题4分）如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 13．（本题4分）如图，，若，则的长为______． 14．（本题4分）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 15．（本题4分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高______． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）计算 (1) (2) 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题9分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 19．（本题9分）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 20．（本题10分）如图，在中，E是的中点，连接交于点F，连接，． (1)求证：是菱形． (2)若，，求的面积． 21．（本题10分）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 22．（本题11分）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 23．（本题12分）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 24．（本题13分）如图1，已知四边形是正方形，是延长线上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，延长与相交于点，连接， ． ①求证：； ②若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市岱岳区2026年八年级下学期期末综合测试模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A D C A D B 1．A 【详解】解：选项A：，计算正确； 选项B：，计算错误； 选项C：，计算错误； 选项D：，计算错误． 2．C 【分析】利用完全平方公式对等式左边进行配方，即可得结论． 【详解】解：， ∴， ∴． 3．C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 4．B 【分析】先求出，再根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 与位似， ， ∴， ， 的面积为18， ． 5．A 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，比较化简后的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】选项A：，被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，被开方数为，与不是同类二次根式． 6．D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 7．C 【分析】先根据三角形的中位线定理求得，再根据菱形的性质证明，即可根据勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：、F分别是、边上的中点， ， 四边形是菱形 ，，，， ， 菱形的周长为． 8．A 【分析】连接交于点，根据矩形和等腰三角形的性质，推出，，即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点， 矩形， ，，，，， ，， ， ， ， ． 9．D 【分析】设，则，根据题意列出方程求出的值，再根据墙长限制确定的取值范围即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意得，，   整理得，， 解得，， ∵墙长为， ∴， 解得， ∴不合题意，舍去， ∴，即边的长度应为． 10．B 【分析】由正方形和翻折的性质可知，，，可解得，而，解得，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 由翻折的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 11．且 【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：且， ∴函数中自变量的取值范围是且． 12．且 【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，再结合方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，求解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上可得，实数的取值范围是且． 13． 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 15．5m/米 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质列比例求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】（1）先分别进行二次根式的化简和二次根式的乘除法运算，最后进行二次根式减法运算； （2）先分别进行二次根式的乘法、二次根式的化简和绝对值化简，最后进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 17．(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）先把原方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得，，即， ∴， 解得：，． （2）解： ∴， ， 解得：，． 18． 【分析】解题关键是利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得出为等腰三角形，求出的度数，再结合构造的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 20．(1)证明：在中，，， ∵， ∴，即， ∴、互相垂直平分， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，再由，根据等腰三角形三线合一的性质得，即，则、互相垂直平分，根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）先根据菱形的性质得，，则是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得，，由勾股定理求出，再根据的面积求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴的面积． 21．(1)能，灯杆的高度为 (2)存在， 【分析】（1）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：存在，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1) (2)或 (3)解：假设该实验田的面积能为240平方米， ∴， ∴， ∴， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【分析】（1）直接根据建造要求计算即可； （2）根据“面积为180平方米”求出x的值，再根据墙长求出x的取值范围，进而可知x的值； （3）假设该实验田的面积能为240平方米，列出方程，根据根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：米； （2）解：由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∴或； （3）略． 23．(1) (2) (3)2042 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可； （3）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：是关于4的“美好数”， ∴ ∴ 24．(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴ (2)证明：①过点A作，垂足为，作，垂足为，过点C作，垂足为，连接， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴四边形是矩形， 又∵，，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵在正方形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． ②1． 【分析】（1）根据正方形性质和，利用即可证明， （2）①过点A作，垂足为，作，垂足为，过点C作，垂足为，连接，由可得，进而证明， 四边形是正方形，得出，，再证明，可得，，由此得，得出，从而证明，再利用勾股定理得出． ②连接，利用、都是等腰直角三角形得出，，从而可得，进而得出，结合①得结论，可得，根据，整体代入可得，再代入已知条件即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②连接， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵在正方形中，， ∴， 由①得， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $