第3章 一次方程（组）综合素质评价 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元一次方程与方程组，通过凤凰古城文化、垃圾分类等真实情境，融合基础巩固与创新应用，适配初中数学第三章单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|等式性质、方程定义、解的应用|含竞赛题（重庆竞赛）、图文信息题（木块测量）| |填空题|8/24|开放题、定义新运算、行程问题|结论开放（自编方程）、程序计算（输入输出问题）| |解答题|8/66|解方程（组）、实际应用、项目探究|跨情境综合（门票/垃圾分类）、项目式探究（木箱制作）|

第3章 综合素质评价 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列等式变形正确的是(　　) A．若a＝b，则a－3＝3－b B．若x＝y，则＝ C．若a＝b，则ac＝bc D．若＝，则b＝d 2.邵阳期末 若方程(a＋1)x2＋5xm－3－2＝3是一元一次方程，则am的值为(　　) A．1 B．－1 C．－4 D．4 3．已知方程7x＋2＝3x－6与关于x的方程x－1＝k的解相同，则3k2－1的值为(　　) A．18 B．20 C．26 D．－26 4．若abc＝237，且a－b＋3＝c－2b，则c的值为(　　) A．7 B．63 C. D. 5.重庆竞赛 某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20%，若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为(　　) A．25% B．20% C．16% D．12.5% 6.利用两块大小相同的长方体木块(阴影部分)测量一件长方体物品的高度，首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测量的数据如图所示，则长方体物品的高度是(　　) A．73 cm B．74 cm C．75 cm D．76 cm (第6题)　　　　(第8题) 7.鄞州外国语学校竞赛 已知关于x，y的方程组将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为(　　) A. B. C. D. 8．如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an＋b的规律(n表示前一个圆圈中的数，a，b是常数)转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是(　　) A．122 B．66 C．178 D．以上都错误 9．已知关于x的一元一次方程＋2 027＝x＋b的解是x＝2 027，则关于y的一元一次方程y－2 028＝－b的解为(　　) A．y＝2 026 B．y＝2 027 C．y＝2 028 D．y＝2 029 10．已知关于x，y的方程组 给出下列结论，其中正确的是(　　) ① 是该方程组的一个解；②当a＝－2时，x，y的值互为相反数；③若x－2y＝3，则a＝1；④a取任意实数，2x＋y的值始终不变． A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题(每题3分，共24分) 11.请写出一个解为x＝0.5的一元一次方程：____________． 12．小红在解关于x的一元一次方程－a＝时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为4x－a＝3，并解得x＝1，请根据以上已知条件，求得原方程正确的解为____________． 13．定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a，b为常数，若1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝________． 14．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m，n的方程组的解是________． 15．某摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100 km到C市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了500 km，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，则A，B两市相距________km. 16．按下面的程序计算，若输入x＝100，则输出结果是501，若输入x＝25，则输出结果是631.