3.4　圆周角 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学“圆周角”同步练分2课时，以三级梯度设计实现从概念理解到综合应用的递进，强化抽象能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一圆周角定理及推论应用|选择题1-5直接考查角的计算，填空题6-8结合简单图形，夯实概念理解| |提升层|定理与垂径定理/直径性质综合|解答题9-15需两步推理，如第9题判断三角形形状，培养逻辑推理能力| |综合层|跨知识点与实际情境结合|第11题古算题、16题坐标系动态问题，渗透数学文化与创新意识，发展应用能力|

3.4　圆周角 第1课时　圆周角定理 分值：70分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB=100°，∠C的度数是(　B　) A.40° B.50° C.80° D.100° 第1题图 第2题图 2.如图，点A，B，C在☉O上，AC⊥OB，垂足为D，连结OC，AB。若∠A=35°，则∠C的度数是(　A　) A.20° B.25° C.30° D.35° 【解析】 ∵∠A=35°， ∴∠O=2∠A=70°。 ∵AC⊥OB，∴∠CDO=90°， ∴∠C=90°－∠O=20°。 3.如图，已知CD为☉O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA。若∠D的度数为50°，则∠C的度数为(　A　) A.25° B.30° C.40° D.50° 【解析】 ∵DE∥OA， ∴∠AOD=∠D=50°， ∴∠C=∠AOD=25°。 4.如图，AB是☉O的直径，AB=6，若∠CDB=60°，则AC的长为(　B　) A.2 B.3 C.4 D. 第4题图　 　第4题答图 【解析】 如答图，连结OC，则∠COB=2∠CDB=120°， ∴∠AOC=180°－∠COB=60°。 又∵AO=CO，∴△AOC是等边三角形， ∴AC=AO=AB=3。 5.如图，在☉O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上。若∠ABC=19°，则∠BAC的度数为(　D　) A.23° B.24° C.25° D.26° 第5题图　　 第5题答图 【解析】 如答图，连结OC。 ∵∠ABC=19°，∴∠AOC=2∠ABC=38°。 ∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°， ∴∠BOC=52°， ∴∠BAC=∠BOC=26°。 6.(3分)如图，BC是☉O的弦，连结OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和是　90　°。  7.(3分)如图，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在☉O上，连结AD，CD，OC，若∠BOC=30°，则∠ADC=　75　°。  【解析】 ∵∠BOC=30°， ∴∠AOC=180°－∠BOC=150°， ∴∠ADC=∠AOC=75°。 8.(3分)如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为40°，以腰AB为直径作半圆，分别交BC，AC于点D，E，则∠CBE=　20　°。  【解析】 ∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠ABC=70°。 ∵AB为半圆的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°－∠BAC=50°， ∴∠CBE=70°－50°=20°。 9.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AC为☉O的直径，D为☉O上一点，点D，B分别位于直径AC的两侧，∠ADB=45°。 (1)(4分)试判断△ABC的形状，并给出证明。 (2)(4分)若AB=5，AD=6，求CD的长。 第9题图 第9题答图 解：(1)△ABC是等腰直角三角形。证明如下： 如答图，连结OB。 ∵AC为☉O的直径， ∴∠ADC=∠ABC=90°。 ∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°， ∴∠BOC=90°，∴AB=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形。 (2)∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=5， ∴AC==10， ∴在Rt△ADC中，CD==8。 10.如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB=2∠BAC。