4.2 方差 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“方差”知识点，先回顾平均数、中位数等集中趋势统计量，通过刘亮和李飞射击成绩的实例，引导学生思考数据离散程度的刻画，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以真实情境（射击、身高）和折线图直观呈现数据波动，通过离差平方和的探究推导方差公式，培养学生抽象能力与推理意识。设置多样化例题与练习，帮助学生用数据观念分析实际问题，提升数据分析能力，也为教师提供清晰教学路径。

4.2 方差 我们前面学习了哪些能反映一组数据集中趋势的统计量呢？ 众数 思考：还有能反映一组数据其他情况的统计量吗？ 平均数（算术平均数）： x = (x1+ x2 + x3+… + xn) n 1 x1w1 + x2w2 +…+ xnwn 加权平均数： 中位数 问题 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. （1）两人的平均成绩分别是多少？ 两人的平均成绩相同. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 问题 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. （2）如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度？ 用下图表示数据的分布情况 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近. 李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 思考：如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 各个数据与其平均数 的偏差之和为(x1－)+ (x2－)+ ···+ (xn－)=0.出现了正负偏差抵消的情况，无法刻画这组数据的离散程度. 可以用各个数据与 的差的绝对值之和. 利用各个数据与 的差的平方和. 问题 有两组数据：（1） 4，5，6，7，8；（2）3，6，6，6，9.求该组数据的平均数、这组数据与 的差的绝对值之和以及这组数据与 的差的平方和. | 4 - 6 | + | 5 - 6 | + | 6 - 6 | + | 7 - 6 | + | 8 - 6 | = 6， (4 - 6)² + (5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)² + (8 - 6)² = 10. (1) 易知这组数据的平均数 为 6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与 的差的平方和分别为 (2) 同理可得， 为 6， | 3 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 9 - 6 | = 6， (3 - 6)² + (6 - 6)² + (6 - 6)² + (6 - 6)² + (9 - 6)² = 18. 我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2. 离差平方和 S² 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 离差平方和的概念 思考：如何刻画一组数据与其平均数 的平均离散程度呢？ 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 s2. 方差 s² 刻画了一组数据与其平均数 的平均离散程度. 方差的概念 例1 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 分别计算刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定. 解:由前面的计算可知，刘亮和李飞的射击平均成绩均为8环，从而刘亮的射击成绩的离差平方和是 = (7 - 8)² + (8 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (7 - 8)² +(8 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (7 - 8)² + (9 - 8)² = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6， 于是 = 李飞的射击成绩的离差平方和是 = (6 - 8)² + (8 - 8)² + (7 - 8)² + (7 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (10 - 8)² + (7 - 8)² + (9 - 8)² + (9 - 8)² = 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 = 14， 于是 = 计算结果表明， ， 因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定. ＜ 例2 有两个女生小合唱队，各由 5 名队员组成，她们的身高（单位：cm）为： 甲队：160，162，159，160，159； 乙队：169，165，157，150，164. 试判断哪队队员身高比较整齐， 甲队队员身高的离差平方和是 = (160 - 160)² + (162 - 160)²+ (159 - 160)²+ (160 - 160)²+(159 - 160)² = 6. 解：甲队队员的平均身高是 甲 = ( 160 + 162 + 159 + 160 + 159) = 160 (cm). 于是方差 乙队队员的平均身高是 乙队队员身高的离差平方和是 = (160 - 160)² + (162 - 160)² + (159 - 160)²+ (160 - 160)² + (159 - 160)² = 226. 乙 = (169 + 165 + 157 + 150 + 164) = 161 (cm). 于是方差 计算结果表明， ， 因此，甲队队员的身高比较整齐. ＜ 在计算一组数据为 x1， x2，…， xn的离差平方和 S2时，除了可利用 外，还可以利用下述公式： 自己可以尝试推导此公式？ 又方差 所以 当一组数据个数很多时，求离差平方和与方差的运算量很大，我们可以借助计算器来求. ① 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3 的平均数为 ，方差为 ； ② 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 的平均数为 ，方差为 . 若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 ，方差为 s2，则 x + 3 x - 3 x s2 s2 知识拓展 ③ 数据 x1±b，x2±b，…，xn±b 的平均数为 ， 方差为 ； ④ 数据 3x1，3x2，3x3，…，3xn 的平均数为 ，方差为 ； 9s2 3x ±b x s2 ⑤ 数据 ax1，ax2，…，axn 的平均数为 ，方差为 ； ax a2s2 ⑥ 数据 2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3 的平均数为 ，方差为 . -3 2x 4s2 方差 方差的统计学意义(判断数据的波动大小)： 方差越大（小），数据的波动越大（小） 公式： 性质：若数据x1、x2、…、xn的平均数为 a ,方差为s2，则 数据x1±b、x2±b、…、xn±b 的平均数为 , 方差为 s2. a±b 数据bx1、bx2、…、bxn的平均数为 , 方差为 b2s2. ab 1. 样本方差的作用是（ ） A. 表示总体的平均水平 B. 表示样本的平均水平 C. 准确表示总体的波动大小 D. 表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 D 2. 人数相同的八年级（1）（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ， ， ， 则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 B 3.李明的班上要派一名选手参加学校田径运动会的 100 m 赛跑，李明和张亮都希望自己能参加比赛，他们在训练中 10 次的测试成绩（单位：s）为： 李明：14.5，14.9，14.2，15.0，14.7，14.1，14.4，13.9，15.5，14.8； 张亮：14.8，14.4，15.5，14.1，14.3，14.6，14.1，14.8，15.1，14.3. 根据两人的成绩，应该派谁去参加比赛？ 解：李明：平均数：14.6；离差平方和：2.06；方差：0.206 张亮：平均数：14.6；离差平方和：1.86；方差：0.186 应该派张亮去参加比赛. 4. 为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行 10 次测验，成绩（单位：分）如下： 甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 （1）填写下表： 同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85 分以上的频率 甲 84 84 0.3 乙 84 84 34 84 90 0.5 14.4 （2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价. 解：从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好； 从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是 84 分，两人成绩一样好； 从方差看，s2甲 = 14.4， s2乙 = 34，甲的成绩比乙相对稳定； 从频率看，乙得 85 分以上的次数比甲多，乙的成绩比甲好. $