甘肃省渭源县第一中学2025-2026学年高一下学期数学期末高分冲刺每日一练（15天）

**基本信息** 以15天周期系统整合向量与复数、立体几何、解三角形、概率统计四大模块，通过每日分层训练实现知识网络构建与核心素养提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与复数|约15题|含坐标运算、模与夹角、基底判断|从平面向量线性运算到复数几何意义，构建代数与几何转化逻辑| |立体几何|约20题|涉及线面平行垂直证明、体积计算、空间角|以空间观念为核心，从直观感知到逻辑推理，强化空间想象与论证能力| |解三角形|约15题|结合正弦余弦定理、面积公式、周长范围|围绕边角关系，从定理推导到实际应用，培养运算能力与推理意识| |概率统计|约15题|含频率分布直方图、分层抽样、独立事件概率|以数据观念为主线，从数据收集到分析决策，提升数学语言表达与应用意识|

期末高分冲刺每日一练（第1天） 1．已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 【详解】由，得，即，解得. 2．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（    ） A． B．6 C． D．3 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意，解得， 所以这个圆锥的底面直径是. 3．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若边上的高为，，求，． 【详解】（1）在中，，故 ， 将已知等式变形： ， 又 ， 代入得： ， 因，， 故，得； （2）由三角形面积相等得，代入，，， 化简得： ，又 再代入余弦定理，得 ， 整理得，解得或， 对应代入，得或， 故，或，. 4．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 5．为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则， 解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 期末高分冲刺每日一练（第2天） 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆锥的高，则该圆锥的体积． 3．在中，内角所对的边分别为，，. (1)求B； (2)若，，求的周长． 【详解】（1）方法一：由题意得，由正弦定理可得 即， 又因为，所以，因为， 所以，. 方法二：由题意得，同时在中， 有，得，， 因为，所以. （2）由题意得，两边平方得   ①， 又由余弦定理得即  ②， 联立①②可得，，即， 时代入②得，时代入②得， 所以的周长为或. 4.甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.8，如果只有一人击中，那么飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，那么飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，那么飞机一定被击落，求飞机被击落的概率． 【详解】设甲、乙、丙三人击中飞机的事件分别为，则相互独立，， 所以飞机被击落的概率 ． 5．如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）. (1)证明：、、、四点共面； (2)设四面体的各棱长均为6.,当时，求四边形的周长； 【详解】（1）、分别是、的中点，故为的中位线， 故， 、分别是、边上的点，，故， 故，、、、四点共面； （2）四面体的各棱长均为6， 故均为等边三角形， ，，故，， 且， 又， 在中，，由余弦定理得 ， 同理可得， 所以四边形的周长为. （ 期末高分冲刺每日一练（第3天） 1．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 2．已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 【详解】设，，则 得到，所以， 故，故，， 所以，，所以，故. 3．甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. （2）记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 4．如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 【详解】（1） 作，交于点，作，交于点，连接． 因为，所以．同理可得． 因为在正方体中，，，所以，所以．因为，所以． 因为，所以四边形是平行四边形，所以． 因为不在平面内，平面，所以平面． （2）过点作直线，设直线分别与，交于点，，连接，，，记． 因为，所以，，即，分别为，的中点． 因为，，所以四边形为平行四边形，， 所以，平面即平面，延长，与的交点即为点． 因为，所以，解得． 5．的内角，，的对边分别为，，．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【详解】（1）， 根据余弦定理可得，即， 代入可得，化简可得， 根据三角形辅助角公式可得，即， 因为，所以， 因此解得，即， 因为，， 所以解得. （2）因为的面积为， 所以，解得， 因为，， 所以， 根据正弦定理可得，即，化简可得， 代入可得，解得， 所以， 根据正弦定理可得，即，解得， 所以的周长为. 期末高分冲刺每日一练（第4天） 1．已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 2．实验中学为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取80人进行调查.已知该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人，则抽取的学生中，高一年级有（   ） A．32人 B．24人 C．20人 D．18人 【详解】该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 则抽取的学生中，高一年级有. 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围；． 【详解】（1）在中，， ∵与共线，∴， 由正弦定理可得 ∴， ∴， ∵，∴，又，所以； （2）由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，则， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 4．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【详解】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 5．如图，在正三棱柱中，，分别为和的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接， 因为正三棱柱，所以底面， 为的中点，平面，所以， 又因为为正三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 所以平面，又平面，， 所以平面.    （2）    因为两两相互垂直， 所以以为原点建立空间直角坐标系如图所示，设， 则 则，，， 在平面中，设法向量为， 则, 令，则， 因为平面在平面内， 可设， 设二面角的大小为， ， 所以. 期末高分冲刺每日一练（第5天） 1．在中，，为斜边上一点，，则（    ） A． B．2 C． D． 【详解】因为，所以，得， 由题意知，即， 所以. 2．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 3．