若AB=4，BC=，则☉O的半径为(　C　) A. B.2 C. D.3 第10题图 第10题答图 【解析】 ∵∠BOC=2∠BAC，∠ACB=2∠BAC， ∴∠BOC=∠ACB。 又∵∠AOB=2∠ACB， ∴∠AOB=2∠BOC。 如答图，过点O作半径OD⊥AB于点E，连结BD， 则AE=BE，∠AOB=2∠DOB， ∴∠DOB=∠BOC，∴BD=BC。 又∵AB=4，BC=， ∴BE=2，DB=， ∴在Rt△BDE 中，DE==1， ∴在Rt△BOE中，OB2=(OB－1)2＋22， 解得OB=， 即☉O的半径为。 11.(3分)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：如图为一圆形木材，直径为25寸，要做成长方形板材(四边形ABCD是矩形)，使其厚度CD达到7寸，则宽BC为　24　寸。  【解析】 连结BD。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°， ∴BD为☉O的直径，BD=25寸。 在Rt△BCD中，BC==24寸， ∴宽BC为24寸。 12.(3分)如图，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长，交AD于点F。若CF⊥AD，则∠D的度数为　60　°。  【解析】 ∠EOF=∠AOC=2∠D， 在四边形OEDF中，易知∠D＋∠EOF=360°－90°－90°=180°， ∴3∠D=180°， ∴∠D=60°。 13.(3分)如图，在平面直角坐标系中，☉P的圆心在x轴上，且经过点A(m，－3)和点B(－1，n)，点C在第一象限的圆弧上，若∠ACB=45°，则点P的坐标为　(2，0)　。  第13题图 第13题答图 【解析】 如答图，连结AP，BP，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F。 ∵点A(m，－3)和点B(－1，n)， ∴OE=1，AF=3，∴点E(－1，0)。 ∵∠ACB=45°，∴∠APB=90°， ∴∠BPE＋∠APF=90°。 又∵∠BPE＋∠EBP=90°， ∴∠APF=∠EBP。 又∵∠AFP=∠BEP=90°，AP=BP， ∴△PFA≌△BEP(AAS)， ∴PE=AF=3， ∴点P(2，0)。 14.(8分)已知：如图，OA是☉O的半径，以OA为直径的☉C与☉O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交☉O于点E，连结AE。 (1)(4分)求证：AD=DB。 (2)(4分)若AO=10，DE=4，求AE的长。 解：(1)∵在☉C中，OA是直径， ∴∠ADO=90°，即OD⊥AB， ∴在☉O中，AD=BD。 (2)∵AO=EO=10，DE=4， ∴OD=6。 又∵∠ADO=90°， ∴AD==8。 在Rt△ADE中，AE==4。 15.(8分)如图，AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连结AC，OC，BC。 (1)(4分)求证：∠BCO=∠ACD。 (2)(4分)若AE=4，BE=16，求弦CD的长。 解：(1)∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，∴∠A＋∠B=90°。 ∵AB⊥CD， ∴∠A＋∠ACE=90°， ∴∠B=∠ACE。 ∵OB=OC，∴∠B=∠BCO， ∴∠BCO=∠ACD。 (2)∵AE=4，BE=16，∴AB=20， ∴OA=OC=10， ∴OE=OA－AE=6。 在Rt△OCE中，CE==8。 ∵AB⊥CD，∴CE=DE， ∴CD=2CE=16。 16.(10分)[推理能力]如图，在平面直角坐标系中，点A(0，8)，B是x轴负半轴上的动点，以OA为直径作圆，交AB于点D，连结OD。 (1)(3分)求证：∠AOD=∠ABO。 (2)(3分)当∠ABO=30°时，求点D到y轴的距离。 (3)(4分)的最大值为  　。  第16题图 第16题答图 解：(1)∵OA为直径， ∴∠ADO=90°， ∴∠AOD＋∠OAD=90°。 又∵∠ABO＋∠OAB=90°， ∴∠AOD=∠ABO。 (2)如答图，过点D作DH⊥OA于点H。 由(1)，得∠AOD=∠ABO=30°，又易知OA=8， ∴AD=OA=4，OD=AD=4， ∴DH=OD=2， 即点D到y轴的距离为2。 (3)如答图，取AB的中点P，连结OP，则AB=2OP， ∴。 ∵OD⊥AB，∴当OP最短，即OP=OD时，的值最大，为1， ∴的最大值为。 第2课时　圆周角定理的推论 分值：70分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列命题中，属于假命题的是(　B　) A.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C.