若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值为________． 17．在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元购买A，B，C三种奖品，A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的情况下(注：每种方案中都有三种奖品)，购买方案共有________种． 18．若x1，x2都满足条件|2x－1|＋|2x＋3|＝4，且x1<x2，则x1－x2的取值范围是________． 三、解答题(19，20题每题6分，21～23题每题8分，其余每题10分，共66分) 19．解下列方程(组)： (1)5y－3＝2y＋6；　　　　　　　　　　　(2)－＝； (3) (4) 20.张家界期末 若(m－4)x2|m|－7－4m＝0是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同，求k的值． 21.凤凰古城始建于清康熙四十三年，至今已有三百多年的历史．凤凰古城以内部建筑、历史文化和民族风情而著称．古城内的青石板街道、吊脚楼、古城墙、名胜古迹等都保存完好，古色古香，令人流连忘返．为了增强学生的文化素养和团队协作能力，某学校计划组织学生前往凤凰古城开展户外教学活动．已知凤凰古城内某景点的成人票为每张80元，学生票则享受成人票五折的优惠．某班级教师与学生共计50人参与了此次活动，门票费用总计2 160元．请问这个班级中参与活动的教师和学生分别有多少人？ 22．阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(2x＋3y)看成一个整体，把(2x－3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x＋3y，n＝2x－3y，原方程组化为解得 所以解得所以原方程组的解为 (1)运用上述方法解方程组： (2)已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于m，n的方程组的解是________． (3)已知方程组的解是求方程组的解． 23．如图，数轴上三点M，O，N对应的数分别为－1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x. (1)如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是________． (2)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向右运动，同时另一点Q从点N以每分钟2个单位长度的速度向左运动．设t min时点P和点Q到点M的距离相等，求t的值． 24.某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤可获得的积分 a b 100 无 积分可以兑换部分物品，具体如下表： 物品 1卷垃圾袋 1张5元话费券 1张水果店打折券 1张小区临时停车券 积分数 800 1 500 2 000 1 000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值． (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾、100公斤易腐垃圾、1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，有哪些兑换方案？ 25．规定：若关于x的一元一次方程ax＝b(a≠0)的解为x＝a－b，则称该方程为“天心方程”．例如，2x＝的解为x＝，而2－＝，则该方程2x＝就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列各题： (1)一元一次方程2x＝4________(填“是”或“不是”)“天心方程”． (2)若关于x的一元一次方程4x＝c是“天心方程”，则c＝________. (3)若关于x的一元一次方程3x＝a＋ab(a≠0)是“天心方程”，且它的解为x＝a，求a，b的值． (4)若关于x的一元一次方程x＝3m－mn和关于y的一元一次方程－3y＝mn－2n都是“天心方程”，求代数式2(mn－3n)＋(33m－8mn)－的值． 26.根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱的方案？ 素材1 如图①，这是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一张大长方形DEFG板材按图②中甲、乙、丙三种不同的切割方式进行无废料切割得到．