在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 【详解】（1）已知，半周长， 由面积公式可得： ， 又因为，由面积公式可得： ，因为两式相等，所以约去得： ①，由余弦定理可得：， 又因为，， 所以 ② 将①代入②得：，整理得， 解得正根（负根舍去），因此. （2）由(1)已得，面积，代入可得：，， 所以. 4．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得， 则样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的学生人数为， 所以用分层抽样的方法应从考核成绩在的学生中抽取（人）． （2）由频率分布直方图知， 成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 所以这两组学生成绩的平均数为， 所以这两组学生成绩的总方差为． 5．如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，且，所以． 又因为，则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为DE＝2EP，所以， 所以． 所以． 期末高分冲刺每日一练（第6天） 1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 又， 所以向量对应的复数为． 2．已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A选项，是平面向量的一组基底，故为不共线的非零向量， 设，故，无解，故为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故为不共线的非零向量，B错误； C选项，设，故，无解，故为不共线的非零向 量，C错误； D选项，，故共线，故不能作为基底，D正确. 3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知，的面积为，求b，c； 【详解】（1）由正弦定理将已知等式边化角得： ， 代入， 消去得： . 因为，两边同除以得， 用辅助角公式化简为， 即 又，故，解得. （2）已知，， 代入得： ，解得 . 由余弦定理， 代入数据得， 将代入得 ， 联立得，故. 4．学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； 设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为. （2）估计准确率的平均数为， ，所以认为这个系统是准确的，并投入使用. 5．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. 期末高分冲刺每日一练（第7天） 1．已知，，，则（     ） A． B．1 C．2 D．4 【详解】由向量线性运算，得. 由，得，即， 化简得，解得. 2．已知一圆台上底面直径为，下底面半径为，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知一圆台上底面直径为，则半径，下底面半径为，即，母线， 圆台的轴截面如图所示，其中，， 由题意可知圆台的高， 则根据圆台的体积公式得圆台的体积，故D正确. 3．在锐角三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)已知，且的面积为，求的值． 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. （2）由（1）知，由的面积为，得， 解得，由余弦定理得， 则，所以. 4．如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.    (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【详解】（1）    在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2）    若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 5．某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【详解】（1）把抽取2张卡片的结果记为，其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：  依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． （2）抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． 期末高分冲刺每日一练（第8天） 1．如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：由点是线段上的动点（端点除外），且， 所以，且，， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立，此时取最小值为. 2．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为，， 又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次， 则只有一个人投中的概率是. 3．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以. 又由正弦定理得， 因为，所以 又因为，所以. （2）因为中，，，由（1）知， 由余弦定理， 即，所以， 解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为8. 又 的周长取值范围为 4．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【详解】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 5．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 期末高分冲刺每日一练（第9天） 1．已知向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由，得， 所以， 又因 所以与的夹角为. 故选：C. 2．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（   ） A． B．3 C． D． 【详解】. 3．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角； (2)若，求边长和的面积. 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． （2）， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 5．第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组的频率和为，组距为， 因此：，解得， “青年人”年龄落在，对应的频率为： ， 总人数为，因此“青年人”的人数为. （2）中年人（）总人数：， 老年人（）总人数：， 分层抽样抽取人，抽样比为， 因此抽取得到：青年人人，中年人人，老年人人，总选法：， 事件为“人均为中年人”，，因此， 事件为“2人中至少1人为男性”，对立事件为“2人均为女性”， ，因此， 为“人均为中年人，且至少人为男性”， ，因此， ， 显然，因此事件与事件不独立. 期末高分冲刺每日一练（第10天） 1．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（   ） A． B． C． D． 【详解】设甲、乙投篮投中的事件分别为. 则两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是. 2．在边长为1的正方形中，P为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【详解】 . 3．