两条平行线间的距离处处相等 D.正方形的两条对角线互相垂直平分 【解析】 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B是假命题。A，C，D是真命题。 2.如图，CD是☉O的直径，AB是弦，∠ADC=30°，则∠ABD的度数为(　C　) A.30° B.45° C.60° D.75° 第2题图 第3题图 3.如图，☉O的直径AB平分弦CD(CD不是直径)。若∠D=35°，则∠C的度数为(　D　) A.70° B.65° C.60° D.55° 【解析】 设AB与CD相交于点E。 ∵☉O的直径AB平分弦CD(CD不是直径)， ∴AB⊥CD，∴∠DEB=90°。 ∵∠D=35°，∴∠B=90°－∠D=55°， ∴∠C=∠B=55°。 4.如图，在☉O中，B是的中点，弦BC∥AD，若∠CAD=32°，则∠ABC的度数为(　D　) A.148° B.135° C.120° D.116° 【解析】 ∵，∴∠BAC=∠BCA。 ∵BC∥AD，∴∠BCA=∠CAD=32°， ∴∠BAC=∠BCA=32°， ∴∠ABC=180°－∠BAC－∠BCA=116°。 第4题图 第5题图 5.如图，AB是☉O的弦，C是的中点，连结OC，D是优弧AB上一点，连结BD，CD。若∠D=27°，则∠OAC的度数为(　A　) A.63° B.54° C.53° D.36° 【解析】 ∵∠D=27°， ∴∠CAB=27°。 ∵C是的中点，∴OC⊥AB， ∴∠ACO=90°－∠CAB=63°。 又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=63°。 6.(3分)如图，AC，BD是☉O的两条相交弦，∠ACB=∠CDB，若AB=2，则BC的长为　2　。  【解析】 ∵∠ACB=∠CDB， ∴， ∴BC=AB=2。 7.(3分)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4=　90　°。  第7题图 第7题答图 【解析】 如答图所示标注点，连结CE，CF，CB。 ∵AB是直径，∴∠ACB=90°。 易知∠2=∠DCE， ∠3=∠ECF， ∠4=∠FCB， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=∠ACB=90°。 8.(6分)如图，在☉O中，AB是☉O的直径，AB=，AC=BC，∠ODC=15°，求BD的长。 解：∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°。 又∵AC=BC， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∴∠BDC=45°， ∴∠ODB=∠ODC＋∠BDC=60°。 又∵OD=OB， ∴△ODB是等边三角形， ∴BD=OB=AB=。 9.(8分)如图，AB，AC是☉O的弦，AD⊥BC于点D，交☉O于点F，AE是☉O的直径，试判断弦BE与弦CF的长的大小关系，并说明理由。 解：BE=CF。理由如下： ∵AE为☉O的直径，AD⊥BC， ∴∠ABE=∠ADC=90°。 又∵∠AEB=∠ACB， ∴∠BAE=∠CAF，∴， ∴BE=CF。 10.如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中AC为直径，将纸片沿弦AB向右折叠，与AC相交于点D，若的度数为100°，则∠BAC的度数为(　B　) A.15° B.20° C.25° D.30° 【解析】 方法一：如答图1，设点D折叠前在点M的位置。 第10题答图1 由折叠的性质，得，∠BAC=∠MAB， ∴。 ∵AC是圆的直径， ∴的度数为180°， ∴的度数为40°， ∴∠BAC=20°。 方法二：如答图2，连结BD，BC。 第10题答图2 ∵的度数为100°， ∴∠ABD=50°。 ∵AC是直径，∴∠ABC=90°， ∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=40°。 ∵所对的圆周角为∠BAD，所对的圆周角也为∠BAD，和所在的圆是等圆， ∴，∴BD=BC， ∴∠C=(180°－∠DBC)=70°， ∴∠BAC=90°－∠C=20°。 11.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，BC=16。若点B，C在☉O上，边AB，AC分别交☉O于D，E两点，B是的中点，则∠ABE=　13　°，☉O的半径为　8　。  第11题图　　 第11题答图 【解析】 如答图，连结DC。 ∵B是的中点，∴， ∴BC=BD。 ∵∠DBC=90°， ∴∠BCD=∠BDC=45°，DC是☉O的直径， ∴∠ACD=∠BDC－∠A=13°，DC=BC=16， ∴∠ABE=∠ACD=13°，☉O的半径为8。 12.(3分)如图，△ABC内接于☉O，∠A=30°，∠B=45°，CD⊥AB于点D。