已知DE＝50 cm. 素材2 若有24张大长方形DEFG板材，将板材按图②中的三种方式进行切割，无材料剩余且恰好可以制作若干个木箱. 素材3 若有20张B型号木板和m张大长方形DEFG板材，将板材按图②中的三种方式进行切割，无材料剩余且恰好可以制作若干个木箱. 任务解决 任务1 求A，B，C三种型号木板的面积. 任务2 以素材2为背景，一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积. 任务3 以素材3为背景，请你设计一种合适的切割方案，并求出m的值. 答案 一、1.C　2.A　3.C　4.C 5．C 【点拨】 【点拨】设原来的进价为x元，则x×(1＋20%)＝x＋m， 所以x＝5m， 因为这种商品的进价提高25%， 所以新进价为5m×(1＋25%)＝6.25m元． 设提价后的利润率为y，则6.25m×(1＋y)＝6.25m＋m， 所以y＝16%. 6．C　 7．C 【点拨】①＋②，得x＋my＋mx－y＝9＋m，整理得x－y－9＋m(x＋y－1)＝0.根据题意，得 ③＋④，得2x－10＝0，解得x＝5.③－④，得－2y－8＝0，解得y＝－4.所以这个公共解为 8．A 【点拨】根据题意可得，解得所以顺时针方向按2n＋6的规律(n表示前一个圆圈中的数)转换后得到下一个圆圈中的数，当n＝58时，2n＋6＝2×58＋6＝122，即标注问号的圆圈中的数应是122. 9．C 【点拨】方程y－2 028＝－b可变形为＋2 027＝y－1＋b.又因为关于x的一元一次方程＋2 027＝x＋b的解是x＝2 027，所以y－1＝2 027，解得y＝2 028. 10．B 【点拨】 两式相加，得2x＋2y＝4＋2a，即x＋y＝2＋a，当x＝5，y＝－1时，x＋y＝4＝2＋a，解得a＝2.所以当a＝2时，是该方程组的解．故①正确；当a＝－2时，x＋y＝2＋a＝0，即x，y的值互为相反数，故②正确；解方程组 得 因为x－2y＝3，所以(2a＋1)－2(1－a)＝3，解得a＝1，故③正确；因为2x＋y＝4a＋2＋1－a＝3a＋3，所以当a取任意实数时，2x＋y的值会改变，故④不正确．故选B. 二、11.x＋＝1(答案不唯一)　12.x＝　13.10 14. 【点拨】因为 所以因为方程组的解是所以所以 15．750 16．22或111 【点拨】分情况讨论：若第一次输出的结果为556，可知5x＋1＝556，解得x＝111，符合题意；若第二次输出的结果为556，可知5×(5x＋1)＋1＝556，解得x＝22，符合题意；若第三次输出的结果为556，可知5×[5×(5x＋1)＋1]＋1＝556，解得x＝4.2，不符合题意．综上，开始输入的x值为22或111. 17．14 【点拨】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个．当C种奖品的个数为3时，根据题意得10m＋20n＋30×3＝260，整理得m＋2n＝17.因为m，n都是正整数，所以n＝1或2或3或4或5或6或7或8.当C种奖品的个数为4时，根据题意得10m＋20n＋30×4＝260，整理得m＋2n＝14.因为m，n都是正整数，所以n＝1或2或3或4或5或6.所以购买方案共有8＋6＝14(种)． 18．－2≤x1－x2<0 【点拨】|2x－1|＋|2x＋3|＝4，两边都除以2，得＋＝2，由绝对值的几何意义可知，表示数轴上数x对应的点到数对应的点之间的距离，表示数轴上数x对应的点到数－对应的点之间的距离．显然，当x<－或x>时，＋>＝2，不符合题意；当－≤x≤时，＋＝2.所以－≤x≤.又因为x1<x2，所以－≤x1<x2≤.所以－2≤x1－x2<0. 三、19.【解】(1)移项，得5y－2y＝6＋3. 合并同类项，得3y＝9. 系数化为1，得y＝3. (2)原方程可化为－＝. 去分母，得40x－(16－30x)＝2(31x＋8)． 去括号，得40x－16＋30x＝62x＋16. 移项，得40x＋30x－62x＝16＋16. 合并同类项，得8x＝32. 系数化为1，得x＝4. (3) ②×6，得3(x＋y)－(x－y)＝6，③ ①－③，得－3(x－y)＝0. 所以x－y＝0.所以x＝y. 将x＝y代入③，得3(x＋x)－0＝6，解得x＝1. 所以y＝1. 所以原方程组的解为 (4) ②－①，得3x＋3y＝0，即x＋y＝0.④ ③－①，得24x＋6y＝60，即4x＋y＝10.⑤ ④和⑤组成方程组解得 将代入①，得z＝－. 所以原方程组的解为 20．【解】(1)因为(m－4)x2|m|－7－4m＝0是关于x的一元一次方程， 所以 解得 所以m＝－4. (2)由(1)得，方程为－8x＋16＝0，解得x＝2. 因为该方程与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同， 所以6－2k＝2×(2＋3)，解得k＝－2. 