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 4．随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.某中学高一年级数学组借助人工智能命制了一套专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从中随机抽取了50名学生的成绩，把成绩按，，…，分为5组，制成了如图所示的频率分布直方图（每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩在的两组学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次考试的考后分析会，试求和这两个组的学生各有一人被抽到的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得， 可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为： ， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 故中位数在第3组中.设中位数为，则有，所以， 即所求的中位数为； （2）由（1）可知，和这两个组的学生人数分别为15，10， 故这两组中所抽取的人数分别为3，2， 记成绩在这组的3名学生分别为a，b，c， 成绩在这组的2名学生分别为d，e， 则样本空间， 共包含10个样本点， 记：和这两个组的学生各有一人被抽到， 则，包含的样本点个数为6， 则. 5．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) 取的中点，连接， 由，得四边形为平行四边形，所以. 由， ， 得四边形为平行四边形，所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得， 平面. 因为平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面； （2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角， ， ， ， 所以，所以. 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 期末高分冲刺每日一练（第11天） 1．已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，，是两个单位向量， 所以， 所以， 又，所以 2．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 【详解】在这300人中，至多阅读一本名著的人数为（人）， 则高一全体名学生中，至多阅读一本名著的人数约为. 3．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，又知． (1)求角的大小、边的长： (2)求的值． 【详解】（1）． ， 由正弦定理可得， ， ，即， 即，所以. ， ． ，， 由余弦定理可得． （2），，． 由正弦定理，可得. ∵，∴，∴为锐角， ∴， ∴，， ． 4．一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； (2)若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 【详解】（1）从盒子中随机抽取1个球， 抽到红球的概率为，解得. （2）设3个绿球分别为，个红球分别为， 采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球， 不同情况有， 共20种， 其中第二次抽到的球为绿球，即第二个字母为或或的情况共有12种， 故第二次抽到的球是绿球的概率为. 5．如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.    (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【详解】（1）    连接， 在中，因为， 所以，且， 又因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，因为，所以， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又犹豫，且平面， 所以平面平面ACP. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以，又因为，所以， 所以. 期末高分冲刺每日一练（第12天） 1．在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 【详解】由，得. 设， 因为， 而 所以，解得. 2．已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，取棱DC上更靠近的三等分点，连接，． 因为// ，所以四边形为平行四边形， 所以//，. 所以，， 所以平面截正方体的截面为平行四边形． 因为，， 所以该截面的周长为． 3．已知△中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，求△周长的最大值． 【详解】（1）因为， 由余弦定理得，整理得， 又，所以， 而，所以. （2），， 方法1：由余弦定理得，当且仅当时取等号， 可得，所以三角形的周长的最大值为． 方法2：由正弦定理， 周长， 由，得， 故，当时取等号，即三角形的周长的最大值为6． 4．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为． （1）求1张奖券中奖的概率； （2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖, 设“1张奖券中奖”为事件,则, 因为、、两两互斥,所以 故1张奖券中奖的概率为 （2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 所以, 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 5．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 期末高分冲刺每日一练（第13天） 1．在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【详解】已知，则， ， ， ， ． 2．已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. 3．内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 【详解】（1）由，可得．   由正弦定理可得．   故．   由余弦定理可得．   化简得． （2）因为角取得最大值，所以为锐角，， 因为，所以，所以， 所以，所以为锐角， 则，   当且仅当即时取等号．   此时最大，且．   所以．   解得． 4．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 5．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【详解】（1）样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； （2） ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 期末高分冲刺每日一练（第14天） 1．在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【详解】因为是上一点，所以与共线，所以根据向量共线定理，存在实数，使得， 因为，所以． 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，即． 将代入并化简， 因为，所以， 由，解得． 将代入，可得． 