若☉O的半径为2，则CD的长为 　。  第12题图　　 第12题答图 【解析】 如答图，连结CO并延长，交☉O于点E，连结BE， 则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°。 又∵☉O的半径为2，∴CE=4， ∴BC=CE=2。 ∵CD⊥AB，∠CBA=45°， ∴CD=BC=。 13.(8分)如图，以△ABE的边AB为直径作半圆O，分别交AE，BE于D，C两点，连结DC。若C是的中点，求证：CE=CD。 第13题图 第13题答图 证明：如答图，连结AC。 ∵AB为直径， ∴∠ACB=∠ACE=90°。 ∵C是的中点， ∴∠CAE=∠CAB，CD=CB。 又∵AC=AC， ∴△ACE≌△ACB(ASA)， ∴CE=CB，∴CE=CD。 14.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作☉O，交BC边于点D，交CA的延长线于点E，连结AD，DE。 (1)(4分)求证：BD=CD。 (2)(4分)若AB=5，DE=4，求AD的长。 解：(1)∵AB是☉O的直径， ∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD。 又∵AB=AC，∴BD=CD。 (2)∵AB=5，DE=4， ∴AB=AC=5，∴∠B=∠C。 又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C， ∴DE=DC=4。 ∵AD⊥BD，∴∠ADC=90°， ∴AD==3。 15.(10分)[推理能力]如图1，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，延长AG，DC，两者相交于点F，连结AD，GD，GD与AB相交于点H。 (1)(5分)若∠BAD=α，用含α的代数式表示∠AGD。 (2)(5分)如图2，连结AC，CG，若AC⊥GD，求证：DH=CG。 解：(1)∵直径AB⊥CD，∴， ∴∠AGD=∠ADC。 ∵∠BAD=α， ∴∠AGD=∠ADC=90°－α。 (2)设∠BAD=α，易知∠GAC=90°－∠AGD=α， ∴∠GAC=∠BAD。 ∵，∴AC=AD。 又∵∠ACG=∠ADH， ∴△AGC≌△AHD(ASA)， ∴DH=CG。 学科网（北京）股份有限公司 $3.4圆周角 分值：70分 第1课时圆周角定理 选择题每小题3分 A基础对点练 1.如图，点A,B,C在⊙O上，∠AOB=100°，∠C的度数是() A.40° B.50° C.80° D.100° B 第1题图 第2题图 2.如图，点A,B,C在⊙O上，AC⊥OB,垂足为D,连结OC,AB。若 ∠A=35°，则∠C的度数是() A.20° B.25° C.30° D.35° 3.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA。若∠D的度数 为50°，则∠C的度数为() A.25° B.30° C.40° D.50° 4.如图，AB是⊙O的直径，AB=6,若∠CDB=60°，则AC的长为() A.2 B.3 C.4 D9 C 0 B D 第4题图 5.如图，在⊙O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上。若 ∠ABC=19°，则∠BAC的度数为() A.23° B.24° C.25 D.26° 0 B 第5题图 66分)如图，BC是O0的弦，连结OB,OC,∠A是BC所对的圆周角，则∠A 与∠OBC的和是 B 7.(3分)如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C,D均在⊙O上，连结 AD,CD,OC,若∠BOC=30°，则∠ADC= 0。 D B 8.(3分)如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为40°，以腰AB为直径作半圆， 分别交BC,AC于点D,E,则∠CBE= 0。 0 9.(8分)如图，ABC内接于⊙O,AC为⊙O的直径，D为⊙O上一点，点D,B 分别位于直径AC的两侧，∠ADB=45°。 (1)(4分)试判断△ABC的形状，并给出证明。 (2)(4分)若AB5V2,AD=6,求CD的长。 第9题图 B综合提升练 10.如图，OA,OB,OC都是⊙0的半径，∠ACB=2∠BAC。若AB-4,BC-V5 ,则⊙0的半径为() A B.2 c D.3 第10题图 11.(3分)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆 材，径二尺五寸。欲为方版，令厚七寸，问广几何？”其大意是：如图为一圆 形木材，直径为25寸，要做成长方形板材（四边形ABCD是矩形，使其厚度 CD达到7寸，则宽BC为 寸。 D 0 B 12.(3分)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E,连结CO并延长，交AD于点 F。若CF⊥AD,则∠D的度数为 °。 E B 13.(3分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A(,一 3)和点B(一1，D,点C在第一象限的圆弧上，若∠ACB=45°，则点P的坐标为 0 B 第13题图 14.(8分)已知：如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交 于点D,连结OD并延长交⊙O于点E,连结AE。 (1)(4分)求证：AD=DB。 (2)(4分)若AO=10,DE-4,求AE的长。 B 0 15.(8分)如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E,连 结AC,OC,BC。 (1)(4分)求证：∠BCO=∠ACD。 (2)(4分)若AE-4,BE-16,求弦CD的长。 B D *挑战备选练（选做) 16.(10分)[推理能力]如图，在平面直角坐标系中，点A(0,8),B是x轴负半轴 上的动点，以OA为直径作圆，交AB于点D,连结OD。 (1)3分)求证：∠AOD-∠ABO。 (2)3分)当∠ABO=30°时，求点D到y轴的距离。 (@X4分9胎的最大值为 A D 第16题图 第2课时圆周角定理的推 分值：70分 论 选择题每小题3分 A基础对点练 1.下列命题中，属于假命题的是() A.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 B.相等的圆心角所对的弧相等 C两条平行线间的距离处处相等 D.正方形的两条对角线互相垂直平分 2.如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，∠ADC=30°，则∠ABD的度数为() A.30° B.45° C.60° D.75 A D D B 第2题图 第3题图 3.如图，⊙O的直径AB平分弦CD(CD不是直径)。若∠D=35°，则∠C的度数为 () A.70° B.65° C.60° D.55° 4如图，在O0中，B是AC的中点，弦BC∥AD,若∠CAD32,则∠ABC的度 数为() A.148° B.135° C.120° D.116° B C D B 第4题图 第5题图 5如图，AB是O0的弦，C是AB的中点，连结OC,D是优弧AB上一点，连结 BD,CD。若∠D=27°，则∠OAC的度数为() A.63° B.54° C.53° D.36 6.(3分)如图，AC,BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB=∠CDB,若AB=2,则BC 的长为 D B 7.(3分)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧 上，∠1，∠4的一边分别经过点A,B,则∠1十∠2十∠3十∠4= °。 2 3 B 第7题图 8.(6分)如图，在⊙0中，AB是⊙0的直径，AB-V2,AC-BC,∠ODC-15°，求 BD的长。 0 9.(8分)如图，AB,AC是⊙O的弦，AD⊥BC于点D,交⊙O于点 F,AE是⊙O的直径，试判断弦BE与弦CF的长的大小关系，并说明理由。 4 B D B综合提升练 10.如图，A,B,C为圆形纸片圆周上三点，其中AC为直径，将纸片沿弦AB 向右折叠，AB与AC相交于点D,若的度数为100，则∠B4C的度数为() AB AD D A.15° B.20° C.25° D.30° 11.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC-90°，∠A=32°，BC=16。若 点B,C在⊙0上，边4B,4C分别交O0于D,E两点，B是CD的中点，则 ∠ABE= °，⊙0的半径为 B D E 第11题图 12.(3分)如图，△ABC内接于⊙O,∠A=30°，∠B=45°，CDLAB于 点D。若⊙O的半径为2，则CD的长为 4 O。D 第12题图 13.(8分)如图，以ABE的边AB为直径作半圆O,分别交AE,BE 于D,C两点，连结DC。若C是的中点，求证：CE-CD。 BD 第13题图 14.(8分)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,交 CA的延长线于点E,连结AD,'DE。 (1)(4分)求证：BD=CD。 (2)(4分)若AB=5,DE-4,求AD的长。 E 0 *挑战备选练（选做) 150分[推理能]力如图1，AB为O0的直径，弦CDLAB于点么，G是AC上 一点，延长AG,DC,两者相交于点F,连结AD,GD,GD与AB相交于点 H。 (I)5分)若∠BAD-a,用含a,的代数式表示∠AGD。 (2)5分)如图2，连结AC,CG,若AC⊥GD,求证：DH-CG。 G 0 图1 图2