21．【解】设参与活动的教师有x人，学生有y人，则解得 答：这个班级中参与活动的教师有4人，学生有46人． 22．【解】(1)设x＋1＝a，y－2＝b，则 ①－②×2，得2a＋3b－2(a－2b)＝1－2×4， 整理，得7b＝－7，解得b＝－1. 把b＝－1代入②，得a＋2＝4，解得a＝2. 所以x＋1＝2，y－2＝－1，所以x＝1，y＝1. 所以原方程组的解为 (2) (3)因为方程组的解是 所以所以 由可知 解得 23．【解】(1)1 【点拨】由题意得3－x＝x－(－1)，解得x＝1. (2)存在．因为MN＝3－(－1)＝4.所以点P不可能在M，N之间．当点P在点M的左侧时，(－1－x)＋(3－x)＝8，解得x＝－3；当点P在点N的右侧时，x－(－1)＋(x－3)＝8，解得x＝5.综上，x＝－3或x＝5. (3)当点P和点Q相遇时，t＋2t＝3，解得t＝1；当点Q运动到点M的左侧时，t＋1＝2t－4，解得t＝5.综上，t＝1或t＝5. 24．【解】(1)根据题意，得 解得 (2)小明家一季度可获得的积分为46×50＋100×20＋1×100＝4 400.设兑换垃圾袋x卷，5元话费券y张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， 根据题意，得800x＋1 500y＋2 000m＋1 000n＝4 400，化简，得8x＋15y＋20m＋10n＝44. 因为x，y，m，n均为自然数，15，20，10均为5的倍数，所以易得x＝3. 所以原式可化为3y＋4m＋2n＝4. 所以或 所以有两种兑换方案： 方案1：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张； 方案2：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券2张． 25．【解】(1)不是 【点拨】2x＝4，解得x＝2. 因为2－4＝－2≠2，所以2x＝4不是“天心方程”．故答案为不是． (2) 【点拨】4x＝c，解得x＝. 因为一元一次方程4x＝c是“天心方程”， 所以4－c＝，解得c＝.故答案为. (3)3x＝a＋ab(a≠0)，解得x＝. 因为方程的解为x＝a， 所以＝a.因为a≠0，所以b＝2. 因为一元一次方程3x＝a＋ab(a≠0)是“天心方程”，所以3－(a＋ab)＝a. 所以a＝.故a＝，b＝2. (4)因为一元一次方程x＝3m－mn是“天心方程”， 所以1－(3m－mn)＝3m－mn， 所以3m－mn＝.① 因为关于y的一元一次方程－3y＝mn－2n是“天心方程”，所以y＝－3－(mn－2n)，y＝－ (mn－2n)， 所以－3－(mn－2n)＝－(mn－2n)， 所以mn－2n＝－.② 由①②得3m－2n＝－4，③ mn＝3m－，④ mn＝－＋2n.⑤ 将③④⑤代入代数式，得原式＝2＋－＝－9－2n＋(9m＋4)－＝－9－2n＋3m＋－＝3m－2n－8＝－4－8＝－12. 26．【解】任务1：由题图②甲可知，A型号木板的宽为50÷5＝10(cm)，由题图②乙和丙可知，B型号木板的宽和C型号木板的长均为(50－10)÷2＝20(cm)．由题图①可知，C型号木板的宽与A型号木板的宽相同，均为10 cm.由题图②丙可知，A型号木板的长＝3×C型号木板的宽＝30 cm，由题图②乙可知，B型号木板的长＝A型号木板的长＝30 cm， 所以A型号木板的面积为30×10＝300(cm2)， B型号木板的面积为30×20＝600(cm2)， C型号木板的面积为20×10＝200(cm2)． 任务2：设将x张，y张大长方形DEFG板材分别按甲、乙两种切割方式进行切割，则按丙种切割方式切割的大长方形DEFG板材有(24－x－y)张，所以共制作A型号木板5x＋y＋(24－x－y)＝(4x＋24)张，共制作B型号木板2y张，共制作C型号木板6(24－x－y)张． 由题图①可知，制作一个木箱需要2张A型号的木板，2张B型号的木板和1张C型号的木板， 所以解得 所以共制作A型号木板4×3＋24＝36(张)． 所以一共能制作＝18(个)木箱． 所以由题易知木箱的总体积为30×20×10×18＝108 000(cm3)． 任务3：设将a张，b张大长方形DEFG板材分别按甲、乙两种切割方式进行切割，则有(m－a－b)张大长方形DEFG板材按丙种方式切割，所以共制作A型号木板5a＋b＋(m－a－b)＝(4a＋m)张，共制作B型号木板2b张，共制作C型号木板6(m－a－b)张． 又因为原来有20张B型号木板，所以共有(2b＋20)张B型号木板． 由题意，得 解得b＝6a－22，m＝8a－24. 因为a，b，m均为正整数，所以当a＝5，m＝16，b＝8时，满足题意，即按甲种方式切割5张，按乙种方式切割8张，按丙种方式切割3张，此时m＝16(答案不唯一)． 学科网（北京）股份有限公司 $