2．已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 3．在中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，，点是边上的一点，且，求和的面积. 【详解】（1）依题意，由正弦定理得，其中为的外接圆半径；所以； 又在中，，所以，所以； 又，所以，即； 所以，化简得；又，所以，即，又，所以. （2）由（1）知，，又，所以，即，；    在中，由正弦定理得，所以； 又，，所以，即，即，化简得，即； 又因为，所以，所以，所以，同理； 由余弦定理得，所以； 在中，由，得； 所以；    在中，，所以； 由正弦定理得，即，解得； 所以的面积为. 4．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员在梦天实验舱中演示了球形火焰等实验．某中学组织“天宫课堂•科学问答”挑战赛，每轮比赛由甲和乙各回答一个与“天宫课堂”相关的问题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，两人答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求首轮比赛中至少有一人答对的概率； (2)求前两轮比赛中，甲答对的次数多于乙的概率. 【详解】（1）令“甲答对”为事件，“乙答对”为事件， 则， 则， （2）满足甲答对的次数多于乙的情况如下：①甲答对1次，乙答对0次，②甲答对2次，乙答对0或1次， . 所以甲答对的次数多于乙的概率为 5．已知在四棱锥中，侧面平面，，，，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【详解】（1）连接交于点， 因为，为的中点，所以， 因为且，所以为，的中点， 又为的中点，所以，     因为平面，平面，所以平面.     （2）因为，为的中点，所以， 又侧面平面，侧面平面，平面，所以平面，     连接，取的中点，连接、，所以， 因为且，所以，又，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，所以， 所以为二面角的平面角，     因为，所以，，， 所以在直角中，， 所以二面角的大小为.     期末高分冲刺每日一练（第15天） 1．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以 又，所以 ，解得， 所以， 所以. 2．在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，设，当且时，过作轴于点，则， 所以（当或4时也成立），则，，， 所以， 当时，取得最小值-5；当或4时，取得最大值0. 故的取值范围为. 3．已知，其内角的对边分别为，且 ． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 【详解】（1）由题意和正弦定理得 ， 且 ， 即 ， 得，且，则， 可得且，所以. （2）如图：    因为 由 所以 解得， 在中，由余弦定理得 则又D为BC边上的中点，所以 在中，由余弦定理得，则 在中，由余弦定理得 所以 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 5．甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立. (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率. 【详解】（1）设第i场比赛甲获胜为事件（i=1，2，3，4），乙获胜为事件（Ai​的对立事件）， 由题意，各场比赛相互独立，且 打完两场比赛结束则甲连胜两场或乙连胜两场，概率为 . （2）设 “比赛结束时甲获胜的次数大于乙” 为事件C， 分2 场结束、3 场结束、4 场结束三种符合条件的情况，对应子事件为 2场结束且甲胜次数>乙胜次数，， 3场结束且甲胜次数>乙胜次数，即前两场为 “乙胜、甲胜”，第三场甲胜 ； 4 场结束且甲胜次数 > 乙胜次数，即前 3 场为 “甲胜、乙胜、甲胜”，第四场甲胜， . 比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末高分冲刺每日一练 每日一练（15天） 人教版A版 姓名： 班级： 期末高分冲刺每日一练（第1天） 1．已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（    ） A． B．6 C． D．3 3．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若边上的高为，，求，． 4．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 5．为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 期末高分冲刺每日一练（第2天） 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角所对的边分别为，，. (1)求B； (2)若，，求的周长． 4. 甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.8，如果只有一人击中，那么飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，那么飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，那么飞机一定被击落，求飞机被击落的概率． 5．如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且（）. (1)证明：、、、四点共面； (2)设四面体的各棱长均为6.当时，求四边形的周长； 期末高分冲刺每日一练（第3天） 1．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 3．甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 4．如图，在棱长为4的正方体中，点M，N分别在线段，上，且． (1)证明：平面． (2)记过且与平行的平面为，平面与直线交于点P，求的长． 5．的内角，，的对边分别为，，．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 期末高分冲刺每日一练（第4天） 1．已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．实验中学为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取80人进行调查.已知该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人，则抽取的学生中，高一年级有（   ） A．32人 B．24人 C．20人 D．18人 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； 4．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 5．如图，在正三棱柱中，，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 期末高分冲刺每日一练（第5天） 1．在中，，为斜边上一点，，则（    ） A． B．2 C． D． 2．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A．， B．， C．， D．，， 3．在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 4．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 5．如图，在四棱锥中，，点到平面的距离为3． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 期末高分冲刺每日一练（第6天） 1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 2．已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知，的面积为，求b，c； 4．学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 5．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. 期末高分冲刺每日一练（第7天） 1．已知，，，则（     ） A． B．1 C．2 D．4 2．已知一圆台上底面直径为，下底面半径为，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．在锐角三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)已知，且的面积为，求的值． 4．如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 5．某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 期末高分冲刺每日一练（第8天） 1．如图，在中，点是线段上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 3．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 4．如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 5．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 期末高分冲刺每日一练（第9天） 1．已知向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（   ） A． B．3 C． D． 3．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角；(2)若，求边长和的面积. 4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 5．第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 期末高分冲刺每日一练（第10天） 1．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（   ） A． B． C． D． 2．在边长为1的正方形中，P为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．记的内角的对边分别为，已知． (1)求；(2)若是锐角三角形，求的取值范围． 4．随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.某中学高一年级数学组借助人工智能命制了一套专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从中随机抽取了50名学生的成绩，把成绩按，，…，分为5组，制成了如图所示的频率分布直方图（每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩在的两组学生中抽取5人，再从这 5人中随机抽取2人参加这次考试的考后分析会，试求和这两个组的学生各有一人被抽到的概率. 5．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； 期末高分冲刺每日一练（第11天） 1．已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 3．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，又知． (1)求角的大小、边的长： (2)求的值． 4．一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. (1)若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； (2)若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 5．如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足. (1)求证：平面平面ACP； (2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 期末高分冲刺每日一练（第12天） 1．在平行四边形中，，．若//，则x= （　　） A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知△中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，求△周长的最大值． 4．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为． （1）求1张奖券中奖的概率； （2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 5．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 期末高分冲刺每日一练（第13天） 1．在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 2．已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 4．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 5．抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． (1)请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； (2)写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 期末高分冲刺每日一练（第14天） 1．在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（     ） A．7 B．9 C．11 D．12 3．在中，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，，点是边上的一点，且，求和的面积. 4．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员在梦天实验舱中演示了球形火焰等实验．某中学组织“天宫课堂•科学问答”挑战赛，每轮比赛由甲和乙各回答一个与“天宫课堂”相关的问题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，两人答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求首轮比赛中至少有一人答对的概率； (2)求前两轮比赛中，甲答对的次数多于乙的概率. 5．已知在四棱锥中，侧面平面，，，，，分别是，的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 期末高分冲刺每日一练（第15天） 1．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知，其内角的对边分别为，且 ． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 5．甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立. (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $